Kalkulator Sisihan Piawai

Kalkulator sisihan piawai kami ialah alat yang berkuasa dan mudah digunakan yang direka untuk mencari sisihan piawai bagi sebarang set data. Selain mengira sisihan piawai, ia menghasilkan cerapan statistik penting secara serta-merta, termasuk min, varians, dan jadual taburan kekerapan yang terperinci. Tambahan pula, alat ini mengira selang keyakinan bagi set data anda merentasi pelbagai tahap keyakinan.

Untuk bermula, masukkan sahaja titik data anda yang dipisahkan dengan koma. Seterusnya, pilih sama ada nombor anda mewakili populasi penuh atau sampel, dan klik "Kira" untuk melihat keputusan komprehensif anda.

Sisihan Piawai

Sisihan piawai ialah ukuran statistik asas yang menunjukkan tahap penyebaran, atau kebolehubahan, dalam sesuatu set data. Ia mewakili purata jarak titik data anda dari min set data tersebut. Sisihan piawai yang lebih rendah bermakna titik data berkumpul rapat di sekitar min, manakala sisihan piawai yang lebih tinggi menunjukkan data tersebar luas. Dari segi matematik, sisihan piawai ialah punca kuasa dua bagi varians—satu lagi ukuran penting bagi penyebaran data.

Cara anda mengira sisihan piawai bergantung sepenuhnya pada set data anda. Jika data anda merangkumi setiap ahli dalam kumpulan yang anda kaji, anda akan mengira sisihan piawai populasi. Walau bahaimanapun, jika data anda hanyalah sebahagian (subset) daripada kumpulan yang lebih besar, anda akan mengira sisihan piawai sampel.

Sisihan Piawai Populasi

Anda harus mengira sisihan piawai populasi apabila set data anda merangkumi setiap pemerhatian yang mungkin dalam kumpulan yang anda kaji. Dalam statistik, sisihan piawai populasi ditunjukkan oleh simbol σ.

σ (disebut "sigma") ialah huruf kecil Yunani. Formula untuk sisihan piawai populasi adalah seperti berikut:

$$\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}{(x_i-\mu)^2}}{N}}$$

Di mana:

• Σ ialah huruf besar Yunani Sigma, yang menunjukkan hasil tambah (penjumlahan) dalam matematik;
• xᵢ mewakili setiap titik data individu (pemerhatian) dalam set data, bermula dari nilai pertama hingga nilai ke-N (terakhir);
• μ mewakili min populasi;
• N ialah jumlah saiz populasi.

Contoh pengiraan sisihan piawai bagi populasi umum

Pelabur sering menganggap saham sebagai aset berisiko disebabkan oleh turun naik harga yang tinggi berbanding kelas pelaburan lain. Katakan seorang pengurus pelaburan ingin menganalisis turun naik saham tertentu sepanjang bulan lalu. Beliau memutuskan bahawa beliau tidak akan mengesyorkan mana-mana saham kepada pelanggannya jika sisihan piawainya lebih besar daripada atau sama dengan minnya, dengan mengklasifikasikan aset tersebut sebagai "terlalu berisiko."

Berikut adalah semua harga penutupan harian (dalam USD) untuk saham tertentu sepanjang bulan lalu. Mari kita kira sisihan piawai untuk menentukan sama ada pengurus tersebut akan menganggap saham ini terlalu berisiko:

1.31, 1.30, 1.36, 1.40, 1.40, 1.41, 1.27, 1.19, 1.15, 1.12, 0.99, 1.00, 0.97, 0.94, 0.88, 0.90, 0.86, 0.88, 0.80, 0.81

Oleh kerana pengurus tersebut hanya berminat dengan harga saham pada bulan lalu, dan kita mempunyai semua harga yang direkodkan untuk jangka masa tertentu itu, kita sedang mengendalikan keseluruhan populasi. Oleh itu, kita akan menggunakan formula sisihan piawai populasi.

