Kalkulator Odchylenia Standardowego

Kalkulator odchylenia standardowego oblicza odchylenie standardowe zbioru liczb. Ponadto, dostarcza dodatkowych informacji na temat liczb, w tym średniej i wariancji. Kalkulator oblicza również przedział ufności dla zbioru danych dla różnych poziomów ufności i zapewnia tabelę rozkładu częstotliwości.

Aby użyć tego kalkulatora, wprowadź liczby do kalkulatora, oddzielając je przecinkami. Wybierz, czy liczby reprezentują populację czy próbkę, a następnie kliknij "Oblicz".

Odchylenie Standardowe

Odchylenie standardowe to miara statystyczna, która definiuje stopień rozrzutu lub zmienności danego zbioru danych. Zapewnia ona zagregowaną średnią odległość punktów danych od średniej zbioru danych. Im mniejsze odchylenie standardowe, tym bliżej punkty danych znajdują się do średniej. Odwrotnie, im wyższe odchylenie standardowe, tym dalej punkty danych są od średniej. Odchylenie standardowe jest pierwiastkiem kwadratowym innej miary rozrzutu zwanej wariancją.

Odchylenie standardowe jest obliczane na podstawie informacji o zbiorze danych. Jeśli zbiór danych reprezentuje wszystkie interesujące punkty danych (populację), odchylenie standardowe nazywane jest odchyleniem standardowym populacji. Jednakże, jeśli zbiór danych reprezentuje próbkę z populacji, odchylenie standardowe nazywane jest odchyleniem standardowym próbki.

Odchylenie Standardowe Populacji

Odchylenie standardowe populacji jest obliczane, gdy zbiór danych reprezentuje populację zainteresowania. Czyli zbiór danych reprezentuje wszystkie obserwacje pod uwagę. Odchylenie standardowe populacji jest oznaczone przez σ.

σ to mała litera greckiej litery Sigma. Odchylenie standardowe populacji jest obliczane za pomocą wzoru:

$$\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}{(x_i-\mu)^2}}{N}}$$

Gdzie:

• Σ to grecka wielka litera Sigma, która jest używana do oznaczania sumowania w matematyce;
• xᵢ reprezentuje każdy z punktów danych (każdą obserwację zbioru danych), zaczynając od pierwszego punktu danych do N-tego (ostatniego) punktu danych;
• μ reprezentuje średnią populacji;
• n to wielkość populacji.

Przykład obliczania odchylenia standardowego ogólnej populacji

Poniższy przykład pokazuje, jak znaleźć odchylenie standardowe danych populacji.

Inwestorzy uważają akcje za ryzykowny aktywa ze względu na ich dużą zmienność w porównaniu z innymi klasami aktywów. Menedżer inwestycyjny chce przeanalizować zmienność niektórych akcji w poprzednim miesiącu i nie będzie polecać swoim klientom żadnej akcji, której odchylenie standardowe jest większe lub równe jej średniej, ponieważ uważa taką akcję za "zbyt ryzykowną".

Poniżej wymieniono wszystkie dzienne ceny zamknięcia (w USD) akcji za poprzedni miesiąc. Oblicz odchylenie standardowe i określ, czy menedżer uzna akcję za "zbyt ryzykowną":

1,31, 1,30, 1,36, 1,40, 1,40, 1,41, 1,27, 1,19, 1,15, 1,12, 0,99, 1,00, 0,97, 0,94, 0,88, 0,90, 0,86, 0,88, 0,80, 0,81

Zauważ, że menedżer jest zainteresowany tylko cenami akcji z poprzedniego miesiąca, a wymienione powyżej ceny to wszystkie ceny z poprzedniego miesiąca. W związku z tym mamy do dyspozycji populację. Więc obliczymy odchylenie standardowe za pomocą wzoru na odchylenie standardowe populacji.

