حاسبة الانحراف المعياري وهامش الخطأ

تقوم حاسبة الانحراف المعياري بحساب الانحراف المعياري لمجموعة من الأرقام. بالإضافة إلى ذلك، فإنها توفر معلومات إضافية حول الأرقام، بما في ذلك المتوسط الحسابي والتباين. تحسب الحاسبة أيضًا فترة الثقة لمجموعة البيانات لمستويات ثقة مختلفة كذلك توفر جدول توزيع التردد.

لاستخدام هذه الآلة الحاسبة، أدخل الأرقام مفصولة بفصلة (,) في الآلة الحاسبة. حدد ما إذا كانت الأرقام تمثل مجتمع أم عينة، ثم انقر فوق "احسب". باستخدام الزر "مسح"، يمكنك أيضًا مسح الآلة الحاسبة لإدخال مجموعة مختلفة من الأرقام.

الانحراف المعياري

الانحراف المعياري هو مقياس إحصائي يحدد درجة انتشار أو تقلب مجموعة بيانات معينة. يوفر متوسط المسافة المجمعة لنقاط البيانات من متوسط مجموعة البيانات. كلما كان الانحراف المعياري أصغر، كلما اقتربت نقاط البيانات من المتوسط. على العكس من ذلك، كلما زاد الانحراف المعياري، زادت نقاط البيانات عن المتوسط. والانحراف المعياري هو الجذر التربيعي لمقياس آخر للانتشار يسمى التباين.

يتم حساب الانحراف المعياري بناءً على المعلومات حول مجموعة البيانات. إذا كانت مجموعة البيانات تمثل جميع نقاط البيانات المهمة مثل (المجتمع)، فإن الانحراف المعياري يسمى الانحراف المعياري للمجتمع. ومع ذلك، إذا كانت مجموعة البيانات تمثل (عينة) من مجتمع ما، فإن الانحراف المعياري يسمى عينة الانحراف المعياري.

الانحراف المعياري للمجتمع

يتم حساب الانحراف المعياري للمجتمع عندما تمثل مجموعة البيانات المجتمع محل الاهتمام. أي أن مجموعة البيانات تمثل جميع الملاحظات قيد النظر. يُشار إلى الانحراف المعياري المجتمع بالرمز σ.

σ هو الحرف الصغير لحرف يوناني يسمى Sigma. يتم حساب الانحراف المعياري المجتمع باستخدام المعادلة:

$$\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}{(x_i-\mu)^2}}{N}}$$

حيث:

• Σ هو الحرف اليوناني الكبير (Sigma) سيجما، والذي يستخدم للدلالة على الجمع في الرياضيات؛
• يمثل xᵢ كل نقطة من نقاط البيانات (كل ملاحظة لمجموعة البيانات) ، بدءًا من نقطة البيانات الأولى إلى نقطة البيانات الأخيرة ؛
• يمثل μ المتوسط الحسابي للمجتمع؛
• أما n هو حجم المجتمع.

مثال لحساب الانحراف المعياري لعامة المجتمع

يوضح المثال التالي كيفية العثور على الانحراف المعياري لبيانات المجتمع.

يعتبر المستثمرون الأسهم أصلاً محفوفًا بالمخاطر بسبب تقلبها الشديد مقارنة بفئات الأصول الأخرى. يريد مدير الاستثمار تحليل تقلبات بعض الأسهم في الشهر السابق ولن يوصي لعملائه بأي سهم يكون انحرافه المعياري أكبر من أو يساوي متوسطه لأنه يعتبر هذا السهم "محفوفًا بالمخاطر للغاية".

المدرجة أدناه هي جميع أسعار الإغلاق اليومية (بالدولار الأمريكي) للأسهم للشهر السابق. احسب الانحراف المعياري وحدد ما إذا كان المدير يعتبر السهم "شديد الخطورة أم لا":

1.31, 1.30, 1.36, 1.40, 1.40, 1.41, 1.27, 1.19, 1.15, 1.12, 0.99, 1.00, 0.97, 0.94, 0.88, 0.90, 0.86, 0.88, 0.80, 0.81

لاحظ أن المدير مهتم فقط بأسعار الأسهم للشهر السابق، والأسعار المذكورة أعلاه هي جميع أسعار الشهر السابق. وبالتالي، لدينا المجتمع تحت تصرفنا. لذلك سنحسب الانحراف المعياري باستخدام معادلة الانحراف المعياري للمجتمع.