Untuk mencari sisihan piawai, kita mesti mengira min (μ) terlebih dahulu. Ingat, min diperoleh dengan membahagikan jumlah keseluruhan nombor dengan bilangan keseluruhan nombor tersebut.

$$\mu=\frac{1.31+1.30+1.36+1.40+1.40+1.41+1.27+1.19+1.15+1.12+0.99+1.00+0.97+0.94+0.88+0.90+0.86+0.88+0.80+0.81}{20}=1.097$$

Seterusnya, tolak min daripada setiap titik data individu dan kuasaduakan perbezaannya. Tambahkan semua perbezaan kuasa dua ini bersama-sama, dan bahagikan hasilnya dengan jumlah bilangan data. Hasil ini ialah varians (σ²).

$$\sigma^2=\frac{\left(1.31-1.097\right)^2+\left(1.30-1.097\right)^2+\left(1.36-1.097\right)^2+\left(1.40-1.097\right)^2+\ldots+\left(0.81-1.097\right)^2}{20}=0.045031$$

Akhir sekali, ambil punca kuasa dua bagi varians untuk menentukan sisihan piawai populasi.

$$\sigma=\sqrt{0.045031}\approx0.21$$

Seperti yang anda lihat, sisihan piawai bagi harga saham ini untuk bulan lalu (0.21) adalah kurang daripada min (1.097). Oleh itu, pengurus tersebut tidak akan menganggap saham ini "terlalu berisiko."

Sisihan Piawai Sampel

Anda harus mengira sisihan piawai sampel apabila set data anda hanyalah sampel (subset yang lebih kecil) yang diambil daripada populasi yang lebih besar yang ingin dikaji. Sisihan piawai sampel ditunjukkan oleh huruf s dan dikira menggunakan formula berikut:

$$s=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(x_i-\bar{x}\right)^2}{n-1}}$$

Di mana:

• Σ menunjukkan hasil tambah (penjumlahan);
• xᵢ mewakili setiap titik data individu;
• x̄ mewakili min sampel;
• n ialah saiz sampel.

Mari kita gambarkan cara mencari sisihan piawai sampel menggunakan variasi contoh sebelum ini. Katakan pengurus pelaburan ingin menganalisis saham yang sama, tetapi kali ini, beliau tidak mempunyai akses kepada harga penutupan untuk setiap hari dagangan pada bulan lalu. Sebaliknya, beliau hanya mempunyai harga penutupan untuk sampel rawak selama 5 hari. Beliau perlu menganggarkan sisihan piawai saham tersebut menggunakan data sampel yang terhad ini.

Mari kita andaikan 5 harga penutupan yang direkodkan ialah:

1.31, 1.40, 0.86, 0.88, 1.40

Walaupun minat utama pengurus tersebut adalah pada keseluruhan bulan lalu, beliau hanya memiliki subset 5 hari. Oleh kerana kita berurusan dengan sampel dan bukannya populasi penuh, kita mesti mengira sisihan piawai menggunakan formula sisihan piawai sampel.

Pertama, kira min sampel (x̄).

$$\bar{x}=\frac{1.31+1.40+0.86+0.88+1.40}{5}=1.17$$

Seterusnya, kira varians sampel (s²).

$$s^2=\frac{\left(1.31-1.17\right)^2+\left(1.40-1.17\right)^2+\left(0.86-1.17\right)^2+\left(0.88-1.17\right)^2+\left(1.40-1.17\right)^2}{5-1}=0.0764$$

Akhir sekali, ambil punca kuasa dua bagi varians untuk mendapatkan sisihan piawai sampel.

$$s=\sqrt{0.0764}\approx 0.28$$

Margin Ralat

Salah satu aplikasi sisihan piawai yang paling berharga ialah mengira julat nilai yang "boleh diterima", yang memainkan peranan penting dalam analitik ramalan dan jaminan kualiti statistik industri. Jika data asas mengikut taburan normal, julat ini dikenali sebagai selang keyakinan (diperincikan dalam bahagian seterusnya). Selang ini dikira pada pelbagai tahap keyakinan, biasanya dinyatakan dalam bentuk peratusan.

