Kalkulator Varians

Apabila menganalisis set data, aspek asas inferens statistik adalah untuk mengukur sejauh mana data tersebut berbeza daripada puratanya. Metrik yang paling popular untuk mengukur kebolehubahan ini ialah:

• Varians ialah purata bagi sisihan kuasa dua daripada min.
• Sisihan piawai ialah punca kuasa dua bagi varians. Sisihan piawai ialah metrik yang biasa digunakan untuk mengukur penyebaran dan kebolehubahan keseluruhan.
• Pekali variasi, juga dikenali sebagai sisihan piawai relatif. Pekali variasi dikira sebagai nisbah sisihan piawai σ kepada min μ, atau $C_v=\frac{\sigma}{\mu}$.

Kalkulator varians dalam talian kami mencari varians bagi set data yang diberikan dengan mudah dan menyediakan pecahan langkah demi langkah yang terperinci bagi proses pengiraan tersebut.

Peraturan untuk menggunakan kalkulator ini

Kalkulator varians menerima input sebagai senarai nombor yang dipisahkan oleh pembatas. Beberapa contoh format yang disokong ditunjukkan dalam jadual di bawah:

input baris	input lajur	input lajur	input lajur
44, 63, 72, 75, 80, 86, 87, 89	44	44,	44,63,72
44 63 72 75 80 86 87 89	63	63,	75,80
44,, 63,, 72, 75, 80, 86, 87, 89	72	72,	86,87
44 63 72 75, 80, 86, 87, 89	75	75,	89
44; 63; 72, 75,, 80, 86, 87, 89	80	80,
44,,, 63,, 72, 75, 80, 86, 87, 89	86	86,
44 63,, 72,,,, 75, 80, 86, 87, 89	87	87,
	89	89,

Anda boleh memisahkan nombor menggunakan koma, ruang, pemisah baris, atau gabungan pembatas ini. Anda boleh menggunakan sama ada format baris atau lajur. Untuk semua format data yang ditunjukkan dalam jadual di atas, kalkulator memproses input tersebut dengan tepat sebagai 44, 63, 72, 75, 80, 86, 87, dan 89.

Selepas memasukkan data anda, pilih sama ada ia mewakili sampel atau populasi penuh. Sebaik sahaja anda menekan butang kira, alat ini akan memaparkan lima parameter statistik utama: bilangan (bilangan pemerhatian), min, jumlah sisihan kuasa dua, varians, dan sisihan piawai.

Kalkulator ini direka khusus untuk mengira varians bagi sesuatu set data. Selain itu, ia memberikan pemahaman yang berharga tentang teori statistik asas dengan menunjukkan semua langkah yang terlibat secara jelas.

Untuk inferens statistik yang sangat dipercayai, penggunaan set data yang besar sentiasa diutamakan. Walau bagaimanapun, selalunya adalah tidak praktikal untuk mendapatkan data populasi yang mewakili semua pemerhatian yang mungkin. Disebabkan ini, ahli statistik biasanya mengambil "sampel" daripada populasi, membolehkan kesimpulan tentang keseluruhan populasi dibuat secara langsung daripada data sampel.

Varians mengukur purata penyebaran set data berbanding minnya. Ia secara tradisinya dilambangkan dengan σ² untuk populasi dan s² untuk sampel. Nilai σ² atau s² yang lebih besar menunjukkan penyebaran titik data yang lebih luas daripada min, manakala nilai yang lebih kecil menunjukkan bahawa titik data dikumpulkan rapat di sekitar min.

Pertimbangkan contoh set data berikut:

(Set I) 11, 3, 5, 21, 10, 15, 20, 25, 13, 26, 27,

(Set II) 12, 14, 14, 15, 15, 16, 16, 17, 18, 19, 20

Memasukkan Set I ke dalam kalkulator varians menghasilkan:

n=11

x̄=16

SS=704

s²=70.4

s=8.39

untuk sampel, dan

n=11

μ=16

SS=704

σ²=64

σ=8

untuk populasi.

Sama juga, memasukkan Set II ke dalam kalkulator menghasilkan:

n=11

x̄=16

SS=56

s²=5.6

s=2.36

untuk sampel, dan

n=11

μ=16

SS=56

σ²=5.09

σ=2.25

untuk populasi.

• Dalam Set I, nombor-nombor tersebut menyimpang secara ketara daripada min sampel, menghasilkan varians yang lebih tinggi:

s²=70.4

σ²=64

• Dalam Set II, kebolehubahan keseluruhan adalah jauh lebih kecil:

s²=5.6

σ²=5.09

Formula untuk varians: varians populasi vs. varians sampel

Varians populasi

Dalam statistik, populasi merujuk kepada semua pemerhatian yang mungkin dalam sesuatu eksperimen. Untuk N pemerhatian, formula varians populasi ialah:

$$\sigma^2=\frac{\sum_{i}^{N}{{(x_i-\ \mu)}^2\ }}{N}$$

di mana:

• σ² ialah varians populasi,
• Σ mewakili hasil tambah,
• xᵢ ialah setiap pemerhatian individu,
• μ ialah min populasi,
• N ialah jumlah bilangan pemerhatian dalam populasi.

Varians sampel

Varians sampel ditakrifkan oleh formula berikut:

$$s^2=\frac{\sum_{i}^{n}{{(x_i-\ \bar{x})}^2\ }}{n-1}$$

di mana:

• s² ialah varians sampel,
• Σ mewakili hasil tambah,
• xᵢ ialah setiap pemerhatian individu,
• x̄ ialah min sampel,
• n ialah jumlah bilangan pemerhatian dalam sampel.

