Công cụ máy tính hoán vị

Công cụ máy tính hoán vị này giúp bạn tính toán số cách bạn có thể sắp xếp n đối tượng riêng biệt, lấy mẫu gồm r phần tử mỗi lần. Máy tính cho chúng ta biết số cách sắp xếp có thể có của các đối tượng trong các nhóm, trong đó thứ tự sắp xếp được xem là một yếu tố quan trọng. Tổng số đối tượng cần sắp xếp được ký hiệu là n, còn số phần tử trong mỗi nhóm (tập hợp con) được ký hiệu là r.

Ví dụ: nếu chúng ta muốn sắp xếp các chữ cái XYZ thành từng nhóm hai chữ cái thì chúng ta sẽ có XY, XX, YZ, YX, ZX và ZY: 6 cách.

Để sử dụng công cụ máy tính này, bạn hãy nhập n, tổng số phần tử cần sắp xếp theo thứ tự nào đó và nhập r, số phần tử trong mỗi nhóm, sau đó nhấp vào "Tính toán" (Calculate).

Hoán vị

Hoán vị của một tập hợp là một sự sắp xếp các phần tử của tập hợp đó theo một trình tự hoặc một thứ tự nhất định. Nếu một tập hợp đã được sắp xếp thứ tự thì đó là một hoán vị của các phần tử. Đối với một hoán vị, thứ tự của các phần tử là một yếu tố quan trọng. Ví dụ: hoán vị AB và BA là hai hoán vị khác nhau. Số hoán vị của n phần tử với mẫu r phần tử được ký hiệu là nPr.

Việc tính số hoán vị phụ thuộc vào các phần tử được sắp xếp. Nó cũng phụ thuộc vào việc có được phép lặp lại hay không. Trừ khi có yêu cầu khác, chúng ta giả định rằng không được phép lặp lại khi tính toán hoán vị.

Trong bài viết này chúng ta sẽ xem xét các ví dụ về hoán vị không lặp lại.

Hoán vị tuân theo nguyên lý đếm cơ bản. Nó khẳng định rằng nếu một thử nghiệm bao gồm k sự kiện, trong đó sự kiện đầu tiên xảy ra n₁ lần, sự kiện thứ hai xảy ra n₂ lần, và cứ tiếp tục cho đến khi sự kiện xảy ra nₖ lần. Số cách thử nghiệm có thể xảy ra theo trình tự được cho bởi tích của số lần mà các sự kiện đơn lẻ xảy ra, n₁ × n₂ × ... × nₖ.

Giả sử chúng ta muốn biết số cách sắp xếp có thể có của các chữ cái ABC mà không có sự lặp lại trong các hoán vị. Bất kỳ chữ cái nào cũng có thể đứng trước, vì vậy có 3 cách để đặt chữ cái đầu tiên.

Sau khi đặt chữ cái đầu tiên, còn hai chữ cái còn lại, và bất kỳ một trong hai chữ cái có thể được đặt làm chữ cái thứ hai, vì vậy có hai cách để đặt chữ cái thứ hai. Sau khi đặt chữ cái thứ hai, sẽ chỉ còn lại một chữ cái. Do đó, chỉ có một cách để đặt chữ cái thứ ba.

Do đó, theo nguyên lý đếm cơ bản, có 3 × 2 × 1 = 6 cách để sắp xếp các chữ cái ABC. Cụ thể là ABC, ACB, BCA, BAC, CAB và CBA.

Giai thừa

Ở trên, chúng ta đã xác định rằng số hoán vị của 3 phần tử phân biệt là 3 × 2 × 1 = 6. Nhìn chung, số hoán vị của tập hợp n phần tử được tính bằng n × (n-1) × (n-2) × ... × 1.

Đó là phép nhân của tất cả các số nguyên từ n đến 1. Phép nhân của tất cả các số nguyên từ một số nguyên, ví dụ n, đến 1 được gọi là giai thừa và được ký hiệu bằng dấu “!” (dấu chấm than).

Theo đó, n!= n × (n-1) × (n-2) × ... × 1, và được gọi là n giai thừa.

Lưu ý rằng 0!=1 và 1!=1.

Ví dụ về hoán vị

Đường đua tiêu chuẩn cho các cuộc đua tại Thế vận hội Olympics thường có 9 làn. Tuy nhiên, đối với cuộc đua 100 mét, có làn 1 thường không được sử dụng. 8 vận động viên được sắp xếp trên các làn từ 2 đến 9. Có bao nhiêu cách có thể sắp xếp 8 vận động viên trên các làn từ 2 đến 9?

