Калькулятор дисперсії

Дисперсія як міра мінливості

При аналізі будь-якого набору даних фундаментальним етапом статистичного дослідження є визначення того, наскільки сильно значення відхиляються від свого середнього. Найпопулярнішими показниками для вимірювання цієї мінливості (варіативності) є:

• Дисперсія — це середнє арифметичне квадратів відхилень від середнього значення.
• Стандартне відхилення (або середньоквадратичне відхилення) — це квадратний корінь із дисперсії. Стандартне відхилення є загальноприйнятою метрикою для оцінки розкиду даних та загальної мінливості.
• Коефіцієнт варіації, також відомий як відносне стандартне відхилення. Коефіцієнт варіації обчислюється як відношення стандартного відхилення σ до середнього значення μ, тобто \$(C_v=\frac{σ}{μ})\$.

Наш безкоштовний онлайн-калькулятор дисперсії миттєво знаходить дисперсію для заданого набору даних, а також надає детальний покроковий опис усього процесу обчислення.

Як користуватися онлайн-калькулятором дисперсії

Калькулятор дисперсії приймає на вхід список чисел, розділених будь-яким зручним роздільником. Кілька прикладів підтримуваного форматування наведено в таблиці нижче:

Для розділення чисел ви можете використовувати кому, пробіл, розрив рядка або комбінацію цих роздільників. Інструмент підтримує як рядковий, так і стовпцевий формат вводу. Для всіх варіантів форматування, наведених у таблиці вище, калькулятор коректно обробить вхідні дані як масив: 44, 63, 72, 75, 80, 86, 87 та 89.

Після введення даних вкажіть, що саме вони представляють: вибірку чи генеральну сукупність. Натиснувши кнопку обчислення, ви отримаєте п'ять ключових статистичних параметрів: кількість (обсяг спостережень), середнє значення, суму квадратів відхилень, дисперсію та стандартне відхилення.

Цей калькулятор розроблений не лише для швидкого розрахунку дисперсії онлайн, але й для того, щоб допомогти вам краще зрозуміти базову статистичну теорію. Інструмент наочно демонструє всі етапи математичних розрахунків.

Для отримання максимально достовірних статистичних висновків завжди рекомендується використовувати великі масиви даних. Проте на практиці часто буває складно або неможливо зібрати дані генеральної сукупності, що охоплюють абсолютно всі можливі спостереження. Тому статистики зазвичай формують репрезентативну "вибірку" з генеральної сукупності, що дозволяє робити точні висновки про всю сукупність виключно на основі вибіркових даних.

Дисперсія вимірює середній ступінь розкиду набору даних відносно його середнього значення. Традиційно її позначають як σ² для генеральної сукупності та s² для вибірки. Більше значення σ² або s² вказує на значний розкид точок даних відносно середнього, тоді як менше значення свідчить про те, що дані згруповані щільно навколо середнього показника.

Розглянемо для прикладу два набори даних:

(Набір I) 11, 3, 5, 21, 10, 15, 20, 25, 13, 26, 27

(Набір II) 12, 14, 14, 15, 15, 16, 16, 17, 18, 19, 20

Ввівши Набір I у калькулятор дисперсії, отримаємо:

n=11

x̄=16

SS=704

s²=70.4

s=8.39

для вибірки, та

n=11

μ=16

SS=704

σ²=64

σ=8

для генеральної сукупності.

Аналогічно, виконавши розрахунок для Набору II, отримаємо:

n=11

x̄=16

SS=56

s²=5.6

s=2.36

для вибірки, та

n=11

μ=16

SS=56

σ²=5.09

σ=2.25

для генеральної сукупності.

• У Наборі I числа значно відхиляються від вибіркового середнього, що призводить до високої дисперсії:

s²=70.4

σ²=64

• У Наборі II загальна мінливість набагато менша, дані згруповані щільніше:

s²=5.6

σ²=5.09

Формула дисперсії: дисперсія генеральної сукупності та дисперсія вибірки

Дисперсія генеральної сукупності

У статистиці генеральна сукупність включає всі можливі об'єкти чи спостереження в межах певного дослідження. Для N спостережень формула дисперсії генеральної сукупності має такий вигляд:

$$\sigma^2=\frac{\sum_{i}^{N}{{(x_i-\ \mu)}^2\ }}{N}$$

де:

• σ² — дисперсія генеральної сукупності,
• Σ — символ суми (сума всіх значень),
• xᵢ — кожне окреме значення (спостереження),
• μ — середнє значення генеральної сукупності,
• N — загальна кількість спостережень у генеральній сукупності.

Дисперсія вибірки

Дисперсія вибірки розраховується за такою формулою:

$$s^2=\frac{\sum_{i}^{n}{{(x_i-\ \bar{x})}^2\ }}{n-1}$$

де:

• s² — дисперсія вибірки,
• Σ — символ суми,
• xᵢ — кожне окреме значення (спостереження),
• x̄ — вибіркове середнє (середнє значення вибірки),
• n — загальна кількість спостережень у вибірці.

