Calculadora de desvio padrão e margem de erro

A calculadora de desvio padrão calcula o desvio padrão de um conjunto de números. Além disso, ela fornece informações adicionais sobre os números, incluindo a média e a variância. A calculadora também calcula o intervalo de confiança do conjunto de dados para diferentes níveis de confiança e fornece a tabela de distribuição de frequência.

Para usar esta calculadora, insira os números na calculadora separados por vírgulas. Selecione se os números representam uma população ou uma amostra, e clique em "Calcular". Usando o botão "Limpar", você também pode limpar a calculadora para inserir um conjunto diferente de números.

O Desvio Padrão

O desvio padrão é uma medida estatística que define o grau de dispersão ou variabilidade de um determinado conjunto de dados. Ele fornece a distância média agregada dos pontos de dados em relação à média do conjunto de dados. Quanto menor o desvio padrão, mais próximos os pontos de dados estão da média. Por outro lado, quanto maior o desvio padrão, mais distantes os pontos de dados estão da média. O desvio padrão é a raiz quadrada de outra medida de dispersão chamada variância.

O desvio padrão é calculado com base nas informações sobre o conjunto de dados. Se o conjunto de dados representa todos os pontos de dados de interesse (população), o desvio padrão é chamado de desvio padrão da população. Entretanto, se o conjunto de dados representa uma amostra de uma população, o desvio padrão é chamado de desvio padrão amostral.

O Desvio Padrão da População

O desvio padrão da população é calculado quando o conjunto de dados representa a população de interesse. Ou seja, o conjunto de dados representa todas as observações em consideração. O desvio padrão da população é denotado por σ.

σ é a minúscula de uma letra grega chamada Sigma. O desvio padrão da população é calculado usando a fórmula:

$$\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}{(x_i-\mu)^2}}{N}}$$

Onde:

• Σ é a letra maiúscula grega Sigma, que é usada para denotar a soma em matemática;
• xᵢ representa cada um dos pontos de dados (cada observação do conjunto de dados), desde o primeiro ponto de dados até o Nth (o último) ponto de dados;
• μ representa a média da população;
• n é o tamanho da população.

Exemplo de cálculo do desvio padrão da população em geral

O exemplo a seguir mostra como encontrar o desvio padrão dos dados da população.

Os investidores consideram as ações um ativo de risco devido à sua alta volatilidade em comparação com outras classes de ativos. Um gerente de investimento quer analisar a volatilidade de algumas ações no mês anterior e não recomendará a seus clientes nenhuma ação cujo desvio padrão seja maior ou igual à sua média, pois considera tal ação "muito arriscada".

Abaixo estão listados todos os preços de fechamento diário (em USD) das ações para o mês anterior. Calcule o desvio padrão e determine se o gerente considera a ação "muito arriscada":

1,31, 1,30, 1,36, 1,40, 1,40, 1,41, 1,27, 1,19, 1,15, 1,12, 0,99, 1,00, 0,97, 0,94, 0,88, 0,90, 0,86, 0,88, 0,80, 0,81

Observe que o gerente só está interessado nos preços das ações do mês anterior, e os preços listados acima são todos os preços do mês anterior. Consequentemente, temos a população à nossa disposição. Portanto, vamos calcular o desvio padrão usando a fórmula para o desvio padrão da população.

Para encontrar o desvio padrão, primeiro calcule a média. Lembre-se que a média μ é obtida dividindo a soma dos números pela contagem dos números.

$$\mu=\frac{1,31+1,30+1,36+1,40+1,40+1,41+1,27+1,19+1,15+1,12+0,99+1,00+0,97+0,94+0,88+0,90+0,86+0,88+0,80+0,81}{20}=1,097$$

Em seguida, subtraia a média de cada número e coloque a diferença em quadrados. Em seguida, adicione os resultados e divida o resultado pela contagem. O resultado é chamado de variância σ².

$$\sigma^2=\frac{\left(1,31-1,097\right)^2+\left(1,30-1,097\right)^2+\left(1,36-1,097\right)^2+\left(1,40-1,097\right)^2+\ldots+\left(0,81-1,097\right)^2}{20}=0,045031$$

Finalmente, pegue a raiz quadrada da variância para obter o desvio padrão.

$$\sigma=\sqrt{0,045031}\approx0,21$$

Como você pode ver, o desvio padrão dos preços desta ação para o mês anterior é menor que a média. Portanto, o gerente não vai considerar esta ação "muito arriscada".

