Calculator ng Permutasyon

Tinutukoy ng aming calculator ng permutasyon ang eksaktong bilang ng paraan kung paano mo maisasaayos ang n na magkakaibang object, sa pagkuha ng sample ng r na elemento sa bawat pagkakataon. Kinakalkula nito ang bilang ng posibleng pagkakaayos para sa mga grupo kung saan ang partikular na pagkakasunod-sunod o ayos ng mga elemento ay mahigpit na mahalaga. Ang kabuuang bilang ng mga available na object ay kinakatawan ng n, habang ang bilang ng mga elemento sa bawat piling grupo ay kinakatawan ng r.

Halimbawa, kung gusto nating isaayos ang mga letrang XYZ sa mga grupong may tig-dadalawang letra, makakabuo tayo ng XY, XZ, YZ, YX, ZX, at ZY, na magreresulta sa 6 na magkakaibang paraan.

Para gamitin ang nPr calculator na ito, ilagay lang ang n (ang kabuuang bilang ng mga object na isasaayos) at r (ang bilang ng mga elemento sa bawat sample group), pagkatapos ay i-click ang "Kalkulahin" ("Calculate").

Mga Permutasyon

Sa matematika, ang permutasyon ay ang pagsasaayos ng mga miyembro ng isang set sa isang partikular na pagkakasunod-sunod o ayos. Kung ang isang set ay nakaayos na, ang muling pagsasaayos ng mga elemento nito ay lilikha ng panibagong permutasyon. Sa anumang permutasyon, ang pagkakasunod-sunod ng mga elemento ay talagang mahalaga. Halimbawa, ang mga sequence na AB at BA ay kumakatawan sa dalawang magkaibang permutasyon. Ang kabuuang bilang ng mga permutasyon ng n na object na kinuha sa mga sample ng r na object ay karaniwang kinakatawan bilang nPr.

Ang pagkalkula sa bilang ng mga permutasyon ay lubos na nakadepende sa uri ng mga object na isasaayos at kung pinapayagan ang pag-uulit (repetitions). Maliban kung sinabing iba, karaniwang ipinapalagay na hindi pinapayagan ang mga pag-uulit kapag kumakalkula ng mga permutasyon.

Sa artikulong ito, tututok tayo ng eksklusibo sa mga halimbawa ng permutasyon nang walang pag-uulit.

Ang mga permutasyon ay nakabatay sa pangunahing prinsipyo ng pagbibilang (fundamental principle of counting). Isinasaad ng prinsipyong ito na kung ang isang eksperimento ay binubuo ng k na magkakasunod na kaganapan (sequential events), kung saan ang unang kaganapan ay maaaring mangyari sa n₁ na paraan, ang pangalawa sa n₂ na paraan, at iba pa hanggang ang huling kaganapan ay mangyari sa nₖ na paraan, ang kabuuang bilang ng paraan na maaaring mangyari ang eksperimento ay ang produkto ng mga indibidwal na kaganapang ito: n₁ × n₂ × ... × nₖ.

Ipagpalagay natin na gusto nating tukuyin ang bilang ng posibleng permutasyon para sa mga letrang ABC nang walang anumang pag-uulit. Alinman sa tatlong letra ang maaaring ilagay sa una, ibig sabihin, may 3 paraan para itakda ang unang letra.

Kapag naitakda na ang unang letra, dalawang letra na lang ang natitira. Alinman sa dalawang ito ang maaaring piliin bilang pangalawang letra, na nagbibigay sa atin ng 2 paraan para itakda ang pangalawang letra. Matapos mapili ang pangalawang letra, isa na lang ang natitira, ibig sabihin, may 1 paraan na lang para itakda ang pangatlong letra.

Sa paglalapat ng pangunahing prinsipyo ng pagbibilang, mayroong 3 × 2 × 1 = 6 na kabuuang paraan para isaayos ang mga letrang ABC. Ang mga pagkakaayos na ito ay ABC, ACB, BCA, BAC, CAB, at CBA.

Ang Factorial

Tulad ng ipinakita sa itaas, ang bilang ng mga permutasyon ng 3 magkakaibang object ay kinakalkula bilang 3 × 2 × 1 = 6. Sa pangkalahatan, ang bilang ng mga permutasyon para sa pagsasaayos ng buong set ng n na object ay ibinibigay sa pamamagitan ng n × (n-1) × (n-2) × ... × 1.

