Calculadora de Tamanho da Amostra

A nossa calculadora de tamanho de amostra possui duas funcionalidades principais: o cálculo estatístico do tamanho da amostra e a determinação da margem de erro.

Para calcular o tamanho da amostra, o primeiro passo é selecionar o nível de confiança no menu suspenso. Em seguida, insira a margem de erro relativa. Você pode converter a margem de erro de um valor absoluto para relativo dividindo-o pela estimativa pontual.

Depois, caso conheça a proporção da população, insira esse dado; caso contrário, mantenha o padrão de 50%. Preencha o tamanho da população no último campo, se souber. Se não souber, basta deixá-lo em branco. Por fim, clique em "Calcular".

Para utilizar a segunda funcionalidade da calculadora e descobrir a margem de erro, comece escolhendo um nível de confiança no menu suspenso. Informe o tamanho da amostra do estudo no segundo campo e, na sequência, insira a proporção da população. No último campo, adicione o tamanho total da população. Se você não souber esse número, deixe a célula em branco. Por último, clique em "Calcular".

Amostra

Uma amostra estatística é uma parte ou fração representativa de uma população. A população refere-se a todos os elementos de interesse em um estudo específico. Embora analisar cada indivíduo ou elemento dessa população seja o cenário ideal, diversos fatores costumam tornar isso inviável. Por exemplo, se a sua pesquisa for sobre uma espécie de insetos na selva, a população é infinita e em constante mudança, tornando impossível catalogar todos os indivíduos. Além disso, em alguns tipos de testes de qualidade, os itens analisados podem ser destruídos durante o processo.

Por exemplo, se você abrir e testar o volume de uma garrafa de refrigerante lacrada na fábrica, não poderá mais enviá-la para venda no mercado.

Avaliar a população inteira exige tempo, orçamento e recursos que raramente estão disponíveis. Na grande maioria dos casos, as pesquisas precisam ser concluídas sob restrições severas de prazo e orçamento. Por isso, a investigação de todo o universo estatístico torna-se impraticável, e a solução mais eficaz é selecionar uma amostra representativa para conduzir o estudo.

Margem de erro

Como raramente podemos examinar todos os componentes de uma população, utilizamos as estatísticas da amostra (métricas calculadas a partir do grupo amostral selecionado) para estimar os parâmetros da população (métricas reais do cenário como um todo). Essas estatísticas derivam de dados reais observados e medidos diretamente na amostra. Quando usamos essas estatísticas para estimar um único valor numérico em relação a um parâmetro populacional, chamamos isso de estimativa pontual.

Por exemplo, se você quiser estimar o volume médio das garrafas de refrigerante em uma linha de produção, pode selecionar um lote aleatório e calcular o volume médio apenas daquele grupo. Vamos imaginar que o lote avaliado tenha um volume médio x̄ de 250 ml. A partir disso, você estabelece a estimativa de que cada garrafa da linha de produção contém um volume médio \$(\hat{μ})\$ de 250 ml.

Na prática, no entanto, o parâmetro estimado e o valor real quase nunca são exatamente iguais. Essa diferença ocorre naturalmente porque estamos deduzindo informações com base em uma amostra isolada, e não testando a população de forma integral.

A margem de erro é definida como a diferença máxima provável entre a estimativa pontual calculada e o valor real do parâmetro na população. Em métodos quantitativos, isso também é frequentemente chamado de erro máximo de estimativa.

Intervalo de Confiança

O intervalo de confiança representa uma faixa ou intervalo de valores probabilísticos para a sua estimativa. Ele sugere que o parâmetro real da população está contido dentro daquela faixa matemática, respeitando a margem de erro específica da pesquisa. Para encontrar o limite inferior do intervalo de confiança, basta subtrair a margem de erro da estimativa pontual. Já para determinar o limite superior, a margem de erro deve ser somada à estimativa pontual.

Interligação entre Amostra em Estatística, Margem de Erro e Intervalo de Confiança

Ao invés de analisar uma população inteira, estudamos uma amostra para estimar os parâmetros dessa população. Como resultado, sempre pode haver uma diferença matemática entre a estimativa gerada e a realidade populacional. A margem de erro quantifica justamente a diferença máxima esperada entre a estimativa pontual e esse valor verdadeiro.