Кроки для обчислення дисперсії

Щоб розрахувати дисперсію вручну, необхідно виконати кілька стандартних кроків:

Крок 1: Обчисліть середнє значення вибірки або генеральної сукупності. Для цього знайдіть суму всіх значень і поділіть її на їх загальну кількість (n для вибірки та N для генеральної сукупності), тобто:

Вибіркове середнє:

$$\bar{x}=\frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$$

Середнє генеральної сукупності:

$$\mu=\frac{\sum_{i=1}^{N} x_i}{N}$$

Крок 2: Знайдіть індивідуальні відхилення. Для цього відніміть середнє значення вибірки або генеральної сукупності від кожного окремого числа в наборі даних:

Відхилення вибірки:

$$(x_1-\bar{x}), (x_2-\bar{x}), (x_3-\bar{x}), \ldots, (x_n-\bar{x})$$

Відхилення генеральної сукупності:

$$(x_1-\mu), (x_2-\mu), (x_3-\mu), \ldots, (x_N-\mu)$$

Крок 3: Піднесіть до квадрата відхилення для кожної точки даних.

Квадрати відхилень вибірки:

$$(x_1-\bar{x})^2, (x_2-\bar{x})^2, (x_3-\bar{x})^2, \ldots, (x_n-\bar{x})^2$$

Квадрати відхилень генеральної сукупності:

$$(x_1-\mu)^2, (x_2-\mu)^2, (x_3-\mu)^2, \ldots, (x_N-\mu)^2$$

Крок 4: Обчисліть суму квадратів відхилень (SS).

Сума квадратів відхилень вибірки:

$$SS=\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2$$

Сума квадратів відхилень генеральної сукупності:

$$SS=\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^2$$

Крок 5: Розділіть суму квадратів відхилень на n-1 (для вибірки) або на N (для генеральної сукупності), щоб отримати остаточне значення дисперсії.

Дисперсія вибірки:

$$s^2=\frac{SS}{n-1}$$

Дисперсія генеральної сукупності:

$$\sigma^2=\frac{SS}{N}$$

Приклад обчислення дисперсії для вибірки

Розглянемо практичний приклад розрахунку дисперсії онлайн або вручну для такого набору даних: 1, 2, 4, 5, 6 та 12. Щоб обчислити дисперсію вибірки, виконаємо такі кроки:

Крок 1: Обчисліть вибіркове середнє.

$$\bar{x}=\frac{1+2+4+5+6+12}{6}=\frac{30}{6}=5$$

Крок 2: Знайдіть відхилення від середнього для кожного числа.

Крок 3: Зведіть отримані відхилення у квадрат.

Крок 4: Просумуйте квадрати відхилень.

$$SS=\sum_{i=1}^{n}{(x_i-\bar{x})}^2=16+9+1+0+1+49=76$$

Крок 5: Знайдіть дисперсію вибірки, розділивши суму квадратів відхилень на кількість ступенів свободи (n-1).

$$s^2=\frac{SS}{n-1}=\frac{76}{6-1}=\frac{76}{5}=15.2$$

Якби ми проводили розрахунок для генеральної сукупності, нам довелося б ділити суму на n (загальну кількість елементів), а не на n-1.

Практичне значення та застосування дисперсії

Дисперсія та мінливість є критично важливими метриками у світі інвестування та фінансів. Вони допомагають управляючим активами оптимізувати ефективність інвестицій та ефективно балансувати портфелі. Фінансові аналітики значною мірою покладаються на розрахунок дисперсії для оцінки індивідуального ризику та аналізу історичної дохідності конкретних активів у межах інвестиційного портфеля.

Плануючи придбання нових активів, інвестори розраховують дисперсію, щоб визначити, чи виправдовує потенційна інвестиція пов'язані з нею ризики. Показники розкиду допомагають аналітикам кількісно оцінити невизначеність на ринку — фактор, який майже неможливо точно виміряти без дисперсії та стандартного відхилення.

Хоча саму по собі невизначеність неможливо побачити, дисперсія та стандартне відхилення (квадратний корінь із дисперсії) дозволяють інвесторам чітко визначити очікувану волатильність і вплив конкретної акції на загальний портфель.

Окрім фінансового сектору, дисперсія є фундаментальним інструментом для науковців, статистиків, математиків та data-аналітиків. Вона забезпечує глибоке математичне розуміння результатів експериментів та характеристик вибірок.

Дослідники часто спираються на дисперсію для виявлення структурних відмінностей між контрольними та тестовими групами, визначаючи, чи достатньо вони схожі для достовірної перевірки гіпотези. Що вища дисперсія, то сильніше розсіяні значення в наборі даних. Аналітики даних використовують цю інформацію, щоб зрозуміти, наскільки точно середнє значення характеризує набір даних загалом.

Проте одним із недоліків дисперсії є її висока чутливість до статистичних викидів (аномальних значень). Оскільки відхилення від середнього математично зводяться до квадрата, екстремальні викиди отримують непропорційно велику вагу, що може суттєво спотворити загальну картину даних.

Саме з цієї причини багато дослідників та фінансових спеціалістів віддають перевагу роботі зі стандартним відхиленням. Оскільки воно обчислюється як квадратний корінь із дисперсії, стандартне відхилення виражається в тих самих одиницях виміру, що й вихідні дані. Воно дає менше, більш інтуїтивно зрозуміле число, яке набагато легше інтерпретувати на практиці, при цьому залишаючись менш вразливим до екстремальних викидів.