ماشین حساب کسر ساده

این ماشین‌حساب ساده‌سازی کسر آنلاین، ابزاری کاربردی است که به شما امکان می‌دهد انواع کسرهای سره (کوچک‌تر از واحد) و ناسره (بزرگ‌تر از واحد) را به سرعت و با دقت بالا ساده کنید. خروجی این ماشین‌حساب، بسته به نوع کسر ورودی، به صورت یک کسر ساده‌شده یا یک عدد مخلوط در ساده‌ترین حالت ممکن نمایش داده می‌شود.

راهنمای استفاده از ماشین‌حساب:

• برای ساده‌کردن کسر با استفاده از این ابزار، کافی است صورت و مخرج کسر مورد نظر خود را در کادرهای مربوطه وارد کرده و روی دکمه محاسبه (Calculate) کلیک کنید.
• اگر کسر ورودی شما یک کسر سره (کوچک‌تر از واحد) باشد، ماشین‌حساب ساده‌ترین فرم آن کسر را به عنوان پاسخ نهایی برمی‌گرداند.
• اگر کسر ورودی ناسره (بزرگ‌تر از واحد) باشد، پاسخ به شکل یک عدد مخلوط در ساده‌ترین حالت خود محاسبه می‌شود. این ماشین‌حساب همچنین مراحل و راه‌حل دقیق محاسبات را به صورت گام‌به‌گام

برای شما نمایش می‌دهد.

تعریف کسر چیست؟

کسر (Fraction) در ریاضیات به عنوان بخشی یا نسبتی از یک کل تعریف می‌شود. این «کل» می‌تواند یک عدد، یک مقدار مشخص یا حتی یک شیء فیزیکی باشد. به عنوان مثال، اگر یک پیتزای کامل را به عنوان «کل» در نظر بگیریم و آن را به ۶ برش مساوی تقسیم کنیم، هر برش نشان‌دهنده یک کسر است؛ یعنی هر قسمت برابر با یک‌ششم یا \$\frac{1}{6}\$ از کل پیتزا خواهد بود.

هر کسر از دو بخش اصلی تشکیل شده است: صورت (Numerator) و مخرج (Denominator) که توسط یک خط افقی به نام «خط کسری» از هم جدا می‌شوند. مخرج در پایین خط کسری قرار می‌گیرد و نشان می‌دهد که کل مجموعه به چند قسمت مساوی تقسیم شده است. در مثال بالا، مخرج عدد ۶ است (زیرا پیتزا به ۶ قسمت تقسیم شده بود). صورت کسر در بالای خط کسری قرار می‌گیرد و نشان‌دهنده تعداد قسمت‌هایی است که ما انتخاب کرده‌ایم یا مد نظر داریم. در مثال پیتزا، صورت عدد ۱ بود، چون درباره ۱ قسمت از ۶ قسمت صحبت می‌کردیم. اگر بخواهیم ۲ قسمت برداریم، کسر حاصل \$\frac{2}{6}\$ خواهد بود.

کسرها را می‌توان با استفاده از یک خط مورب (اسلش) نیز نشان داد؛ به عنوان مثال، 1/3 و \$\frac{1}{3}\$ هر دو یک کسر واحد را توصیف می‌کنند.

کسرهای سره و ناسره (کوچک‌تر و بزرگ‌تر از واحد):

اگر در یک کسر، صورت از مخرج کوچک‌تر باشد، به آن کسر سره (Proper Fraction) می‌گویند.

\$\frac{1}{3}\$, \$\frac{2}{50}\$, \$\frac{56}{125}\$ نمونه‌هایی از کسرهای سره هستند.

به همین ترتیب، اگر صورت کسر از مخرج آن بزرگ‌تر باشد، به آن کسر ناسره (Improper Fraction) گفته می‌شود. به عنوان مثال، \$\frac{33}{15}\$، \$\frac{17}{8}\$، \$\frac{3}{2}\$ همگی کسرهای ناسره هستند.

