حاسبة الانحراف المعياري وهامش الخطأ

تُعد حاسبة الانحراف المعياري أداة دقيقة وموثوقة لحساب الانحراف المعياري لمجموعة من البيانات الرقمية بسهولة. بالإضافة إلى ذلك، توفر الحاسبة تحليلاً إحصائياً شاملاً يتضمن المتوسط الحسابي، والتباين. كما تقوم بحساب فترة الثقة لمجموعة البيانات عبر مستويات ثقة مختلفة، وتقدم جدول توزيع تكراري واضح ومفصل.

لاستخدام هذه الحاسبة الذكية، ما عليك سوى إدخال الأرقام مفصولة بفاصلة (,) في الحقل المخصص. بعد ذلك، حدد ما إذا كانت هذه الأرقام تمثل "مجتمعاً إحصائياً" أو "عينة"، ثم انقر على زر "احسب". يمكنك أيضاً استخدام زر "مسح" لتفريغ الحقول والبدء في إدخال مجموعة بيانات جديدة بكل سهولة.

الانحراف المعياري

الانحراف المعياري (Standard Deviation) هو مقياس إحصائي حيوي يحدد درجة تشتت أو تقلب مجموعة معينة من البيانات. بعبارة أخرى، فإنه يقيس متوسط بُعد نقاط البيانات عن المتوسط الحسابي للمجموعة. كلما كانت قيمة الانحراف المعياري صغيرة، دلّ ذلك على تقارب نقاط البيانات من المتوسط (بيانات متجانسة). وعلى العكس، كلما زادت قيمته، دلّ ذلك على تباعد البيانات وتشتتها عن المتوسط. رياضياً، يُعرّف الانحراف المعياري بأنه الجذر التربيعي لمقياس إحصائي آخر يُعرف بالتباين (Variance).

تختلف طريقة حساب الانحراف المعياري بناءً على طبيعة مجموعة البيانات المدروسة. إذا كانت البيانات تشمل جميع العناصر أو الملاحظات محل الدراسة (المجتمع الإحصائي بأكمله)، يُطلق عليه اسم الانحراف المعياري للمجتمع (Population Standard Deviation). أما إذا كانت البيانات تمثل جزءاً أو (عينة) مسحوبة من مجتمع أكبر، فيُعرف حينها بالانحراف المعياري للعينة (Sample Standard Deviation).

الانحراف المعياري للمجتمع

يتم حساب الانحراف المعياري للمجتمع عندما تكون مجموعة البيانات شاملة لجميع العناصر أو الملاحظات محل الدراسة والاهتمام. يُرمز للانحراف المعياري للمجتمع بالرمز الرياضي σ.

و σ هو الحرف الصغير للأبجدية اليونانية "سيجما" (Sigma). يُحسب الانحراف المعياري للمجتمع باستخدام المعادلة التالية:

$$\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}{(x_i-\mu)^2}}{N}}$$

حيث:

• Σ: هو الحرف اليوناني الكبير "سيجما"، ويُستخدم للدلالة على المجموع في الرياضيات؛
• xᵢ: يمثل كل نقطة من نقاط البيانات (كل ملاحظة في مجموعة البيانات)، بدءاً من القيمة الأولى وحتى الأخيرة؛
• μ: يمثل المتوسط الحسابي للمجتمع الإحصائي؛
• N: هو حجم المجتمع الإحصائي (العدد الإجمالي للملاحظات).

مثال لحساب الانحراف المعياري للمجتمع الإحصائي

يوضح المثال التالي كيفية إيجاد الانحراف المعياري لبيانات مجتمع إحصائي كامل.

يعتبر المستثمرون أن الأسهم أصول مالية محفوفة بالمخاطر نظراً لتقلباتها الشديدة مقارنة بفئات الأصول الأخرى. يرغب أحد مديري الاستثمار في تحليل تقلبات أسعار سهم معين خلال الشهر الماضي. قرر المدير أنه لن يوصي عملاءه بشراء أي سهم يكون انحرافه المعياري أكبر من أو يساوي متوسطه الحسابي، حيث يُعتبر هذا السهم "عالي المخاطر".