Margin ralat ialah komponen utama selang keyakinan yang menentukan lebar keseluruhannya. Pada asasnya, margin ralat menetapkan nilai maksimum dan minimum yang boleh diterima untuk metrik yang anda analisis.

Margin ralat dikira menggunakan formula ini:

$$Margin\ ralat\ = z_{\alpha/2}\left(\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$$

Kita menggunakan formula ini apabila sisihan piawai populasi (σ) diketahui, dengan syarat saiz sampel adalah cukup besar (biasanya n > 30).

Apabila sisihan piawai populasi tidak diketahui dan sampel adalah kecil (biasanya n ≤ 30), kita menggunakan formula berikut sebagai ganti:

$$Margin\ ralat\ = t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)$$

Dalam senario ini, kita menggantikan sisihan piawai populasi (σ) dengan sisihan piawai sampel (s).

Komponen \$z_{\alpha/2}\$ dan \$t_{n-1, \alpha/2}\$ dikenali sebagai nilai kritikal. Ia ditentukan masing-masing menggunakan statistik-z dan statistik-t, dan bertindak sebagai pemalar yang terikat dengan tahap keyakinan pilihan anda.

Tahap keyakinan yang paling biasa digunakan dalam analisis statistik ialah 90%, 95%, dan 99%. Nilai kritikal \$z_{\alpha/2}\$ yang sepadan ialah 1.645 (untuk 90%), 1.96 (untuk 95%), dan 2.575 (untuk 99%).

Komponen \$\frac{\sigma}{\sqrt n}\$ dan \$\frac{s}{\sqrt n}\$ mewakili ralat piawai.

• \$\frac{\sigma}{\sqrt n}\$ digunakan apabila kita mengetahui sisihan piawai populasi (σ) dan mempunyai saiz sampel yang besar (biasanya n > 30).
• \$\frac{s}{\sqrt n}\$ digunakan apabila kita tidak mengetahui sisihan piawai populasi dan sedang mengendalikan saiz sampel yang kecil (biasanya n ≤ 30). Oleh kerana σ tidak diketahui, kita mesti bergantung pada sisihan piawai sampel sedia ada (s).

Selang Keyakinan

Seperti yang dinyatakan di atas, selang keyakinan ialah julat nilai statistik di mana parameter populasi tertentu dijangka berada, berdasarkan tahap keyakinan tertentu.

Sebagai contoh, seorang ahli statistik mungkin menyatakan bahawa purata ketinggian budak perempuan berusia 13 tahun berada di antara 59 inci dan 66 inci pada tahap keyakinan 90%. Ini bermakna jika kita mengambil beberapa sampel rawak budak perempuan berusia 13 tahun, kira-kira 90% daripada masanya, purata ketinggian mereka akan berada di antara dua had tersebut.

Apabila sisihan piawai populasi diketahui, selang keyakinan dikira menggunakan formula berikut:

$$\bar{x}± z_{\alpha/2}\left(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$$

• x̄ ialah min sampel,
• \$z_{\alpha/2}\$ ialah nilai kritikal,
• σ ialah sisihan piawai populasi,
• n ialah bilangan pemerhatian.

Jika kita tidak mengetahui sisihan piawai populasi (σ) dan mesti menggunakan sisihan piawai sampel (s) sebagai ganti, kita menggunakan formula alternatif ini:

$$\bar{x}± t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)$$

• x̄ ialah min sampel,
• \$t_{n-1,\alpha/2}\$ ialah nilai kritikal,
• s ialah sisihan piawai sampel,
• n ialah bilangan pemerhatian.

Seperti yang diperincikan dalam bahagian sebelum ini, ungkapan \$z_{\alpha/2}\left(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)\$ dan \$t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)\$ mewakili margin ralat.

