เครื่องคำนวณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน

เครื่องคำนวณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน (Standard Deviation Calculator) ออนไลน์ของเรา ได้รับการออกแบบมาเพื่อช่วยคุณคำนวณหาค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของชุดข้อมูลตัวเลขได้อย่างรวดเร็วและแม่นยำ นอกจากนี้ เครื่องมือยังแสดงข้อมูลทางสถิติที่สำคัญอื่นๆ เช่น ค่าเฉลี่ย (Mean) และค่าความแปรปรวน (Variance) อีกทั้งยังสามารถคำนวณช่วงความเชื่อมั่น (Confidence Interval) สำหรับระดับความเชื่อมั่นที่แตกต่างกัน พร้อมทั้งจัดทำตารางการแจกแจงความถี่เพื่อการวิเคราะห์ข้อมูลที่ครอบคลุมยิ่งขึ้น

หากต้องการใช้งานเครื่องคำนวณนี้ เพียงแค่ป้อนชุดตัวเลขของคุณลงในช่องว่างโดยคั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาค (,) จากนั้นเลือกว่าชุดข้อมูลดังกล่าวเป็น "ประชากร" (Population) หรือ "กลุ่มตัวอย่าง" (Sample) แล้วคลิกปุ่ม "คำนวณ"

ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน (Standard Deviation: SD) คือค่าทางสถิติที่ใช้วัดระดับการกระจายตัวหรือความแปรปรวนของชุดข้อมูล ค่านี้จะบอกให้เราทราบถึงระยะห่างเฉลี่ยของจุดข้อมูลแต่ละจุดว่าอยู่ห่างจากค่าเฉลี่ยของชุดข้อมูลนั้นมากน้อยเพียงใด ยิ่งค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานมีค่าน้อย แสดงว่าข้อมูลส่วนใหญ่อยู่ใกล้เคียงกับค่าเฉลี่ย (เกาะกลุ่มกัน) ในทางกลับกัน ยิ่งค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานมีค่าสูง แสดงว่าข้อมูลมีการกระจายตัวออกห่างจากค่าเฉลี่ยมาก ทั้งนี้ ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานคือค่ารากที่สอง (Square Root) ของค่าวัดการกระจายตัวอีกประเภทหนึ่งที่เรียกว่า ค่าความแปรปรวน (Variance)

การเลือกใช้สูตรคำนวณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานจะขึ้นอยู่กับลักษณะของชุดข้อมูล หากชุดข้อมูลนั้นครอบคลุมทุกสิ่งที่สนใจศึกษา (ข้อมูลทั้งหมด) จะเรียกว่า ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร แต่หากชุดข้อมูลนั้นเป็นเพียงส่วนหนึ่งที่สุ่มมาจากประชากรทั้งหมด จะเรียกว่า ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของกลุ่มตัวอย่าง

ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร

ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากรจะถูกนำมาใช้เมื่อชุดข้อมูลครอบคลุม "ประชากร" ทั้งหมดที่สนใจศึกษา นั่นคือชุดข้อมูลมีข้อสังเกตหรือตัวเลขครบถ้วนทุกรายการที่นำมาพิจารณา ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากรจะถูกแทนด้วยสัญลักษณ์ σ

σ (ซิกมา) คือตัวอักษรกรีกตัวพิมพ์เล็ก ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากรสามารถคำนวณได้จากสูตร:

$$\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}{(x_i-\mu)^2}}{N}}$$

ที่ซึ่ง:

• Σ คืออักษรกรีกตัวพิมพ์ใหญ่ (ซิกมา) ซึ่งในทางคณิตศาสตร์ใช้แทน "ผลรวม"
• xᵢ แทนจุดข้อมูลแต่ละจุด (ข้อสังเกตแต่ละตัวในชุดข้อมูล) เริ่มตั้งแต่จุดข้อมูลแรกไปจนถึงจุดข้อมูลที่ N (จุดสุดท้าย)
• μ แทนค่าเฉลี่ยของประชากร
• N คือขนาดของประชากร (จำนวนข้อมูลทั้งหมด)

