Kalkuleytor ng Kombinasyon

Sa matematika, may ilang estratehiya upang matukoy ang bilang ng mga natatanging paraan ng pagpili ng mga bagay mula sa isang naibigay na set. Ngunit paano mo ba eksaktong kakalkulahin ang bilang ng mga paraan para pumili ng r na mga resulta mula sa n na mga posibilidad? Nakadepende ang sagot sa dalawang mahalagang salik: kung mahalaga ba ang ayos (order) ng iyong pagpili, at kung pinapayagan bang maulit ang mga halaga.

Ang bilang ng mga paraan upang pumili ng r na hindi nakaayos (unordered) na resulta mula sa n na mga posibilidad ay kilala bilang isang kombinasyon, na sa matematika ay isinusulat bilang C(n, r). Malawak din itong kinikilala bilang binomial coefficient. Ang aming combinations calculator (o nCr calculator) ay nagbibigay ng mabilis at maaasahang paraan para makalkula ang eksaktong bilang ng kombinasyon ng r na mga bagay mula sa isang set ng n na mga bagay.

Mga panuntunan sa paggamit ng kalkuleytor ng kombinasyon

Para sa anumang naibigay na set ng mga bagay, may tiyak na bilang ng mga paraan upang ayusin o piliin ang mga ito batay sa iyong mga kinakailangang parameter. Kinakalkula ng kalkuleytor na ito ang bilang ng mga paraan na maaari kang pumili ng r na mga bagay mula sa isang set ng n na mga bagay nang walang pag-uulit (without repetition), partikular para sa mga sitwasyon kung saan hindi mahalaga ang ayos ng pagpili.

Upang magamit nang epektibo ang tool, nangangailangan ang kalkuleytor ng dalawang pangunahing input:

• n = bilang ng mga magkakaibang bagay na pagpipilian, at
• r = bilang ng mga posisyon na pupunan.

Isang mahalagang pamantayang matematikal para sa paglalagay ng data sa combination calculator ay:

0 ≤ r ≤ n

Kung maglalagay ka ng halaga para sa r na mas malaki sa n, agad na magpapakita ang kalkuleytor ng mensahe na:

"Maglagay ng mga halaga kung saan n ≥ r ≥ 0".

Ang pangunahing prinsipyo ng pagbibilang

Ang Pangunahing Prinsipyo ng Pagbibilang ay ang matematikal na gulugod na gumagabay sa atin sa paghahanap ng kabuuang bilang ng mga paraan upang maisagawa ang iba't ibang magkakasunod na gawain. Ito ay binuo mula sa dalawang pangunahing panuntunan ng pagbibilang.

Ang panuntunan ng kabuuan

Kung ang unang gawain ay maaaring makumpleto sa m na paraan, at ang pangalawang gawain ay maaaring makumpleto sa n na paraan, ngunit ang mga gawaing ito ay hindi maaaring gawin nang sabay, ang kabuuang bilang ng posibleng paraan upang makumpleto ang alinman sa dalawang gawain ay binibilang bilang (m + n).

Ang panuntunan ng produkto

Kung ang unang gawain ay maaaring gawin sa m na paraan at ang pangalawang gawain ay maaaring gawin sa n na paraan, at ang parehong gawain ay maaaring gawin nang sabay (o isa pagkatapos ng isa), magkakaroon ng (m × n) na kabuuang paraan upang maisagawa ang mga ito.

Mga Halimbawa

Ipagpalagay na may isang kapeteriya na nagbebenta ng 3 uri ng pie (apple, strawberry, at blueberry) at 4 na uri ng inumin (orange, grape, cherry, at pineapple juice). Ang bawat inumin at pie ay nagkakahalaga ng $2 bawat isa. Kung sakto lang na $2 ang nasa bulsa mo, isang item lang ang mabibili mo. Gamit ang panuntunan ng kabuuan, mayroon kang 3 + 4 = 7 na iba't ibang pagkakataon upang gumawa ng isang pagpili.

