เครื่องคำนวณค่าความแปรปรวน

ค่าความแปรปรวนเป็นการวัดความแปรปรวน

ลักษณะพื้นฐานประการหนึ่งของการอนุมานทางสถิติของชุดข้อมูลที่กำหนดคือการวัดหน่วยเมตริกที่แสดงลักษณะความแปรปรวนของข้อมูลจากค่าเฉลี่ย ตัวชี้วัดที่ได้รับความนิยมมากที่สุดในการวัดความแปรปรวนคือ:

• ค่าความแปรปรวนคือค่าเฉลี่ยของค่าเบี่ยงเบนกำลังสองจากค่าเฉลี่ย
• ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน - คือรากที่สองของค่าความแปรปรวน ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็นหน่วยวัดที่ใช้กันทั่วไปในการวัดการกระจายตัว/ความแปรปรวน
• ค่าสัมประสิทธิ์ของการแปรผัน ซึ่งเรียกอีกอย่างว่าค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานสัมพัทธ์ ค่าสัมประสิทธิ์ของการแปรผันคำนวณเป็นอัตราส่วนของค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ ต่อค่าเฉลี่ย μ หรือ \$(C_v=\frac{σ}{μ})\$

เครื่องคำนวณนี้จะค้นหาค่าความแปรปรวนของชุดข้อมูลที่กำหนดและแสดงขั้นตอนที่เกี่ยวข้องกับการคำนวณ

กฎการใช้เครื่องคำนวณนี้

เครื่องคำนวณค่าความแปรปรวนยอมรับอินพุตเป็นรายการตัวเลขที่คั่นด้วยตัวคั่น ตัวอย่างอินพุตที่เป็นไปได้จะแสดงอยู่ในตารางด้านล่าง

ตัวเลขสามารถคั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาค ช่องว่าง การขึ้นบรรทัดใหม่ หรือใช้ตัวคั่นมากกว่าหนึ่งประเภทผสมกัน คุณสามารถใช้รูปแบบแถวหรือคอลัมน์ก็ได้ สำหรับรูปแบบทั้งหมดที่แสดงในตารางด้านบน เครื่องคิดเลขจะประมวลผลอินพุตเป็น 44, 63, 72, 75, 80, 86, 87 และ 89

เมื่อป้อนข้อมูลแล้ว คุณสามารถเลือกได้ว่าเป็นข้อมูลตัวอย่างหรือข้อมูลประชากร เมื่อคุณกดปุ่มคำนวณ เครื่องคำนวณจะแสดงพารามิเตอร์ทางสถิติ 5 รายการของชุดข้อมูล ได้แก่ การนับ (จำนวนการสังเกต) ค่าเฉลี่ย ผลรวมของค่าเบี่ยงเบนกำลังสอง ค่าความแปรปรวน และค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน

เครื่องคำนวณได้รับการออกแบบมาเพื่อคำนวณค่าความแปรปรวนของชุดข้อมูล นอกจากนี้ยังให้ข้อมูลเชิงลึกเกี่ยวกับทฤษฎีเบื้องหลังการคำนวณและแสดงขั้นตอนทั้งหมดที่เกี่ยวข้อง

เมื่อทำการอนุมาน ขอแนะนำให้ใช้ชุดข้อมูลขนาดใหญ่เพื่อให้ได้สถิติที่ดี แต่มักจะเป็นเรื่องยากที่จะได้รับข้อมูลประชากรที่แสดงถึงการสังเกตที่เป็นไปได้ทั้งหมด ดังนั้นตามกฎแล้ว "ตัวอย่าง" จึงถูกพรากไปจากประชากร และข้อสรุปเกี่ยวกับประชากรมักจะมาจากข้อมูลตัวอย่าง

ค่าความแปรปรวนจะวัดการกระจายตัวโดยเฉลี่ยของชุดข้อมูลโดยสัมพันธ์กับค่าเฉลี่ย มักเขียนแทนด้วย σ² สำหรับประชากร และ s² สำหรับตัวอย่าง ค่า σ² หรือ s² ที่มากขึ้นหมายถึงการกระจายตัวของจุดข้อมูลที่มากขึ้นจากค่าเฉลี่ยตัวอย่างและในทางกลับกัน

