Kalkulator Odchylenia Standardowego

Nasz kalkulator odchylenia standardowego to wszechstronne narzędzie analityczne, które błyskawicznie oblicza odchylenie standardowe dla dowolnego zbioru liczb. Ponadto generuje dodatkowe parametry statystyczne, takie jak średnia arytmetyczna oraz wariancja. Co więcej, kalkulator ten pozwala wyznaczyć przedział ufności dla różnych poziomów ufności i automatycznie tworzy czytelną tabelę rozkładu częstotliwości (szereg rozdzielczy).

Aby skorzystać z kalkulatora, po prostu wprowadź swoje wartości liczbowe, oddzielając je przecinkami. Następnie wybierz, czy Twoje dane reprezentują całą populację, czy jedynie próbę statystyczną, a na koniec kliknij przycisk „Oblicz”.

Odchylenie Standardowe

Odchylenie standardowe to kluczowa miara statystyczna, która określa stopień rozrzutu (zmienności) w danym zbiorze danych. Wskazuje ono, jaka jest zagregowana średnia odległość poszczególnych punktów danych od ich średniej arytmetycznej. Im mniejsze jest odchylenie standardowe, tym wartości są bardziej skupione wokół średniej. Odwrotnie – wyższe odchylenie standardowe oznacza silniejsze rozproszenie danych. Z matematycznego punktu widzenia odchylenie standardowe jest pierwiastkiem kwadratowym innej popularnej miary rozproszenia, zwanej wariancją.

Sposób obliczania tego parametru zależy od charakteru zebranych informacji. Jeśli nasz zbiór obejmuje absolutnie wszystkie badane elementy, mówimy o odchyleniu standardowym populacji. Jeśli jednak dane stanowią tylko pewien wycinek (reprezentację) większej całości, obliczamy odchylenie standardowe próby.

Odchylenie Standardowe Populacji

Odchylenie standardowe populacji znajduje zastosowanie, gdy dysponujemy kompletnymi danymi na temat całej badanej zbiorowości (populacji generalnej). Oznacza to, że zbiór danych uwzględnia absolutnie wszystkie możliwe obserwacje. Parametr ten oznacza się w statystyce grecką literą σ (sigma).

σ to mała litera greckiego alfabetu. Odchylenie standardowe populacji oblicza się przy użyciu poniższego wzoru:

$$\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}{(x_i-\mu)^2}}{N}}$$

Gdzie:

• Σ to wielka grecka litera sigma, wykorzystywana w matematyce do oznaczania sumy;
• xᵢ reprezentuje każdy z poszczególnych punktów danych (każdą obserwację w zbiorze), począwszy od pierwszej aż do N-tej (ostatniej);
• μ oznacza średnią populacji;
• n to wielkość (liczebność) populacji.

Przykład obliczania odchylenia standardowego ogólnej populacji

Poniższy przykład doskonale obrazuje, w jaki sposób obliczyć odchylenie standardowe na podstawie danych populacyjnych.

Inwestorzy powszechnie uznają akcje za ryzykowne aktywa ze względu na ich dużą zmienność (wolatywność) w porównaniu z innymi instrumentami finansowymi. Pewien menedżer inwestycyjny postanowił przeanalizować zmienność wybranych akcji w minionym miesiącu. Założył on, że nie będzie rekomendował swoim klientom walorów, których odchylenie standardowe jest większe lub równe ich średniej, uznając takie akcje za „zbyt ryzykowne”.

Poniżej przedstawiono wszystkie dzienne ceny zamknięcia (w USD) badanej akcji za poprzedni miesiąc. Oblicz odchylenie standardowe i oceń, czy menedżer uzna te akcje za „zbyt ryzykowne”:

1,31, 1,30, 1,36, 1,40, 1,40, 1,41, 1,27, 1,19, 1,15, 1,12, 0,99, 1,00, 0,97, 0,94, 0,88, 0,90, 0,86, 0,88, 0,80, 0,81

Zauważ, że menedżer jest zainteresowany wyłącznie cenami z poprzedniego miesiąca, a powyższa lista zawiera wszystkie możliwe notowania z tego okresu. Mamy zatem do czynienia z całą populacją. W związku z tym w naszych obliczeniach wykorzystamy wzór na odchylenie standardowe populacji.

