त्रिभुज गणक

त्रिभुज गणक

त्रिभुज गणक एक ऑनलाइन त्रिभुज समाधानकर्ता है जो आपको तीन ज्ञात मापों के आधार पर सभी त्रिभुज मापों को शीघ्रता से खोजने की अनुमति देता है। गणक एक त्रिभुज और त्रिभुज कोणों की भुजाओं की लंबाई को आगत के रूप में लेता है और निम्नलिखित मापों की गणना करता है:

• अज्ञात पक्ष की लंबाई,
• अज्ञात त्रिभुज कोण,
• क्षेत्र,
• परिमाप,
• अर्द्धपरिमाप,
• त्रिभुज की सभी भुजाओं की ऊँचाई,
• त्रिभुज की सभी भुजाओं की माध्यिकाएँ,
• अंतत्रिज्या,
• परिधि।

गणक यह मानते हुए कि किनारे A के निर्देशांक [0, 0] हैं, शिखर, केंद्रक, उत्कीर्ण घेरा केंद्र और परिचालित घेरा केंद्र के निर्देशांक भी प्रदान करता है।

इस्तेमाल केलिए निर्देश

इस त्रिभुज गणक का उपयोग करने के लिए, आगत की जगह में कोई तीन मान दर्ज करें। आप किसी भी कोण या किसी भी भुजा की लंबाई के मान दर्ज कर सकते हैं। ध्यान दें कि कम से कम एक मान को पक्ष लंबाई का प्रतिनिधित्व करना है; अन्यथा, एक त्रिभुज के अनंत हल होंगे।

मान दर्ज करने के बाद, त्रिभुज कोणों के लिए इकाइयों का चयन करें। आप डिग्री या रेडियन के बीच चयन कर सकते हैं। रेडियन का चयन करते समय, π का प्रतिनिधित्व करने के लिए "pi" का उपयोग करें। उदाहरण के लिए, यदि कोण मान \$\frac{π}{3}\$ है, तो "pi/3" दर्ज करें। ज्ञात मान डालने के बाद, "गणना करें" दबाएं। गणक उपरोक्त सूची से सभी अज्ञात मूल्यों और त्रिभुज के योजनाबद्ध दृश्य को वापस कर देगा, जो आपको इसकी बेहतर कल्पना करने में मदद करेगा।

उत्तर के बाद, आप निम्नलिखित जगह का विस्तार कर सकते हैं - गणना चरण दिखाएँ - समाधान कलन विधि और उत्तर खोजने के लिए उपयोग किए जाने वाले सूत्रों से परिचित होने के लिए।

सभी आगत हटाने के लिए, "साफ़ करें" दबाएं।

आगत मूल्यों पर सीमाएं

ज्ञात मानों में से कम से कम एक भुजा की लंबाई होनी चाहिए।

मानों के निम्नलिखित संयोजन को दर्ज करते समय - दो कोण और एक तरफ की लंबाई - ध्यान दें कि कोण मानों का योग 180° या π से कम होना चाहिए।

तीन भुजाओं की लंबाई दर्ज करते समय, ध्यान दें कि किन्हीं दो भुजाओं की लंबाई का योग शेष भुजा की लंबाई से अधिक होना चाहिए।

गणना उदाहरण

कल्पना कीजिए कि आप आगे बढ़ रहे हैं और एक दोस्त से ट्रक उधार लेना चाहते हैं। आपको ट्रक को भरना और खली करना होगा, लेकिन इसमें पूर्ण निर्मित ढलान पट्टा नहीं है। आपके पास एक ले जाने योग्य ढलान पट्टा है, लेकिन आपको यह सुनिश्चित करना होगा कि इसके आयाम ट्रक की ऊंचाई पर सही बैठते हों। आपका ढलान पट्टा समायोज्य नहीं है, और आपने माप लिया है कि इसकी दो भुजाओं का माप 1 मीटर और 0.8 मीटर है, और 1 मीटर की भुजा के विपरीत कोण 85 डिग्री है (चित्र देखें)। आप जानते हैं कि आप ट्रक की ऊंचाई 0.5 मीटर से 1 मीटर तक समायोजित कर सकते हैं। क्या आपका ढलान पट्टा सही बैठता है?

दिया गया

• पक्ष b = 1;
• पक्ष c = 0.8;
• कोण B = 85 डिग्री।

समाधान

यह निर्धारित करने के लिए कि क्या आपका ढलान पट्टा पट्टा ट्रक पर सही बैठता है, आपको ऊपर दिए गए त्रिकोण को हल करना होगा और अनुमान लगाना होगा कि क्या पक्ष की लंबाई A ट्रक की ऊंचाई के लिए दी गई सीमा में सही होती है: 0.5 < a < 1 । ऊपर दिए गए मानों को त्रिभुज गणक में डालने पर, आपको कार्य में निम्नलिखित उत्तर मिलते हैं, हमें केवल अज्ञात पक्ष की लंबाई की आवश्यकता होगी।

तो शेष उत्तरों को इस व्यावहारिक उदाहरण में प्रदर्शित नहीं किया गया है, जबकि त्रिभुज सॉल्वर अभी भी उनकी गणना करता है:

उत्तर

• पक्ष a = 0.67376

• पक्ष b = 1

• पक्ष c = 0.8

• कोण A = 42.16° = 42°9'35" = 0.73582 rad

• कोण B = 85° = 1.48353 rad

• कोण C = 52.84° = 52°50'25" = 0.92224 rad

ढलान पट्टा पट्टा कुछ इस तरह दिखता है:

हम देखते हैं कि 0.674, और हम जानते हैं कि ट्रक की ऊंचाई 0.5 < a < 1 की सीमा में समायोजित की जा सकती है। इसका मतलब है कि ढलान पट्टा की ऊंचाई ट्रक की समायोज्य ऊंचाई पर सही बैठती है, और आप ट्रक किराए के बजाय अपने दोस्त से उधार ले सकते हैं!