Kabilang dito ang pagpaparami (multiplying) sa lahat ng positive integer mula n pababa sa 1. Sa matematika, ang produkto ng isang integer na n at lahat ng positive integer sa ilalim nito ay tinatawag na factorial, na kinakatawan ng exclamation mark (!).

Samakatuwid, ang n! = n × (n-1) × (n-2) × ... × 1, at binibigkas ito bilang "n factorial".

Tandaan na ayon sa mathematical convention, ang 0! = 1 at 1! = 1.

Ang Halimbawa ng mga Permutasyon

Ang standard na track para sa mga sprinting race sa Olympics ay mayroong 9 na lane. Gayunpaman, para sa 100-meter dash, ang lane 1 ay karaniwang iniiwang bakante. Sa halip, inilalagay ang 8 mananakbo sa lanes 2 hanggang 9. Ilang posibleng paraan maaaring isaayos ang 8 mananakbong ito sa lanes 2 hanggang 9?

Gamit ang pangunahing prinsipyo ng pagbibilang:

• sinuman sa 8 mananakbo ay maaaring ilagay sa lane 2,
• sinuman sa natitirang 7 mananakbo ay maaaring ilagay sa lane 3,
• sinuman sa natitirang 6 na mananakbo ay maaaring ilagay sa lane 4,
• sinuman sa natitirang 5 mananakbo ay maaaring ilagay sa lane 5,
• sinuman sa natitirang 4 na mananakbo ay maaaring ilagay sa lane 6,
• sinuman sa natitirang 3 mananakbo ay maaaring ilagay sa lane 7,
• alinman sa natitirang 2 mananakbo ay maaaring ilagay sa lane 8,
• ang 1 natitirang mananakbo ay ilalagay sa lane 9.

Samakatuwid, ang kabuuang posibleng permutasyon para sa pagsasaayos ng 8 mananakbo sa 8 available na lane ay 8! = 8 × 7 × 6 × ... × 2 × 1 = 40,320 paraan.

Upang malutas ito gamit ang aming calculator ng permutasyon, ilagay lamang ang 8 sa parehong kahon ng n (mga object) at r (sample), pagkatapos ay i-click ang "Kalkulahin" ("Calculate") para makuha agad ang 40,320.

Permutasyon ng mga Subset

Sa mga naunang halimbawa, sinuri natin ang pagkalkula ng mga permutasyon kung saan ang bawat object sa set ay ginagamit sa pagsasaayos. Gayunpaman, maraming sitwasyon kung saan ang mas malaking set ng mga object ay isinasaayos sa mas maliliit na subgroup.

Sa mga kasong ito, ang kabuuang bilang ng mga available na object ay kinakatawan ng n, ang bilang ng mga object na pinili para sa subgroup (ang sample) ay kinakatawan ng r, at ang sumusunod na pormula ay ginagamit para kalkulahin ang bilang ng mga permutasyon:

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{\left(n-r\right)!}$$

Ito ang standard na pormula ng permutasyon na ginagamit upang kalkulahin ang mga pagsasaayos nang walang pag-uulit kapag kailangan mong i-organisa ang isang partikular na sample na r na kinuha mula sa isang mas malaking set na n.

Kung kailangan mong kalkulahin ang bilang ng paraan para isaayos ang lahat ng elemento ng isang set sa isang partikular na pagkakasunod-sunod nang walang pag-uulit (kung saan ang n ay katumbas ng r), ang pormula ay napapasimple sa:

$$ₙPᵣ=n!$$

Halimbawa

Sa pagbabalik sa halimbawa ng 100-meter dash, kinalkula natin kanina ang kabuuang bilang ng paraan na maaaring isaayos ang lahat ng walong mananakbo sa track. Ngayon, tingnan natin ang mga medalya. May tatlong medalya na pag-aagawan: ang unang pwesto ay mananalo ng ginto, ang pangalawang pwesto ay pilak, at ang pangatlong pwesto ay tanso. Mula sa 8 panimulang mananakbo, ilang posibleng paraan maipapamahagi ang mga medalyang ginto, pilak, at tanso?

