Калькулятор пропорций

Калькулятор пропорций

Калькулятор пропорций позволяет упростить пропорции, найти пропущенные значения в пропорциях и определить, эквивалентны ли две заданных пропорции. В качестве вводных данных калькулятор принимает целые числа, десятичные числа и числа в научном экспоненциальном представлении. Примером числа в научном экспоненциальном представлении является 2e5, что равно 2×10⁵. В калькуляторе есть ограничение на ввод, равное 15 символам, что означает, что каждое вводное значение (A, B, C или D) не может превышать 15 символов.

Указания по использованию

1. Чтобы использовать калькулятор в качестве преобразователя пропорций или, другими словами, упростить пропорцию, введите и числитель, и знаменатель для одной части пропорции – либо введите оба A и B, либо оба C и D, после чего нажмите «Рассчитать». Калькулятор пропорций упростит заданную пропорцию и вернет ответ в наименьшем значении.

Если известные значения были введены как целые числа или в научном экспоненциальном представлении, калькулятор также продемонстрирует этапы решения.

Если введенное значение уже находится в наименьшем значении, калькулятор найдет эквивалентную пропорцию, умножив числитель и знаменатель данной дроби на 2.

2. Чтобы использовать калькулятор для поиска пропущенного значения в пропорции, введите три известных значения и оставьте поле неизвестного значения пустым. Вы можете использовать любые поля для неизвестного значения — A, B, C или D. После ввода трех известных значений нажмите «Рассчитать». Калькулятор вернет решенную пропорцию со всеми четырьмя значениями. Если бы введенные значения были целыми числами, калькулятор также продемонстрирует решение задачи.

Определения и важные формулы

В математике пропорция определяется как упорядоченная пара чисел a и b. Мы используем пропорции для сравнения двух значений путем деления одного из чисел на другое.

Пропорция a к b может быть записано как \$\frac{a}{b}\$, a/b или a:b. Обычно предполагается, что b≠0, так как b стоит в знаменателе дроби. Пропорции широко используются в реальной жизни для сравнения любых двух величин.

Например, если в классе 2 девочки и 6 мальчиков, пропорция девочек и мальчиков будет 2:6, или, в упрощенной форме, 1:3, что означает, что на каждую девочку приходится три мальчика.

Пропорция – это выражение, приравнивающее два пропорции. В предыдущем примере пропорция может быть записана следующим образом:

$$2:6::1:3$$

или

$$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$$

или

$$2:6=1:3$$

В пропорции a:b=c:d второй и третий члены, b и c, называются «средними» пропорции, а первый и последний члены, a и d, называются «крайними». Пропорции обладают очень важным свойством, называемым свойством средних и крайних значений или Формулой пропорции.

Формула пропорции

В любой пропорции a:b=c:d произведение средних b×c равно произведению крайних a×d. Или, математически:

Если a:b=c:d

То a×d=b×c

Эта формула позволяет найти недостающий член пропорции. К примеру, если нам нужно решить данную пропорцию для a, мы перегруппируем формулу пропорции следующим образом:

$$a=\frac{b×c}{d}$$

Давайте посмотрим на примеры расчета всех трех сценариев, описанных выше.

Пример 1

Джейн — ландшафтный дизайнер, она разрабатывает для клиента дизайн открытого пространства. Площадь пространства составляет 216 квадратных метров. Джейн придумала дизайн, где 64 квадратных метра занимает бассейн. Прямо перед самой сдачей проекта заказчик выдвигает требование, чтобы не менее трети площади занимал бассейн. Нужно ли Джейн сделать новый дизайн, или она может просто отправить существующий?

Чтобы выяснить, нужно ли создавать новый дизайн, она должна определить пропорция площади бассейна к общей открытой площади, а затем сравнить это значение с \$\frac{1}{3}\$.

Примем, что бассейн занимает 64 квадратных метра, а общая внешняя площадь составляет 216 квадратных метров. Следовательно, необходимая пропорция равна:

$$\frac{64}{216}$$

Эта пропорция находится не в самом меньшем выражении. Поэтому ее можно упростить. Пропорцию можно упростить, разделив числитель и знаменатель на наибольший общий фактор (GCF).

Наибольший общий делитель числителя (64) и знаменателя (216) равен 8. Разделив оба члена на GCF, 8, мы получим:

$$\frac{64}{8}=8$$

$$\frac{216}{8}=27$$

Таким образом, \$\frac{64}{216}=\frac{8}{27}\$.

Бассейн занимает \$\frac{8}{27}\$ всей внешней площади. Однако клиент хочет, чтобы он занимал не менее \$\frac{1}{3}\$ или \$\frac{9}{27}\$ общей площади. \$\frac{8}{27}<\frac{9}{27}\$, и, к сожалению, Джейн придется создавать новый дизайн.

Упрощение пропорции

Чтобы быстро найти решение задачи, просто введите 64 и 216 в поля A и B (или C и D) соответственно и нажмите «Рассчитать».

Ответ

$$64∶216=8∶27$$

Нахождение недостающего значения

Найдем пропущенное значение в следующей пропорции: \$\frac{3}{99}=\frac{4}{x}\$.