لإيجاد الانحراف المعياري، احسب أولاً المتوسط الحسابي. تذكر أنه يتم الحصول على المتوسط μ بقسمة مجموع الأرقام على عدد الأرقام.

$$\mu=\frac{1.31+1.30+1.36+1.40+1.40+1.41+1.27+1.19+1.15+1.12+0.99+1.00+0.97+0.94+0.88+0.90+0.86+0.88+0.80+0.81}{20}=1.097$$

بعد ذلك، اطرح المتوسط من كل رقم وقم بتربيع الفرق. ثم أضف النتائج وقسم الناتج على العدد. النتيجة تسمى التباين σ².

$$\sigma^2=\frac{\left(1.31-1.097\right)^2+\left(1.30-1.097\right)^2+\left(1.36-1.097\right)^2+\left(1.40-1.097\right)^2+\ldots+\left(0.81-1.097\right)^2}{20}=0.045031$$

أخيرًا، نأخذ الجذر التربيعي للتباين للحصول على الانحراف المعياري.

$$\sigma=\sqrt{0.045031}\approx0.21$$

كما ترى فإن الانحراف المعياري لأسعار هذا السهم للشهر السابق أقل من المتوسط. ومن ثم، لن يعتبر المدير هذا المخزون "محفوفًا بالمخاطر للغاية".

مثال لحساب الانحراف المعياري لعينة

يتم حساب الانحراف المعياري للعينة عندما تمثل مجموعة البيانات قيد الدراسة عينة من المجتمع محل الاهتمام. تمثل مجموعة البيانات مجموعة أصغر من الملاحظات من جميع الملاحظات قيد النظر. يتم الإشارة إلى نموذج الانحراف المعياري بواسطة s. يتم حساب الانحراف المعياري لعينة باستخدام المعادلة:

$$s=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(x_i-\bar{x}\right)^2}{n-1}}$$

حيث:

• Σ هو المجموع؛
• ويمثل xᵢ كل نقطة من نقاط البيانات؛
• ويمثل x̄ متوسط العينة؛
• و n هو حجم العينة.

سنوضح كيفية العثور على الانحراف المعياري لبيانات العينة باستخدام نفس المثال الخاص بالانحراف المعياري للمجتمع. لكن في هذه الحالة، لا يستطيع مدير الاستثمار الوصول إلى أسعار الإغلاق لجميع أيام التداول في الشهر السابق. ومع ذلك، لديه أسعار الإغلاق لـ 5 أيام عشوائية من الشهر السابق. وبالتالي، سيقدر الانحراف المعياري لأسعار إغلاق المخزون باستخدام بيانات من العينة المتاحة.

لنفترض أن لديه أسعار الإغلاق لمدة 5 أيام:

1.31, 1.40, 0.86, 0.88, 1.40

لاحظ أن المدير مهتم بأسعار أسهم الشهر السابق. ومع ذلك، ليس لديه جميع أسعار الشهر السابق، ولكن مجموعة فرعية صغيرة من أسعار الإغلاق لمدة 5 أيام فقط. لذلك في هذه الحالة نحن نتعامل مع عينة. سنقوم بحساب الانحراف المعياري باستخدام معادلة الانحراف المعياري لعينة.

أولاً، نحسب المتوسط الحسابي للعينة.

$$\bar{x}=\frac{1.31+1.40+0.86+0.88+1.40}{5}=1.17$$ $$\bar{x}=\dfrac{1.31+1.40+0.86+0.88+1.40}{5}=1.17$$

بعد ذلك، نحسب التباين s².

$$s^2=\frac{\left(1.31-1.17\right)^2+\left(1.40-1.17\right)^2+\left(0.86-1.17\right)^2+\left(0.88-1.17\right)^2+\left(1.40-1.17\right)^2}{5-1}=0.0764$$

وأخيرًا، نأخذ الجذر التربيعي للتباين للحصول على الانحراف المعياري.

$$s=\sqrt{0.0764}\approx0.28$$

هامش الخطأ

أحد استخدامات الانحراف المعياري هو حساب نطاق القيم "المقبولة". يلعب هذا دورًا مهمًا في ضمان الجودة الإحصائية للصناعة والتحليل التنبئي. افترض أن البيانات الأساسية قيد الدراسة تتبع التوزيع الطبيعي. في هذه الحالة، يُشار إلى هذا النطاق باسم فترة الثقة (راجع القسم التالي). يتم إعطاء فترات الثقة هذه على مستويات ثقة مختلفة (أو نسب مئوية).

هامش الخطأ هو أحد مكونات فترة الثقة الذي يعطي عرض فترة الثقة. أي أن هامش الخطأ يعطي القيم القصوى والدنيا المقبولة للكمية قيد النظر.

يتم حساب هامش الخطأ باستخدام المعادلة:

$$هامش \ الخطأ = z_{\alpha/2}\left(\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$$

نطبق هذه المعادلة إذا كان الانحراف المعياري للمجتمع σ معروفًا. وفي الوقت نفسه، يجب أن تكون العينة كبيرة بدرجة كافية عادةً تكون n>30

عندما يكون الانحراف المعياري للمجتمع غير معروف وتكون العينة صغيرة (عادةً (n≤30)، فإننا نستخدم المعادلة التالية:

$$هامش \ الخطأ = t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)$$

في هذه المعادلة نستخدم نموذج الانحراف المعياري s حيث أن الانحراف المعياري المجتمع σ غير معروف.