พิจารณาชุดข้อมูลตัวอย่างต่อไปนี้

(ชุด I) 11, 3, 5, 21, 10, 15, 20, 25, 13, 26, 27,

(ชุด II) 12, 14, 14, 15, 15, 16, 16, 17, 18, 19, 20

การกรอก ชุด I เข้ากับเครื่องคำนวณค่าความแปรปรวนจะได้ผลลัพธ์:

n=11

x̄=16

SS=704

s²=70.4

s=8.39

สำหรับตัวอย่าง และ

n=11

μ=16

SS=704

σ²=64

σ=8

สำหรับประชากร

ในทำนองเดียวกัน การกรอก ชุด II เข้ากับเครื่องคำนวณจะได้ผลลัพธ์:

n=11

x̄=16

SS=56

s²=5.6

s=2.36

สำหรับตัวอย่าง และ

n=11

μ=16

SS=56

σ²=5.09

σ=2.25

สำหรับประชากร

• ในชุด I ตัวเลขเบี่ยงเบนไปจากค่าเฉลี่ยตัวอย่างอย่างมีนัยสำคัญ

s²=70.4

σ²=64

• ในชุด II ความแปรปรวนมีน้อย

s²=5.6

σ²=5.09

สูตรสำหรับค่าความแปรปรวน: ค่าความแปรปรวนประชากรเทียบกับค่าความแปรปรวนตัวอย่าง

ค่าความแปรปรวนประชากร

ประชากรในสถิติหมายถึงการสังเกตที่เป็นไปได้ทั้งหมดในการทดลอง สำหรับการสังเกต N ค่าความแปรปรวนของประชากรคือ:

$$\sigma^2=\frac{\sum_{i}^{N}{{(x_i-\ \mu)}^2\ }}{N}$$

ที่ซึ่ง

• σ² คือค่าความแปรปรวนของประชากร
• Σ คือผลรวม
• xᵢ คือแต่ละข้อสังเกต
• μ คือค่าเฉลี่ยประชากร
• n คือจำนวนการสังเกตในประชากร

ค่าความแปรปรวนตัวอย่าง

ค่าความแปรปรวนตัวอย่างถูกกำหนดเป็น

$$s^2=\frac{\sum_{i}^{n}{{(x_i-\ \bar{x})}^2\ }}{n-1}$$

ที่ซึ่ง

• s² คือค่าความแปรปรวนตัวอย่าง
• Σ คือผลรวม
• xᵢ คือแต่ละข้อสังเกต
• x̄ คือค่าเฉลี่ยตัวอย่าง
• n คือจำนวนการสังเกตในกลุ่มตัวอย่าง

ขั้นตอนในการคำนวณค่าความแปรปรวน

ขั้นตอนต่อไปนี้เกี่ยวข้องกับการคำนวณผลต่าง

ขั้นตอนที่ 1: คำนวณตัวอย่าง/ค่าเฉลี่ยประชากร นี่คือผลรวมของจุดข้อมูลทั้งหมดหารด้วยจำนวนจุดข้อมูล (n สำหรับตัวอย่างและ N สำหรับประชากร) เช่น

ค่าเฉลี่ยตัวอย่าง:

$$\bar{x}=\frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$$

ค่าเฉลี่ยประชากร:

$$\mu=\frac{\sum_{i=1}^{N} x_i}{N}$$

ขั้นตอนที่ 2: คำนวณค่าเบี่ยงเบนโดยการลบค่าเฉลี่ยตัวอย่าง/ประชากรออกจากจุดข้อมูลแต่ละจุด เช่น

ค่าเฉลี่ยตัวอย่าง:

$$(x_1-\bar{x}), (x_2-\bar{x}), (x_3-\bar{x}), \ldots, (x_n-\bar{x})$$

ค่าเฉลี่ยประชากร:

$$(x_1-\mu), (x_2-\mu), (x_3-\mu), \ldots, (x_N-\mu)$$

ขั้นตอนที่ 3: คำนวณค่าเบี่ยงเบนกำลังสองสำหรับจุดข้อมูลแต่ละจุด

ตัวอย่างค่าเบี่ยงเบนกำลังสอง:

$$(x_1-\bar{x})^2, (x_2-\bar{x})^2, (x_3-\bar{x})^2, \ldots, (x_n-\bar{x})^2$$

ส่วนเบี่ยงเบนกำลังสองของประชากร:

$$(x_1-\mu)^2, (x_2-\mu)^2, (x_3-\mu)^2, \ldots, (x_N-\mu)^2$$

ขั้นตอนที่ 4: คำนวณผลรวมของค่าเบี่ยงเบนกำลังสอง

ผลรวมตัวอย่างของค่าเบี่ยงเบนกำลังสอง:

$$SS=\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2$$

ผลรวมประชากรของค่าเบี่ยงเบนกำลังสอง:

$$SS=\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^2$$

ขั้นตอนที่ 5: หารผลรวมของค่าเบี่ยงเบนกำลังสองด้วย n-1 สำหรับตัวอย่าง และ N สำหรับประชากรที่จะคำนวณค่าความแปรปรวน