Чтобы найти неизвестное значение пропорции, мы используем формулу пропорции. Согласно ей, произведение средних всегда равно произведению крайних в пропорции. Данную пропорцию можно записать следующим образом:

$$3:99=4:x$$

В этой пропорции 99 и 4 — средние, а 3 и неизвестное значение x — крайние. Таким образом,

$$3× x=4×99$$

и

$$x=\frac{4×99}{3}$$

$$x=\frac{396}{3}$$

$$x=132$$

Ответ

$$3∶99=4∶132$$

Пример 2

Хелен хочет нанять переводчика для перевода нескольких статей с английского на японский. На сайте переводчика указана средняя ставка $20 за перевод объемом 600 слов. Всего в статьях Хелен около 20.000 слов. Как она рассчитает стоимость заказа, если переводчик не захочет сделать ей скидку?

Введите несколько эквивалентных единиц в поля A и C и другие эквивалентные единицы в поля B и D. В этом примере мы используем A и С для количества слов, а B и D для денег. Поля A и B предназначены для первого случая (текущая ставка переводчика), а поля C и D — для второго случая (возможная ставка для заказа Хелен).

$$\frac{A(количество\ слов\ по\ ставке\ переводчика)}{B(цена\ за\ 600\ слов)} = \frac{C(количество\ слов\ в\ заказе\ Хелен)}{D(цена\ за\ количество\ слов\ в\ заказе\ Хелен)}$$

• Введите в поле А количество слов по ставке переводчика - 600 слов;
• В поле B введите цену за 600 слов, т.е. 20;
• В поле C введите количество слов в заказе Хелен, то есть 20.000;
• И в поле D вы получите результат 666,66666666667.

Если высчитать стоимость заказа Хелен вручную, можно использовать формулу:

$$D = \frac{(B × C)}{A}$$

$$D = \frac{(20 × 20.000)}{600} = 666,66666666667$$

Затем результат можно округлить до 667 долларов. Не забывайте, что Хелен может попросить скидку на оптовый заказ. Тем не менее 667 долларов могут оказаться отправной точкой в переговорах.

Пример 3

Джек находится в отпуске в Индонезии и хочет обменять наличные доллары на местную валюту - индонезийскую рупию. Ему нужны деньги, чтобы заплатить наличными за аренду скутера Yamaxa X-Max, стоимость которого составляет 3.500.000 рупий в месяц.

Он знает, что сегодня курс обмена в ближайшем к его отелю обменнике составляет 14.750 рупий за один доллар США. Сколько долларов ему нужно обменять, чтобы получить 3.500.000 рупий?

И снова мы используем некоторые эквивалентные единицы в полях A и C и другие эквивалентные единицы в полях B и D. В этом примере мы используем A и C для индонезийских рупий, а B и D для долларов США.

• В поле А введите количество рупий за 1 доллар — это 14.750;
• В поле B введите эквивалент этой суммы в долларах, то есть 1;
• В поле C введите количество рупий, которое хотите получить, т.е. 3.500.000;
• В поле D вы получите желаемую сумму в долларах, т.е. 237.28813559322.

$$D = \frac{(B × C)}{A}$$

$$D = \frac{(1 × 3.500.000)}{14.750} = 237,28813559322$$

Получается, что если обменник не берет комиссию, Джеку нужно обменять не менее $237, чтобы оплатить аренду скутера на месяц. Скорее всего он обменяет более круглую сумму - 250 или 300 долларов.

Использование калькулятора для поиска решения

Чтобы использовать калькулятор для сравнения двух пропорций, \$\frac{4}{16}\$ и \$\frac{3}{12}\$, введите 4 в поле A и 16 в поле B, чтобы заполнить одну часть пропорции. Введите 3 в поле C и 12 в поле D, чтобы заполнить другую часть пропорции. Затем нажмите «Рассчитать».

Ответ

$$4:16=3:12$$

ВЕРНО

Свойства пропорций

Наиболее важным свойством пропорций (и наиболее полезным) является свойство средних и крайних значений. Однако у пропорций есть и другие интересные свойства.

Средние и крайние перестановки:

Если

$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$

Тогда с перестановкой средних верно следующее:

$$\frac{a}{c}=\frac{b}{d}$$

И, с перестановкой крайних, верно следующее:

$$\frac{d}{b}=\frac{c}{a}$$

2. Увеличение и уменьшение пропорции можно производить по следующему правилу:

Если

$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$

Затем пропорцию можно увеличить следующим образом:

$$\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$$

И уменьшить следующим образом:

$$\frac{a-b}{b}=\frac{c-d}{d}$$

3. Составление пропорции путем сложения и вычитания

Если

$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$

Тогда верно следующее:

$$\frac{a+c}{b+d}=\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$

И

$$\frac{a-c}{b-d}=\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$

Золотое сечение

В математике два значения находятся в золотом сечении, если пропорция большего значения к меньшему равно пропорции суммы этих значений к большему значению. Или, говоря математическим языком: для a>b>0 золотое сечение можно записать следующим образом:

$$\frac{a}{b}=\frac{a+b}{a}$$

Человеческий мозг считает золотое сечение идеальным пропорциям частей к целому. Золотое сечение часто наблюдается в природе, науке и искусстве.