Калькулятор Z-оценки

Калькулятор Z-оценки можно использовать для любого типа расчетов, связанных с Z-оценкой. Вы можете ввести необработанный балл (X), среднее значение популяции (μ) и стандартное отклонение (σ) в первый калькулятор, чтобы найти z-оценку с шагами и соответствующие вероятности для этого балла.

Конвертер Z-оценки и вероятностей помогает конвертировать Z-оценки и вероятности без обращения к Z-таблице. Результаты будут включать все возможные расчеты вероятности с учетом данной Z-оценки. Пользуйтесь этим калькулятором, чтобы найти вероятность между двумя Z-оценками.

Что такое Z-оценка?

Z-оценка - это статистическое измерение, которое описывает количество стандартных отклонений точки данных от среднего значения набора данных. Z-оценка используется для сравнения отдельной точки данных со всем набором данных и помогает стандартизировать данные, чтобы их было легче сравнивать и анализировать.

Z-оценка дает нам возможность определить, насколько "типичной" или наоборот "нетипичной" является отдельная точка данных по сравнению со всем набором данных.

Важность Z-оценки заключается в ее способности помочь нам лучше понять наши данные. Используя Z-оценку, мы можем:

• Обнаружить выбросы: Z-оценки могут помочь нам определить точки данных, которые значительно отличаются от остальных данных. Это полезно в таких областях, как финансы и медицинские исследования, где выбросы могут указывать на важные закономерности или аномалии.
• Сравнивать данные из разных наборов: Z-оценки позволяют сравнивать данные из разных наборов, даже если они имеют разные единицы измерения или диапазоны. Это полезно в таких областях, как машинное обучение, где для построения моделей необходимо сравнивать данные из разных источников.
• Нормализовать данные: Преобразуя данные в Z-оценки, мы можем стандартизировать данные и облегчить их сравнение и анализ. Это полезно в таких областях, как визуализация данных, где нам нужно представить данные в понятном виде.

Формула Z-оценки

Z-оценка для генеральной совокупности (популяции)

Z = сырой балл - среднее значение по генеральной совокупности / стандартное отклонение по генеральной совокупности

Z = (X - μ) / σ

Z-оценка для выборки

Z = Сырой балл - Среднее значение выборки / Стандартное отклонение выборки

Z = (X - x̄) / s

Интерпретация результатов полученных Z-оценок

Положительные Z-оценки: Положительная Z-оценка означает, что ваша точка данных находится выше среднего значения набора данных. Другими словами, ваша наблюдаемая точка данных выше, чем типичное значение в наборе данных.

Отрицательные Z-оценки: Отрицательная Z-оценка означает, что ваша точка данных находится ниже среднего значения набора данных. Другими словами, ваша наблюдаемая точка данных ниже типичного значения в наборе данных.

Величина Z-оценки: Величина Z-оценки говорит о том, насколько ваша точка данных удалена от среднего значения набора данных. Чем больше Z-оценка, тем дальше ваша наблюдаемая точка данных находится от среднего значения.

Z-оценка и стандартное отклонение

Z-оценка и стандартное отклонение связаны между собой, поскольку при расчете Z-оценки используется стандартное отклонение. Фактически, стандартное отклонение - ключевой компонент формулы Z-оценки.

Стандартное отклонение - это показатель разброса набора данных. Оно показывает, насколько далеко каждая точка данных находится от среднего значения набора данных. Чем больше стандартное отклонение, тем больше разброс данных.

Z-оценка, с другой стороны, говорит о том, как далеко одна точка данных находится от среднего значения набора данных относительно стандартного отклонения. Используя стандартное отклонение при расчете Z-оценки, вы можете сравнить одну точку данных со всем набором данных и понять, насколько она необычна или типична.

Z-оценка и нормальное распределение

Нормальное распределение - это тип распределения, который часто встречается во многих явлениях реального мира. Оно представляет собой колоколообразную кривую, которая отражает распределение данных вокруг среднего значения набора данных. Нормальное распределение также известно как распределение Гаусса, в честь математика Карла Фридриха Гаусса.