ค่าความแปรปรวนตัวอย่าง:

$$s^2=\frac{SS}{n-1}$$

ค่าความแปรปรวนของประชากร:

$$\sigma^2=\frac{SS}{N}$$

ตัวอย่างการคำนวณค่าความแปรปรวนสำหรับตัวอย่าง

ให้เราพิจารณาชุดข้อมูลต่อไปนี้: 1, 2, 4, 5, 6 และ 12 ในการคำนวณค่าความแปรปรวนตัวอย่าง ให้ทำตามขั้นตอนเหล่านี้:

ขั้นตอนที่ 1: คำนวณค่าเฉลี่ยตัวอย่าง (ค่าเฉลี่ย)

$$\bar{x}=\frac{1+2+4+5+6+12}{6}=\frac{30}{6}=5$$

ขั้นตอนที่ 2: คำนวณค่าเบี่ยงเบนจากค่าเฉลี่ยของจุดข้อมูลแต่ละจุด

ขั้นตอนที่ 3: คำนวณกำลังสองของค่าเบี่ยงเบน

ขั้นตอนที่ 4: รวมค่าเบี่ยงเบนกำลังสอง.

$$SS=\sum_{i=1}^{n}{(x_i-\bar{x})}^2=16+9+1+0+1+49=76$$

ขั้นตอนที่ 5: คำนวณค่าความแปรปรวนตัวอย่างโดยการหารผลรวมของค่าเบี่ยงเบนกำลังสองด้วยดีกรีอิสระ (n-1)

$$s^2=\frac{SS}{n-1}=\frac{76}{6-1}=\frac{76}{5}=15.2$$

สำหรับประชากร เราจะหารด้วย n (จำนวนจุดข้อมูลทั้งหมด) แทนที่จะหารด้วย n-1 เพื่อคำนวณค่าความแปรปรวนของประชากร

ความสำคัญของค่าความแปรปรวน

การกระจายตัวถูกใช้ในการลงทุน ช่วยให้ผู้จัดการสินทรัพย์ปรับปรุงประสิทธิภาพการลงทุนของตน นักวิเคราะห์ทางการเงินสามารถใช้ค่าความแปรปรวนในการประเมินประสิทธิภาพแต่ละส่วนของพอร์ตการลงทุนได้

นักลงทุนจะคำนวณผลต่างเมื่อพิจารณาการซื้อใหม่เพื่อตัดสินใจว่าการลงทุนนั้นคุ้มค่ากับความเสี่ยงหรือไม่ การกระจายตัวช่วยให้นักวิเคราะห์ระบุการวัดความไม่แน่นอนได้ ซึ่งเป็นเรื่องยากที่จะหาปริมาณโดยไม่มีค่าความแปรปรวนและค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ความไม่แน่นอนไม่สามารถวัดได้โดยตรง แต่ค่าความแปรปรวนและค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน (รากที่สองของค่าความแปรปรวน) ช่วยกำหนดผลกระทบที่รับรู้ของหุ้นตัวใดตัวหนึ่งในพอร์ตโฟลิโอ

นักวิทยาศาสตร์ นักสถิติ นักคณิตศาสตร์ และนักวิเคราะห์ข้อมูลก็สามารถใช้ค่าความแปรปรวนได้เช่นกัน ช่วยให้ข้อมูลที่เป็นประโยชน์เกี่ยวกับการทดลองหรือประชากรตัวอย่าง

นักวิทยาศาสตร์สามารถมองหาความแตกต่างระหว่างกลุ่มทดสอบเพื่อดูว่ามีความคล้ายคลึงกันเพียงพอที่จะทดสอบสมมติฐานได้สำเร็จหรือไม่ ยิ่งค่าความแปรปรวนของชุดข้อมูลสูง ค่าในชุดข้อมูลก็จะยิ่งกระจัดกระจายมากขึ้น นักวิจัยข้อมูลสามารถใช้ข้อมูลนี้เพื่อดูว่าค่าเฉลี่ยแสดงถึงชุดข้อมูลได้ดีเพียงใด

ข้อเสียของการใช้ค่าความแปรปรวนคือค่าสุดโต่งที่มีขนาดใหญ่ในชุดอาจทำให้ข้อมูลบิดเบือนได้ เนื่องจากค่าสุดโต่งสามารถเพิ่มน้ำหนักได้อีกเมื่อยกกำลังสองแล้ว

นักวิจัยหลายคนชอบใช้ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน ซึ่งคำนวณเป็นค่ารากที่สองของค่าความแปรปรวน ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานจะได้รับผลกระทบจากค่าสุดโต่งน้อยกว่า มีค่าน้อยกว่า และตีความได้ง่ายกว่า