Aby znaleźć odchylenie standardowe, najpierw oblicz średnią. Pamiętaj, że średnia μ jest uzyskiwana przez podzielenie sumy liczb przez liczbę liczb.

$$\mu=\frac{1,31+1,30+1,36+1,40+1,40+1,41+1,27+1,19+1,15+1,12+0,99+1,00+0,97+0,94+0,88+0,90+0,86+0,88+0,80+0,81}{20}=1,097$$

Następnie odejmij średnią od każdej liczby i podnieś różnicę do kwadratu. Następnie dodaj wyniki i podziel wynik przez liczbę. Wynik nazywany jest wariancją σ².

$$\sigma^2=\frac{\left(1,31-1,097\right)^2+\left(1,30-1,097\right)^2+\left(1,36-1,097\right)^2+\left(1,40-1,097\right)^2+\ldots+\left(0,81-1,097\right)^2}{20}=0,045031$$

Na końcu weź pierwiastek kwadratowy z wariancji, aby uzyskać odchylenie standardowe.

$$\sigma=\sqrt{0,045031}\approx0,21$$

Jak widać, odchylenie standardowe cen tej akcji za poprzedni miesiąc jest mniejsze niż średnia. W związku z tym menedżer nie uzna tej akcji za "zbyt ryzykowną."

Odchylenie Standardowe Próbki

Odchylenie standardowe próbki jest obliczane, gdy rozpatrywany zestaw danych reprezentuje próbkę z populacji zainteresowania. Zestaw danych reprezentuje mniejszy zbiór obserwacji ze wszystkich rozpatrywanych obserwacji. Odchylenie standardowe próbki jest oznaczone przez s. Odchylenie standardowe próbki jest obliczane przy użyciu wzoru:

$$s=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(x_i-\bar{x}\right)^2}{n-1}}$$

Gdzie:

• Σ oznacza sumowanie;
• xᵢ reprezentuje każdy z punktów danych;
• x̄ reprezentuje średnią próbki;
• n to wielkość próbki.

Zilustrujemy, jak znaleźć odchylenie standardowe danych próbki, używając tego samego przykładu, co dla odchylenia standardowego populacji. Ale w tej sytuacji menedżer inwestycyjny nie ma dostępu do cen zamknięcia wszystkich dni handlowych poprzedniego miesiąca. Ma jednak ceny zamknięcia z losowych 5 dni poprzedniego miesiąca. W związku z tym oszacuje odchylenie standardowe cen zamknięcia akcji na podstawie dostępnych danych próbki.

Załóżmy, że ma ceny zamknięcia z 5 dni:

1,31, 1,40, 0,86, 0,88, 1,40

Zauważ, że menedżer jest zainteresowany cenami akcji z poprzedniego miesiąca. Jednakże nie ma wszystkich cen z poprzedniego miesiąca, ale tylko mały podzbiór cen zamknięcia z 5 dni. W takim przypadku mamy do czynienia z próbką. Obliczymy odchylenie standardowe, używając wzoru odchylenia standardowego próbki.

Najpierw oblicz średnią próbki.

$$\bar{x}=\frac{1,31+1,40+0,86+0,88+1,40}{5}=1,17$$

Następnie oblicz wariancję s².

$$s^2=\frac{\left(1,31-1,17\right)^2+\left(1,40-1,17\right)^2+\left(0,86-1,17\right)^2+\left(0,88-1,17\right)^2+\left(1,40-1,17\right)^2}{5-1}=0,0764$$

Na końcu weź pierwiastek kwadratowy z wariancji, aby uzyskać odchylenie standardowe.

$$s=\sqrt{0,0764}\approx 0,28$$

Margines Błędu

Jednym z zastosowań odchylenia standardowego jest obliczanie "akceptowalnego" zakresu wartości. Odtwarza to znaczącą rolę w statystycznej kontroli jakości w przemyśle i analizie predykcyjnej. Zakładając, że rozpatrywane dane podlegają normalnemu rozkładowi, wówczas ten zakres jest określany jako przedział ufności (odniesienie do następnej sekcji). Te przedziały ufności są podawane na różnych poziomach ufności (lub procentach).

Margines błędu jest składnikiem przedziału ufności, który określa szerokość przedziału ufności. Czyli margines błędu określa maksymalne i minimalne akceptowane wartości rozpatrywanej wielkości.

Margines błędu jest obliczany za pomocą wzoru:

$$Margines\ błędu\ = z_{\alpha/2}\left(\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$$

Stosujemy ten wzór

, jeśli znane jest odchylenie standardowe populacji, σ, a jednocześnie próbka powinna być wystarczająco duża (zazwyczaj n>30).

Gdy odchylenie standardowe populacji jest nieznane, a próbka mała (zazwyczaj n≤30), stosujemy następujący wzór:

$$Margines\ błędu\ = t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)$$

W tym wzorze używamy odchylenia standardowego próbki s, ponieważ odchylenie standardowe populacji σ nie jest znane.

