Kalkuleytor ng Pythagorean Theorem

Ang Pythagorean theorem calculator na ito ay madaling hinahanap ang haba ng anumang nawawalang side ng isang right triangle kapag alam ang dalawa pang side. Ang lahat ng mga kalkulasyon ay pinapagana ng pangunahing Pythagorean theorem.

Mga Tagubilin sa Paggamit

Ipasok ang mga alam na haba ng side at i-click ang "Calculate". Ang aming right triangle calculator ay agad na ibibigay ang mga sumusunod na value:

• Haba ng ikatlong side.
• Mga value ng angle para sa mga hindi 90° na angle sa degrees at radians.
• Area ng triangle.
• Perimeter ng triangle.
• Haba ng altitude na perpendicular sa hypotenuse.

Magbibigay rin ang calculator ng detalyado at sunud-sunod na solusyon, na maaari mong palawakin sa pamamagitan ng pag-click sa "+ Show Calculation Steps".

Para sa iyong kaginhawahan, ang mga input field para sa bawat side ay may kasamang whole number component at square root component, na nagpapahintulot sa iyo na madaling ilagay ang mga eksaktong value tulad ng 2√3, √3, at iba pa.

Mangyaring tandaan na ang mga haba ng mga leg ng triangle (a at b) ay dapat na mas maikli kaysa sa haba ng hypotenuse (c).

Pythagorean Theorem

Sinasabi ng Pythagorean theorem na sa isang right-angled triangle, ang square ng hypotenuse (ang pinakamahabang side) ay katumbas ng kabuuan (sum) ng mga square ng dalawa pang side (ang mga leg o catheti).

Ang Pythagorean equation ay maaaring isulat bilang sumusunod:

a² + b² = c²,

Kung saan ang a at b ay kumakatawan sa mga haba ng mas maiikling side, o mga leg, ng isang right triangle, at ang c ay ang haba ng pinakamahabang side, o hypotenuse. Sa mga salita, ang equation sa itaas ay karaniwang binabasa bilang: a squared plus b squared equals c squared.

Katibayan ng Pythagorean theorem

Maaari nating patunayan ang Pythagorean theorem sa pamamagitan ng paghahambing sa mga area ng mga partikular na geometric shape.

Sa diagram sa itaas, ang isang malaking square na may haba ng side na (a + b) ay naglalaman ng isang mas maliit na inner square na may haba ng side na c, na napapalibutan ng apat na magkakaparehong right triangle na may mga side na a, b, at c. Hanapin natin ang kabuuang area ng malaking square na ito gamit ang dalawang magkaibang pamamaraan:

1. Ang surface area ng mas malaking square na may haba ng side na (a + b) ay maaaring makalkula bilang (a + b)²:

A = (a + b)²

2. Bilang alternatibo, ang parehong kabuuang surface area ay matatagpuan sa pamamagitan ng pagdaragdag sa mga surface area ng mga panloob na hugis—ang area ng inner square na may side c, at ang mga area ng apat na right triangle na may mga side na a, b, at c. Ang area ng inner square ay kinakalkula bilang c². Ang area ng bawat right triangle ay kinakalkula bilang (ab)/2. Samakatuwid,

A = c² + 4 × (ab)/2 = c² + 2ab

Dahil ang dalawang kalkulasyong ito ay naglalarawan ng eksaktong iisang kabuuang surface area, maaari natin silang pagkapantayin (equate):

(a + b)² = c² + 2ab

Ang pag-expand sa binomial square sa kaliwang bahagi ng equation ay magbibigay ng:

a² + 2ab + b² = c² + 2ab

Ang pagbabawas ng 2ab mula sa magkabilang panig ng equation ay magbibigay sa atin ng:

a² + b² = c²

na matematikal na nagpapatunay sa Pythagorean theorem.