O Desvio Padrão da Amostra

O desvio padrão da amostra é calculado quando o conjunto de dados em consideração representa uma amostra da população de interesse. O conjunto de dados representa um conjunto menor de observações de todas as observações em consideração. O desvio padrão da amostra é denotado por s. O desvio padrão da amostra é calculado utilizando a fórmula:

$$s=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(x_i-\bar{x}\right)^2}{n-1}}$$

Onde:

• Σ denota uma soma;
• xᵢ representa cada um dos pontos de dados;
• $bar{x}$ representa a média da amostra;
• n é o tamanho da amostra.

Vamos ilustrar como encontrar o desvio padrão dos dados da amostra usando o mesmo exemplo do desvio padrão da população. Mas nesta situação, o gerente de investimento não tem acesso aos preços de fechamento de todos os dias de negociação do mês anterior. No entanto, ele tem os preços de fechamento de alguns 5 dias aleatórios do mês anterior. Consequentemente, ele estimará o desvio padrão dos preços de fechamento das ações usando dados da amostra disponível.

Vamos supor que ele tenha os preços de fechamento por 5 dias:

1,31, 1,40, 0,86, 0,88, 1,40

Observe que o gerente está interessado nos preços das ações do mês anterior. Entretanto, ele não tem todos os preços do mês anterior, mas um pequeno subconjunto dos preços de fechamento de apenas 5 dias. Portanto, neste caso, estamos tratando de uma amostra. Vamos calcular o desvio padrão usando a fórmula de desvio padrão da amostra.

Primeiro, calcule a média da amostra.

$$\bar{x}=\frac{1,31+1,40+0,86+0,88+1,40}{5}=1,17$$

A seguir, calcule a variância s².

$$s^2=\frac{\left(1,31-1,17\right)^2+\left(1,40-1,17\right)^2+\left(0,86-1,17\right)^2+\left(0,88-1,17\right)^2+\left(1,40-1,17\right)^2}{5-1}=0,0764$$

Finalmente, pegue a raiz quadrada da variância para obter o desvio padrão.

$$s=\sqrt{0,0764}\approx0,28$$

Margem de Erro

Um dos usos do desvio padrão é calcular a faixa de valores "aceitáveis". Isto desempenha um papel significativo na garantia de qualidade estatística da indústria e na análise preditiva. Suponha que os dados subjacentes em consideração seguem uma distribuição normal. Nesse caso, esse intervalo é chamado de intervalo de confiança (consulte a próxima seção). Esses intervalos de confiança são dados em vários níveis de confiança (ou porcentagens).

A margem de erro é um componente do intervalo de confiança que dá a largura do intervalo de confiança. Ou seja, a margem de erro dá os valores máximos e mínimos aceitos da quantidade em consideração.

A margem de erro é calculada usando a fórmula:

$$Margem\ de\ erro\ = z_{\alpha/2}\left(\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$$

Aplicamos esta fórmula se o desvio padrão da população, σ, for conhecido. E ao mesmo tempo, a amostra deve ser suficientemente grande (geralmente n>30).

Quando o desvio padrão da população é desconhecido e a amostra é pequena (geralmente n≤30), usamos a seguinte fórmula:

$$Margem\ de\ erro\ = t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)$$

Nesta fórmula usamos o desvio padrão da amostra s, pois o desvio padrão da população σ não é conhecido.

\$z_{\alpha/2}\$ e \$t_{n-1, \alpha/2}\$ são determinadas utilizando as estatísticas z e t, respectivamente, e são chamadas de valor crítico. Elas são constantes associadas aos níveis de confiança.