त्रिभुज: परिभाषा और महत्वपूर्ण सूत्र

ज्यामिति में, त्रिभुज तीन सीधी गैर-समानांतर रेखाओं के प्रतिच्छेदन द्वारा बनाई गई एक समतल आकृति है। एक त्रिभुज को तीन शीर्षों और तीन किनारों वाले बहुभुज के रूप में भी वर्णित किया जा सकता है। त्रिभुज के किनारों को आमतौर पर भुजाएँ कहा जाता है।

त्रिभुज के अस्तित्व की शर्तें

दो स्थितियां त्रिभुज के अस्तित्व को परिभाषित करती हैं; एक शर्त पक्ष पर लागू होती है, और दूसरी - कोणों पर। पक्ष पर स्थिति त्रिभुज असमानता पर आधारित है। इसमें कहा गया है कि त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं की लंबाई का योग शेष तीसरी भुजा की लंबाई से अधिक या उसके बराबर होना चाहिए। यदि दो भुजाओं की लंबाई का योग तीसरी भुजा की लंबाई के बराबर हो, तो त्रिभुज को पतित कहा जाता है।

एक पतित त्रिभुज एक त्रिभुज है जहाँ तीनों शीर्ष एक ही सीधी रेखा पर स्थित होते हैं। यह एक बहुत ही विशेष त्रिभुज है, आमतौर पर प्राथमिक ज्यामिति में इसकी चर्चा नहीं की जाती है, और इसलिए, यहां पर विचार नहीं किया गया है।

कोणों की स्थिति बताती है कि किसी भी त्रिभुज के तीनों कोणों का योग हमेशा 180° या π रेडियन के बराबर होता है।

त्रिभुज का माप

आइए सबसे महत्वपूर्ण त्रिभुज मापों को परिभाषित करें और उनके मूल्यों की गणना के लिए सूत्रों को देखें।

एक त्रिभुज का परिमाप उसकी सभी भुजाओं की लंबाई का योग होता है और इसे निम्नानुसार पाया जा सकता है:

p = a + b + c

एक त्रिभुज का अर्धपरिमाप – त्रिभुज के परिमाप की लंबाई का आधा होता है:

$$s=\frac{p}{2}=\frac{a+b+c}{2}$$

त्रिभुज का क्षेत्रफल - एक गुण है जो बताता है कि त्रिभुज एक समतल पर कितना स्थान लेता है। यदि त्रिभुज की दोनों भुजाओं की लंबाई और इन दोनों भुजाओं के बीच का कोण ज्ञात हो, तो त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना निम्न प्रकार से की जा सकती है:

$$A=\frac{1}{2}a× b×\sin{C}$$

एक त्रिभुज की ऊँचाई, या कद, एक कोण से विपरीत दिशा में लंबवत होती है। चूँकि किसी त्रिभुज की तीन भुजाएँ होती हैं, इसलिए किसी त्रिभुज में भी तीन लंब होंगे। A की ओर लंबवत ऊँचाई को आमतौर पर hₐ के रूप में दर्शाया जाता है। इसी तरह, अन्य दो ऊंचाइयों को \$h_b\$ और h꜀ के रूप में दर्शाया गया है। किसी त्रिभुज की ऊँचाई ज्ञात करने का सबसे आसान तरीका उसका क्षेत्रफल है:

$$A=\frac{1}{2}× a× h_a=\frac{1}{2}× b× h_b=\frac{1}{2}× c× h_c$$

$$h_a=\frac{2A}{a}, h_b=\frac{2A}{b}, h_c=\frac{2A}{c}$$

त्रिभुज की एक भुजा की माध्यिका - त्रिभुज के एक शीर्ष से विपरीत भुजा के मध्य तक जाने वाली रेखा है। किसी भी त्रिभुज की तीन माध्यिकाएँ होती हैं।

एक तरफ से एक माध्यिका को आमतौर पर mₐ के रूप में दर्शाया जाता है। इसी तरह, अन्य दो माध्यिकाओं को \$m_b\$ और m꜀ के रूप में दर्शाया गया है। हम निम्न सूत्र द्वारा माध्यिकाओं की लंबाई ज्ञात कर सकते हैं:

$$m_a=\frac{1}{2}\sqrt{2b²+2c^2-a^2}$$

एक त्रिभुज की अंतःत्रिज्या - त्रिभुज के अंदर अंकित एक वृत्त की त्रिज्या है और इसकी सभी भुजाओं को स्पर्श करती है।

अंतःत्रिज्या r की लंबाई निम्नानुसार पाई जा सकती है:

$$r=\frac{A}{s}$$

त्रिभुज की परित्रिज्या - त्रिभुज के तीनों शीर्षों से गुजरने वाले वृत्त की त्रिज्या है।

हम साइन नियम से परिधि r की लंबाई पा सकते हैं:

$$2R=\frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}$$

किसी त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई या कोणों के अज्ञात मान को ज्ञात करने के लिए भी साइन नियम फायदेमंद होता है। एक अन्य सहायक नियम कोसाइन नियम है:

$$a=\sqrt{b²+c^2-2bc\cos{A}}$$

$$b=\sqrt{a^2+c^2-2ac\cos{B}}$$

$$c=\sqrt{a^2+b²-2ab\cos{C}}$$

ऊपर सूचीबद्ध सूत्र सभी त्रिभुज मापों की गणना करने की अनुमति देते हैं। त्रिभुज गणक इन सूत्रों का उपयोग अज्ञात मानों को खोजने के लिए करता है।