Z-оценка - это способ измерения того, как далеко одна точка данных находится от среднего значения набора данных относительно стандартного отклонения. Преобразуя каждую точку данных в Z-оценку, вы можете сравнить отдельную точку данных со всем набором данных и понять, насколько она необычна или типична.

Связь между Z-оценкой и нормальным распределением заключается в том, что Z-оценку можно использовать для стандартизации данных и приведения их к нормальному распределению. Это означает, что вы можете преобразовать любой набор данных в нормальное распределение, преобразовав каждую точку данных в Z-оценку. Это полезно, поскольку многие статистические методы предполагают, что данные нормально распределены, поэтому преобразование данных в нормальное распределение может помочь вам использовать эти методы более точно.

Применение Z-оценок

Обнаружение выбросов

Выброс - это точка данных, которая значительно отличается от других точек в наборе данных. Выбросы могут быть вызваны ошибками при сборе, измерении или вводе данных. Они также могут быть законными точками данных, которые представляют собой необычные или экстремальные значения.

Z-оценка - это способ измерения того, насколько далеко одна точка данных находится от среднего значения набора данных по отношению к стандартному отклонению. Преобразуя каждую точку данных в Z-оценку, вы можете сравнить одну точку данных со всем набором данных и понять, насколько она необычна или типична.

Одно из практических применений Z-оценки в обнаружении выбросов - выявление точек данных, которые находятся на определенном количестве стандартных отклонений от среднего значения. Например, вы можете определить выбросы, установив порог в 3 стандартных отклонения. Любая точка данных с Z-оценкой больше 3 или меньше -3 считается выбросом.

Другой практический пример применения Z-оценки для выявления выбросов - контроль качества. Например, в производственном процессе средний вес продукта составляет 10 унций, а стандартное отклонение - 0,5 унции. Любой продукт весом более 11 унций (Z-оценка 2) или менее 9 унций (Z-оценка -2) может считаться отклонением и подлежать дальнейшей проверке.

Сравнение точек данных

Z-оценка помогает понять, насколько далеко одна точка данных находится от среднего значения набора данных относительно стандартного отклонения.

Наш пример применения Z-оценки для сравнения точек данных относится к области финансов. Например, вы инвестировали в два разных портфеля акций и хотите сравнить их эффективность. Средняя доходность портфеля А составляет 10% при стандартном отклонении 2%, а средняя доходность портфеля Б - 8% при стандартном отклонении 3%. Преобразовав доходность в Z-оценки, вы можете сравнить доходность каждого портфеля и определить, какой из них работает лучше.

Другой практический пример применения Z-оценки для сравнения точек данных - спорт. Например, вы хотите сравнить показатели двух баскетболистов, игрока А и игрока Б. Игрок А набирает в среднем 20 очков за игру при стандартном отклонении 5 очков, а игрок Б набирает в среднем 18 очков за игру при стандартном отклонении 3 очка. Пересчитав баллы в Z-оценки, вы можете сравнить показатели каждого игрока и определить, кто из них показывает лучшие результаты.

Нормализация данных

Нормализация данных - это процесс преобразования данных в стандартную шкалу, чтобы их можно было легко сравнивать и анализировать. Это важно, поскольку данные могут иметь различные формы и масштабы, а нормализация данных позволяет обеспечить их одинаковый масштаб и облегчает их сравнение и анализ.

Переводя каждую точку данных в Z-оценку, вы можете стандартизировать данные и поместить их в одну шкалу. Это происходит потому, что Z-оценки всегда находятся на стандартной шкале, где среднее значение равно 0, а стандартное отклонение равно 1.

Один из практических примеров применения Z-оценки для нормализации данных относится к области психологии. Например, вы хотите сравнить результаты двух тестов IQ, теста А и теста В. Тест А имеет средний балл 100 со стандартным отклонением 15, а тест В - средний балл 110 со стандартным отклонением 10. Преобразовав баллы в Z-коэффициенты, можно стандартизировать оценки и привести их к единой шкале, что облегчает сравнение и анализ.

Еще один практический пример применения Z-оценки для нормализации данных - в сфере образования. Например, вы хотите сравнить оценки двух студентов, студента А и студента Б. У студента А средняя оценка 80 со стандартным отклонением 5, а у студента Б средняя оценка 90 со стандартным отклонением 3. Преобразовав оценки в Z-коэффициенты, вы можете стандартизировать оценки и сделать их все на одной шкале, что облегчает сравнение и анализ.