Ngayon, ipagpalagay nating gusto mong malaman ang bilang ng mga paraan para maghagis ng barya (flip a coin) at magpagulong ng standard na die nang sabay. Ang bilang ng paraan upang maghagis ng barya ay 2, dahil may 2 mukha ang barya. Gayundin, may 6 na posibleng resulta kapag nagpagulong ka ng die. Dahil ginagawa mo ang parehong gawain nang sabay, naaangkop ang panuntunan ng produkto: may 2 × 6 = 12 kabuuang paraan para maghagis ng barya at magpagulong ng die.

Sa katulad na paraan, kung gusto mong bumunot ng 2 baraha mula sa isang standard na deck ng 52 baraha nang hindi ibinabalik ang mga ito, may 52 na posibleng paraan para bumunot ng unang baraha, at 51 na natitirang paraan para bumunot ng pangalawa. Samakatuwid, ang kabuuang bilang ng mga paraan upang bumunot ng dalawang natatanging barahang iyon ay 52 × 51 = 2,652.

Mga Sample Space

Ang sample space ay isang kumpletong listahan ng lahat ng posibleng resulta sa isang naibigay na sitwasyon, na karaniwang kinakatawan ng malaking titik na S. Halimbawa, ang sample space para sa paghahagis ng barya at pagpapagulong ng die nang sabay ay:

S = {{H,1}, {H,2}, {H,3}, {H,4}, {H,5}, {H,6}, {T,1}, {T,2}, {T,3}, {T,4}, {T,5}, {T,6}}

Gaya ng ipinapakita, may eksaktong labindalawang posibleng resulta. Ang pangunahing mga prinsipyo ng pagbibilang ay nagbibigay-daan sa atin na madaling makalkula ang kabuuang bilang ng mga posibilidad na ito nang hindi na kailangang manwal na ilista ang buong sample space.

Kombinasyon

Ang kombinasyon ay kumakatawan sa bilang ng mga posibleng paraan upang pumili ng r na hindi nauulit na resulta mula sa n na mga posibilidad kapag ang ayos ng pagpili ay ganap na hindi mahalaga. Ang kombinasyon ng mga bagay ay isinusulat bilang C(n, r) at karaniwang tinutukoy bilang binomial coefficient. Ang standard na formula ng kombinasyon (nCr) ay inilalarawan bilang:

$$C(n,r)=\frac{n!}{r!(n-r)!}$$

Ang exclamation mark (!) na kasunod ng isang numero o titik ay nagpapahiwatig ng isang matematikal na factorial. Halimbawa, ang n! ay kumakatawan sa factorial ng numerong n—na siyang produkto ng lahat ng positibong integer mula 1 hanggang n. Ang factorial ng 2 ay 1 × 2. Ang factorial ng 3 ay 1 × 2 × 3. Ang factorial ng 4 ay 1 × 2 × 3 × 4, at iba pa. Tandaan na ang mga factorial ay maaari lamang makalkula para sa mga non-negative integer.

Ang pinakamahalagang katangian ng pagkuwenta ng mga kombinasyon gamit ang formula na ito ay hindi pinapayagan ang pag-uulit (repetition) ng bagay, at hindi mahalaga ang ayos ng pagkakahanay.

Halimbawa 1

Ipagpalagay na mayroon kang isang simpleng set ng apat na numero:

{1, 2, 3, 4}

Sa ilang natatanging paraan natin maaaring pagsamahin ang dalawang elemento mula sa set na ito kung ang parehong elemento ay hindi maaaring maulit sa isang pares?

Kung mahalaga ang ayos ng mga elemento, titingnan natin ang mga grupong nabuo ng mga permutasyon:

(1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3)

Gayunpaman, dahil hindi mahalaga ang ayos sa mga kombinasyon, aalisin natin ang mga duplicate para makuha ang:

(1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,4)

Nag-iiwan ito sa atin ng 6 na posibleng kombinasyon. Maaari natin itong patunayan gamit ang formula ng mga kombinasyon. Sa halimbawang ito, $n=4$ at $r=2$. Samakatuwid:

$$C(4,2)=\frac{4!}{2!(4-2)!}=\frac{4!}{2!2!}=\frac{4 × 3 × 2 × 1}{(2× 1)(2× 1)}=\frac{24}{4}=6$$

Ang manu-manong pagkuwentang ito ay perpektong tumutugma sa mga resultang ginawa ng aming Combinations Calculator.