Contoh pengiraan selang keyakinan

Katakan kita tahu bahawa harga saham harian yang kita analisis mengikut taburan normal. Kita mempunyai sampel 10 harga saham berikut untuk digunakan:

1.31, 1.36, 1.40, 1.27, 1.15, 0.99, 0.97, 0.88, 0.86, 0.80

Kita ingin mengira julat di mana purata harga saham sebenar akan turun naik, dengan tahap keyakinan 95%.

Oleh kerana ini adalah sampel yang kecil dan sisihan piawai populasi tidak diketahui, kita akan menggunakan sisihan piawai sampel dan formula statistik-t yang sepadan:

$$\bar{x}± t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)$$

• x̄ ialah min sampel: 1.10
• \$t_{n-1,\alpha/2}\$ ialah nilai kritikal: \$t_{9, 0.025}\$ = 2.26 (nilai kritikal untuk saiz sampel dan tahap keyakinan tertentu biasanya ditemui menggunakan jadual-t atau jadual-z standard)
• s ialah sisihan piawai sampel: 0.23
• n ialah bilangan pemerhatian: 10
• \$\frac{s}{\sqrt n}\$ ialah ralat piawai: \$\frac{0.23}{\sqrt{10}}=0.07\$

Kini, kita masukkan nombor-nombor ini ke dalam formula selang keyakinan kita:

$$\bar{x}± t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)$$

Mengira had bawah dan had atas, kita mendapat:

$$1.10 - 2.26 (\frac{0.23}{\sqrt{10}}) = 1.10 - 2.26 (\frac{0.23}{3.16}) = 1.10 - 2.26 × 0.07 = 1.10 - 0.16 = 0.94$$

$$1.10 + 2.26 (\frac{0.23}{\sqrt{10}}) = 1.10 + 2.26 (\frac{0.23}{3.16}) = 1.10 + 2.26 × 0.07 = 1.10 + 0.16 = 1.26$$

Keputusan ini bermakna kita boleh yakin sebanyak 95% bahawa purata harga saham sebenar untuk saham ini berada dalam selang keyakinan (0.94, 1.26).

Soalan Lazim

Bagaimanakah cara saya menggunakan kalkulator sisihan piawai?

Masukkan titik data anda yang dipisahkan dengan koma, pilih sama ada nombor tersebut mewakili populasi penuh atau sampel, dan klik "Kira." Alat ini akan memberikan sisihan piawai bersama-sama dengan min, varians, jadual taburan kekerapan, dan selang keyakinan pada pelbagai tahap keyakinan.

Apakah itu sisihan piawai?

Sisihan piawai ialah ukuran statistik tentang sejauh mana penyebaran sesuatu set data, yang mewakili purata jarak titik data dari min. Sisihan piawai yang lebih rendah bermakna data berkumpul rapat di sekitar min, manakala sisihan piawai yang lebih tinggi bermakna data tersebar lebih luas.

Apakah perbezaan antara sisihan piawai sampel dan populasi?

Gunakan sisihan piawai populasi (ditunjukkan sebagai σ) apabila set data anda merangkumi setiap pemerhatian dalam kumpulan yang anda kaji, dengan membahagikan jumlah perbezaan kuasa dua dengan N. Gunakan sisihan piawai sampel (ditunjukkan sebagai s) apabila data anda hanyalah sebahagian daripada populasi yang lebih besar, dengan membahagikannya dengan n − 1 sebagai ganti.

Bagaimanakah sisihan piawai dikira?

Mula-mula cari min, kemudian tolak min daripada setiap titik data dan kuasaduakan perbezaannya. Tambahkan perbezaan kuasa dua ini, bahagikan dengan N (populasi) atau n − 1 (sampel) untuk mendapatkan varians, dan ambil punca kuasa dua bagi varians untuk mendapatkan sisihan piawai.

Adakah kalkulator ini juga memberikan min dan varians?

Ya. Bersama-sama dengan sisihan piawai, kalkulator ini mengira min dan varians bagi set data anda, memandangkan sisihan piawai ialah punca kuasa dua bagi varians. Ia juga menghasilkan jadual taburan kekerapan dan selang keyakinan.