ندرج أدناه جميع أسعار الإغلاق اليومية (بالدولار الأمريكي) لهذا السهم خلال الشهر الماضي. المطلوب هو حساب الانحراف المعياري وتحديد ما إذا كان المدير سيعتبر السهم "عالي المخاطر" أم لا:

1.31, 1.30, 1.36, 1.40, 1.40, 1.41, 1.27, 1.19, 1.15, 1.12, 0.99, 1.00, 0.97, 0.94, 0.88, 0.90, 0.86, 0.88, 0.80, 0.81

بما أن المدير مهتم فقط بأسعار الأسهم للشهر الماضي، والبيانات المذكورة أعلاه تغطي جميع أيام التداول لذلك الشهر، فإننا نمتلك المجتمع الإحصائي بأكمله تحت تصرفنا. بناءً على ذلك، سنقوم بحساب الانحراف المعياري باستخدام معادلة المجتمع.

لإيجاد الانحراف المعياري، نحسب أولاً المتوسط الحسابي (μ) بجمع كافة القيم وقسمتها على عددها:

$$\mu=\frac{1.31+1.30+1.36+1.40+1.40+1.41+1.27+1.19+1.15+1.12+0.99+1.00+0.97+0.94+0.88+0.90+0.86+0.88+0.80+0.81}{20}=1.097$$

بعد ذلك، نطرح المتوسط من كل قيمة بيانات ونُربّع الناتج (لحساب مربع الفروق). نجمع هذه المربعات ثم نقسم المجموع الإجمالي على العدد للحصول على التباين σ²:

$$\sigma^2=\frac{\left(1.31-1.097\right)^2+\left(1.30-1.097\right)^2+\left(1.36-1.097\right)^2+\left(1.40-1.097\right)^2+\ldots+\left(0.81-1.097\right)^2}{20}=0.045031$$

أخيراً، نأخذ الجذر التربيعي للتباين للحصول على الانحراف المعياري:

$$\sigma=\sqrt{0.045031}\approx0.21$$

كما نلاحظ، فإن الانحراف المعياري لأسعار هذا السهم خلال الشهر الماضي (0.21) يقل بكثير عن متوسطه الحسابي (1.097). وبناءً على ذلك، لن يعتبر المدير أن هذا السهم "عالي المخاطر".

الانحراف المعياري للعينة

يُحسب الانحراف المعياري للعينة عندما تمثل مجموعة البيانات المدروسة جزءاً (عينة) من المجتمع الإحصائي الأكبر. يُشار إلى الانحراف المعياري للعينة بالرمز s. ويتم حسابه باستخدام المعادلة التالية:

$$s=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(x_i-\bar{x}\right)^2}{n-1}}$$

حيث:

• Σ: يشير إلى المجموع؛
• xᵢ: يمثل كل نقطة من نقاط البيانات المدروسة؛
• x̄: يمثل المتوسط الحسابي للعينة؛
• n: هو حجم العينة (عدد الملاحظات).

سنوضح الآن كيفية إيجاد الانحراف المعياري لبيانات عينة باستخدام نفس السيناريو الخاص بالانحراف المعياري للمجتمع. ولكن في هذه الحالة، لنفترض أن مدير الاستثمار لا يملك إمكانية الوصول إلى أسعار الإغلاق لجميع أيام التداول في الشهر الماضي، بل لديه أسعار الإغلاق لـ 5 أيام عشوائية فقط. وبالتالي، سيقوم بتقدير الانحراف المعياري لأسعار الإغلاق باستخدام هذه العينة المتاحة.

لنفترض أن أسعار الإغلاق للأيام الخمسة هي:

1.31, 1.40, 0.86, 0.88, 1.40

بما أن المدير مهتم بأسعار الشهر بأكمله ولكنه يمتلك مجموعة فرعية من 5 أيام فقط، فإننا نتعامل هنا مع عينة. لذلك، سنستخدم معادلة الانحراف المعياري للعينة.

