त्रिभुज गणक

त्रिभुज कैलकुलेटर

त्रिभुज कैलकुलेटर एक बेहतरीन ऑनलाइन टूल (त्रिभुज सॉल्वर) है, जो आपको तीन ज्ञात मापों के आधार पर त्रिभुज के सभी अज्ञात मापों को तुरंत और आसानी से ज्ञात करने में मदद करता है। यह कैलकुलेटर त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई और कोणों को इनपुट के रूप में लेता है और निम्नलिखित मापों की सटीक गणना करता है:

• अज्ञात भुजा की लंबाई,
• अज्ञात त्रिभुज कोण,
• क्षेत्रफल,
• परिमाप,
• अर्धपरिमाप,
• त्रिभुज की सभी भुजाओं की ऊँचाई (लंब),
• त्रिभुज की सभी भुजाओं की माध्यिकाएँ,
• अंतःत्रिज्या (Inradius),
• परित्रिज्या (Circumradius)।

यह कैलकुलेटर शीर्षों (vertices), केंद्रक (centroid), अंतःकेंद्र (incenter) और परिकेंद्र (circumcenter) के निर्देशांक (coordinates) भी प्रदान करता है, यह मानते हुए कि शीर्ष A के निर्देशांक [0, 0] हैं।

उपयोग के लिए निर्देश

इस ऑनलाइन त्रिभुज कैलकुलेटर का उपयोग करने के लिए, इनपुट फ़ील्ड में कोई भी तीन मान (values) दर्ज करें। आप किसी भी कोण या भुजा की लंबाई के मान डाल सकते हैं। ध्यान दें कि कम से कम एक मान भुजा की लंबाई का होना चाहिए; अन्यथा, त्रिभुज के अनंत (infinite) हल होंगे।

मान दर्ज करने के बाद, त्रिभुज के कोणों के लिए इकाइयों (units) का चयन करें। आप डिग्री या रेडियन में से कोई एक चुन सकते हैं। रेडियन चुनते समय, π को दर्शाने के लिए "pi" का उपयोग करें। उदाहरण के लिए, यदि कोण का मान \$\frac{π}{3}\$ है, तो "pi/3" दर्ज करें। सभी ज्ञात मान डालने के बाद, "गणना करें" बटन पर क्लिक करें। कैलकुलेटर उपरोक्त सूची से सभी अज्ञात मानों को हल कर देगा और त्रिभुज का एक आरेख (schematic view) भी दिखाएगा, जिससे आपको इसे बेहतर ढंग से समझने में मदद मिलेगी।

परिणाम मिलने के बाद, आप "गणना के चरण दिखाएँ" विकल्प पर क्लिक कर सकते हैं। इससे आप हल करने की विधि और उत्तर खोजने के लिए इस्तेमाल किए गए गणितीय सूत्रों को आसानी से समझ सकेंगे।

सभी दर्ज किए गए मानों को हटाने के लिए, "साफ़ करें" बटन दबाएं।

इनपुट मानों की सीमाएँ

ज्ञात मानों में कम से कम एक भुजा की लंबाई अवश्य होनी चाहिए।

जब आप दो कोण और एक भुजा की लंबाई दर्ज कर रहे हों, तो ध्यान दें कि कोणों का योग 180° या π रेडियन से कम होना चाहिए।

तीनों भुजाओं की लंबाई दर्ज करते समय, इस नियम का पालन होना चाहिए कि किन्हीं दो भुजाओं की लंबाई का योग तीसरी भुजा की लंबाई से अधिक होना चाहिए (त्रिभुज असमिका प्रमेय)।

गणना का उदाहरण

कल्पना करें कि आप अपना घर शिफ्ट कर रहे हैं और इसके लिए आप अपने एक दोस्त से ट्रक उधार लेना चाहते हैं। आपको ट्रक में सामान लोड और अनलोड करना है, लेकिन उसमें इन-बिल्ट रैंप नहीं है। आपके पास एक पोर्टेबल रैंप है, लेकिन आपको यह सुनिश्चित करना होगा कि इसके आयाम ट्रक की ऊँचाई के अनुकूल हों। आपका रैंप एडजस्टेबल नहीं है, और आपने मापा है कि इसकी दो भुजाओं की लंबाई 1 मीटर और 0.8 मीटर है, तथा 1 मीटर वाली भुजा के विपरीत कोण 85 डिग्री है (चित्र देखें)। आपको पता है कि आप ट्रक की ऊँचाई को 0.5 मीटर से 1 मीटर तक एडजस्ट कर सकते हैं। तो क्या आपका रैंप इसमें फिट बैठेगा?