ตัวอย่างการคำนวณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร

ตัวอย่างต่อไปนี้จะแสดงวิธีการหาค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานจากข้อมูลระดับประชากร

โดยปกติแล้ว นักลงทุนมักมองว่าหุ้นเป็นสินทรัพย์ที่มีความเสี่ยงเนื่องจากมีความผันผวนสูงเมื่อเทียบกับสินทรัพย์ประเภทอื่น สมมติว่าผู้จัดการการลงทุนท่านหนึ่งต้องการวิเคราะห์ความผันผวนของหุ้นตัวหนึ่งในช่วงเดือนที่ผ่านมา และเขาจะไม่แนะนำหุ้นที่มีค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานมากกว่าหรือเท่ากับค่าเฉลี่ยให้กับลูกค้าเด็ดขาด เพราะถือว่าหุ้นดังกล่าว "เสี่ยงเกินไป"

รายการด้านล่างคือราคาปิดรายวันทั้งหมด (หน่วยเป็น USD) ของหุ้นตัวนี้ในเดือนที่แล้ว เรามาคำนวณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานเพื่อพิจารณาว่าผู้จัดการท่านนี้จะมองว่าหุ้นตัวนี้ "เสี่ยงเกินไป" หรือไม่:

1.31, 1.30, 1.36, 1.40, 1.40, 1.41, 1.27, 1.19, 1.15, 1.12, 0.99, 1.00, 0.97, 0.94, 0.88, 0.90, 0.86, 0.88, 0.80, 0.81

โปรดทราบว่าผู้จัดการสนใจเฉพาะราคาหุ้นของเดือนที่แล้วเท่านั้น และราคาที่แสดงข้างต้นก็เป็นข้อมูลราคาทั้งหมดในเดือนนั้นอย่างครบถ้วน (ไม่มีขาดหาย) ดังนั้น ชุดข้อมูลนี้จึงนับเป็น "ประชากร" เราจึงต้องคำนวณโดยใช้สูตรค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร

หากต้องการหาค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน ขั้นแรกให้คำนวณหาค่าเฉลี่ยก่อน โปรดจำไว้ว่าค่าเฉลี่ย (μ) หาได้จากการนำตัวเลขทั้งหมดมาบวกกันแล้วหารด้วยจำนวนข้อมูลทั้งหมด

$$\mu=\frac{1.31+1.30+1.36+1.40+1.40+1.41+1.27+1.19+1.15+1.12+0.99+1.00+0.97+0.94+0.88+0.90+0.86+0.88+0.80+0.81}{20}=1.097$$

ขั้นต่อไป ให้นำข้อมูลแต่ละตัวมาลบด้วยค่าเฉลี่ย แล้วนำผลลัพธ์ที่ได้ของแต่ละตัวไปยกกำลังสอง จากนั้นนำค่าที่ยกกำลังสองทั้งหมดมารวมกัน แล้วหารด้วยจำนวนข้อมูล ผลลัพธ์ที่ได้ในขั้นตอนนี้เรียกว่า ค่าความแปรปรวน (σ²)

$$\sigma^2=\frac{\left(1.31-1.097\right)^2+\left(1.30-1.097\right)^2+\left(1.36-1.097\right)^2+\left(1.40-1.097\right)^2+\ldots+\left(0.81-1.097\right)^2}{20}=0.045031$$

สุดท้าย ให้ถอดรากที่สองของค่าความแปรปรวนเพื่อหาค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน

$$\sigma=\sqrt{0.045031}\approx0.21$$

อย่างที่คุณเห็น ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของราคาหุ้นในเดือนที่ผ่านมามีค่าน้อยกว่าค่าเฉลี่ย ดังนั้น ผู้จัดการท่านนี้จึงจะไม่มองว่าหุ้นตัวนี้ "มีความเสี่ยงเกินไป"

ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง

ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของกลุ่มตัวอย่างจะถูกนำมาใช้เมื่อชุดข้อมูลที่เราวิเคราะห์ เป็นเพียงส่วนหนึ่งที่สุ่มมาจากประชากรทั้งหมดที่สนใจ ชุดข้อมูลนี้เป็นเพียงกลุ่มย่อยที่นำมาเป็นตัวแทนของข้อมูลทั้งหมด ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของกลุ่มตัวอย่างแสดงด้วยสัญลักษณ์ s และสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร:

$$s=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(x_i-\bar{x}\right)^2}{n-1}}$$

ที่ซึ่ง:

• Σ แทนผลรวม
• xᵢ แทนจุดข้อมูลแต่ละจุดในกลุ่มตัวอย่าง
• x̄ แทนค่าเฉลี่ยของกลุ่มตัวอย่าง
• n คือขนาดของกลุ่มตัวอย่าง (จำนวนข้อมูลที่สุ่มมา)

เราจะมาแสดงวิธีการหาค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของกลุ่มตัวอย่าง โดยใช้สถานการณ์ที่คล้ายกับตัวอย่างก่อนหน้านี้ แต่ในกรณีนี้ สมมติว่าผู้จัดการการลงทุนไม่สามารถเข้าถึงข้อมูลราคาปิดของทุกวันทำการในเดือนที่แล้วได้ เขามีเพียงข้อมูลราคาปิดที่สุ่มมา 5 วันจากเดือนที่ผ่านมาเท่านั้น ดังนั้น เขาจะต้องประมาณการค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของราคาปิดหุ้นโดยใช้ข้อมูลจาก "กลุ่มตัวอย่าง" ที่มีอยู่

สมมติว่าเขามีข้อมูลราคาปิดของหุ้น 5 วัน ดังนี้:

1.31, 1.40, 0.86, 0.88, 1.40

เนื่องจากผู้จัดการสนใจราคาหุ้นของทั้งเดือนที่แล้ว แต่เขามีข้อมูลเพียง 5 วันซึ่งเป็นเพียงส่วนย่อยของเดือนนั้น ในกรณีนี้ เรากำลังจัดการกับข้อมูลกลุ่มตัวอย่าง จึงต้องใช้สูตรค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของกลุ่มตัวอย่างในการคำนวณ

ขั้นแรก ให้คำนวณหาค่าเฉลี่ยของกลุ่มตัวอย่าง

$$\bar{x}=\frac{1.31+1.40+0.86+0.88+1.40}{5}=1.17$$

จากนั้น คำนวณหาค่าความแปรปรวน s² (สังเกตว่าตัวหารคือ n - 1)

$$s^2=\frac{\left(1.31-1.17\right)^2+\left(1.40-1.17\right)^2+\left(0.86-1.17\right)^2+\left(0.88-1.17\right)^2+\left(1.40-1.17\right)^2}{5-1}=0.0764$$

สุดท้าย ให้ถอดรากที่สองของความแปรปรวนเพื่อหาค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของกลุ่มตัวอย่าง

$$s=\sqrt{0.0764}\approx 0.28$$

ขอบเขตข้อผิดพลาด

ประโยชน์อย่างหนึ่งของการใช้ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานคือ การนำไปคำนวณหาช่วงของค่าที่ "ยอมรับได้" ซึ่งมีบทบาทสำคัญอย่างมากในงานด้านการควบคุมคุณภาพทางสถิติในอุตสาหกรรมและการวิเคราะห์เชิงคาดการณ์ หากสมมติว่าชุดข้อมูลพื้นฐานมีการแจกแจงแบบปกติ (Normal Distribution) ช่วงของค่าที่ยอมรับได้นี้จะเรียกว่า ช่วงความเชื่อมั่น (ดูรายละเอียดในหัวข้อถัดไป) โดยช่วงความเชื่อมั่นเหล่านี้จะถูกกำหนดไว้ที่ระดับความเชื่อมั่น (หรือเปอร์เซ็นต์) ที่แตกต่างกัน