Halimbawa 2

Ano ang mga posibleng kombinasyon ng mga titik na A, B, C, at D kapag ginrupo sa mga set ng 3? Kung mahalaga ang ayos (mga permutasyon), magkakaroon ng 24 na posibleng pagkakahanay. Gayunpaman, sa combinatorial na pagbibilang, hindi mahalaga ang ayos. Dahil dito, ang mga natatanging pagpapangkat lamang sa unang hilera ng talahanayan sa ibaba ang may kaugnayan, na nagbibigay sa atin ng eksaktong 4 na posibleng kombinasyon.

Kaysa sa nakakapagod na ilista ang lahat ng posibleng ayos, maaari nating mabilis na makalkula ang bilang ng mga kombinasyon gamit ang nCr formula. Dito, mayroon tayong n=4 na magkakaibang bagay, at kumukuha tayo ng r=3 sa isang pagkakataon. Samakatuwid:

$$C\left(n,r\right)=C\left(4,3\right)=\frac{4!}{\left(4-3\right)!3!}=\frac{4!}{1!3!}=4$$

Permutasyon

Habang binabalewala ng mga kombinasyon ang ayos, tinutukoy naman ng isang permutasyon ang bilang ng mga paraan upang isaayos at piliin ang mga bagay kapag mahigpit na mahalaga ang ayos ng mga bagay na ito. Ang karaniwang formula para sa mga permutasyon (nPr) kapag pumipili ng r na mga bagay mula sa isang grupo ng n na magkakaibang bagay ay:

$$P\left(n,r\right)=\frac{n!}{\left(n-r\right)!}$$

Ang dalawang naglalarawang katangian ng pagkalkula ng mga permutasyon gamit ang formula na ito ay hindi pinapayagan ang pag-uulit ng bagay, at talagang mahalaga ang tiyak na pagkakasunud-sunod o ayos ng mga bagay.

Halimbawa 3

Ipagpalagay na may 4 na kandidato sa isang job interview. Kailangang i-rank ng selection committee ang lahat ng 4 na kandidato mula 1st hanggang 4th place. Narito kung paano nahahati ang mga posibilidad:

• 1st candidate - may 4 na paraan ng pagpili
• 2nd candidate - may 3 paraan ng pagpili
• 3rd candidate - may 2 paraan ng pagpili
• 4th candidate - mayroon lamang isang paraan ng pagpili

Gamit ang panuntunan ng produkto ng pagbibilang, ang kabuuang bilang ng mga paraan para i-rank ang mga kandidato ay 4 × 3 × 2 × 1 = 24, na sa matematika ay katumbas ng 4!. Sabihin nating ang mga kandidato ay:

{A, B, C, D}

Ang sample space para sa problemang ito, na nagpapakita sa lahat ng 24 na posibleng permutasyon, ay nakabalangkas sa talahanayan sa ibaba:

Sa halip na manwal na imapa ang lahat ng potensyal na pagkakasunud-sunod, maaari nating makalkula ang eksaktong bilang ng mga ayos gamit ang formula ng mga permutasyon. Para sa halimbawang ito, mayroong n = 4 na mga bagay, at isinasaayos natin ang r = 4 na mga elemento sa bawat pagkakataon. Samakatuwid:

$$P\left(n,r\right)=P\left(4,4\right)=\frac{4!}{\left(4-4\right)!}=\frac{4!}{0!}=24$$

Ang Pagkakaiba ng Kombinasyon at Permutasyon

Kapag nagpapasya kung aling matematikal na diskarte ang gagamitin, tandaan ang pangunahing panuntunang ito: ang pangunahing pagkakaiba sa pagitan ng mga permutasyon at mga kombinasyon ay ayos (order). Sa mga kombinasyon, ang ayos ng mga napiling elemento ay hindi mahalaga (halimbawa, pagpili ng team). Sa mga permutasyon, napakahalaga ng ayos ng mga napiling elemento (halimbawa, panghuhula ng password o pagra-rank ng mga kandidato).