Batay sa pangunahing prinsipyo ng pagbibilang, sinuman sa 8 mananakbo ang maaaring makakuha ng unang pwesto. Kapag napagpasyahan na ang nanalo ng ginto, 7 mananakbo na lang ang matitira para maglaban sa pangalawang pwesto. Matapos maibigay ang pilak, 6 na mananakbo ang matitirang maglalaban para sa tansong medalya para sa pangatlong pwesto. Samakatuwid, ang kabuuang bilang ng posibleng permutasyon para sa top 3 na posisyon mula sa 8 mananakbo ay: 8 × 7 × 6 = 336

Bilang alternatibo, maaari nating gamitin ang pormulang nPr:

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{\left(n-r\right)!}$$

Kapag inilagay natin ang ating mga numero, makukuha natin ang:

$$₈P₃=\frac{8!}{\left(8-3\right)!}=\frac{8!}{5!}=\frac{8×7×6×5×4×\ldots×1}{5×4×\ldots×1}=8×7×6=336$$

Para mahanap ito gamit ang calculator ng permutasyon, ilagay ang 8 sa kahon ng n (mga object) at 3 sa kahon ng r (sample). I-click ang "Kalkulahin" ("Calculate"), at makukuha mo ang 336.

Mga Permutasyon at Kombinasyon: Ang Pagkakaiba

Isa pang mahalagang technique sa pagbibilang sa matematika ay ang mga kombinasyon (combinations). Kinakatawan ng mga kombinasyon ang iba't ibang paraan na maaaring pumili ng mas maliit na bilang ng mga object (sample r) mula sa mas malaking grupo ng mga object (n). Ang bilang ng mga kombinasyon ng r na object na pinili mula sa n na object ay simpleng kinakatawan bilang ₙCᵣ.

Nang tinukoy natin ang mga permutasyon, sinabi natin na ang pagkakasunod-sunod o pagsasaayos ay mahigpit na mahalaga. Ito mismo ang pangunahing pagkakaiba sa pagitan ng mga permutasyon at kombinasyon: sa mga kombinasyon, hindi mahalaga ang pagkakasunod-sunod (order does not matter).

Halimbawa, nauna nating nabanggit na ang mga permutasyon ng mga letrang XYZ na kinuha sa mga grupong may dalawang letra ay nagbibigay ng anim na magkakaibang pagkakaayos: XY, XZ, YZ, YX, ZX, at ZY.

Gayunpaman, ang mga kombinasyon ng mga letrang XYZ sa mga grupong may dalawang letra ay nagbibigay lamang ng tatlong magkakaibang pares: XY, XZ, at YZ. Dahil hindi mahalaga ang pagkakasunod-sunod sa mga kombinasyon, ang XY at YX ay itinuturing na iisang pares lamang. Ganoon din ang naaangkop sa XZ at ZX, pati na rin sa YZ at ZY.

Ang pormulang ginagamit para kalkulahin ang bilang ng mga kombinasyon ng r na object mula sa n na object ay:

$$ₙСᵣ=\frac{n!}{r!\left(n-r\right)!}$$

Halimbawa ng Pagkalkula ng mga Kombinasyon

Sa senaryo ng mananakbo sa itaas, kinalkula natin ang bilang ng paraan na maaari nating italaga ang partikular na unang, pangalawang, at pangatlong pwesto mula sa grupo ng 8 mananakbo. Ngunit paano kung gusto lang nating malaman ang bilang ng paraan para pumili ng 3 medalista mula sa 8 mananakbo, anuman ang kanilang partikular na pwesto? Sa kasong ito, hindi mahalaga kung sino ang mauna, pangalawa, o pangatlo—basta't mapipili silang manalo ng medalya.