Os intervalos de confiança mais comuns usados nas estatísticas são 90%, 95% e 99%. E seus valores \$z_{\alpha/2}\$ são 1,645 (para 90%), 1,96 (para 95%) e 2,575 (para 99%)

\$\frac{\sigma}{\sqrt n}\$ ou \$\frac{s}{\sqrt n}\$ são chamados de erro padrão.

• \$\frac{\sigma}{\sqrt n}\$ é usado quando conhecemos o desvio padrão da população σ e temos uma grande amostra (geralmente n>30).
• \$\frac{s}{\sqrt n}\$ é usado para casos em que não conhecemos o desvio padrão da população e temos uma pequena amostra (geralmente n≤30). Ou seja, ao invés do desvio padrão da população em geral σ, temos que usar o desvio padrão da amostra disponível para nós $\s$.

O Intervalo de Confiança

Como introduzido acima, o intervalo de confiança é um intervalo (faixa de valores) no qual se espera que uma determinada quantidade se encontre em um certo nível de confiança.

Por exemplo, podemos dizer que uma certa quantidade, digamos a altura de meninas de 13 anos, se situa entre 59 e 66 polegadas a um nível de confiança de 90%. Ou seja, se quisermos selecionar um grupo de meninas de 13 anos de idade, cerca de 90% do tempo, suas alturas se situarão entre os valores dados.

O intervalo de confiança é calculado usando a fórmula:

$$\bar{x}± z_{\alpha/2}\left(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$$

• x̄ é a média da amostra,
• \$z_{\alpha/2}\$ é o valor crítico,
• σ é o desvio padrão da população,
• n é o número de observações.

Outra fórmula é usada quando não sabemos o desvio padrão da população σ e temos que usar o desvio padrão da amostra s:

$$\bar{x}± t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)$$

• x̄ é a média da amostra,
• \$t_{n-1,\alpha/2}\$ é o valor crítico,
• s é o desvio padrão da população,
• n é o número de observações.

Como podemos lembrar do capítulo anterior \$z_{\alpha/2}\left(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)\$ e \$t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)\$ são as margens de erro.

Exemplo de cálculo de intervalo de confiança

Suponhamos que saibamos que os preços diários das ações que estamos considerando tenham uma distribuição normal. Temos uma amostra dos preços das ações à nossa disposição:

1,31, 1,36, 1,40, 1,27, 1,15, 0,99, 0,97, 0,88, 0,86, 0,80

Precisamos calcular em que faixa os preços das ações irão flutuar com 95% de confiança.

Esta é uma amostra pequena e não sabemos o desvio padrão da população, portanto, usaremos o desvio padrão da amostra e a fórmula para calcular:

$$\bar{x}± t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)$$

• x̄ é a média da amostra, 1,10
• \$t_{n-1,\alpha/2}\$ é o valor crítico, \$t_{9, 0,025}\$ = 2,26 (o valor crítico para um determinado tamanho de amostra e nível de confiança é geralmente calculado a partir de uma tabela z ou t)
• s é o desvio padrão da amostra, 0,23
• n é o número de observações, 10,
• \$\frac{s}{\sqrt n}\$ é o erro padrão \$\frac{0,23}{\sqrt{10}}=0,07\$

Então, colocamos os números na fórmula

$$\bar{x}± t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)$$

e obtemos:

$$1,10 - 2,26 (\frac{0,23}{\sqrt{10}}) = 1,10 - 2,26 (\frac{0,23}{3,16}) = 1,10 - 2,26 × 0,07 = 1,10 - 0,16 = 0,94$$

$$1,10 + 2,26 (\frac{0,23}{\sqrt{10}}) = 1,10 + 2,26 (\frac{0,23}{3,16}) = 1,10 + 2,26 × 0,07 = 1,10 + 0,16 = 1,26$$

Isto significa que temos 95% de certeza de que o preço médio das ações está no intervalo de confiança (0,94, 1,26).