KGV-Rechner

Mit unserem kostenlosen Online-KGV-Rechner können Sie schnell und einfach das kleinste gemeinsame Vielfache (KGV) von zwei oder mehr Zahlen ermitteln. Das kleinste gemeinsame Vielfache ist die kleinste positive Zahl, die ein ganzzahliges Vielfaches aller gegebenen Zahlen darstellt. Ein anschauliches Beispiel: Das KGV von 2 und 3 ist 6, da 6 die kleinste Zahl ist, die durch beide Ausgangszahlen – 2 und 3 – ohne Rest teilbar ist.

Unser Rechner liefert Ihnen nicht nur das Endergebnis, sondern zeigt auch den detaillierten Rechenweg. Dabei unterstützt das Tool verschiedene bewährte Methoden zur KGV-Berechnung (engl. LCM – Least Common Multiple): das Auflisten der Vielfachen, die Primfaktorzerlegung, die Kuchen-/Leitermethode, die Divisionsmethode, die GGT-Methode (Größter gemeinsamer Teiler) sowie das Venn-Diagramm.

Bedienungsanleitung

• Um den KGV-Rechner zu nutzen, geben Sie einfach die gewünschten Zahlen in das Eingabefeld ein und klicken Sie auf "Calculate" (Berechnen).
• Verwenden Sie Leerzeichen oder Kommas, um die einzelnen Zahlen voneinander zu trennen. Bitte beachten Sie, dass Tausendertrennzeichen innerhalb einer Zahl nicht zulässig sind (schreiben Sie z. B. 1000 anstelle von 1.000). Der Taschenrechner zeigt Ihnen sofort das kleinste gemeinsame Vielfache der eingegebenen Zahlen an.
• Möchten Sie sich den detaillierten Rechenweg ansehen? Wählen Sie einfach Ihre bevorzugte Lösungsmethode aus dem Dropdown-Menü und klicken Sie auf "Calculate" (Berechnen).
• Um die Lösungsschritte einer anderen Methode zu betrachten, ändern Sie die Auswahl im Dropdown-Menü und bestätigen Sie erneut mit "Calculate" (Berechnen).

Berechnungsalgorithmen

Vielfache auflisten

Die einfachste Methode, das kleinste gemeinsame Vielfache mehrerer Zahlen zu finden, besteht darin, eine fortlaufende Liste der Vielfachen für jede Zahl aufzuschreiben. Dies tun Sie so lange, bis eine Zahl in allen Listen vorkommt. Dieses gemeinsame Vielfache ist dann das KGV.

Lassen Sie uns als Beispiel das KGV von 5 und 7 – mathematisch KGV (5, 7) – berechnen:

Vielfache von 5: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, usw.

Vielfache von 7: 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, usw.

Die 35 ist das erste Vielfache, das in beiden Listen übereinstimmt. Daher gilt: KGV bzw. LCM (5, 7) = 35.

Primfaktorzerlegung

Um das KGV mehrerer Zahlen mithilfe der Primfaktorzerlegung zu berechnen, folgen Sie diesen einfachen Schritten:

1. Ermitteln und notieren Sie die Primfaktoren der einzelnen Zahlen.
2. Schreiben Sie die Primfaktorzerlegung jeder Zahl in der Potenzschreibweise (zum Beispiel wird 2 × 2 × 2 zu 2³).
3. Multiplizieren Sie die höchsten Potenzen (Exponenten) aller vorkommenden Primfaktoren miteinander.
4. Das Ergebnis dieser Multiplikation ist das KGV der angegebenen Zahlen.

Beachten Sie, dass Sie das KGV auch ohne die Potenzschreibweise ermitteln können. In diesem Fall passen Sie Schritt 3 an, indem Sie jeden Primfaktor in seiner maximalen Häufigkeit multiplizieren, in der er bei einer der jeweiligen Zahlen auftritt.

Lassen Sie uns zum Beispiel das KGV von 3, 12 und 40 finden, KGV bzw. LCM (3, 12, 40):

1. Finden Sie die Primfaktoren jeder Zahl.

Primfaktoren von 3: 3 ist eine Primzahl.

Primfaktoren von 12: 2 × 2 × 3

Primfaktoren von 40: 2 × 2 × 2 × 5

2. Schreiben Sie die Primfaktorzerlegung in Potenzschreibweise.

3 = 3¹

12 = 2² × 3

40 = 2³ × 5¹

3. Multiplizieren Sie die höchsten Potenzen aller Primfaktoren.

2³ × 3¹ × 5¹ = 120

4. LCM (3, 12, 40) = 120

Ohne die Potenzschreibweise würde Schritt 3 wie folgt aussehen: 2 × 2 × 2 × 3 × 5 = 120.

Unser interaktiver KGV-Rechner zeigt Ihnen auf Wunsch beide Darstellungsvarianten für den Lösungsalgorithmus der Primfaktorzerlegung an.