Проверка гипотез

Проверка гипотез - это статистический метод, используемый для определения того, достаточно ли доказательств, чтобы отвергнуть нулевую гипотезу, или стандартное предположение об отсутствии связи между двумя переменными. Это важно во многих областях, включая медицинские исследования, социальные науки и бизнес, где принятие обоснованных решений на основе данных имеет решающее значение.

При проверке гипотез Z-коэффициенты могут использоваться для определения вероятности наступления определенного результата. Например, вы можете проверить, отличается ли средний вес группы людей от среднего веса всего населения. Вы можете использовать Z-оценку, чтобы определить, является ли разница статистически значимой.

Один из практических примеров применения Z-оценки при проверке гипотез относится к области медицины. Например, вы хотите проверить, эффективно ли новое лекарство для уменьшения симптомов определенного заболевания. Вы можете использовать Z-оценку, чтобы определить, является ли разница в симптомах между группой, принимающей препарат, и контрольной группой статистически значимой.

Другой практический пример применения Z-оценки при проверке гипотез относится к области финансов. Например, вы хотите проверить, имеет ли конкретная акция более высокую доходность, чем средняя акция на рынке. Вы можете использовать Z-оценку, чтобы определить, является ли разница в доходности статистически значимой.

Масштабирование признаков

Масштабирование признаков - это метод, используемый в машинном обучении и других приложениях анализа данных для обеспечения того, чтобы все признаки в наборе данных имели одинаковый масштаб. Это важно, поскольку некоторые алгоритмы машинного обучения чувствительны к масштабу данных и могут давать неточные результаты, если масштаб не совпадает.

Одним из распространенных методов масштабирования признаков является нормализация Z-оценки, также известная как стандартизация. При этом каждый признак преобразуется таким образом, чтобы его среднее значение было равно 0, а стандартное отклонение - 1. Формула для расчета Z-оценки признака выглядит следующим образом:

Z = (значение признака - среднее значение признака) / стандартное отклонение признака

Практический пример использования Z-оценки для масштабирования признаков - в области компьютерного зрения. При работе с данными изображения обычно требуется масштабировать значения пикселей так, чтобы они находились в диапазоне от 0 до 1. Этого можно достичь с помощью нормализации Z-оценки, поскольку каждое значение пикселя может быть преобразовано так, чтобы его среднее значение было равно 0, а стандартное отклонение - 1.

Другим практическим примером использования Z-оценки для масштабирования признаков является обработка естественного языка. При работе с текстовыми данными принято масштабировать значения частоты терминов и обратной частоты документов (TF-IDF) таким образом, чтобы они находились в диапазоне от 0 до 1. Этого также можно достичь с помощью нормализации Z-оценки.

Предиктивное моделирование

Предиктивное моделирование - это метод, используемый в машинном обучении и других приложениях анализа данных для составления прогнозов на основе исторических данных. Она включает в себя обучение модели на наборе данных и использование этой модели для составления прогнозов на новых, невидимых данных.

Одним из важных аспектов предиктивного моделирования является отбор признаков, который включает в себя выбор наиболее значимых признаков из набора данных для использования в модели. Часто предпочтение отдается признакам, которые сильно коррелируют с целевой переменной, поскольку они с большей вероятностью будут предсказывать целевую переменную.

Z-оценка может использоваться для определения признаков, которые высоко коррелируют с целевой переменной, поскольку признаки, имеющие высокую Z-оценку, с большей вероятностью будут предсказывать целевую переменную. Формула для расчета Z-оценки признака выглядит следующим образом:

Z = (значение признака - среднее значение признака) / стандартное отклонение признака

Практический пример использования Z-оценки в прогностическом моделировании относится к области финансов. При прогнозировании цен на акции Z-коэффициент доходности акции в прошлом может быть использован для определения потенциала ее будущей доходности. Высокий показатель Z-оценки указывает на то, что доходность акции в прошлом значительно превышает среднее значение и может быть прогнозируемой для более высокой доходности в будущем.