Theo nguyên lý đếm cơ bản:

• Bất kỳ 1 trong 8 vận động viên nào cũng có thể chọn làn 2,
• Bất kỳ 1 trong 7 vận động viên còn lại cũng có thể chọn làn 3,
• Bất kỳ 1 trong 6 vận động viên còn lại cũng có thể chọn làn 4,
• Bất kỳ 1 trong 5 vận động viên còn lại cũng có thể chọn làn 5,
• Bất kỳ 1 trong 4 vận động viên còn lại cũng có thể chọn làn 6,
• Bất kỳ 1 trong 3 vận động viên còn lại cũng có thể chọn làn 7,
• Bất kỳ 1 trong 2 vận động viên còn lại cũng có thể chọn làn 8, Vận động viên còn lại nhận làn 9. Do đó, tổng số cách hoán vị có thể có của 8 vận động viên sắp xếp trên 8 làn là 8! = 8 × 7 × 6 × ... × 2 × 1 = 40.320 cách.

Trong công cụ máy tính hoán vị, bạn hãy nhập 8 vào cả hai ô n (phần tử) và r (mẫu) và nhấp vào Tính toán để thu được kết quả 40.320.

Hoán vị của tập hợp con

Trong các ví dụ trước, chúng ta đã xem xét các hoán vị của các phần tử khi tất cả các phần tử đều được đưa ra trong mỗi lần sắp xếp. Tuy nhiên, có những tình huống khi các phần tử được sắp xếp thành các nhóm nhỏ hơn.

Trong những trường hợp đó, tổng số phần tử đã cho là n, số lượng phần tử trong nhóm (mẫu) được ký hiệu là r và công thức cho số lượng các hoán vị là:

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{\left(n-r\right)!}$$

Công thức này được sử dụng để tính toán số hoán vị không lặp lại. Và nếu chúng ta cần sắp xếp theo một thứ tự nhất định thì mẫu r được lấy từ tập hợp n.

Nếu chúng ta tính toán số lượng các lựa chọn mà chúng ta có thể sắp xếp tất cả các phần tử của tập hợp cha theo một thứ tự nhất định và không lặp lại, chúng ta có thể sử dụng công thức sau:

$$ₙPᵣ=n!$$

Ví dụ

Trong ví dụ trên, chúng ta đã xem xét số cách có thể sắp xếp cho tất cả tám vận động viên chạy trong một cuộc đua 100 mét. Ở đây, trong cùng một cuộc đua, có ba huy chương cho 3 vận động viên xuất sắc nhất. Người về nhất giành huy chương vàng, người về thứ hai và thứ ba lần lượt giành huy chương bạc và đồng. Đối với 8 vận động viên tham gia cuộc đua, có bao nhiêu cách để phân chia huy chương vàng, bạc, đồng?

Theo nguyên tắc đếm cơ bản, bất kỳ ai trong số 8 vận động viên đều có thể về nhất. Sau khi vị trí đầu tiên đã được xác định, sẽ còn lại bảy vận động viên tranh giành vị trí thứ hai. Và sau vị trí thứ hai, sáu vận động viên sẽ tranh giành vị trí thứ ba. Do đó, tổng số hoán vị có thể có của vị trí thứ nhất đến vị trí thứ ba của 8 vận động viên là: 8 × 7 × 6 = 336

Chúng ta sử dụng công thức:

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{\left(n-r\right)!}$$

Và chúng ta có được

$$₈P₃=\frac{8!}{\left(8-3\right)!}=\frac{8!}{5!}=\frac{8×7×6×5×4×\ldots×1}{5×4×\ldots×1}=8×7×6=336$$

Và trong công cụ máy tính hoán vị này, bạn hãy nhập 8 vào ô n (phần tử) và 3 vào ô r (mẫu) và nhấp "Tính toán" để có kết quả 336.

Hoán vị và tổ hợp: Sự khác biệt

Một kỹ thuật đếm cần thiết khác là tổ hợp. Tổ hợp là nhiều cách khác nhau để chọn một số lượng phần tử (mẫu) nhỏ hơn, r, từ một số lượng phần tử lớn hơn, n. Số lượng tổ hợp của r phần tử từ n phần tử được biểu thị là ₙCᵣ.

Trong định nghĩa về hoán vị, chúng ta đã đề cập rằng thứ tự hoặc cách sắp xếp là quan trọng. Đúng vậy, đó là sự khác biệt giữa hoán vị và tổ hợp, bởi vì trong tổ hợp thứ tự không quan trọng.

Ví dụ, chúng ta đã biết rằng các hoán vị của nhóm hai chữ cái trong các chữ cái XYZ sẽ là XY, XX, YZ, YX, ZX và ZY. Vì vậy, chúng ta có 6 hoán vị.

Tuy nhiên, tổ hợp của nhóm hai chữ cái trong các chữ cái XYZ là XY, XX và YZ; ba tổ hợp. Điều này là do, XY và YX được coi là các kết hợp giống nhau; tương tự với XZ và ZX, và tương tự với YZ và ZY. Do đó, thứ tự sắp xếp không quan trọng trong việc tính toán các tổ hợp.