هر کسر ناسره را می‌توان به شکل یک عدد مخلوط (Mixed Number) نوشت. عدد مخلوط، عددی است که از ترکیب یک عدد صحیح و یک کسر سره تشکیل شده است؛ مانند \$5 \frac{1}{3}\$ یا \$12 \frac{132}{256} \$.

ساده‌ترین فرم کسر:

یک کسر زمانی در ساده‌ترین شکل خود قرار دارد که صورت و مخرج آن هیچ مقسوم‌علیه مشترکی (عامل مشترکی) به جز عدد ۱ نداشته باشند. به عنوان مثال، \$\frac{1}{3}\$ کسری در ساده‌ترین حالت خود است، اما \$\frac{4}{6}\$ این‌طور نیست. اعداد ۴ و ۶ علاوه بر ۱، بر عدد ۲ نیز بخش‌پذیرند (عامل مشترک ۲ دارند)، بنابراین این کسر هنوز ساده نشده است.

الگوریتم‌های محاسبه و ساده‌سازی:

نحوه ساده‌کردن کسر سره:

برای ساده‌سازی یک کسر، مراحل زیر را دنبال کنید:

• بزرگ‌ترین مقسوم‌علیه مشترک (ب.م.م یا GCF) صورت و مخرج کسر را پیدا کنید.
• صورت و مخرج کسر را بر این بزرگ‌ترین مقسوم‌علیه مشترک تقسیم کنید.
• کسر به‌دست‌آمده، ساده‌ترین شکل کسر شما خواهد بود.

برای مثال، می‌خواهیم کسر \$\frac{70}{236}\$ را ساده کنیم:

• مقسوم‌علیه‌های عدد ۷۰ عبارتند از: ۱، ۲، ۵، ۷، ۱۰، ۱۴، ۳۵، ۷۰.
• مقسوم‌علیه‌های عدد ۲۳۶ عبارتند از: ۱، ۲، ۴، ۵۹، ۱۱۸، ۲۳۶.

بزرگ‌ترین مقسوم‌علیه مشترک بین ۷۰ و ۲۳۶ عدد ۲ است.

• \$\frac{70}{2} = 35\$
• \$\frac{236}{2} = 118\$
• \$\frac{70}{236} = \frac{35}{118}\$

پاسخ نهایی: \$\frac{70}{236} = \frac{35}{118}\$

تبدیل کسر ناسره به عدد مخلوط:

برای تبدیل یک کسر بزرگ‌تر از واحد به عدد مخلوط، مراحل زیر را انجام دهید:

• ابتدا با یافتن عوامل مشترک، بررسی کنید که آیا کسر قابل ساده‌شدن است یا خیر. اگر بله، صورت و مخرج را بر (ب.م.م) تقسیم کرده و کسر را ساده کنید.
• برای یافتن بخش صحیح عدد مخلوط، صورت را بر مخرج تقسیم کنید و فقط «خارج‌قسمت» (بخش صحیح) را یادداشت کنید.
• برای نوشتن بخش کسریِ عدد مخلوط، از «باقی‌مانده» تقسیمِ مرحله دوم به عنوان صورتِ جدید استفاده کنید و مخرج را همان مخرج کسر اصلی (یا کسر ساده‌شده) قرار دهید.

برای مثال، بیایید کسر معکوس مثال قبلی یعنی \$\frac{236}{70}\$ را به عدد مخلوط تبدیل کنیم. ابتدا با تقسیم صورت و مخرج بر بزرگ‌ترین مقسوم‌علیه مشترک (GCF)، کسر را ساده می‌کنیم.

• مقسوم‌علیه‌های ۲۳۶ عبارتند از: ۱، ۲، ۴، ۵۹، ۱۱۸، ۲۳۶.
• مقسوم‌علیه‌های ۷۰ عبارتند از: ۱، ۲، ۵، ۷، ۱۰، ۱۴، ۳۵، ۷۰.

بزرگ‌ترین مقسوم‌علیه مشترک ۷۰ و ۲۳۶ عدد ۲ است.