Другой практический пример использования Z-оценки в прогностическом моделировании - это область здравоохранения. При прогнозировании результатов лечения пациентов Z-оценка показателей здоровья пациента может быть использована для определения его потенциала для будущих результатов. Высокий показатель Z-оценки указывает на то, что показатели здоровья пациента значительно хуже среднего значения, и может свидетельствовать о плохих будущих результатах.

Использование таблицы Z-оценок

Z-таблица, также известная как стандартная нормальная таблица или единичная нормальная таблица, - это таблица, содержащая стандартизированные значения, используемые для расчета вероятности того, что данная статистика находится ниже, выше или между стандартным нормальным распределением.

z	0	0.01	0.02	0.03	0.04	0.05	0.06	0.07	0.08	0.09
0	0	0.00399	0.00798	0.01197	0.01595	0.01994	0.02392	0.0279	0.03188	0.03586
0.1	0.03983	0.0438	0.04776	0.05172	0.05567	0.05962	0.06356	0.06749	0.07142	0.07535
0.2	0.07926	0.08317	0.08706	0.09095	0.09483	0.09871	0.10257	0.10642	0.11026	0.11409
0.3	0.11791	0.12172	0.12552	0.1293	0.13307	0.13683	0.14058	0.14431	0.14803	0.15173
0.4	0.15542	0.1591	0.16276	0.1664	0.17003	0.17364	0.17724	0.18082	0.18439	0.18793
0.5	0.19146	0.19497	0.19847	0.20194	0.2054	0.20884	0.21226	0.21566	0.21904	0.2224
0.6	0.22575	0.22907	0.23237	0.23565	0.23891	0.24215	0.24537	0.24857	0.25175	0.2549
0.7	0.25804	0.26115	0.26424	0.2673	0.27035	0.27337	0.27637	0.27935	0.2823	0.28524
0.8	0.28814	0.29103	0.29389	0.29673	0.29955	0.30234	0.30511	0.30785	0.31057	0.31327
0.9	0.31594	0.31859	0.32121	0.32381	0.32639	0.32894	0.33147	0.33398	0.33646	0.33891
1	0.34134	0.34375	0.34614	0.34849	0.35083	0.35314	0.35543	0.35769	0.35993	0.36214
1.1	0.36433	0.3665	0.36864	0.37076	0.37286	0.37493	0.37698	0.379	0.381	0.38298
1.2	0.38493	0.38686	0.38877	0.39065	0.39251	0.39435	0.39617	0.39796	0.39973	0.40147
1.3	0.4032	0.4049	0.40658	0.40824	0.40988	0.41149	0.41308	0.41466	0.41621	0.41774
1.4	0.41924	0.42073	0.4222	0.42364	0.42507	0.42647	0.42785	0.42922	0.43056	0.43189
1.5	0.43319	0.43448	0.43574	0.43699	0.43822	0.43943	0.44062	0.44179	0.44295	0.44408
1.6	0.4452	0.4463	0.44738	0.44845	0.4495	0.45053	0.45154	0.45254	0.45352	0.45449
1.7	0.45543	0.45637	0.45728	0.45818	0.45907	0.45994	0.4608	0.46164	0.46246	0.46327
1.8	0.46407	0.46485	0.46562	0.46638	0.46712	0.46784	0.46856	0.46926	0.46995	0.47062
1.9	0.47128	0.47193	0.47257	0.4732	0.47381	0.47441	0.475	0.47558	0.47615	0.4767
2	0.47725	0.47778	0.47831	0.47882	0.47932	0.47982	0.4803	0.48077	0.48124	0.48169
2.1	0.48214	0.48257	0.483	0.48341	0.48382	0.48422	0.48461	0.485	0.48537	0.48574
2.2	0.4861	0.48645	0.48679	0.48713	0.48745	0.48778	0.48809	0.4884	0.4887	0.48899
2.3	0.48928	0.48956	0.48983	0.4901	0.49036	0.49061	0.49086	0.49111	0.49134	0.49158
2.4	0.4918	0.49202	0.49224	0.49245	0.49266	0.49286	0.49305	0.49324	0.49343	0.49361
2.5	0.49379	0.49396	0.49413	0.4943	0.49446	0.49461	0.49477	0.49492	0.49506	0.4952
2.6	0.49534	0.49547	0.4956	0.49573	0.49585	0.49598	0.49609	0.49621	0.49632	0.49643
2.7	0.49653	0.49664	0.49674	0.49683	0.49693	0.49702	0.49711	0.4972	0.49728	0.49736
2.8	0.49744	0.49752	0.4976	0.49767	0.49774	0.49781	0.49788	0.49795	0.49801	0.49807
2.9	0.49813	0.49819	0.49825	0.49831	0.49836	0.49841	0.49846	0.49851	0.49856	0.49861
3	0.49865	0.49869	0.49874	0.49878	0.49882	0.49886	0.49889	0.49893	0.49896	0.499
3.1	0.49903	0.49906	0.4991	0.49913	0.49916	0.49918	0.49921	0.49924	0.49926	0.49929
3.2	0.49931	0.49934	0.49936	0.49938	0.4994	0.49942	0.49944	0.49946	0.49948	0.4995
3.3	0.49952	0.49953	0.49955	0.49957	0.49958	0.4996	0.49961	0.49962	0.49964	0.49965
3.4	0.49966	0.49968	0.49969	0.4997	0.49971	0.49972	0.49973	0.49974	0.49975	0.49976
3.5	0.49977	0.49978	0.49978	0.49979	0.4998	0.49981	0.49981	0.49982	0.49983	0.49983
3.6	0.49984	0.49985	0.49985	0.49986	0.49986	0.49987	0.49987	0.49988	0.49988	0.49989
3.7	0.49989	0.4999	0.4999	0.4999	0.49991	0.49991	0.49992	0.49992	0.49992	0.49992
3.8	0.49993	0.49993	0.49993	0.49994	0.49994	0.49994	0.49994	0.49995	0.49995	0.49995
3.9	0.49995	0.49995	0.49996	0.49996	0.49996	0.49996	0.49996	0.49996	0.49997	0.49997
4	0.49997	0.49997	0.49997	0.49997	0.49997	0.49997	0.49998	0.49998	0.49998	0.49998

