LCM गणक

यह ऑनलाइन LCM कैलकुलेटर (LCM Calculator) आपको दो या दो से अधिक संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य (Least Common Multiple - LCM) आसानी से खोजने में मदद करता है। लघुत्तम समापवर्त्य वह छोटी से छोटी संख्या होती है, जो दी गई सभी संख्याओं से पूरी तरह विभाजित हो जाती है। उदाहरण के लिए, 2 और 3 का LCM 6 होगा, क्योंकि 6 वह सबसे छोटी संख्या है जो 2 और 3 दोनों से पूरी तरह विभाज्य है। यह कैलकुलेटर LCM निकालने के लिए विभिन्न विधियों के साथ विस्तृत समाधान भी प्रदान करता है, जैसे: गुणजों की सूची बनाना (Listing Multiples), अभाज्य गुणनखंडन (Prime Factorization), केक/सीढ़ी विधि, विभाजन विधि, GCF विधि और वेन आरेख (Venn Diagram)।

उपयोग के लिए निर्देश

• इस LCM कैलकुलेटर का उपयोग करने के लिए, अपनी संख्याएँ दर्ज करें और "कैलकुलेट" (Calculate) पर क्लिक करें।
• संख्याओं को अलग करने के लिए स्पेस (रिक्त स्थान) या अल्पविराम (कोमा) का उपयोग करें। ध्यान दें कि आप किसी एक संख्या के भीतर अल्पविराम का उपयोग नहीं कर सकते। उदाहरण के लिए, आपको एक हज़ार को 1,000 के बजाय 1000 के रूप में लिखना चाहिए। यह कैलकुलेटर तुरंत दर्ज की गई संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) स्क्रीन पर दिखा देगा।
• विस्तृत समाधान देखने के लिए, ड्रॉप-डाउन मेनू से अपनी पसंद की समाधान विधि चुनें और "कैलकुलेट" दबाएँ।
• यदि आप किसी अन्य विधि से हल के चरण (steps) देखना चाहते हैं, तो ड्रॉप-डाउन मेनू से संबंधित विकल्प चुनें और फिर से "कैलकुलेट" पर क्लिक करें।
• इनपुट फ़ील्ड को खाली करने के लिए, "क्लियर" (Clear) पर क्लिक करें।

LCM निकालने की विधियाँ

गुणजों की सूची बनाना (Listing Multiples)

कई संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात करने का सबसे सरल तरीका यह है कि प्रत्येक दी गई संख्या के गुणजों (multiples) की सूची तब तक लिखी जाए, जब तक कि सभी सूचियों में कोई एक समान गुणज न मिल जाए। वही सबसे छोटा समान गुणज LCM होगा।

उदाहरण के लिए, आइए 5 और 7 का LCM या LCM (5, 7) निकालें:

5 के गुणज: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, इत्यादि।

7 के गुणज: 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, इत्यादि।

35 दोनों सूचियों में दिखाई देने वाला पहला समान गुणज है; इसलिए, LCM (5, 7) = 35।

अभाज्य गुणनखंडन विधि (Prime Factorization)

अभाज्य गुणनखंडन (Prime Factorization) द्वारा कई संख्याओं का LCM ज्ञात करने के लिए, नीचे दिए गए चरणों का पालन करें:

1. प्रत्येक संख्या के अभाज्य गुणनखंड लिखें।
2. प्रत्येक संख्या के अभाज्य गुणनखंडों को घातांक (Exponent) के रूप में लिखें (उदाहरण के लिए, 2 × 2 × 2 को 2³ के रूप में लिखा जाएगा)।
3. सभी अभाज्य गुणनखंडों की उच्चतम घातों (highest powers) को आपस में गुणा करें।
4. प्राप्त परिणाम ही दी गई संख्याओं का LCM होगा।

ध्यान दें कि आप घातांक के रूप में अभाज्य गुणनखंडों को व्यक्त किए बिना भी LCM निकाल सकते हैं। उस स्थिति में, चरण 3 में आप प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड को किसी भी दी गई संख्या में अधिकतम बार आने की संख्या के अनुसार गुणा करेंगे।

उदाहरण के लिए, आइए 3, 12 और 40 का LCM यानी LCM (3, 12, 40) ज्ञात करें:

1. प्रत्येक संख्या के अभाज्य गुणनखंड ज्ञात करना:

3 एक अभाज्य संख्या है, इसलिए इसके अभाज्य गुणनखंड में केवल 3 है।

12 के अभाज्य गुणनखंड: 2 × 2 × 3

40 के अभाज्य गुणनखंड: 2 × 2 × 2 × 5

2. अभाज्य गुणनखंडों को घातांक के रूप में लिखना:

3 = 3¹

12 = 2² × 3¹

40 = 2³ × 5¹

3. सभी प्रमुख गुणनखंडों की उच्चतम घातों को आपस में गुणा करें:

2³ × 3¹ × 5¹ = 120

4. LCM (3, 12, 40) = 120

घातांक रूप के बिना, चरण 3 इस प्रकार होगा: 2 × 2 × 2 × 3 × 5 = 120।

यह LCM कैलकुलेटर अभाज्य गुणनखंडन विधि के लिए इन दोनों विकल्पों को प्रदर्शित करता है।