Mga algorithm sa pagkalkula

Paghahanap sa mga side ng isang right triangle

Kung ang dalawang side ng isang right triangle ay alam na, ang nawawalang ikatlong side ay madaling mahanap gamit ang Pythagorean theorem. Halimbawa, kung ang mga side na a at b ay ibinigay na, ang haba ng hypotenuse na c ay maaaring makalkula bilang sumusunod:

$$c=\sqrt{a²+b²}$$

Katulad nito, para mahanap ang nawawalang leg:

$$a=\sqrt{c²-b²}$$

at

$$b=\sqrt{c²-a²}$$

Paghahanap sa mga angle ng isang right triangle

Kung ang tatlong side ng right triangle ay alam na, ang mga hindi 90° na angle ng triangle ay maaaring makalkula bilang sumusunod:

• ∠α = arcsin(a/c) o ∠α = arccos(b/c)
• ∠β = arcsin(b/c) o ∠β = arccos(a/c)

Dito, ang ∠α ay kumakatawan sa angle na katapat ng leg 'a', ang ∠β ay ang angle na katapat ng leg 'b', at ang 'c' ay ang hypotenuse. Ang pagpili sa pagitan ng paggamit ng arcsin (inverse sine) at arccos (inverse cosine) ay depende kung aling leg ang iyong tinutukoy kaugnay sa angle. Ang arcsin function ay gumagamit ng leg na katapat (opposite) ng angle, habang ang arccos function ay gumagamit ng katabing (adjacent) leg. Ang parehong trigonometric approach na ito ay wasto at magbibigay ng tumpak na sukat ng angle para sa anumang right triangle.

Area ng isang right triangle

Ang area ng isang right triangle ay kinakalkula bilang kalahati ng product ng dalawang leg nito:

A = 1/2 × (ab) = (ab)/2

Perimeter ng isang right triangle

Ang perimeter ng isang right triangle ay simpleng ang kabuuang sum ng lahat ng haba ng side nito:

P = a + b + c

Altitude sa hypotenuse

Kapag ang tatlong side ng isang right triangle ay alam na, ang altitude sa hypotenuse (h) ay maaaring mahanap gamit ang formula na ito:

h = (a × b)/c

Mga halimbawa sa totoong buhay

Ang Pythagorean theorem ay malawakang ginagamit sa arkitektura, engineering, at konstruksiyon upang makalkula ang eksaktong haba ng mga kinakailangang bahagi at upang matiyak na ang mga estruktura ay nagpapanatili ng perpektong tuwid, at right-angled na mga kanto. Tignan natin ang isang praktikal na halimbawa sa totoong mundo ng paglalapat ng matematikal na theorem na ito.

Pagkakasya ng mga bagay

Isipin na ikaw ay lumilipat ng bahay, at umarkila ka ng moving truck na may haba na 4 na metro at taas na 3 metro. Wala kang masyadong malalaking gamit, ngunit mayroon kang hagdan na 4.5 metro ang haba. Magkakasya ba ang iyong hagdan sa loob ng trak?

Solusyon

Dahil ang haba ng hagdan (4.5 metro) ay lumalampas sa haba ng trak (4 na metro), ang tanging paraan para magkasya ito sa loob ay nang pahilis (diagonally). Upang matukoy kung matematikal itong posible, kailangan nating gamitin ang Pythagorean theorem upang makalkula ang hypotenuse ng isang triangle kung saan ang mga side ay katumbas ng haba at taas ng trak. Samakatuwid, sa ating sitwasyon a = 4, b = 3, at kailangan nating hanapin ang hypotenuse na c:

$$c=\sqrt{a²+b²}=\sqrt{4²+3²}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$$

Ang hypotenuse ng isang right triangle na may mga leg na a = 4 at b = 3 ay c = 5. Ibig sabihin nito, ang pinakamahabang matigas na bagay (rigid object) na maaaring magkasya nang pahilis sa loob ng trak ay eksaktong 5 metro. Dahil ang iyong hagdan ay may haba na 4.5 metro, madali itong magkakasya!

Sagot

Oo, magkakasya ang hagdan.

Mga karagdagang kalkulasyon

Ang aming online hypotenuse calculator ay kumakalkula din ng ilang karagdagang katangian ng geometry (geometric characteristics) ng ibinigay na right triangle. Tingnan natin ang mga pinawak na resulta para sa ating moving truck triangle na may mga side na a = 4, b = 3, at hypotenuse c = 5.

Area ng triangle:

A = (ab)/2 = (3 × 4)/2 = 12/2 = 6

Perimeter ng triangle:

P = a + b + c = 3 + 4 + 5 = 12

Altitude sa hypotenuse:

h = (a × b)/c = (3 × 4)/5 = 12/5 = 2.4

Angle na katapat ng side a:

∠α = arcsin(a/c) = arcsin(4/5) = arcsin(0.8) = 53.13° = 53°7'48" = 0.9273 rad

Angle na katapat ng side b:

∠β = arcsin(b/c) = arcsin(3/5) =arcsin(0.6) = 36.87° = 36°52'12" = 0.6435 rad