ماشین حساب مساحت

این ماشین حساب مساحت قدرتمند به شما امکان می‌دهد تا مساحت اشکال هندسی رایج از جمله مستطیل، مثلث، ذوزنقه، دایره، قطاع دایره، بیضی و متوازی‌الاضلاع را به سرعت و دقت محاسبه کنید. از آنجا که مساحت، معیاری برای اندازه‌گیری وسعت یک سطح است، از این ابزار می‌توانید به عنوان ماشین حساب مساحت زمین نیز استفاده کنید.

دستورالعمل استفاده

برای استفاده از این محاسبه‌گر مساحت، ابتدا شکل هندسی مورد نظر خود را انتخاب کرده و مقادیر مشخص را در فیلدهای مربوطه وارد کنید. واحدهای اندازه‌گیری هر مقدار را از منوهای کشویی برگزینید و سپس روی دکمه «محاسبه» کلیک کنید. این ابزار بلافاصله مساحت شکل را محاسبه کرده و علاوه بر پاسخ نهایی، مراحل و فرمول حل را نیز به شما نمایش می‌دهد.

توجه داشته باشید که اگر مقادیر اولیه را با واحدهای مختلفی وارد کرده باشید، مراحل حل برای هر یک از آن‌ها به تفکیک ارائه می‌شود. همچنین می‌توانید در انتهای راه‌حل، روی گزینه «نمایش نتایج در واحدهای دیگر» کلیک کنید تا نتیجه نهایی به واحد دلخواه شما تبدیل شود.

محدودیت‌های مقادیر ورودی

در تمامی بخش‌های این ماشین حساب، مقادیر ورودی باید اعداد صحیح یا اعشاری مثبت باشند. وارد کردن عدد صفر (0) نیز به عنوان ورودی مجاز است.

برخی از اشکال هندسی محدودیت‌های خاص خود را دارند که در ادامه به آن‌ها اشاره شده است.

مثلث

در هر مثلث، مجموع طول هر دو ضلع باید از طول ضلع سوم بیشتر باشد (نابرابری مثلثی).

قطاع دایره

مقدار زاویه وارد شده باید بین 0 تا 360 درجه، و یا بین 0 تا 6.2831853071796 رادیان باشد.

دقت کنید که برای وارد کردن مقادیر زاویه بر حسب رادیان، نمی‌توانید از نماد «پی» (π) استفاده کنید و باید ابتدا مقدار عددی آن را محاسبه نمایید. به عنوان مثال، اگر می‌خواهید زاویه 45 درجه را بر حسب رادیان وارد کنید، باید محاسبه زیر را انجام دهید: 45 درجه = π/4 = 0.785398 رادیان. سپس عدد 0.785398 را به عنوان زاویه وارد کنید.

فرمول‌ها و مثال‌های محاسبه

مساحت، معیاری برای اندازه‌گیری وسعت یک سطح دوبعدی است. مقدار مساحت نشان می‌دهد که چه تعداد واحد مربع (مربع‌های واحد) می‌توانند درون مرزهای یک شکل هندسی خاص جای بگیرند. بر اساس سیستم بین‌المللی واحدها (SI)، متر مربع به عنوان واحد استاندارد اندازه‌گیری مساحت در نظر گرفته می‌شود. یک متر مربع (1 m²)، برابر است با مساحت مربعی که طول هر یک از اضلاع آن دقیقاً 1 متر باشد:

مساحت مستطیل در واقع تعداد مربع‌های واحدی است که می‌توانند درون مرزهای آن مستطیل قرار بگیرند. به عنوان مثال، مساحت مستطیلی با ابعاد 3 متر و 2 متر را می‌توان با تقسیم کردن سطح آن به مربع‌های 1 متری و شمارش آن‌ها محاسبه کرد:

مساحت = 6 متر مربع

فرمول ریاضی برای محاسبه مساحت مستطیل به شکل زیر است:

مساحت = طول × عرض

یا

A = w × l

که در آن A نشان‌دهنده مساحت، w عرض و l طول مستطیل است.

مثال محاسبه

تصور کنید در حال بازسازی خانه خود هستید و قصد دارید کف حمام را کاشی‌کاری کنید. شما می‌دانید که حمام شما مستطیل‌شکل است و طولی برابر با 1.5 متر و عرضی معادل 2 متر دارد. مساحت سطحی که باید کاشی‌کاری شود چقدر است؟

راه‌حل

• عرض = w = 2m
• طول = l = 1.5m

برای یافتن مساحت کف حمام، از فرمول مساحت مستطیل استفاده می‌کنیم:

A = w × l = 1.5 × 2 = 3 متر مربع

بنابراین، شما باید مساحتی برابر با 3 متر مربع را کاشی‌کاری کنید.