दिया गया है

• भुजा b = 1;
• भुजा c = 0.8;
• कोण B = 85 डिग्री।

समाधान

यह पता लगाने के लिए कि क्या आपका रैंप ट्रक के लिए उपयुक्त है, आपको इस त्रिभुज को हल करना होगा और यह देखना होगा कि क्या भुजा की लंबाई 'a', ट्रक की ऊँचाई के लिए दी गई सीमा में आती है: 0.5 < a < 1। ऊपर दिए गए मानों को त्रिभुज कैलकुलेटर में दर्ज करने पर, आपको निम्नलिखित परिणाम मिलेंगे। हालाँकि हमें केवल अज्ञात भुजा की लंबाई की आवश्यकता है।

इस व्यावहारिक उदाहरण के लिए हमें बाकी के उत्तरों की आवश्यकता नहीं है, लेकिन त्रिभुज सॉल्वर उन सभी की गणना भी करता है:

उत्तर

• भुजा a = 0.67376

• भुजा b = 1

• भुजा c = 0.8

• कोण A = 42.16° = 42°9'35" = 0.73582 rad

• कोण B = 85° = 1.48353 rad

• कोण C = 52.84° = 52°50'25" = 0.92224 rad

रैंप कुछ इस तरह दिखता है:

हम देखते हैं कि a = 0.674 है, और हम जानते हैं कि ट्रक की ऊँचाई 0.5 < a < 1 की सीमा में एडजस्ट की जा सकती है। इसका मतलब है कि रैंप की ऊँचाई ट्रक की एडजस्टेबल ऊँचाई के बिल्कुल अनुकूल है, और आप ट्रक किराए पर लेने के बजाय अपने दोस्त से उधार ले सकते हैं!

त्रिभुज: परिभाषा और महत्वपूर्ण सूत्र

ज्यामिति में, त्रिभुज तीन सीधी, गैर-समानांतर रेखाओं के प्रतिच्छेदन (intersection) से बनी एक समतल आकृति है। त्रिभुज को तीन शीर्षों (vertices) और तीन किनारों वाले बहुभुज (polygon) के रूप में भी वर्णित किया जा सकता है। त्रिभुज के किनारों को आमतौर पर 'भुजाएँ' (sides) कहा जाता है।

त्रिभुज बनने की शर्तें

किसी भी त्रिभुज के बनने के लिए दो मुख्य शर्तें होती हैं; एक शर्त उसकी भुजाओं पर लागू होती है, और दूसरी उसके कोणों पर। भुजाओं वाली शर्त 'त्रिभुज असमिका प्रमेय' (Triangle Inequality) पर आधारित है। इसके अनुसार, त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं की लंबाई का योग तीसरी भुजा की लंबाई से अधिक या उसके बराबर होना चाहिए। यदि दो भुजाओं की लंबाई का योग तीसरी भुजा के बराबर हो, तो उस त्रिभुज को डिजेनरेट या अपभ्रष्ट (degenerate) त्रिभुज कहा जाता है।

एक डिजेनरेट त्रिभुज वह होता है जिसके तीनों शीर्ष एक ही सीधी रेखा पर स्थित होते हैं। यह एक बहुत ही विशेष स्थिति है, जिसकी चर्चा आमतौर पर प्रारंभिक ज्यामिति में नहीं की जाती है, और इसलिए, यहाँ इस पर विचार नहीं किया गया है।

कोणों की शर्त यह बताती है कि किसी भी त्रिभुज के तीनों आंतरिक कोणों का योग हमेशा 180° या π रेडियन के बराबर होता है।

