เครื่องคำนวณค่าความแปรปรวน

ค่าความแปรปรวนเป็นการวัดความแปรปรวน

ลักษณะพื้นฐานประการหนึ่งของการอนุมานทางสถิติของชุดข้อมูลที่กำหนดคือการวัดหน่วยเมตริกที่แสดงลักษณะความแปรปรวนของข้อมูลจากค่าเฉลี่ย ตัวชี้วัดที่ได้รับความนิยมมากที่สุดในการวัดความแปรปรวนคือ:

• ค่าความแปรปรวนคือค่าเฉลี่ยของค่าเบี่ยงเบนกำลังสองจากค่าเฉลี่ย
• ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน - คือรากที่สองของค่าความแปรปรวน ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็นหน่วยวัดที่ใช้กันทั่วไปในการวัดการกระจายตัว/ความแปรปรวน
• ค่าสัมประสิทธิ์ของการแปรผัน ซึ่งเรียกอีกอย่างว่าค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานสัมพัทธ์ ค่าสัมประสิทธิ์ของการแปรผันคำนวณเป็นอัตราส่วนของค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ ต่อค่าเฉลี่ย μ หรือ \$(C_v=\frac{σ}{μ})\$

เครื่องคำนวณนี้จะค้นหาค่าความแปรปรวนของชุดข้อมูลที่กำหนดและแสดงขั้นตอนที่เกี่ยวข้องกับการคำนวณ

กฎการใช้เครื่องคำนวณนี้

เครื่องคำนวณค่าความแปรปรวนยอมรับอินพุตเป็นรายการตัวเลขที่คั่นด้วยตัวคั่น ตัวอย่างอินพุตที่เป็นไปได้จะแสดงอยู่ในตารางด้านล่าง

แถว ข้อมูล	คอลัมน์ ข้อมูล	คอลัมน์ ข้อมูล	คอลัมน์ ข้อมูล
44, 63, 72, 75, 80, 86, 87, 89	44	44,	44,63,72
44 63 72 75 80 86 87 89	63	63,	75,80
44,, 63,, 72, 75, 80, 86, 87, 89	72	72,	86,87
44 63 72 75, 80, 86, 87, 89	75	75,	89
44; 63; 72, 75,, 80, 86, 87, 89	80	80,
44,,, 63,, 72, 75, 80, 86, 87, 89	86	86,
44 63,, 72,,,, 75, 80, 86, 87, 89	87	87,
	89	89,

ตัวเลขสามารถคั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาค ช่องว่าง การขึ้นบรรทัดใหม่ หรือใช้ตัวคั่นมากกว่าหนึ่งประเภทผสมกัน คุณสามารถใช้รูปแบบแถวหรือคอลัมน์ก็ได้ สำหรับรูปแบบทั้งหมดที่แสดงในตารางด้านบน เครื่องคิดเลขจะประมวลผลอินพุตเป็น 44, 63, 72, 75, 80, 86, 87 และ 89

เมื่อป้อนข้อมูลแล้ว คุณสามารถเลือกได้ว่าเป็นข้อมูลตัวอย่างหรือข้อมูลประชากร เมื่อคุณกดปุ่มคำนวณ เครื่องคำนวณจะแสดงพารามิเตอร์ทางสถิติ 5 รายการของชุดข้อมูล ได้แก่ การนับ (จำนวนการสังเกต) ค่าเฉลี่ย ผลรวมของค่าเบี่ยงเบนกำลังสอง ค่าความแปรปรวน และค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน

เครื่องคำนวณได้รับการออกแบบมาเพื่อคำนวณค่าความแปรปรวนของชุดข้อมูล นอกจากนี้ยังให้ข้อมูลเชิงลึกเกี่ยวกับทฤษฎีเบื้องหลังการคำนวณและแสดงขั้นตอนทั้งหมดที่เกี่ยวข้อง

เมื่อทำการอนุมาน ขอแนะนำให้ใช้ชุดข้อมูลขนาดใหญ่เพื่อให้ได้สถิติที่ดี แต่มักจะเป็นเรื่องยากที่จะได้รับข้อมูลประชากรที่แสดงถึงการสังเกตที่เป็นไปได้ทั้งหมด ดังนั้นตามกฎแล้ว "ตัวอย่าง" จึงถูกพรากไปจากประชากร และข้อสรุปเกี่ยวกับประชากรมักจะมาจากข้อมูลตัวอย่าง

ค่าความแปรปรวนจะวัดการกระจายตัวโดยเฉลี่ยของชุดข้อมูลโดยสัมพันธ์กับค่าเฉลี่ย มักเขียนแทนด้วย σ² สำหรับประชากร และ s² สำหรับตัวอย่าง ค่า σ² หรือ s² ที่มากขึ้นหมายถึงการกระจายตัวของจุดข้อมูลที่มากขึ้นจากค่าเฉลี่ยตัวอย่างและในทางกลับกัน