• \$\frac{236}{2} = 118\$
• \$\frac{70}{2} = 35\$
• \$\frac{236}{70} = \frac{118}{35}\$

حالا صورت کسر به‌دست‌آمده را بر مخرج آن تقسیم می‌کنیم تا عدد صحیح (خارج‌قسمت) را به دست آوریم:

$$\frac{118}{35} = 3 + باقی‌مانده\ 13$$

بخش کسریِ عدد مخلوط دارای صورتی برابر با باقی‌مانده تقسیم خواهد بود، بنابراین صورت جدید ۱۳ است. مخرج بدون تغییر باقی می‌ماند، پس مخرج همان ۳۵ است. عدد مخلوط حاصل \$3\frac{13}{35}\$ خواهد بود.

پاسخ نهایی: \$\frac{236}{70} = 3\frac{13}{35}\$

مثال کاربردی از محاسبات:

کسرها کاربرد گسترده‌ای در دستورهای پخت و آشپزی دارند؛ به خصوص زمانی که می‌خواهید یک دستور غذا را برای تعداد افراد بیشتری تنظیم کنید، اغلب نیاز پیدا می‌کنید که کسرهای ناسره را به اعداد مخلوط تبدیل کنید.

تصور کنید قصد دارید برای یک مهمانی کیک بپزید. در دستور پخت ذکر شده است که مواد اولیه برای تهیه کیکِ ۴ نفر کافی است؛ اما شما ۱۲ مهمان دعوت کرده‌اید. اگر طبق دستور پخت، برای ۴ نفر به \$\frac{3}{4}\$ پیمانه آرد نیاز داشته باشید، برای تطبیق این دستور جهت پذیرایی از ۱۲ مهمان، دقیقاً به چه مقدار آرد نیاز خواهید داشت؟

راه‌حل تشریحی:

برای تنظیم مقدار آرد، ابتدا باید کسر \$\frac{3}{4}\$ را در عدد ۳ ضرب کنید، زیرا ۱۲ مهمان، ۳ برابرِ ۴ نفر اولیه است (\$\frac{12}{4}\$ = 3). بنابراین شما به ۳ برابر آرد بیشتری نیاز دارید.

$$\frac{3}{4} × 3 = \frac{9}{4}$$

برای اینکه متوجه شوید این مقدار دقیقاً معادل چند پیمانه آرد است، باید کسر ناسره \$\frac{9}{4}\$ را به یک عدد مخلوط تبدیل کنید. برای این کار، مراحل گفته‌شده در بخش قبل را دنبال می‌کنیم.

ابتدا بررسی می‌کنیم که آیا کسر قابل ساده‌شدن است:

• مقسوم‌علیه‌های ۹ عبارتند از: ۱، ۳، ۹.
• مقسوم‌علیه‌های ۴ عبارتند از: ۱، ۲، ۴.

بزرگ‌ترین مقسوم‌علیه مشترک آن‌ها ۱ است؛ بنابراین این کسر ساده‌تر نمی‌شود.

برای یافتن بخش صحیح عدد مخلوط، صورت را بر مخرج تقسیم می‌کنیم:

$$\frac{9}{4} = 2 + باقی‌مانده\ 1$$

برای تشکیل بخش کسریِ عدد مخلوط، باقی‌مانده تقسیم (در مرحله قبل) در جایگاه صورت قرار می‌گیرد، پس صورت برابر با ۱ است. مخرج نیز همان مخرج کسر اصلی باقی می‌ماند، پس مخرج ۴ است. در نتیجه، عدد مخلوط به‌دست‌آمده \$2\frac{1}{4}\$ خواهد بود.

(پاسخ نهایی)

برای آماده‌سازی دستور پخت برای ۱۲ نفر، باید مواد اولیه را سه برابر کنید.

$$\frac{3}{4} × 3 = \frac{9}{4} = 2\frac{1}{4}$$

بنابراین، شما به ۲ و یک‌چهارم (\$2\frac{1}{4}\$) پیمانه آرد نیاز خواهید داشت.