त्रिभुज की मापों की गणना

आइए त्रिभुज के सबसे महत्वपूर्ण मापों को परिभाषित करें और उनके मानों की गणना करने वाले सूत्रों को समझें।

एक त्रिभुज का परिमाप उसकी सभी भुजाओं की लंबाई का योग होता है और इसे इस प्रकार ज्ञात किया जा सकता है:

p = a + b + c

एक त्रिभुज का अर्धपरिमाप – त्रिभुज के कुल परिमाप का आधा होता है:

$$s=\frac{p}{2}=\frac{a+b+c}{2}$$

त्रिभुज का क्षेत्रफल - वह माप है जो बताता है कि त्रिभुज किसी समतल (plane) पर कितना स्थान घेरता है। यदि त्रिभुज की दो भुजाओं की लंबाई और उनके बीच का कोण ज्ञात हो, तो त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना निम्न प्रकार से की जा सकती है:

$$A=\frac{1}{2}a× b×\sin{C}$$

एक त्रिभुज की ऊँचाई (लंब), किसी एक शीर्ष से विपरीत भुजा पर लंबवत (perpendicular) होती है। चूँकि त्रिभुज में तीन भुजाएँ होती हैं, इसलिए इसमें तीन ऊँचाइयाँ भी होती हैं। भुजा A पर लंबवत ऊँचाई को आमतौर पर hₐ के रूप में दर्शाया जाता है। इसी तरह, अन्य दो ऊँचाइयों को \$h_b\$ और h꜀ के रूप में दर्शाया जाता है। त्रिभुज की ऊँचाई ज्ञात करने का सबसे आसान तरीका उसके क्षेत्रफल के सूत्र का उपयोग करना है:

$$A=\frac{1}{2}× a× h_a=\frac{1}{2}× b× h_b=\frac{1}{2}× c× h_c$$

$$h_a=\frac{2A}{a}, h_b=\frac{2A}{b}, h_c=\frac{2A}{c}$$

त्रिभुज की माध्यिका - त्रिभुज के किसी शीर्ष से उसकी विपरीत भुजा के मध्य बिंदु को मिलाने वाली रेखा होती है। किसी भी त्रिभुज में तीन माध्यिकाएँ होती हैं।

एक भुजा की माध्यिका को आमतौर पर mₐ से दर्शाया जाता है। इसी तरह, अन्य दो माध्यिकाओं को \$m_b\$ और m꜀ के रूप में दर्शाया जाता है। हम निम्नलिखित सूत्र से माध्यिकाओं की लंबाई ज्ञात कर सकते हैं:

$$m_a=\frac{1}{2}\sqrt{2b²+2c^2-a^2}$$

त्रिभुज की अंतःत्रिज्या - त्रिभुज के अंदर बने उस वृत्त की त्रिज्या होती है जो उसकी तीनों भुजाओं को स्पर्श करता है।

अंतःत्रिज्या r की लंबाई इस प्रकार ज्ञात की जा सकती है:

$$r=\frac{A}{s}$$

त्रिभुज की परित्रिज्या - त्रिभुज के तीनों शीर्षों से होकर गुजरने वाले वृत्त की त्रिज्या होती है।

हम 'साइन नियम' (Law of Sines) का उपयोग करके परित्रिज्या R की लंबाई ज्ञात कर सकते हैं:

$$2R=\frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}$$

त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई या कोणों का अज्ञात मान ज्ञात करने के लिए भी 'साइन नियम' बहुत उपयोगी होता है। एक अन्य महत्वपूर्ण नियम 'कोसाइन नियम' (Law of Cosines) है:

$$a=\sqrt{b²+c^2-2bc\cos{A}}$$

$$b=\sqrt{a^2+c^2-2ac\cos{B}}$$

$$c=\sqrt{a^2+b²-2ab\cos{C}}$$

ऊपर दिए गए सूत्र त्रिभुज के सभी आवश्यक मापों की गणना करने में मदद करते हैं। हमारा ऑनलाइन त्रिभुज कैलकुलेटर अज्ञात मानों को तुरंत और सटीकता से खोजने के लिए इन्हीं सूत्रों का उपयोग करता है।