พิจารณาชุดข้อมูลตัวอย่างต่อไปนี้

(ชุด I) 11, 3, 5, 21, 10, 15, 20, 25, 13, 26, 27,

(ชุด II) 12, 14, 14, 15, 15, 16, 16, 17, 18, 19, 20

การกรอก ชุด I เข้ากับเครื่องคำนวณค่าความแปรปรวนจะได้ผลลัพธ์:

n=11

x̄=16

SS=704

s²=70.4

s=8.39

สำหรับตัวอย่าง และ

n=11

μ=16

SS=704

σ²=64

σ=8

สำหรับประชากร

ในทำนองเดียวกัน การกรอก ชุด II เข้ากับเครื่องคำนวณจะได้ผลลัพธ์:

n=11

x̄=16

SS=56

s²=5.6

s=2.36

สำหรับตัวอย่าง และ

n=11

μ=16

SS=56

σ²=5.09

σ=2.25

สำหรับประชากร

• ในชุด I ตัวเลขเบี่ยงเบนไปจากค่าเฉลี่ยตัวอย่างอย่างมีนัยสำคัญ

s²=70.4

σ²=64

• ในชุด II ความแปรปรวนมีน้อย

s²=5.6

σ²=5.09

สูตรสำหรับค่าความแปรปรวน: ค่าความแปรปรวนประชากรเทียบกับค่าความแปรปรวนตัวอย่าง

ค่าความแปรปรวนประชากร

ประชากรในสถิติหมายถึงการสังเกตที่เป็นไปได้ทั้งหมดในการทดลอง สำหรับการสังเกต N ค่าความแปรปรวนของประชากรคือ:

$$\sigma^2=\frac{\sum_{i}^{N}{{(x_i-\ \mu)}^2\ }}{N}$$

ที่ซึ่ง

• σ² คือค่าความแปรปรวนของประชากร
• Σ คือผลรวม
• xᵢ คือแต่ละข้อสังเกต
• μ คือค่าเฉลี่ยประชากร
• n คือจำนวนการสังเกตในประชากร

ค่าความแปรปรวนตัวอย่าง

ค่าความแปรปรวนตัวอย่างถูกกำหนดเป็น

$$s^2=\frac{\sum_{i}^{n}{{(x_i-\ \bar{x})}^2\ }}{n-1}$$

ที่ซึ่ง

• s² คือค่าความแปรปรวนตัวอย่าง
• Σ คือผลรวม
• xᵢ คือแต่ละข้อสังเกต
• x̄ คือค่าเฉลี่ยตัวอย่าง
• n คือจำนวนการสังเกตในกลุ่มตัวอย่าง

ขั้นตอนในการคำนวณค่าความแปรปรวน

ขั้นตอนต่อไปนี้เกี่ยวข้องกับการคำนวณผลต่าง

ขั้นตอนที่ 1: คำนวณตัวอย่าง/ค่าเฉลี่ยประชากร นี่คือผลรวมของจุดข้อมูลทั้งหมดหารด้วยจำนวนจุดข้อมูล (n สำหรับตัวอย่างและ N สำหรับประชากร) เช่น

ค่าเฉลี่ยตัวอย่าง:

$$\bar{x}=\frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$$

ค่าเฉลี่ยประชากร:

$$\mu=\frac{\sum_{i=1}^{N} x_i}{N}$$

ขั้นตอนที่ 2: คำนวณค่าเบี่ยงเบนโดยการลบค่าเฉลี่ยตัวอย่าง/ประชากรออกจากจุดข้อมูลแต่ละจุด เช่น

ค่าเฉลี่ยตัวอย่าง:

$$(x_1-\bar{x}), (x_2-\bar{x}), (x_3-\bar{x}), \ldots, (x_n-\bar{x})$$

ค่าเฉลี่ยประชากร:

$$(x_1-\mu), (x_2-\mu), (x_3-\mu), \ldots, (x_N-\mu)$$

ขั้นตอนที่ 3: คำนวณค่าเบี่ยงเบนกำลังสองสำหรับจุดข้อมูลแต่ละจุด

ตัวอย่างค่าเบี่ยงเบนกำลังสอง:

$$(x_1-\bar{x})^2, (x_2-\bar{x})^2, (x_3-\bar{x})^2, \ldots, (x_n-\bar{x})^2$$

ส่วนเบี่ยงเบนกำลังสองของประชากร:

$$(x_1-\mu)^2, (x_2-\mu)^2, (x_3-\mu)^2, \ldots, (x_N-\mu)^2$$

ขั้นตอนที่ 4: คำนวณผลรวมของค่าเบี่ยงเบนกำลังสอง

ผลรวมตัวอย่างของค่าเบี่ยงเบนกำลังสอง:

$$SS=\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2$$

ผลรวมประชากรของค่าเบี่ยงเบนกำลังสอง:

$$SS=\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^2$$

ขั้นตอนที่ 5: หารผลรวมของค่าเบี่ยงเบนกำลังสองด้วย n-1 สำหรับตัวอย่าง และ N สำหรับประชากรที่จะคำนวณค่าความแปรปรวน

