Minst gemene noemer berekenen

Onze online kleinste gemene deler (LCD) calculator berekent razendsnel het laagste getal dat als gemeenschappelijke noemer gebruikt kan worden voor al je invoerwaarden. Deze handige tool ondersteunt gehele getallen, breuken en gemengde getallen.

Gebruiksaanwijzing

Het gebruik van de LCD-calculator is heel eenvoudig. Voer alle waarden in, gescheiden door een komma. De getallen mogen zowel positief als negatief zijn. Voer je een gemengd getal in? Scheid dan het gehele getal en de breuk met een spatie, zoals in dit voorbeeld: \$5 \frac{1}{2}\$. Klik vervolgens op "Berekenen". De rekenmachine toont direct de kleinste gemene deler van alle ingevoerde getallen, inclusief een overzichtelijke, stap-voor-stap uitwerking.

Wat is de kleinste gemene deler?

De kleinste gemene deler (KGD), in de wiskunde ook wel de kleinste gemeenschappelijke noemer genoemd (en vaak aangeduid met de afkorting LCD: Lowest Common Denominator), is het kleinste getal dat als noemer kan dienen voor een reeks breuken. Het berekenen van deze kleinste gemene deler is een essentiële stap wanneer je breuken of gemengde getallen wilt optellen of aftrekken.

Hoe bereken je de kleinste gemene deler?

Volg dit handige stappenplan om zelf de kleinste gemene deler (LCD) van een reeks getallen te bepalen:

1. Zet alle getallen om in breuken.
2. Bepaal het kleinste gemene veelvoud (LCM of KGV) van de noemers van al deze breuken.
3. De LCM van de noemers is de gezochte LCD voor de oorspronkelijke breuken. Herschrijf vervolgens de originele breuken met deze nieuwe LCD als noemer.

Positieve waarden

Laten we als voorbeeld de LCD berekenen van de volgende reeks getallen: 3, \$\frac{3}{8}\$, \$1 \frac{1}{2}\$, \$\frac{5}{4}\$. Als we het bovenstaande stappenplan volgen, krijgen we:

1. Zet alle getallen om in breuken:

• 3 = \$\frac{3}{1}\$
• \$\frac{3}{8}\$ = \$\frac{3}{8}\$
• \$1 \frac{1}{2}\$ = 1 + \$\frac{1}{2}\$ = \$\frac{2}{2}\$ + \$\frac{1}{2}\$ = \$\frac{3}{2}\$
• \$\frac{5}{4}\$ = \$\frac{5}{4}\$

2. De resulterende breuken hebben de volgende noemers: 1, 8, 2, 4. Om verder te gaan, moeten we de LCM bepalen van 1, 2, 4 en 8. Laten we de LCM (1, 2, 4, 8) vinden door de veelvouden op te sommen:

• Veelvouden van 1: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10...
• Veelvouden van 2: 2, 4, 6, 8, 10, 12...
• Veelvouden van 4: 4, 8, 12, 16...
• Veelvouden van 8: 8, 16, 24...

LCM (1, 2, 4, 8) = 8

3. LCM (1, 2, 4, 8) = LCD (3, \$\frac{3}{8}\$, \$1 \frac{1}{2}\$, \$\frac{5}{4}\$) = 8.

Als we de oorspronkelijke breuken herschrijven met de nieuwe gemeenschappelijke noemer, is dit het resultaat:

• 3 = \$\frac{3}{1}\$ = \$\frac{3 × 8}{1 × 8}\$ = \$\frac{24}{8}\$
• \$\frac{3}{8}\$ = \$\frac{3}{8}\$
• \$1 \frac{1}{2}\$ = \$\frac{3}{2}\$ = \$\frac{3 × 4}{2 × 4}\$ = \$\frac{12}{8}\$
• \$\frac{5}{4}\$ = \$\frac{5 × 2}{4 × 2}\$ = \$\frac{10}{8}\$

Negatieve waarden

Het hierboven beschreven algoritme werkt net zo goed wanneer één of meerdere ingevoerde waarden negatief zijn. Laten we bijvoorbeeld de LCD bepalen van (-4, \$\frac{2}{3}\$):

1. Zet de getallen om in breuken:

• -4 = - \$\frac{4}{1}\$
• \$\frac{2}{3}\$ = \$\frac{2}{3}\$

2. Deze breuken hebben als noemers 1 en 3. Daarom zoeken we de LCM (1, 3). We bepalen de LCM (1, 3) door de veelvouden op te schrijven:

• Veelvouden van 1: 1, 2, 3, 4, 5...
• Veelvouden van 3: 3, 6, 9...

LCM (1, 3) = 3

3. LCD (- \$\frac{4}{1}\$, \$\frac{2}{3}\$) = LCM (1, 3) = 3.

Wanneer we de breuken herschrijven met de nieuwe noemer, krijgen we:

• -4 = - \$\frac{4}{1}\$ = - \$\frac{12}{3}\$
• \$\frac{2}{3}\$ = \$\frac{2}{3}\$

Praktijkvoorbeeld

Koken met breuken

Stel je voor dat je een taart gaat bakken. Voor het recept heb je de volgende ingrediënten nodig:

• \$2 \frac{2}{3}\$ kopjes bloem
• 2 kopjes melk
• 1 kopje suiker
• \$\frac{1}{2}\$ kopje gesmolten boter

Je hebt echter maar één mengkom met een maximale inhoud van \$6 \frac{1}{2}\$ kopjes. Passen alle ingrediënten tegelijk in deze kom?