Langkah-langkah untuk mengira varians

Mengira varians secara manual melibatkan langkah-langkah standard berikut:

Langkah 1: Kira min sampel atau populasi. Ini ialah jumlah semua titik data dibahagikan dengan bilangan titik data (n untuk sampel dan N untuk populasi), iaitu,

Min sampel:

$$\bar{x}=\frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$$

Min populasi:

$$\mu=\frac{\sum_{i=1}^{N} x_i}{N}$$

Langkah 2: Kira sisihan individu dengan menolak min sampel atau populasi daripada setiap titik data, iaitu,

Sisihan sampel:

$$(x_1-\bar{x}), (x_2-\bar{x}), (x_3-\bar{x}), \ldots, (x_n-\bar{x})$$

Sisihan populasi:

$$(x_1-\mu), (x_2-\mu), (x_3-\mu), \ldots, (x_N-\mu)$$

Langkah 3: Kira sisihan kuasa dua untuk setiap titik data.

Sisihan kuasa dua sampel:

$$(x_1-\bar{x})^2, (x_2-\bar{x})^2, (x_3-\bar{x})^2, \ldots, (x_n-\bar{x})^2$$

Sisihan kuasa dua populasi:

$$(x_1-\mu)^2, (x_2-\mu)^2, (x_3-\mu)^2, \ldots, (x_N-\mu)^2$$

Langkah 4: Kira jumlah sisihan kuasa dua.

Jumlah sisihan kuasa dua sampel:

$$SS=\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2$$

Jumlah sisihan kuasa dua populasi:

$$SS=\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^2$$

Langkah 5: Bahagikan jumlah sisihan kuasa dua dengan n-1 untuk sampel dan N untuk populasi untuk mencari varians akhir.

Varians sampel:

$$s^2=\frac{SS}{n-1}$$

Varians populasi:

$$\sigma^2=\frac{SS}{N}$$

Contoh Pengiraan Varians untuk Sampel

Mari kita pertimbangkan satu contoh praktikal menggunakan set data berikut: 1, 2, 4, 5, 6, dan 12. Untuk mengira varians sampel, kita ikuti langkah-langkah ini:

Langkah 1: Kira min sampel (purata).

$$\bar{x}=\frac{1+2+4+5+6+12}{6}=\frac{30}{6}=5$$

Langkah 2: Kira sisihan daripada min untuk setiap titik data.

x₁-x̄	x₂-x̄	x₃-x̄	x₄-x̄	x₅-x̄	x₆-x̄
1 - 5	2 - 5	4 - 5	5 - 5	6 - 5	12 - 5
-4	-3	-1	0	1	7

Langkah 3: Kira kuasa dua bagi sisihan tersebut.

(x₁-x̄)²	(x₂-x̄)²	(x₃-x̄)²	(x₄-x̄)²	(x₅-x̄)²	(x₆-x̄)²
16	9	1	0	1	49

Langkah 4: Jumlahkan sisihan kuasa dua.

$$SS=\sum_{i=1}^{n}{(x_i-\bar{x})}^2=16+9+1+0+1+49=76$$

Langkah 5: Kira varians sampel dengan membahagikan jumlah sisihan kuasa dua dengan darjah kebebasan (n-1).

$$s^2=\frac{SS}{n-1}=\frac{76}{6-1}=\frac{76}{5}=15.2$$

Untuk populasi, anda akan membahagikan dengan N (jumlah bilangan titik data) dan bukannya n-1 untuk mengira varians populasi.

Kepentingan varians

Varians dan penyebaran adalah metrik penting dalam dunia pelaburan. Ia memperkasakan pengurus aset untuk mengoptimumkan prestasi pelaburan mereka dan mengurus portfolio dengan berkesan. Penganalisis kewangan sangat bergantung pada varians untuk menilai risiko individu dan prestasi sejarah aset tertentu dalam portfolio pelaburan.

Apabila mempertimbangkan pembelian baharu, pelabur mengira varians untuk menentukan sama ada potensi pelaburan adalah berbaloi dengan risiko yang berkaitan. Metrik penyebaran membantu penganalisis mengukur ketidakpastian—faktor yang hampir mustahil untuk dinilai dengan tepat tanpa varians dan sisihan piawai.

Walaupun ketidakpastian itu sendiri tidak dapat diukur secara langsung, varians dan sisihan piawai (punca kuasa dua bagi varians) membolehkan pelabur menentukan kemeruapan yang dijangkakan dan kesan saham tertentu terhadap portfolio yang lebih luas.

Selain kewangan, varians ialah alat penting untuk saintis, ahli statistik, ahli matematik, dan penganalisis data. Ia memberikan pemahaman matematik yang mendalam tentang eksperimen dan populasi sampel.

Saintis kerap bergantung pada varians untuk mengenal pasti perbezaan struktur antara kumpulan ujian, bagi menentukan sama ada mereka cukup serupa untuk menguji sesuatu hipotesis dengan jayanya. Semakin tinggi varians, semakin tersebar nilai dalam set data tersebut. Penyelidik data menggunakan maklumat ini untuk memahami sejauh mana ketepatan min mewakili set data secara keseluruhan.

Walau bahaimanapun, satu kelemahan menggunakan varians ialah kepekaannya terhadap pencilan (outliers) yang besar. Disebabkan sisihan daripada min dikuasaduakan secara matematik, pencilan diberikan wajaran yang sangat besar secara tidak seimbang, yang boleh memesongkan gambaran keseluruhan data secara tidak sengaja.

Atas sebab ini, ramai penyelidik dan profesional kewangan lebih gemar menggunakan sisihan piawai. Disebabkan ia dikira sebagai punca kuasa dua bagi varians, sisihan piawai dinyatakan dalam unit yang sama dengan data asal. Ia memberikan angka yang lebih kecil dan lebih intuitif yang jauh lebih mudah untuk ditafsirkan di samping kurang terpesong oleh pencilan yang ekstrem.