केक/सीढ़ी विधि (Cake/Ladder Method)

इस विधि का नाम इसके समाधान के तरीके पर रखा गया है, जो एक केक की परतों या सीढ़ी जैसा दिखता है। आइए इस विधि को एक उदाहरण से समझते हैं और 12, 15 और 24 का LCM निकालते हैं।

1. सबसे पहले, दी गई संख्याओं को एक पंक्ति में लिखें, और उनके चारों ओर एक "सीढ़ी का चरण" या "केक की परत" कुछ इस तरह बनाएँ:

2. वह सबसे छोटी अभाज्य संख्या ज्ञात करें जो दी गई संख्याओं में से कम से कम दो को पूरी तरह विभाजित कर सके। इसे दी गई संख्याओं के बाईं ओर लिखें और भाग दें। भागफल (परिणाम) को अगली "केक की परत" में लिखें। यदि कोई संख्या विभाज्य नहीं है, तो उसे वैसे ही नीचे उतार लें।

आइए अपने उदाहरण में पहली संख्या के रूप में 2 का उपयोग करें क्योंकि 12 और 24 दोनों 2 से विभाज्य हैं। हमें निम्नलिखित चित्र प्राप्त होगा:

3. चरण 2 को तब तक दोहराते रहें, जब तक कि ऐसी कोई संख्या न बचे जो दी गई संख्याओं में से किन्हीं दो को पूरी तरह विभाजित कर सके:

4. दी गई संख्याओं का LCM बाएँ स्तंभ (column) और सबसे निचली पंक्ति (row) की संख्याओं का गुणनफल (product) होगा। हमारे उदाहरण में:

LCM (12, 15, 24) = 2 × 2 × 3 × 1 × 5 × 2 = 120

विभाजन विधि (Division Method)

विभाजन विधि काफी हद तक केक/सीढ़ी विधि के समान ही है। हालाँकि, इसमें आप तब तक भाग देते रहते हैं जब तक कि कोई भी दी गई संख्या किसी अभाज्य संख्या से विभाज्य हो। परिणामस्वरूप, सबसे निचली पंक्ति में केवल 1 बचेगा, और आप बाएँ स्तंभ की सभी संख्याओं को गुणा करके LCM प्राप्त कर सकते हैं। यदि हम पिछले उदाहरण यानी LCM (12, 15, 24) को देखें, तो विभाजन तालिका इस प्रकार दिखेगी:

और अंत में, LCM (12, 15, 24) = 2 × 2 × 2 × 3 × 5 = 120

GCF (महत्तम समापवर्तक) विधि

GCF (Greatest Common Factor या HCF) की सहायता से दो संख्याओं का LCM ज्ञात करने के लिए, इस सूत्र का उपयोग किया जाता है:

LCM (x, y) = (x × y) / GCF (x, y)

दो से अधिक संख्याओं का LCM निकालने के लिए आपको उपरोक्त सूत्र को दोहराना होगा। उदाहरण के लिए, तीन संख्याओं का LCM इस प्रकार निकाला जा सकता है:

LCM (x, y, z) = LCM (LCM (x, y), z)

उदाहरण के लिए, आइए 6 और 8 का LCM ज्ञात करें। 6 और 8 का GCF 2 है। इसलिए,

LCM (6, 8) = (6 × 8)/2 = 48/2 = 24

वेन आरेख (Venn Diagram)

वेन आरेख का उपयोग करके LCM निकालने के लिए, सबसे पहले प्रत्येक संख्या के अभाज्य गुणनखंड ज्ञात करने होते हैं। फिर आपको उन गुणनखंडों को उनकी समानता के आधार पर दो या तीन दी गई संख्याओं के साथ समूहित (group) करना होगा और उन्हें एक वेन आरेख में दर्शाना होगा। LCM (12, 15, 24) के लिए आरेख कुछ इस प्रकार दिखेगा:

ध्यान दें कि यह ऑनलाइन कैलकुलेटर केवल 2 या 3 संख्याओं के लिए ही वेन आरेख का समाधान दिखाएगा।

गणना का उदाहरण

माइक और लीना दोनों कराटे क्लास जाते हैं। हालाँकि, उनके क्लास जाने का शेड्यूल अलग-अलग है: माइक हर 5 दिन में जाता है, जबकि लीना हर 3 दिन में जाती है। आज उन्होंने एक साथ क्लास में भाग लिया। अब कितने दिनों बाद वे फिर से एक साथ क्लास में भाग लेंगे?

हल

इस समस्या को हल करने के लिए, हमें 5 और 3 का लघुत्तम समापवर्त्य यानी LCM (5, 3) निकालना होगा। आइए इसे अभाज्य गुणनखंडन विधि की सहायता से हल करते हैं।

3 एक अभाज्य संख्या है, इसलिए 3 = 3¹

5 भी एक अभाज्य संख्या है, इसलिए 5 = 5¹

LCM (5, 3) = 3¹ × 5¹ = 15

उत्तर

माइक और लीना 15 दिनों के बाद फिर से एक साथ कराटे क्लास में भाग लेंगे।