أولاً، نحسب المتوسط الحسابي للعينة:

$$\bar{x}=\frac{1.31+1.40+0.86+0.88+1.40}{5}=1.17$$ $$\bar{x}=\dfrac{1.31+1.40+0.86+0.88+1.40}{5}=1.17$$

بعد ذلك، نحسب التباين s²:

$$s^2=\frac{\left(1.31-1.17\right)^2+\left(1.40-1.17\right)^2+\left(0.86-1.17\right)^2+\left(0.88-1.17\right)^2+\left(1.40-1.17\right)^2}{5-1}=0.0764$$

وأخيراً، نأخذ الجذر التربيعي للتباين للحصول على الانحراف المعياري للعينة:

$$s=\sqrt{0.0764}\approx0.28$$

هامش الخطأ

أحد الاستخدامات الهامة للانحراف المعياري هو حساب نطاق القيم "المقبولة" أو المتوقعة. يلعب هذا دوراً حاسماً في مراقبة الجودة الإحصائية في الصناعة والتحليلات التنبؤية. إذا افترضنا أن البيانات الأساسية تتبع توزيعاً طبيعياً (Normal Distribution)، فإن هذا النطاق يُعرف باسم فترة الثقة (Confidence Interval)، والتي سيتم تفصيلها في القسم التالي. تُعطى فترات الثقة هذه عند مستويات أو نسب ثقة مختلفة.

هامش الخطأ (Margin of Error) هو المكون الأساسي الذي يحدد عرض فترة الثقة. بعبارة أخرى، يحدد هامش الخطأ الحدين الأقصى والأدنى المقبولين للقيمة قيد الدراسة.

يتم حساب هامش الخطأ باستخدام المعادلة التالية:

$$هامش \ الخطأ = z_{\alpha/2}\left(\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$$

نستخدم هذه المعادلة عندما يكون الانحراف المعياري للمجتمع σ معروفاً، وبشرط أن يكون حجم العينة كبيراً بما يكفي (عادةً ما تكون n > 30).

أما عندما يكون الانحراف المعياري للمجتمع مجهولاً وتكون العينة صغيرة (عادةً n ≤ 30)، فإننا نعتمد المعادلة التالية:

$$هامش \ الخطأ = t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)$$

في هذه المعادلة، نستخدم الانحراف المعياري للعينة s كبديل نظراً لأن الانحراف المعياري للمجتمع σ غير معروف.

يتم استخراج القيمتين \$z_{\alpha/2}\$ و \$t_{n-1, \alpha/2}\$ باستخدام جداول التوزيع الإحصائي z-Distribution و t-Distribution على التوالي، وتُعرف بـ "القيمة الحرجة" (Critical Value). وهي عبارة عن ثوابت إحصائية ترتبط بمستويات الثقة.

مستويات الثقة الأكثر استخداماً في التحليل الإحصائي هي 90%، 95%، و 99%. والقيم الحرجة \$z_{\alpha/2}\$ المقابلة لها هي 1.645 (لمستوى 90%)، و 1.96 (لمستوى 95%)، و 2.575 (لمستوى 99%).

يُطلق على المقدارين \$\frac{\sigma}{\sqrt n}\$ أو \$\frac{s}{\sqrt n}\$ مصطلح "الخطأ المعياري" (Standard Error).

• يتم استخدام \$\frac{\sigma}{\sqrt n}\$ عندما يكون الانحراف المعياري للمجتمع σ معلوماً ولدينا عينة كبيرة، عادةً n > 30.
• يُستخدم \$\frac{s}{\sqrt n}\$ في الحالات التي نجهل فيها الانحراف المعياري للمجتمع وتكون العينة صغيرة، عادةً n ≤ 30. أي أننا نستبدل الانحراف المعياري للمجتمع σ بالانحراف المعياري للعينة المتاحة لدينا s.

