Permutasjonskalkulator

Vår permutasjonskalkulator bestemmer det nøyaktige antallet måter du kan ordne n unike objekter på, ved å ta et utvalg av r elementer om gangen. Den beregner antall mulige rekkefølger for grupper der den spesifikke sekvensen eller rekkefølgen av elementene er strengt viktig. Det totale antallet tilgjengelige objekter betegnes med n, mens antall elementer i hver valgte gruppe betegnes med r.

For eksempel, hvis vi ønsker å ordne bokstavene XYZ i grupper på to bokstaver hver, kan vi danne XY, XZ, YZ, YX, ZX og ZY, noe som gir 6 ulike måter.

For å bruke denne nPr-kalkulatoren, skriver du ganske enkelt inn n (det totale antallet objekter som skal ordnes) og r (antall elementer i hver utvalgsgruppe), og klikker deretter på "Beregn".

Permutasjoner

I matematikken er en permutasjon en ordning av elementene i en mengde i en bestemt sekvens eller rekkefølge. Hvis en mengde allerede er ordnet, vil en omorganisering av elementene skape en ny permutasjon. I enhver permutasjon er rekkefølgen av elementene helt avgjørende. For eksempel representerer sekvensene AB og BA to helt forskjellige permutasjoner. Det totale antallet permutasjoner av n objekter tatt i utvalg av r objekter betegnes vanligvis som nPr.

Beregningen av antall permutasjoner avhenger sterkt av hvilken type objekter som ordnes og om repetisjoner er tillatt. Med mindre annet er oppgitt, antas det generelt at repetisjoner ikke er tillatt når man beregner permutasjoner.

I denne artikkelen vil vi utelukkende fokusere på eksempler på permutasjoner uten repetisjon.

Permutasjoner bygger på det fundamentale telleprinsippet. Dette prinsippet sier at hvis et eksperiment består av k påfølgende hendelser, hvor den første hendelsen kan inntreffe på n₁ måter, den andre på n₂ måter, og så videre inntil den siste hendelsen inntreffer på nₖ måter, er det totale antallet måter eksperimentet kan utspille seg på, produktet av disse individuelle hendelsene: n₁ × n₂ × ... × nₖ.

Anta at vi ønsker å bestemme antall mulige permutasjoner for bokstavene ABC uten repetisjoner. Hvilken som helst av de tre bokstavene kan plasseres først, noe som betyr at det er 3 måter å plassere den første bokstaven på.

Når den første bokstaven er valgt, gjenstår to bokstaver. Hvilken som helst av disse to kan velges som den andre bokstaven, noe som gir oss 2 måter å velge den andre bokstaven på. Etter at den andre bokstaven er valgt, gjenstår bare én bokstav, noe som betyr at det bare er 1 måte å plassere den tredje bokstaven på.

Ved å bruke det fundamentale telleprinsippet er det totalt 3 × 2 × 1 = 6 måter å ordne bokstavene ABC på. Disse rekkefølgene er ABC, ACB, BCA, BAC, CAB og CBA.

Fakultet

Som vist ovenfor, beregnes antall permutasjoner av 3 unike objekter som 3 × 2 × 1 = 6. Generelt er antall permutasjoner for å ordne et helt sett med n objekter gitt ved n × (n-1) × (n-2) × ... × 1.

Dette innebærer å multiplisere alle positive heltall fra n ned til 1. I matematikk kalles produktet av et heltall n og alle de positive heltallene under det for "fakultet", som angis med et utropstegn (!).

Derfor er n! = n × (n-1) × (n-2) × ... × 1, og uttales "n-fakultet".

Merk at i henhold til matematisk konvensjon er 0! = 1 og 1! = 1.

Eksempel på permutasjoner

Standardløpebanen for sprintøvelser i OL har 9 baner. Imidlertid står bane 1 typisk tom på 100-meter. De 8 løperne blir i stedet plassert i bane 2 til 9. Hvor mange mulige måter kan disse 8 løperne fordeles på de 8 banene (fra 2 til 9)?