De oplossing

Om dit probleem op te lossen, moeten we de volumes van alle ingrediënten bij elkaar optellen en deze totale waarde vergelijken met de maximale inhoud van de mengkom.

De gegeven volumes van de ingrediënten zijn:

• Bloem: \$2 \frac{2}{3}\$ kopjes
• Melk: 2 kopjes
• Suiker: 1 kopje
• Boter: \$\frac{1}{2}\$ kopje

Om deze hoeveelheden op te tellen, zetten we de gegeven waarden eerst om in breuken met een gemeenschappelijke noemer. Hiervoor gebruiken we de stappen die we eerder hebben besproken.

1. Als we alle waarden omzetten in breuken, krijgen we:

• \$2 \frac{2}{3}\$ = 2 + \$\frac{2}{3}\$ = \$\frac{6}{3}\$ + \$\frac{2}{3}\$ = \$\frac{8}{3}\$
• 2 = \$\frac{2}{1}\$
• 1 = \$\frac{1}{1}\$
• \$\frac{1}{2}\$ = \$\frac{1}{2}\$

2. Deze breuken hebben als noemers 1, 2 en 3. We zoeken daarom de LCM van 1, 2 en 3.

Laten we de LCM (1, 2, 3) vinden door de veelvouden op te sommen:

• Veelvouden van 1: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8...
• Veelvouden van 2: 2, 4, 6, 8, 10...
• Veelvouden van 3: 3, 6, 9, 12...

LCM (1, 2, 3) = 6

3. LCD (\$\frac{8}{3}\$, \$\frac{2}{1}\$, \$\frac{1}{1}\$, \$\frac{1}{2}\$) = LCM (1, 2, 3) = 6.

Als we de oorspronkelijke breuken herschrijven met deze nieuwe noemer, krijgen we:

• \$2 \frac{2}{3}\$ = \$\frac{8}{3}\$ = \$\frac{8 × 2}{3 × 2}\$ = \$\frac{16}{6}\$
• 2 = \$\frac{2}{1}\$ = \$\frac{2 × 6}{1 × 6}\$ = \$\frac{12}{6}\$
• 1 = \$\frac{1}{1}\$ = \$\frac{1 × 6}{1 × 6}\$ = \$\frac{6}{6}\$
• \$\frac{1}{2}\$ = \$\frac{1 × 3}{2 × 3}\$ = \$\frac{3}{6}\$

Nu kunnen we het totale volume van alle ingrediënten berekenen door ze op te tellen:

Totale inhoud ingrediënten = \$2 \frac{2}{3}\$ + 2 + 1 + \$\frac{1}{2}\$ = \$\frac{8}{3}\$ + \$\frac{2}{1}\$ + \$\frac{1}{1}\$ + \$\frac{1}{2}\$ = \$\frac{16}{6}\$ + \$\frac{12}{6}\$ + \$\frac{6}{6}\$ + \$\frac{3}{6}\$ = \$\frac{16 + 12 + 6 + 3}{6}\$ = \$\frac{37}{6}\$ = \$6 \frac{1}{6}\$ kopjes.

We weten dat de mengkom een maximale inhoud heeft van \$6 \frac{1}{2}\$ kopjes.

Laten we deze twee waarden met elkaar vergelijken: \$6 \frac{1}{6}\$ en \$6 \frac{1}{2}\$. Om dit goed te kunnen doen, herschrijven we ze als breuken met een gemeenschappelijke noemer:

1. Omgerekend naar breuken krijgen we:

• \$6 \frac{1}{6}\$ = \$\frac{37}{6}\$
• \$6 \frac{1}{2}\$ = \$\frac{13}{2}\$

2. Deze breuken hebben de volgende noemers: 2 en 6. We moeten dus de LCM van 2 en 6 bepalen. Laten we de LCM (2, 6) vinden door de veelvouden op te sommen:

• Veelvouden van 2: 2, 4, 6, 8, 10...
• Veelvouden van 6: 6, 12, 18...

LCM (2, 6) = 6

3. LCD (\$\frac{37}{6}\$, \$\frac{13}{2}\$) = LCM (2, 6) = 6. Als we de oorspronkelijke breuken herschrijven met deze noemer, krijgen we:

• \$6 \frac{1}{6}\$ = \$\frac{37}{6}\$
• \$6 \frac{1}{2}\$ = \$\frac{13}{2}\$ = \$\frac{13 × 3}{2 × 3}\$ = \$\frac{39}{6}\$

Tot slot zien we dat de totale inhoud van alle ingrediënten \$\frac{37}{6}\$ kopjes is en de maximale inhoud van de kom \$\frac{39}{6}\$ kopjes.

Aangezien 39 > 37, geldt dat \$\frac{39}{6}\$ > \$\frac{37}{6}\$. Dit betekent dat de kom groot genoeg is voor alle ingrediënten en dat je direct kunt beginnen met het bakken van je taart!

Eindconclusie

De totale hoeveelheid ingrediënten bedraagt \$\frac{37}{6}\$ kopjes, terwijl de mengkom ruimte biedt voor \$\frac{39}{6}\$ kopjes. De kom is dus ruim genoeg om alle benodigde ingrediënten zonder problemen te mengen.