Existe também uma relação inversamente proporcional entre o tamanho da amostra e a margem de erro. Um tamanho de amostra maior proporcionará uma representação muito mais fiel da população, reduzindo consideravelmente a margem de erro. Em contrapartida, diminuir o número de elementos avaliados fará com que a margem de erro dispare. O intervalo de confiança definitivo do estudo é obtido quando você aplica essa margem de erro à sua estimativa pontual.

Fórmula para Calcular o Tamanho da Amostra

Existem diferentes fórmulas disponíveis para calcular o tamanho da amostra, variando de acordo com as informações prévias que você possui.

O nível de confiança estabelecido define o grau de precisão esperado, enquanto a margem de erro dita a flexibilidade da precisão que queremos aceitar em nossa estimativa.

Se conhecermos o desvio padrão da população, podemos calcular o tamanho mínimo da amostra necessário para obter o intervalo de confiança desejado utilizando a seguinte fórmula:

$$n=\left(\frac{z_{\alpha/2}×\sigma}{E}\right)^2$$

O resultado final n deve ser sempre arredondado para o número inteiro mais próximo.

Outra metodologia essencial é a Fórmula de Cochran, que permite determinar o tamanho mínimo da amostra baseando-se na margem de erro tolerada, no nível de confiança e na proporção esperada de determinado atributo na população. O modelo de Cochran é o seguinte:

$$n₀=\frac{z^2p(1-p)}{E^2}$$

• z = Valor Z (obtido na tabela Z) com base no nível de confiança desejado
• p = A proporção esperada do atributo presente na população
• E = Margem de erro

Exemplo 1

Imagine que estamos realizando uma pesquisa sobre estudantes internacionais matriculados em cursos de graduação no Canadá. Inicialmente, não temos muitos dados consolidados. Portanto, adotamos a premissa de que os alunos estrangeiros representam 60% do total de estudantes de graduação do país. Como resultado, a proporção estimada do atributo na população (p) será de 60%. Se desejamos obter um nível de confiança de 95% e trabalhar com uma margem de erro de 4%, quantos estudantes devem ser incluídos na amostra mínima do estudo?

$$(1-\alpha)=95\%$$

$$z_{α/2}=z_{{95\%}/2}=1,96$$

$$p=60\%$$

$$E=4\%$$

$$n₀=\frac{z²p(1-p)}{E²}=\frac{1,96²×60\%×(1-60\%)}{4\%²}=576,24≈577$$

Concluímos, portanto, que um mínimo de 577 estudantes precisam ser entrevistados para garantir um nível de confiança de 95% com uma margem de erro restrita a 4%.

A fórmula acima é ideal quando o tamanho da população é considerado grande ou infinito. No entanto, se lidarmos com uma população de tamanho pequeno ou finito, precisaremos fazer um ajuste. O tamanho da amostra é corrigido usando a fórmula abaixo:

$$n=\frac{n₀}{1+\left(\frac{n₀-1}{N}\right)}$$

• n₀ = O tamanho inicial da amostra calculado com o modelo de Cochran
• N = Tamanho total da população
• n = Tamanho de amostra ajustado para a população finita

Exemplo 2

Imagine um cenário semelhante, mas agora a pesquisa aborda apenas os estudantes internacionais matriculados na sua faculdade específica no Canadá. Partimos da mesma premissa inicial de que os alunos estrangeiros representam cerca de 60% dos estudantes. No entanto, dessa vez sabemos que o número total de alunos da sua faculdade é exatamente 12.000. Mantendo o nível de confiança em 95% e a margem de erro tolerada em 4%, quantos alunos precisam ser incluídos nessa nova pesquisa?

Neste caso, como se trata de uma população finita (N = 12.000), você deve primeiro calcular o valor de n₀ usando o modelo de Cochran e, logo a seguir, realizar o ajuste amostral.

$$n₀=\frac{z^2p(1-p)}{{E}^2}=\frac{1,96^2×{60\%}×(1-{60\%})}{{4\%}^2}=576,24$$

$$n=\frac{n₀}{1+\left(\frac{n₀-1}{N}\right)}=\frac{576,24}{1+\left(\frac{576,24-1}{12.000}\right)}=549,88\approx550$$

Lembrando que com a nossa calculadora de tamanho de amostra, você pode completar esses e outros cálculos complexos automaticamente em menos de um segundo.