ค่าความแปรปรวนตัวอย่าง:

$$s^2=\frac{SS}{n-1}$$

ค่าความแปรปรวนของประชากร:

$$\sigma^2=\frac{SS}{N}$$

ตัวอย่างการคำนวณค่าความแปรปรวนสำหรับตัวอย่าง

ให้เราพิจารณาชุดข้อมูลต่อไปนี้: 1, 2, 4, 5, 6 และ 12 ในการคำนวณค่าความแปรปรวนตัวอย่าง ให้ทำตามขั้นตอนเหล่านี้:

ขั้นตอนที่ 1: คำนวณค่าเฉลี่ยตัวอย่าง (ค่าเฉลี่ย)

$$\bar{x}=\frac{1+2+4+5+6+12}{6}=\frac{30}{6}=5$$

ขั้นตอนที่ 2: คำนวณค่าเบี่ยงเบนจากค่าเฉลี่ยของจุดข้อมูลแต่ละจุด

x₁-x̄	x₂-x̄	x₃-x̄	x₄-x̄	x₅-x̄	x₆-x̄
1 - 5	2 - 5	4 - 5	5 - 5	6 - 5	12 - 5
-4	-3	-1	0	1	7

ขั้นตอนที่ 3: คำนวณกำลังสองของค่าเบี่ยงเบน

(x₁-x̄)²	(x₂-x̄)²	(x₃-x̄)²	(x₄-x̄)²	(x₅-x̄)²	(x₆-x̄)²
16	9	1	0	1	49

ขั้นตอนที่ 4: รวมค่าเบี่ยงเบนกำลังสอง.

$$SS=\sum_{i=1}^{n}{(x_i-\bar{x})}^2=16+9+1+0+1+49=76$$

ขั้นตอนที่ 5: คำนวณค่าความแปรปรวนตัวอย่างโดยการหารผลรวมของค่าเบี่ยงเบนกำลังสองด้วยดีกรีอิสระ (n-1)

$$s^2=\frac{SS}{n-1}=\frac{76}{6-1}=\frac{76}{5}=15.2$$

สำหรับประชากร เราจะหารด้วย n (จำนวนจุดข้อมูลทั้งหมด) แทนที่จะหารด้วย n-1 เพื่อคำนวณค่าความแปรปรวนของประชากร

ความสำคัญของค่าความแปรปรวน

การกระจายตัวถูกใช้ในการลงทุน ช่วยให้ผู้จัดการสินทรัพย์ปรับปรุงประสิทธิภาพการลงทุนของตน นักวิเคราะห์ทางการเงินสามารถใช้ค่าความแปรปรวนในการประเมินประสิทธิภาพแต่ละส่วนของพอร์ตการลงทุนได้

นักลงทุนจะคำนวณผลต่างเมื่อพิจารณาการซื้อใหม่เพื่อตัดสินใจว่าการลงทุนนั้นคุ้มค่ากับความเสี่ยงหรือไม่ การกระจายตัวช่วยให้นักวิเคราะห์ระบุการวัดความไม่แน่นอนได้ ซึ่งเป็นเรื่องยากที่จะหาปริมาณโดยไม่มีค่าความแปรปรวนและค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ความไม่แน่นอนไม่สามารถวัดได้โดยตรง แต่ค่าความแปรปรวนและค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน (รากที่สองของค่าความแปรปรวน) ช่วยกำหนดผลกระทบที่รับรู้ของหุ้นตัวใดตัวหนึ่งในพอร์ตโฟลิโอ

นักวิทยาศาสตร์ นักสถิติ นักคณิตศาสตร์ และนักวิเคราะห์ข้อมูลก็สามารถใช้ค่าความแปรปรวนได้เช่นกัน ช่วยให้ข้อมูลที่เป็นประโยชน์เกี่ยวกับการทดลองหรือประชากรตัวอย่าง

นักวิทยาศาสตร์สามารถมองหาความแตกต่างระหว่างกลุ่มทดสอบเพื่อดูว่ามีความคล้ายคลึงกันเพียงพอที่จะทดสอบสมมติฐานได้สำเร็จหรือไม่ ยิ่งค่าความแปรปรวนของชุดข้อมูลสูง ค่าในชุดข้อมูลก็จะยิ่งกระจัดกระจายมากขึ้น นักวิจัยข้อมูลสามารถใช้ข้อมูลนี้เพื่อดูว่าค่าเฉลี่ยแสดงถึงชุดข้อมูลได้ดีเพียงใด

ข้อเสียของการใช้ค่าความแปรปรวนคือค่าสุดโต่งที่มีขนาดใหญ่ในชุดอาจทำให้ข้อมูลบิดเบือนได้ เนื่องจากค่าสุดโต่งสามารถเพิ่มน้ำหนักได้อีกเมื่อยกกำลังสองแล้ว

นักวิจัยหลายคนชอบใช้ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน ซึ่งคำนวณเป็นค่ารากที่สองของค่าความแปรปรวน ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานจะได้รับผลกระทบจากค่าสุดโต่งน้อยกว่า มีค่าน้อยกว่า และตีความได้ง่ายกว่า