Чтобы использовать z-таблицу, необходимо найти строку, соответствующую рассчитанному вами z-коэффициенту, а затем найти соответствующий столбец, который дает площадь (вероятность) под стандартной нормальной кривой. Полученное значение является приблизительной вероятностью того, что случайная величина из стандартного нормального распределения будет меньше или равна рассчитанной вами z-оценке.

Например, если у вас есть z-оценка 1,96, вы должны найти в z-таблице строку, соответствующую 1,9, и столбец, соответствующий 0,06. Полученное значение даст вам площадь под стандартной нормальной кривой справа от 1,96. Это значение равно приблизительно 0,975, что означает, что приблизительно 97,5% данных стандартного нормального распределения будут меньше или равны 1,96.

Важно отметить, что z-таблица работает только для стандартного нормального распределения со средним значением 0 и стандартным отклонением 1. Если ваши данные не соответствуют такому распределению, вам необходимо сначала стандартизировать их, преобразовав данные в z-коэффициенты.

Нахождение вероятности из Z-оценки

Когда мы преобразуем нормально распределенную переменную в Z-оценку, мы можем использовать таблицу Z-оценки и найти долю площади под нормальной кривой. Общая площадь под стандартной нормальной кривой равна 1. Поэтому доля площади, занимаемой нормальной кривой, равна вероятности этой Z-оценки.

Пример 1

Вес игроков в бокс нормально распределен со средним значением 75 кг и стандартным отклонением 3 кг. Какова вероятность того, что вес случайно выбранного игрока;

• a) Больше 78 кг?
• b) Меньше 69 кг?
• c) Больше 72 кг?
• d) Менее 79,5 кг?
• e) От 72 до 76,5 кг?
• f) От 72 кг до 73,5 кг?

a) Какова вероятность того, что вес случайно выбранного игрока больше 78 кг?

• X > 78
• μ = 75
• σ = 3

$$P(X>78)=P\left(Z>\frac{X-μ}{σ}\right)=P\left(Z>\frac{78-75}{3}\right)=P(Z>1)$$

Изобразим это в виде Z-кривой.