Công thức cho số lượng tổ hợp của r phần tử trong tập hợp n phần tử là:

$$ₙСᵣ=\frac{n!}{r!\left(n-r\right)!}$$

Ví dụ về tính số tổ hợp

Trong ví dụ trên với các vận động viên chạy đua, chúng ta đã biết được số cách có thể chọn vị trí về nhất, nhì và ba từ một nhóm 8 vận động viên. Giả sử chúng ta muốn biết số cách chọn 3 vận động viên đoạt các huy chương từ nhóm 8 vận động viên mà không cần xem xét về vị trí của họ. Người về nhất, nhì hay ba không quan trọng, miễn là những vận động viên này đều giành được huy chương.

Trong trường hợp này, tổ hợp được sử dụng vì thứ tự của các vận động viên tương ứng với các huy chương không quan trọng. Vì vậy, chúng ta giải quyết bài toán này bằng cách sử dụng công thức tổ hợp.

$$ₙСᵣ = \frac{n!}{r!(n-r)!}$$

Số cách chọn 3 vận động viên đoạt các huy chương trong tổng số 8 vận động viên là:

$$₈C₃=\frac{8!}{3! × \left(8-3\right)!}=\frac{8!}{3! × 5!}=\frac{8 × 7 × 6}{3 × 2 × 1}=8×7=56$$

Ví dụ về tính số hoán vị

1. Nhà sản xuất tin tức có thể chọn 3 trong số 5 diễn giả cho chương trình phân tích của họ. Thứ tự của các khách mời được xem là quan trọng. Có bao nhiêu cách khác nhau mà nhà sản xuất có thể sắp xếp các bài thuyết trình của các khách mời? Thứ tự các khách mời được xem là quan trọng và không được lặp lại vì cùng một khách mời không thể xuất hiện hai lần trong cùng một chương trình tin tức. Do đó, chúng ta có thể sử dụng công thức hoán vị.

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{(n-r)!}$$

$$₅P₃ = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} = 5 × 4 × 3 = 60$$

Như vậy chúng ta có thể thấy nhà sản xuất có 60 cách sắp xếp các diễn giả.

2. Một chuyên gia đánh giá nhà hàng đã chọn ra 10 cơ sở phục vụ sushi ngon tại thị trấn để xếp hạng 3 nhà hàng sushi hàng đầu. Các cơ sở phải được trình bày theo thứ tự thể hiện vị trí của mình trong bảng xếp hạng. Ngoài ra, cùng một địa điểm không thể xuất hiện nhiều lần trong bảng xếp hạng. Vì vậy, chúng ta đáp ứng các yêu cầu về công thức hoán vị - thứ tự được xem là quan trọng và không được lặp lại. Chúng ta sử dụng công thức hoán vị:

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{(n-r)!}$$

$$₁₀P₃ = \frac{10!}{(10-3)!} = \frac{10!}{7!} = 10 × 9 × 8 = 720$$

3. Khi chúng ta nói rằng thứ tự được xem quan trọng đối với các hoán vị, điều đó không có nghĩa là thứ tự đó phải là số từ 1 đến 10 hoặc bất kỳ số nào khác. Thứ tự có thể được hình thành bởi một số phần tử nhất định mà chúng ta phân bổ các phần tử của tập hợp.

Ví dụ, lấy người quản lý của một công ty sửa chữa nhà. Hôm nay anh ấy có bốn đơn đặt hàng cho công việc sơn phòng. Đó là văn phòng của cơ quan cấp visa, nhà kho trong nhà máy, cửa hàng quần áo và phòng trong nhà riêng. Công ty có sáu thợ sơn. Mỗi người trong số họ có thể đến 1 cơ sở trong một ngày. Hai thợ sơn còn lại sẽ được nghỉ trong ngày đó.

Những phần tử của tập hợp này là văn phòng của cơ quan cấp visa, nhà kho tại nhà máy, cửa hàng quần áo và phòng trong nhà riêng, tương tự như các vị trí 1, 2, 3 và 4.

Người quản lý sẽ có:

• 6 nhân viên có thể được giao sơn văn phòng,
• 5 nhân viên còn lại sẽ được phân công sơn kho,
• 4 nhân viên còn lại sẽ được phân công sơn cửa hàng,
• 3 ứng viên còn lại có thể được bố trí sơn phòng ở nhà riêng.

Vì vậy, chúng ta có thể có số lượng các lựa chọn là 6 × 5 × 4 × 3 = 360.

Chúng ta đã đặt ra một điều kiện là thứ tự phân công các thợ sơn trên các đối tượng phần tử được xem là quan trọng. Không được phép lặp lại, tức là một thợ sơn không được làm việc ở nhiều địa điểm khác nhau trong cùng một ngày. Vì vậy chúng ta có thể áp dụng công thức hoán vị mà chúng ta đã sử dụng.

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{(n-r)!}$$

$$\frac{6!}{(6-4)!} = \frac{6!}{2!} = 6 × 5 × 4 × 3 = 360$$

Kết quả là có 360 cách khác nhau mà người quản lý công ty sửa chữa nhà có thể phân công các đơn đặt hàng cho các thợ sơn trong những điều kiện đã cho.