ขอบเขตข้อผิดพลาด (Margin of Error) คือองค์ประกอบหนึ่งของช่วงความเชื่อมั่นที่ใช้ระบุความกว้างของช่วงดังกล่าว พูดง่ายๆ คือ ขอบเขตข้อผิดพลาดจะให้ค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดที่ยอมรับได้ของปริมาณที่เรากำลังพิจารณา

ขอบเขตข้อผิดพลาดสามารถคำนวณได้จากสูตร:

$$\text{ขอบเขตข้อผิดพลาด} = z_{\alpha/2}\left(\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$$

เราจะใช้สูตรนี้เมื่อเรา "ทราบ" ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร σ และในขณะเดียวกัน กลุ่มตัวอย่างก็ควรมีขนาดใหญ่เพียงพอ (โดยปกติคือ n > 30)

แต่ในกรณีที่ "ไม่ทราบ" ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร และกลุ่มตัวอย่างมีขนาดเล็ก (โดยปกติคือ n ≤ 30) เราจะใช้สูตรต่อไปนี้แทน:

$$\text{ขอบเขตข้อผิดพลาด} = t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)$$

ในสูตรนี้ เราต้องใช้ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของกลุ่มตัวอย่าง s เนื่องจากเราไม่ทราบค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร σ

ค่า \$z_{\alpha/2}\$ และ \$t_{n-1, \alpha/2}\$ จะถูกกำหนดโดยใช้สถิติทดสอบ Z (z-statistics) และ สถิติทดสอบ T (t-statistics) ตามลำดับ ค่าเหล่านี้เรียกว่า "ค่าวิกฤต" (Critical Values) ซึ่งเป็นค่าคงที่ที่สัมพันธ์กับระดับความเชื่อมั่นที่กำหนด

ระดับความเชื่อมั่นที่นิยมใช้ในทางสถิติคือ 90%, 95% และ 99% โดยค่า \$z_{\alpha/2}\$ ที่สอดคล้องกันคือ 1.645 (สำหรับ 90%), 1.96 (สำหรับ 95%) และ 2.575 (สำหรับ 99%)

ส่วน \$\frac{\sigma}{\sqrt n}\$ หรือ \$\frac{s}{\sqrt n}\$ เรียกว่า ความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน (Standard Error)

• \$\frac{\sigma}{\sqrt n}\$ ใช้เมื่อเราทราบค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร σ และเรามีกลุ่มตัวอย่างขนาดใหญ่ (ปกติคือ n > 30)
• \$\frac{s}{\sqrt n}\$ ใช้ในกรณีที่เราไม่ทราบค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร และมีกลุ่มตัวอย่างขนาดเล็ก (ปกติคือ n ≤ 30) นั่นคือ แทนที่จะใช้ค่า σ ของประชากร เราจะต้องใช้ค่า s จากกลุ่มตัวอย่างที่เรามีอยู่แทน

ช่วงความเชื่อมั่น

ดังที่ได้กล่าวไปแล้ว ช่วงความเชื่อมั่น (Confidence Interval) คือช่วงของค่าที่เราคาดการณ์ว่า พารามิเตอร์ของประชากร (ปริมาณที่กำหนด) จะตกอยู่ในช่วงนี้ภายใต้ระดับความเชื่อมั่นที่กำหนดไว้

ตัวอย่างเช่น เราอาจสรุปได้ว่า "เด็กผู้หญิงอายุ 13 ปี มีส่วนสูงอยู่ระหว่าง 59 นิ้วถึง 66 นิ้ว ที่ระดับความเชื่อมั่น 90%" ซึ่งหมายความว่า หากเราสุ่มกลุ่มเด็กผู้หญิงอายุ 13 ปีมา ประมาณ 90% ของเด็กเหล่านั้นจะมีส่วนสูงอยู่ในช่วงที่กำหนดนี้