Fórmula para Calcular a Margem de Erro

A matemática permite reorganizar a fórmula original do tamanho da amostra para que possamos isolar a margem de erro.

Você já sabe que a fórmula básica de Cochran para o tamanho mínimo da amostra é:

$$n₀=\frac{z^2p\left(1-p\right)}{E^2}$$

Vamos ajustar a equação para que a variável E (Margem de erro) passe a ser o resultado procurado:

$$n₀=\frac{z^2p\left(1-p\right)}{E^2}$$

$${n₀}×{E}^2=z^2p\left(1-p\right)$$

$$E^2=\frac{z^2p\left(1-p\right)}{n₀}$$

$$E=\sqrt{\frac{z^2p\left(1-p\right)}{n₀}}$$

$$E=z\sqrt{\frac{p\left(1-p\right)}{n₀}}$$

Exemplo 3

Retomando o primeiro exemplo da pesquisa com alunos internacionais no Canadá: assumimos novamente a proporção estimada de 60%. Digamos que você estipulou o padrão ouro de nível de confiança (95%), e em seu trabalho de campo prático conseguiu entrevistar exatamente 577 alunos. Diante desse cenário real, qual é a margem de erro do seu estudo?

$$z_{{95\%}/2}=1,96$$

$$p=60\%$$

$$n₀=577$$

$$E=z\sqrt{\frac{p\left(1-p\right)}{n_0}}=1.96 \times \sqrt{\frac{60\% \times \left(1-60\%\right)}{577}}=4\%$$

Se a sua população for finita e o total for conhecido, será necessário encontrar primeiramente o valor inicial de n₀ com o cálculo abaixo:

$$n₀=\frac{n-nN}{n-N}$$

Em seguida, você pode aplicar esse número na fórmula subsequente para encontrar a margem de erro oficial:

$$E=z\sqrt{\frac{p\left(1-p\right)}{n₀}}$$

Seja para descobrir a amostra ideal ou validar a confiabilidade dos seus dados, a segunda função da calculadora ajuda você a pular todas essas etapas matemáticas, entregando a margem de erro com precisão absoluta em frações de segundo.

Fórmula para calcular o intervalo de confiança

Encontrar o intervalo de confiança é um processo surpreendentemente fácil quando você já conhece a margem de erro da pesquisa. A estrutura apresentada abaixo é utilizada para encontrar as pontas do seu intervalo.

Intervalo de confiança = Estimativa pontual ± Margem de erro

Limite superior do intervalo de confiança = Estimativa pontual + Margem de erro

Limite inferior do intervalo de confiança = Estimativa pontual - Margem de erro

O intervalo de confiança representativo para a média populacional (μ) funciona assim:

x̄ - E < μ < x̄ + E

Onde x̄ - E demarca o seu limite inferior, e o x̄ + E projeta o seu limite superior.

Já o intervalo de confiança focado na proporção (P) obedece o formato:

p - E < P < p + E

Exemplo 4

Suponha que o foco da sua pesquisa é mapear o custo médio de vida estudantil de intercambistas no Canadá. Você conseguiu mapear dados de 1.000 estudantes compondo sua amostra. Com base apenas nessas respostas, a sua estimativa central aponta que o custo médio para manter os estudos no país gira em torno de CAD 20.000 anuais. O sistema acusa uma margem de erro de CAD 5.000 para mais ou para menos. Qual é a visualização prática do intervalo de confiança desta pesquisa?

Limite superior = x̄ + E = CAD 20.000 + CAD 5.000 = CAD 25.000

Limite inferior = x̄ - E = CAD 20.000 - CAD 5.000 = CAD 15.000

Portanto, ao estruturar o intervalo de confiança, teremos:

x̄ - E < μ < x̄ + E

CAD 15.000 < μ < CAD 25.000