\$z_{\alpha/2}\$ i \$t_{n-1, \alpha/2}\$ są określane przy użyciu statystyk z i statystyk t, odpowiednio, i nazywane są wartością krytyczną. Są to stałe związane z poziomami ufności.

Najczęściej używane przedziały ufności w statystyce to 90%, 95% i 99%. A ich wartości \$z_{\alpha/2}\$ to 1,645 (dla 90%), 1,96 (dla 95%) i 2,575 (dla 99%)

\$\frac{\sigma}{\sqrt n}\$ lub \$\frac{s}{\sqrt n}\$ nazywane są błędem standardowym.

• \$\frac{\sigma}{\sqrt n}\$ jest używane, gdy znamy odchylenie standardowe populacji σ i mamy dużą próbkę (zazwyczaj n>30).
• \$\frac{s}{\sqrt n}\$ jest używane w przypadkach, gdy nie znamy odchylenia standardowego populacji i mamy małą próbkę (zazwyczaj n≤30). To znaczy, zamiast odchylenia standardowego ogólnej populacji σ, musimy użyć odchylenia standardowego dostępnej nam próbki s.

Przedział Ufności

Jak wprowadzono powyżej, przedział ufności to przedział (zakres wartości), w którym oczekuje się, że dana wielkość znajdzie się na pewnym poziomie ufności.

Na przykład, możemy powiedzieć, że pewna wielkość, powiedzmy wysokość 13-letnich dziewcząt, mieści się między 59 cali (około 149,86 cm) a 66 cali (około 167,64 cm) na poziomie ufności 90%. To znaczy, jeśli mamy wybrać grupę 13-letnich dziewcząt, to około 90% czasu, ich wysokość będzie mieścić się między podanymi wartościami.

Przedział ufności jest obliczany za pomocą wzoru:

$$\bar{x}± z_{\alpha/2}\left(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$$

• x̄ to średnia próbki,
• \$z_{\alpha/2}\$ to wartość krytyczna,
• σ to odchylenie standardowe populacji,
• n to liczba obserwacji.

Inny wzór jest używany, gdy nie znamy odchylenia standardowego populacji σ i musimy użyć odchylenia standardowego próbki s:

$$\bar{x}± t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)$$

• x̄ to średnia próbki,
• \$t_{n-1,\alpha/2}\$ to wartość krytyczna,
• s to odchylenie standardowe próbki,
• n to liczba obserwacji.

Jak pamiętamy z poprzedniego rozdziału \$z_{\alpha/2}\left(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)\$ i \$t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)\$ to marginesy błędu.

Przykład obliczania przedziału ufności

Załóżmy, że wiemy, iż codzienne ceny akcji, które rozpatrujemy, mają normalny rozkład. Mamy do dyspozycji próbkę cen akcji:

1,31, 1,36, 1,40, 1,27, 1,15, 0,99, 0,97, 0,88, 0,86, 0,80

Musimy obliczyć, w jakim zakresie ceny akcji będą wahać się z 95% pewnością.

To jest mała próbka i nie znamy odchylenia standardowego populacji, więc użyjemy odchylenia standardowego próbki i wzoru do obliczeń:

$$\bar{x}± t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)$$

• x̄ to średnia próbki, 1,10
• \$t_{n-1,\alpha/2}$ to wartość krytyczna, \$t_{9, 0.025}\$ = 2,26 (wartość krytyczna dla danej wielkości próbki i poziomu ufności jest zazwyczaj obliczana z tabeli z lub tabeli t)
• s to odchylenie standardowe próbki, 0,23
• n to liczba obserwacji, 10,
• \$\frac{s}{\sqrt n}\$ to błąd standardowy \$\frac{0,23}{\sqrt{10}}=0,07\$

Więc wprowadzamy liczby do wzoru

$$\bar{x}± t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)$$

i otrzymujemy:

$$1,10 - 2,26 (\frac{0,23}{\sqrt{10}}) = 1,10 - 2,26 (\frac{0,23}{3,16}) = 1,10 - 2,26 × 0,07 = 1,10 - 0,16 = 0,94$$

$$1,10 + 2,26 (\frac{0,23}{\sqrt{10}}) = 1,10 + 2,26 (\frac{0,23}{3,16}) = 1,10 + 2,26 × 0,07 = 1,10 + 0,16 = 1,26$$

To oznacza, że jesteśmy w 95% pewni, że średnia cena akcji mieści się w przedziale ufności (0,94, 1,26).