Aby je wyznaczyć, w pierwszej kolejności obliczamy średnią arytmetyczną. Pamiętaj, że średnią μ uzyskujemy poprzez podzielenie sumy wszystkich wartości przez ich liczbę.

$$\mu=\frac{1,31+1,30+1,36+1,40+1,40+1,41+1,27+1,19+1,15+1,12+0,99+1,00+0,97+0,94+0,88+0,90+0,86+0,88+0,80+0,81}{20}=1,097$$

Następnie od każdej liczby odejmujemy wyliczoną średnią, a otrzymaną różnicę podnosimy do kwadratu. Kolejnym krokiem jest zsumowanie wszystkich wyników i podzielenie ich przez liczbę obserwacji. Uzyskana wartość to tak zwana wariancja σ².

$$\sigma^2=\frac{\left(1,31-1,097\right)^2+\left(1,30-1,097\right)^2+\left(1,36-1,097\right)^2+\left(1,40-1,097\right)^2+\ldots+\left(0,81-1,097\right)^2}{20}=0,045031$$

Na samym końcu wyciągamy pierwiastek kwadratowy z wariancji, aby otrzymać ostateczne odchylenie standardowe.

$$\sigma=\sqrt{0,045031}\approx0,21$$

Jak widać, odchylenie standardowe cen tych akcji w zeszłym miesiącu okazało się mniejsze od ich średniej. W związku z tym, zgodnie z przyjętym kryterium, menedżer nie uzna ich za „zbyt ryzykowne”.

Odchylenie Standardowe Próby

Odchylenie standardowe próby obliczamy w sytuacji, gdy analizowany zbiór danych stanowi jedynie pewien podzbiór (reprezentację) większej populacji badawczej. Zestaw ten zawiera zatem tylko wybrane obserwacje, a nie wszystkie możliwe. W statystyce odchylenie standardowe próby oznaczamy małą literą s. Do jego wyznaczenia stosuje się poniższy wzór:

$$s=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(x_i-\bar{x}\right)^2}{n-1}}$$

Gdzie:

• Σ oznacza sumowanie;
• xᵢ to każdy z poszczególnych punktów danych;
• x̄ reprezentuje średnią dla próby;
• n to wielkość (liczebność) próby.

Zilustrujemy sposób obliczania tego parametru, opierając się na podobnym przykładzie co wcześniej. W tej sytuacji załóżmy jednak, że menedżer inwestycyjny nie ma pełnego dostępu do cen zamknięcia ze wszystkich dni sesyjnych z minionego miesiąca. Dysponuje on jedynie notowaniami z 5 losowo wybranych dni. Z tego powodu musi oszacować odchylenie standardowe na podstawie dostępnej próby statystycznej.

Przyjmijmy, że posiada on następujące ceny zamknięcia z 5 dni:

1,31, 1,40, 0,86, 0,88, 1,40

Choć menedżera interesują notowania z całego miesiąca, dysponuje jedynie ich niewielkim wycinkiem. Oznacza to, że pracujemy wyłącznie na próbie, a do obliczeń musimy wykorzystać wzór na odchylenie standardowe próby.

Rozpoczynamy od obliczenia średniej dla dostępnej próby.

$$\bar{x}=\frac{1,31+1,40+0,86+0,88+1,40}{5}=1,17$$

Następnie wyznaczamy wariancję s².

$$s^2=\frac{\left(1,31-1,17\right)^2+\left(1,40-1,17\right)^2+\left(0,86-1,17\right)^2+\left(0,88-1,17\right)^2+\left(1,40-1,17\right)^2}{5-1}=0,0764$$

Na koniec, po wyciągnięciu pierwiastka kwadratowego z wariancji, otrzymujemy nasze odchylenie standardowe próby.

$$s=\sqrt{0,0764}\approx 0,28$$

Margines Błędu

Jednym z najczęstszych praktycznych zastosowań odchylenia standardowego jest wyznaczanie tak zwanego „akceptowalnego” zakresu wartości. Odgrywa to absolutnie kluczową rolę w przemysłowej kontroli jakości czy w analizie predykcyjnej. Zakładając, że analizowane dane mają rozkład normalny, wspomniany zakres nazywamy przedziałem ufności (który szczegółowo omawiamy w kolejnej sekcji). Przedziały te definiuje się dla określonych poziomów ufności (wyrażanych w procentach).

Margines błędu to kluczowy element, który bezpośrednio decyduje o szerokości przedziału ufności. Mówiąc prościej, wyznacza on maksymalne oraz minimalne dopuszczalne odchylenie dla badanej wartości.

Do obliczenia marginesu błędu wykorzystujemy poniższy wzór:

$$Margines\ błędu\ = z_{\alpha/2}\left(\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$$

Wzór ten stosujemy w sytuacji, gdy znane jest odchylenie standardowe populacji σ, a sama próba jest wystarczająco duża (z reguły n>30).

Jeżeli natomiast odchylenie standardowe populacji pozostaje nieznane, a dysponujemy jedynie niewielką próbą (z reguły n≤30), korzystamy z formuły alternatywnej:

$$Margines\ błędu\ = t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)$$

W powyższym wzorze posługujemy się odchyleniem standardowym próby s, ponieważ ogólny parametr populacji σ nie jest nam znany.

Wartości \$z_{\alpha/2}\$ oraz \$t_{n-1, \alpha/2}\$ wyznacza się odpowiednio przy użyciu statystyki Z oraz statystyki t-Studenta i noszą one miano wartości krytycznych. Są to stałe matematyczne bezpośrednio powiązane z założonymi poziomami ufności.