Dahil ang eksaktong pagkakasunod-sunod ng mga medalya ay hindi mahalaga rito, gagamit tayo ng mga kombinasyon. Maaari natin itong lutasin gamit ang standard na pormula ng mga kombinasyon:

$$ₙСᵣ = \frac{n!}{r!(n-r)!}$$

Ang bilang ng mga paraan upang pumili ng 3 unranked na medalista (walang tiyak na ranggo) mula sa grupo ng 8 mananakbo ay ibinibigay sa pamamagitan ng:

$$₈C₃=\frac{8!}{3! × \left(8-3\right)!}=\frac{8!}{3! × 5!}=\frac{8 × 7 × 6}{3 × 2 × 1}=8×7=56$$

Mga Halimbawa ng Pagkalkula ng mga Permutasyon

1. Kailangang pumili ng isang television news producer ng 3 mula sa 5 available na guest speaker para sa isang paparating na analytical program. Ang pagkakasunod-sunod ng pagsasalita ng mga bisita ay napakahalaga. Ilang magkakaibang paraan maaaring isaayos ng producer ang mga presentasyon? Dahil mahalaga ang pagkakasunod-sunod at hindi pinapayagan ang pag-uulit (hindi maaaring lumabas ng dalawang beses ang isang bisita sa iisang lineup), gagamitin natin ang pormula para sa mga permutasyon:

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{(n-r)!}$$

$$₅P₃ = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} = 5 × 4 × 3 = 60$$

Ipinapakita nito na may 60 natatanging paraan ang producer para i-organisa ang mga guest speaker.

2. Isang kilalang kritiko ng mga restawran ang naglista (shortlist) ng 10 mahuhusay na sushi establishment sa bayan para matukoy ang top 3 na sushi restaurant. Dapat i-presenta ang mga establishment sa isang partikular na pagkakasunod-sunod para maipakita ang kanilang final ranking, at walang restawran ang maaaring lumabas sa ranking nang higit sa isang beses. Dahil ang pagkakasunod-sunod ay napakahalaga at walang mga pag-uulit, natutugunan natin ang mga pangunahing kinakailangan para sa mga permutasyon. Ilalapat natin ang pormulang nPr:

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{(n-r)!}$$

$$₁₀P₃ = \frac{10!}{(10-3)!} = \frac{10!}{7!} = 10 × 9 × 8 = 720$$

3. Kapag sinabi nating "mahalaga ang pagkakasunod-sunod" (order is important) sa mga permutasyon, hindi nito mahigpit na ibig sabihin na ang pagkakasunod-sunod ay dapat isang numerong ranking tulad ng 1st, 2nd, o 3rd. Ang pagkakasunod-sunod ay maaari ring tukuyin sa pamamagitan ng mga partikular at magkakaibang tungkulin (roles) o lokasyon kung saan itinalaga ang ating mga elemento.

Halimbawa, isaalang-alang ang manager ng isang home repair company. Mayroon siyang apat na partikular na work order na kailangang tapusin ngayon: pagpipintura ng opisina ng visa agency, bodega (factory warehouse), tindahan ng damit, at isang kwarto sa pribadong bahay. Ang kumpanya ay may anim na pintor na tauhan. Bawat pintor ay maaari lamang ipadala sa 1 pasilidad bawat araw, ibig sabihin, natural na may dalawang pintor na walang pasok (day off).

Ang apat na natatanging lokasyon ng trabaho (ang visa agency, bodega, tindahan, at pribadong bahay) ay nagsisilbing katumbas ng mga posisyong 1, 2, 3, at 4.

Sinusuri ng manager ang kaniyang mga opsyon:

• 6 na available na pintor na maaaring italaga sa opisina ng visa agency,
• 5 natitirang pintor na maaaring italaga sa bodega ng pabrika,
• 4 na natitirang pintor na ipapadala sa tindahan ng damit,
• 3 natitirang pintor na maaaring italaga sa pribadong bahay.

Sa madaling unawa (intuitively), maaari nating kalkulahin ang kabuuang bilang ng mga mapagpipiliang takdang-aralin (assignment choices) bilang 6 × 5 × 4 × 3 = 360.

Dahil ang partikular na lokasyon kung saan itinalaga ang bawat pintor ay lubhang mahalaga (mahalaga ang pagkakasunod-sunod), at walang pintor ang maaaring magtrabaho sa higit sa isang lokasyon sa iisang araw (walang mga pag-uulit), maaari nating ganap na ilapat ang ating pormula ng permutasyon:

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{(n-r)!}$$

$$\frac{6!}{(6-4)!} = \frac{6!}{2!} = 6 × 5 × 4 × 3 = 360$$

Sa huli, mayroong eksaktong 360 magkakaibang paraan kung paano maipapamahagi ng home repair manager ang mga utos sa araw na iyon sa kaniyang mga available na pintor sa ilalim ng mga ibinigay na kondisyon.