ช่วงความเชื่อมั่นสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร:

$$\bar{x}± z_{\alpha/2}\left(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$$

• x̄ คือค่าเฉลี่ยของกลุ่มตัวอย่าง
• \$z_{\alpha/2}\$ คือค่าวิกฤต
• σ คือค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร
• n คือจำนวนข้อสังเกตหรือขนาดตัวอย่าง

อีกสูตรหนึ่งจะถูกนำมาใช้เมื่อเราไม่ทราบค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร σ และจำเป็นต้องใช้ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของกลุ่มตัวอย่าง s แทน:

$$\bar{x}± t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)$$

• x̄ คือค่าเฉลี่ยของกลุ่มตัวอย่าง
• \$t_{n-1,\alpha/2}\$ คือค่าวิกฤต
• s คือค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของกลุ่มตัวอย่าง
• n คือจำนวนข้อสังเกตหรือขนาดตัวอย่าง

ดังที่เราทราบจากหัวข้อที่แล้วว่า พจน์ \$z_{\alpha/2}\left(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)\$ และ \$t_{n-1,\alpha/ 2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)\$ ก็คือค่าขอบเขตข้อผิดพลาด (Margin of Error) นั่นเอง

ตัวอย่างการคำนวณช่วงความเชื่อมั่น

สมมติว่าเราทราบว่าราคาหุ้นรายวันที่เรากำลังวิเคราะห์มีการแจกแจงแบบปกติ (Normal Distribution) โดยเรามีข้อมูลสุ่มของราคาหุ้นดังนี้:

1.31, 1.36, 1.40, 1.27, 1.15, 0.99, 0.97, 0.88, 0.86, 0.80

เราต้องการคำนวณว่า ราคาหุ้นจะมีความผันผวนอยู่ในช่วงใด ที่ระดับความเชื่อมั่น 95%

เนื่องจากนี่เป็นเพียงกลุ่มตัวอย่างขนาดเล็กและเราไม่ทราบค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร เราจึงต้องใช้ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของกลุ่มตัวอย่างและใช้สูตรนี้ในการคำนวณ:

$$\bar{x}± t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)$$

• x̄ คือค่าเฉลี่ยของกลุ่มตัวอย่าง เท่ากับ 1.10
• \$t_{n-1,\alpha/2}\$ คือค่าวิกฤต \$t_{9, 0.025}\$ = 2.26 (ค่าวิกฤตสำหรับขนาดตัวอย่างและระดับความเชื่อมั่นที่กำหนด มักจะเปิดหาได้จากตารางค่า Z (z-table) หรือ ตารางค่า T (t-table))
• s คือค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของกลุ่มตัวอย่าง เท่ากับ 0.23
• n คือจำนวนข้อสังเกต เท่ากับ 10
• \$\frac{s}{\sqrt n}\$ คือความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน \$\frac{0.23}{\sqrt{10}}=0.07\$

เมื่อเราแทนค่าตัวเลขลงในสูตร

$$\bar{x}± t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)$$

เราจะได้ผลลัพธ์ดังนี้:

$$1.10 - 2.26 (\frac{0.23}{\sqrt{10}}) = 1.10 - 2.26 (\frac{0.23}{3.16}) = 1.10 - 2.26 × 0.07 = 1.10 - 0.16 = 0.94$$

$$1.10 + 2.26 (\frac{0.23}{\sqrt{10}}) = 1.10 + 2.26 (\frac{0.23}{3.16}) = 1.10 + 2.26 × 0.07 = 1.10 + 0.16 = 1.26$$

นั่นหมายความว่า เรามีความมั่นใจ 95% ว่าราคาหุ้นโดยเฉลี่ยจะตกอยู่ในช่วงความเชื่อมั่นที่ (0.94, 1.26)