يتم تحديد \$z_{\alpha/2}\$ و \$t_{n-1, \alpha/2}\$ باستخدام إحصائيات z و t-Statistics على التوالي ، وتسمى القيمة الحرجة. إنها ثوابت مرتبطة بمستويات الثقة.

فترات الثقة الأكثر شيوعًا المستخدمة في الإحصائيات هي 90% و 95% و 99%. وقيمها \$z_{\alpha/2}\$ هي 1.645 (لـ 90%) و 1.96 (لـ 95%) و 2.575 (لـ 99%)

يُطلق على \$\frac{\sigma}{\sqrt n}\$ أو \$\frac{s}{\sqrt n}\$ الخطأ القياسي.

• يتم استخدام \$\frac{\sigma}{\sqrt n}\$ عندما نعرف الانحراف المعياري للمجتمع σ ولدينا عينة كبيرة عادةً n>30
• يُستخدم \$\frac{s}{\sqrt n}\$ للحالات التي لا نعرف فيها الانحراف المعياري للمجتمع ولدينا عينة صغيرة عادةً n≤30. أي بدلاً من الانحراف المعياري لعامة المجتمع σ ، علينا استخدام الانحراف المعياري للعينة المتاحة لنا s.

فترة الثقة

كما تم تقديمه أعلاه، فإن فترة الثقة هو فاصل (نطاق من القيم) يُتوقع أن تقع فيه كمية معينة عند مستوى ثقة معين.

على سبيل المثال، يمكننا أن نقول أن كمية معينة مثلا من طول الفتيات البالغات من العمر 13 عامًا، يقع بين 59 بوصة و 66 بوصة عند مستوى ثقة بنسبة 90%. أي، إذا أردنا اختيار مجموعة من الفتيات بعمر 13 عامًا، حوالي 90% من الوقت، فإن ارتفاعاتهن ستقع بين القيم المعطاة.

يتم حساب فترة الثقة باستخدام المعادلة:

$$\bar{x}± z_{\alpha/2}\left(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$$

• x̄ هو متوسط العينة،
• $z_{\alpha/2}$ هي القيمة الحرجة ،
• σ هو الانحراف المعياري للمجتمع،
• n هو عدد الملاحظات.

يتم استخدام معادلة أخرى عندما لا نعرف الانحراف المعياري للمجتمع σ وعلينا استخدام الانحراف المعياري لعينة s بدلاً من ذلك:

$$\bar{x}± t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)$$

• x̄ هو متوسط العينة،
• \$t_{n-1,\alpha/2}\$ هي القيمة الحرجة ،
• s هو الانحراف المعياري للعينة،
• n هو عدد الملاحظات.

كما يمكننا أن نتذكر من الفصل السابق \$z_{\alpha/2}\left(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)\$ و \$t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)\$ هو هوامش الخطأ.

مثال لحساب فترة الثقة

لنفترض أننا نعلم أن أسعار الأسهم اليومية التي ندرسها لها توزيع طبيعي. لدينا عينة من أسعار الأسهم تحت تصرفنا:

1.31, 1.36, 1.40, 1.27, 1.15, 0.99, 0.97, 0.88, 0.86, 0.80

نحن بحاجة إلى حساب النطاق الذي ستتقلب فيه أسعار الأسهم بثقة 95%.

هذه عينة صغيرة ولا نعرف الانحراف المعياري للمجتمع، لذلك سنستخدم الانحراف المعياري لعينة والمعادلة لحساب:

$$\bar{x}± t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)$$

• x̄ هو المتوسط الحسابي للعينة 1.10
• \$t_{n-1,\alpha/2}\$ هي القيمة الحرجة ، \$t_{9, 0.025}\$ = 2.26 (القيمة الحرجة لحجم عينة معين ومستوى الثقة يتم حسابها عادةً من جدول z أو - جدول T)
• s هو نموذج الانحراف المعياري 0.23
• n هو عدد الملاحظات 10 ،
• \$\frac{s}{\sqrt n}\$ هو الخطأ القياسي \$\frac{0.23}{\sqrt{10}}=0.07\$

لذلك نضع الأعداد في المعادلة

$$\bar{x}± t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)$$

ونحصل على:

$$1.10 - 2.26 (\frac{0.23}{\sqrt{10}}) = 1.10 - 2.26 (\frac{0.23}{3.16}) = 1.10 - 2.26 × 0.07 = 1.10 - 0.16 = 0.94$$

$$1.10 + 2.26 (\frac{0.23}{\sqrt{10}}) = 1.10 + 2.26 (\frac{0.23}{3.16}) = 1.10 + 2.26 × 0.07 = 1.10 + 0.16 = 1.26$$

هذا يعني أننا متأكدون بنسبة 95% من أن متوسط سعر السهم يقع في فترة الثقة (0.94, 1.26).