برای محاسبه مساحت مثلث فرمول‌های مختلفی وجود دارد. این ماشین حساب برای دقت و راحتی بیشتر، از فرمول هرون (مبتنی بر نیم‌محیط) استفاده می‌کند:

$$A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$

که در آن A مساحت مثلث، a، b و c طول اضلاع آن، و s نیم‌محیط مثلث است که از طریق رابطه زیر به دست می‌آید:

s = (a + b + c)/2

مثال محاسبه

جان یک قطعه زمین مثلثی‌شکل به ارث برده است. او می‌داند که طول اضلاع زمینش 45 متر، 27 متر و 31 متر است. مساحت زمین جان چقدر است؟

راه‌حل

• ضلع 1 = a = 45m
• ضلع 2 = b = 27m
• ضلع 3 = c = 31m

ابتدا نیم‌محیط (s) را محاسبه می‌کنیم:

s = (a + b + c)/2 = (45 + 27 + 31)/2 = 103/2 = 51.5

سپس با استفاده از فرمول هرون، مساحت را به دست می‌آوریم:

$$A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{51.5(51.5-45)(51.5-27)(51.5-31)} = \sqrt{51.5×6.5×24.5×20.5} = \sqrt{168128.1875} = 410$$

مساحت زمین جان برابر با 410 متر مربع است.

ذوزنقه

مساحت ذوزنقه با استفاده از فرمول زیر محاسبه می‌شود:

A = 1/2 × (b₁ + b₂) × h

که در آن b₁ و b₂ قاعده‌های ذوزنقه (اضلاع موازی) و h ارتفاع آن است.

مثال محاسبه

مریم یک میز قدیمی به شکل ذوزنقه دارد که می‌خواهد رویه آن را نوسازی کند. یک کارگاه مرمت مبلمان برای نوسازی هر متر مربع از این سطح، 150 دلار دستمزد می‌گیرد. اگر ابعاد میز مریم b₁ = 2m، b₂ = 1.5m و ارتفاع آن h = 1m باشد، او در مجموع چقدر باید برای بازسازی میزش بپردازد؟

راه‌حل

• b₁ = 2m
• b₂ = 1.5m
• h = 1m

ابتدا مساحت سطح میز را با فرمول مساحت ذوزنقه محاسبه می‌کنیم:

A = 1/2 × (b₁ + b₂) × h = 1/2 × (2 + 1.5) × 1 = 1/2 × 3.5 × 1 = 1.75 متر مربع

سطح میز مریم 1.75 متر مربع است. برای محاسبه هزینه نهایی، باید مساحت به دست آمده را در هزینه هر متر مربع ضرب کنیم:

هزینه کل = A × هزینه به ازای هر متر مربع = 1.75 × 150 = 262.5 دلار

بنابراین، مریم برای بازسازی میزش باید 262.5 دلار بپردازد.

دایره

مساحت دایره از طریق فرمول زیر به دست می‌آید:

A = π × r²

که در آن π (عدد پی) تقریباً برابر با 3.1415926 و r شعاع دایره است.

مثال محاسبه

یک آب‌پاشِ چمن‌زن می‌تواند تا شعاع 5 متری خود را آبیاری کند. آیا یک عدد از این آب‌پاش برای آبیاری چمنزاری دایره‌ای‌شکل به مساحت 60 متر مربع کافی است؟

راه‌حل

آب‌پاش به صورت دایره‌ای می‌چرخد و آب را تا فاصله 5 متری در هر جهت پخش می‌کند.

r = 5m

حال بیایید حداکثر مساحتی را که این آب‌پاش می‌تواند پوشش دهد محاسبه کنیم:

A = π × r² = 3.1415926 × 5² = 3.1415926 × 25 ≈ 78.5

این آب‌پاش می‌تواند مساحتی در حدود 78.5 متر مربع را پوشش دهد. از آنجا که این مقدار از 60 متر مربع بیشتر است، پس یک آب‌پاش به تنهایی برای این چمنزار کافی خواهد بود.

قطاع دایره

چنانچه زاویه قطاعی از دایره با استفاده از درجه بیان شود، مساحت سطح آن با این فرمول محاسبه می‌گردد:

A = (زاویه / 360) × π × r²

که در آن، «زاویه» همان زاویه مرکزی قطاع، r شعاع دایره و π تقریباً برابر با 3.1415926 است.

اما اگر زاویه قطاع بر حسب رادیان تعریف شده باشد، مساحت سطح به شکل زیر به دست می‌آید:

A = (زاویه / 2) × r²

که در آن، «زاویه» نمایانگر زاویه مرکزی قطاع (به رادیان) و r شعاع دایره است.

بیضی

مساحت سطح یک بیضی با کمک فرمول زیر محاسبه می‌شود:

A = π × a × b

که در آن π تقریباً برابر با 3.1415926، a شعاع بزرگ (نیمی از قطر بزرگ بیضی) و b شعاع کوچک (نیمی از قطر کوچک بیضی) است.

متوازی‌الاضلاع

مساحت یک متوازی‌الاضلاع از طریق فرمول ساده زیر به دست می‌آید:

A = b × h

که در آن b قاعده متوازی‌الاضلاع و h ارتفاع وارد بر آن قاعده است.