Kuchen-/Leitermethode

Diese Methode verdankt ihren Namen der Tatsache, dass der visuelle Rechenweg an eine mehrstöckige Torte oder an die Sprossen einer Leiter erinnert. Schauen wir uns diesen Algorithmus direkt an einem Beispiel an und ermitteln das KGV von 12, 15 und 24.

1. Schreiben Sie zunächst die angegebenen Zahlen nebeneinander und zeichnen Sie eine "Leiterstufe" oder eine "Kuchenschicht" um sie herum, etwa so:

2. Finden Sie eine Zahl (idealerweise eine Primzahl), durch die mindestens zwei der angegebenen Zahlen ohne Rest geteilt werden können. Schreiben Sie diese links neben die Zahlenreihe und führen Sie die Division durch. Notieren Sie die Ergebnisse in der darunterliegenden "Kuchenschicht". Wenn eine der Zahlen nicht teilbar ist, übernehmen Sie diese unverändert nach unten.

Nehmen wir die Zahl 2 als ersten Teiler in unserem Beispiel, da sowohl 12 als auch 24 durch 2 teilbar sind. Das ergibt folgendes Bild:

3. Wiederholen Sie Schritt 2 so lange, bis es keinen gemeinsamen Teiler mehr gibt, der mindestens zwei der verbleibenden Zahlen ohne Rest teilen kann:

4. Das KGV (engl. LCM) der angegebenen Zahlen ist das Produkt aller Zahlen aus der linken Spalte und der untersten Zeile. In unserem Fall:

LCM (12, 15, 24) = 2 × 2 × 3 × 1 × 5 × 2 = 120

Divisionsmethode

Die Divisionsmethode ist der Kuchen-/Leitermethode sehr ähnlich. Der Hauptunterschied besteht darin, dass Sie die Divisionen so lange durch Primzahlen fortsetzen, bis alle verbleibenden Zahlen in der untersten Zeile zu einer Eins (1) geworden sind. Das KGV ermitteln Sie schließlich durch die Multiplikation aller Primfaktoren aus der linken Spalte. Wenn wir uns das vorherige Beispiel für die Ermittlung des KGV – LCM (12, 15, 24) – ansehen, sieht die Divisionstabelle wie folgt aus:

Das Endergebnis lautet demnach: LCM (12, 15, 24) = 2 × 2 × 2 × 3 × 5 = 120

GGT-Methode (Größter gemeinsamer Teiler)

Um das KGV von zwei Zahlen mithilfe des größten gemeinsamen Teilers (GGT, engl. GCF) zu ermitteln, verwenden Sie die folgende mathematische Formel:

LCM (x, y) = (x × y) / GCF (x, y)

Wenn Sie das KGV von mehr als zwei Zahlen berechnen möchten, können Sie diese Formel schrittweise (iterativ) anwenden. Bei drei Zahlen sieht die Berechnung beispielsweise wie folgt aus:

LCM (x, y, z) = LCM (LCM (x, y), z)

Lassen Sie uns als Beispiel das KGV von 6 und 8 berechnen. Der GGT (bzw. GCF) von 6 und 8 ist 2. Setzen wir dies in die Formel ein, erhalten wir:

LCM (6, 8) = (6 × 8) / 2 = 48 / 2 = 24

Venn-Diagramm (Mengendiagramm)

Um das KGV mithilfe eines Venn-Diagramms (oder Mengendiagramms) zu ermitteln, bestimmen Sie zunächst die Primfaktoren jeder gegebenen Zahl. Anschließend gruppieren Sie diese Faktoren basierend auf ihrer Zugehörigkeit zu den einzelnen Zahlen und tragen sie in die sich überschneidenden Kreise des Venn-Diagramms ein. Für unser vorheriges Beispiel – LCM (12, 15, 24) – sieht das Diagramm folgendermaßen aus:

Bitte beachten Sie: Um die Übersichtlichkeit zu gewährleisten, visualisiert unser Online-Rechner die Lösung mittels Venn-Diagramm ausschließlich für Eingaben von 2 oder 3 Zahlen.

Berechnungsbeispiel

Mike und Lina besuchen beide einen Karate-Kurs. Ihre Trainingsrhythmen sind jedoch unterschiedlich: Mike geht alle 5 Tage zum Training, während Lina alle 3 Tage trainiert. Heute haben sie gemeinsam am Unterricht teilgenommen. Wie viele Tage werden vergehen, bis sie wieder am selben Tag trainieren?

Lösung

Um dieses Alltagsproblem zu lösen, müssen wir das kleinste gemeinsame Vielfache von 5 und 3 berechnen – also KGV (5, 3). Wir nutzen dafür die Methode der Primfaktorzerlegung.

3 ist eine Primzahl, also 3 = 3¹

5 ist ebenfalls eine Primzahl, also 5 = 5¹

LCM (5, 3) = 3¹ × 5¹ = 15

Antwort

Mike und Lina werden in exakt 15 Tagen wieder gemeinsam eine Karatestunde besuchen.