فترة الثقة

كما أشرنا سابقاً، تُعرّف فترة الثقة بأنها النطاق أو المجال الذي يُتوقع أن تقع ضمنه قيمة إحصائية معينة عند مستوى ثقة محدد.

على سبيل المثال، يمكننا القول إن أطوال الفتيات البالغات من العمر 13 عاماً تتراوح بين 59 بوصة و 66 بوصة بمستوى ثقة 90%. هذا يعني أنه إذا اخترنا مجموعة عشوائية من الفتيات في هذا العمر، فإننا نتوقع أن تقع أطوالهن ضمن هذا النطاق في حوالي 90% من الحالات.

يتم حساب فترة الثقة باستخدام المعادلة التالية:

$$\bar{x}± z_{\alpha/2}\left(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$$

• x̄: يمثل المتوسط الحسابي للعينة،
• $z_{\alpha/2}$: هي القيمة الحرجة،
• σ: هو الانحراف المعياري للمجتمع الإحصائي،
• n: هو عدد الملاحظات (حجم العينة).

تُستخدم معادلة بديلة في الحالات التي نجهل فيها الانحراف المعياري للمجتمع σ، ونحتاج إلى استخدام الانحراف المعياري للعينة s بدلاً منه:

$$\bar{x}± t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)$$

• x̄: يمثل المتوسط الحسابي للعينة،
• \$t_{n-1,\alpha/2}\$: هي القيمة الحرجة،
• s: هو الانحراف المعياري للعينة،
• n: هو عدد الملاحظات.

وكما نتذكر من القسم السابق، فإن المقدارين \$z_{\alpha/2}\left(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)\$ و \$t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)\$ يمثلان هامش الخطأ.

مثال لحساب فترة الثقة

لنفترض أننا نعلم مسبقاً أن أسعار الأسهم اليومية التي نقوم بتحليلها تتبع توزيعاً طبيعياً. ولدينا عينة عشوائية من أسعار الأسهم على النحو التالي:

1.31, 1.36, 1.40, 1.27, 1.15, 0.99, 0.97, 0.88, 0.86, 0.80

نحتاج إلى حساب النطاق السعري الذي ستتقلب ضمنه أسعار هذه الأسهم بمستوى ثقة يبلغ 95%.

بما أن هذه العينة صغيرة والانحراف المعياري للمجتمع الإحصائي غير معروف، فسنعتمد على الانحراف المعياري للعينة وسنستخدم المعادلة التالية للحساب:

$$\bar{x}± t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)$$

• x̄: هو المتوسط الحسابي للعينة ويساوي 1.10
• \$t_{n-1,\alpha/2}\$: هي القيمة الحرجة، \$t_{9, 0.025}\$ = 2.26 (تُستخرج القيمة الحرجة لحجم العينة ومستوى الثقة المطلوب عادةً من جدول z أو جدول t الإحصائي)
• s: هو الانحراف المعياري للعينة ويساوي 0.23
• n: هو عدد الملاحظات ويساوي 10،
• \$\frac{s}{\sqrt n}\$: هو الخطأ المعياري، ويُحسب كالتالي: \$\frac{0.23}{\sqrt{10}}=0.07\$

الآن، نقوم بتعويض هذه القيم في المعادلة:

$$\bar{x}± t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)$$

ونحصل على:

$$1.10 - 2.26 (\frac{0.23}{\sqrt{10}}) = 1.10 - 2.26 (\frac{0.23}{3.16}) = 1.10 - 2.26 × 0.07 = 1.10 - 0.16 = 0.94$$

$$1.10 + 2.26 (\frac{0.23}{\sqrt{10}}) = 1.10 + 2.26 (\frac{0.23}{3.16}) = 1.10 + 2.26 × 0.07 = 1.10 + 0.16 = 1.26$$

هذا يعني أننا واثقون بنسبة 95% من أن متوسط سعر هذا السهم يقع ضمن فترة الثقة (0.94, 1.26).