Теперь мы воспользуемся Z-таблицей, чтобы найти соответствующую вероятность для рассчитанной Z-оценки.

Помните, что Z-оценка всегда дает вероятность между Z-оценкой и средним значением. Чтобы получить вероятность выделенной области на графике, нам нужно уменьшить эту вероятность от 0,5. (Общая вероятность под кривой равна 1, а среднее значение стандартного распределения равномерно делится на 2 части. Следовательно, вероятность от средней точки в обе стороны от конца равна 0,5).

• P (X > 78) = P (Z > 1)
• P (X > 78) = 0,5 - P(0 < Z < 1)
• P (X > 78) = 0,5 - 0,3413
• P (X > 78) = 0,1587

Таким образом, вероятность того, что вес случайно выбранного игрока больше 78 кг, составляет 0,1587.

b) Какова вероятность того, что вес случайно выбранного игрока менее 69 кг?

• X < 69
• μ = 75
• σ = 3

$$P(X<69)=P\left(Z>\frac{X-μ}{σ}\right)=P\left(Z>\frac{69-75}{3}\right)=P(Z<-2)$$

Изобразим это в виде Z-кривой.

Теперь мы воспользуемся Z-таблицей, чтобы найти соответствующую вероятность для рассчитанной Z-оценки.

Помните, что Z-оценка всегда дает вероятность между Z-оценкой и средним значением. Чтобы получить вероятность выделенной области на графике, нам нужно уменьшить эту вероятность от 0,5.

• P (X < 69) = P (Z < 69)
• P (X < 69) = 0,5 - P (0 > Z > -2)
• P (X < 69) = 0,5 - 0,4772
• P (X < 69) = 0,0228

Таким образом, есть вероятность 0,0228, что вес случайно выбранного игрока меньше 69 кг.

с) Какова вероятность того, что вес случайно выбранного игрока между 72 кг и 76,5 кг?

• 72 < X < 76,5
• μ = 75
• σ = 3

$$P(72 \lt X \lt 76,5)=P\left(\frac{X-μ}{σ} \lt Z \lt \frac{X-μ}{σ}\right)=P\left(\frac{72-75}{3} \lt Z \lt \frac{76,5-75}{3}\right)=P(-1 \lt Z \lt 0,5)$$

Изобразим это в виде Z-кривой.

Воспользуемся Z-таблицей, чтобы найти соответствующую вероятность для нашей Z-оценки.

Помните, что Z-оценка всегда дает вероятность между Z-оценкой и средним значением. Чтобы получить вероятность выделенной области на графике, вы можете сложить вероятности двух Z-баллов вместе.

• P (72 < X < 76,5) = P (-1 < Z < 0,5)
• P (72 < X < 76,5) = 0,3413 + 0,1915
• P (72 < X < 76,5) = 0,5328

Таким образом, есть вероятность 0,5328, что вес случайно выбранного игрока находится в пределах между 72 кг и 76,5 кг.

Чтобы быстро получить нужный ответ, можно воспользоваться калькулятором "Вероятность между двумя Z-коэффициентами".

Нахождение соответствующих значений для заданной вероятности

Когда мы знаем, что распределение является нормальным, мы можем найти соответствующие значения для заданных вероятностей на основе Z-оценки.

Пример 2

Оценки абитуриентов на конкурсном экзамене распределены приблизительно нормально, со средним значением 55 и стандартным отклонением 10. Если тест проходят 30% лучших претендентов, найдите минимальный проходной балл.

Решение

В этом случае сначала нужно найти соответствующую Z-оценку для заданной вероятности или процента.

Чтобы найти Z-оценку, нам фактически нужно найти вероятность в выделенной области. Она получается путем вычитания 0,30 из 0,50. Таким образом, вероятность в выделенной области равна 0,20.

Теперь в Z-таблице нужно найти вероятность, наиболее близкую к 0,20. Соответствующий Z-коэффициент равен 0,524.

Затем мы должны найти значение X, используя формулу Z-оценки.

• Z = (X - μ)/σ
• 0,524 = (X - 55)/10
• X = (0,524 × 10) + 55
• X = 60,24

Таким образом, минимальный проходной балл за экзамен составляет 60,24.