Najczęściej spotykane poziomy ufności w profesjonalnej statystyce to 90%, 95% oraz 99%. Odpowiadające im wartości krytyczne \$z_{\alpha/2}\$ wynoszą odpowiednio: 1,645 (dla 90%), 1,96 (dla 95%) oraz 2,575 (dla 99%).

Z kolei ułamki \$\frac{\sigma}{\sqrt n}\$ lub \$\frac{s}{\sqrt n}\$ stanowią tak zwany błąd standardowy.

• Wzór \$\frac{\sigma}{\sqrt n}\$ znajduje zastosowanie, gdy dysponujemy wiedzą o odchyleniu standardowym populacji σ i badamy dużą próbę (zazwyczaj n>30).
• Wzór \$\frac{s}{\sqrt n}\$ stosuje się w przypadkach, w których odchylenie standardowe zbiorowości pozostaje nieznane, a nasza próba jest mała (zazwyczaj n≤30). Oznacza to, że zamiast parametru całej populacji σ, musimy posłużyć się odchyleniem standardowym dostępnej dla nas próby s.

Przedział Ufności

Jak wspomnieliśmy wcześniej, przedział ufności to zakres wartości (interwał), w którym – na określonym poziomie ufności (prawdopodobieństwa) – powinna znaleźć się szacowana przez nas wartość.

Tytułem przykładu, na poziomie ufności 90% możemy stwierdzić, że wzrost 13-letnich dziewcząt mieści się w przedziale od 59 cali (ok. 149,86 cm) do 66 cali (ok. 167,64 cm). W praktyce oznacza to, że wybierając losową grupę trzynastolatek, w około 90% przypadków ich wzrost będzie zawierał się we wskazanym zakresie.

Przedział ufności możemy obliczyć z użyciem tego wzoru:

$$\bar{x}± z_{\alpha/2}\left(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$$

• x̄ to średnia z próby,
• \$z_{\alpha/2}\$ to wartość krytyczna,
• σ to odchylenie standardowe populacji,
• n to liczba obserwacji.

Kiedy jednak rzeczywiste odchylenie standardowe populacji σ jest nieznane i jesteśmy zdani na odchylenie standardowe naszej próby s, wzór przyjmuje następującą postać:

$$\bar{x}± t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)$$

• x̄ to średnia z próby,
• \$t_{n-1,\alpha/2}\$ to wartość krytyczna,
• s to odchylenie standardowe próby,
• n to liczba obserwacji.

Jak z pewnością pamiętasz z poprzedniego rozdziału, człony \$z_{\alpha/2}\left(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)\$ oraz \$t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)\$ to omówione wcześniej marginesy błędu.

Przykład obliczania przedziału ufności

Załóżmy, że analizowane przez nas codzienne notowania akcji charakteryzują się rozkładem normalnym. Dysponujemy poniższą próbą cen zamknięcia:

1,31, 1,36, 1,40, 1,27, 1,15, 0,99, 0,97, 0,88, 0,86, 0,80

Naszym celem jest wyznaczenie przedziału, w obrębie którego ceny tych akcji będą wahać się z 95-procentowym poziomem pewności.

Ponieważ jest to stosunkowo mała próba, a my nie znamy odchylenia standardowego dla całej populacji, w naszych obliczeniach wykorzystamy odchylenie standardowe próby oraz odpowiedni wzór:

$$\bar{x}± t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)$$

• x̄ to nasza średnia próby, wynosząca 1,10
• \$t_{n-1,\alpha/2}$ to określona wartość krytyczna, w tym przypadku \$t_{9, 0.025}\$ = 2,26 (wartość tę dla konkretnej wielkości próby i poziomu ufności standardowo odczytuje się z tablic rozkładu t-Studenta lub rozkładu Z)
• s to odchylenie standardowe próby, równe 0,23
• n to liczba obserwacji (wielkość próby), czyli 10
• \$\frac{s}{\sqrt n}\$ stanowi z kolei błąd standardowy, u nas równy \$\frac{0,23}{\sqrt{10}}=0,07\$

Gdy podstawimy wszystkie zebrane liczby do pierwotnego wzoru:

$$\bar{x}± t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)$$

Otrzymamy następujące obliczenia:

$$1,10 - 2,26 (\frac{0,23}{\sqrt{10}}) = 1,10 - 2,26 (\frac{0,23}{3,16}) = 1,10 - 2,26 × 0,07 = 1,10 - 0,16 = 0,94$$

$$1,10 + 2,26 (\frac{0,23}{\sqrt{10}}) = 1,10 + 2,26 (\frac{0,23}{3,16}) = 1,10 + 2,26 × 0,07 = 1,10 + 0,16 = 1,26$$

Wynik ten oznacza, że z 95-procentowym prawdopodobieństwem średnia cena analizowanej akcji zamknie się w przedziale ufności (0,94, 1,26).