Ved å bruke det fundamentale telleprinsippet:

• hvem som helst av de 8 løperne kan tildeles bane 2,
• hvem som helst av de gjenværende 7 løperne kan tildeles bane 3,
• hvem som helst av de gjenværende 6 løperne kan tildeles bane 4,
• hvem som helst av de gjenværende 5 løperne kan tildeles bane 5,
• hvem som helst av de gjenværende 4 løperne kan tildeles bane 6,
• hvem som helst av de gjenværende 3 løperne kan tildeles bane 7,
• en av de 2 gjenværende løperne kan tildeles bane 8,
• den 1 gjenværende løperen tildeles bane 9.

Dermed er det totale antallet mulige permutasjoner for å plassere de 8 løperne i de 8 tilgjengelige banene 8! = 8 × 7 × 6 × ... × 2 × 1 = 40 320 måter.

For å løse dette med vår permutasjonskalkulator, skriver du ganske enkelt 8 i både feltet for n (objekter) og feltet for r (utvalg), og klikker deretter på "Beregn" for å umiddelbart få 40 320.

Permutasjon av delmengder

I de foregående eksemplene så vi på beregning av permutasjoner der hvert eneste objekt i settet brukes i oppstillingen. Det er imidlertid mange situasjoner der et større sett av objekter skal ordnes i mindre undergrupper.

I disse tilfellene betegnes det totale antallet tilgjengelige objekter med n, antall objekter som velges til undergruppen (utvalget) betegnes med r, og følgende formel brukes for å beregne antall permutasjoner:

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{\left(n-r\right)!}$$

Dette er den standard permutasjonsformelen som brukes for å beregne rekkefølger uten repetisjon når du skal organisere et bestemt utvalg r hentet fra en større mengde n.

Hvis du skal beregne hvor mange måter du kan ordne alle elementene i et sett i en bestemt rekkefølge uten repetisjon (der n er lik r), forenkles formelen til:

$$ₙPᵣ=n!$$

Eksempel

La oss gå tilbake til eksempelet med 100-meter. Vi beregnet tidligere det totale antallet måter alle åtte løperne kunne plasseres på banen. La oss nå se på medaljene. Det skal deles ut tre medaljer: førsteplassen vinner gull, andreplassen vinner sølv, og tredjeplassen vinner bronse. Ut av de 8 startende løperne, på hvor mange mulige måter kan gull-, sølv- og bronsemedaljene deles ut?

Ifølge det fundamentale telleprinsippet kan enhver av de 8 løperne ta førsteplassen. Når gullmedaljevinneren er kåret, gjenstår 7 løpere i kampen om andreplassen. Etter at sølvet er utdelt, står 6 løpere igjen for å kjempe om bronsemedaljen. Derfor er det totale antallet mulige permutasjoner for de tre øverste plasseringene blant de 8 løperne: 8 × 7 × 6 = 336

Alternativt kan vi bruke nPr-formelen:

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{\left(n-r\right)!}$$

Setter vi inn tallene våre, får vi:

$$₈P₃=\frac{8!}{\left(8-3\right)!}=\frac{8!}{5!}=\frac{8×7×6×5×4×\ldots×1}{5×4×\ldots×1}=8×7×6=336$$

For å finne dette med permutasjonskalkulatoren, skriver du 8 i feltet for n (objekter) og 3 i feltet for r (utvalg). Klikk deretter på "Beregn", så får du 336.

Permutasjoner og kombinasjoner: Forskjellen

En annen viktig telleteknikk i matematikk er kombinasjoner. Kombinasjoner representerer de ulike måtene et mindre antall objekter (utvalget r) kan velges fra en større samling objekter (n). Antall kombinasjoner av r objekter valgt fra n objekter betegnes vanligvis som ₙCᵣ.

Da vi definerte permutasjoner, slo vi fast at sekvensen eller rekkefølgen er strengt avgjørende. Dette er selve kjerneforskjellen mellom permutasjoner og kombinasjoner: i kombinasjoner spiller rekkefølgen ingen rolle.

Vi påpekte for eksempel tidligere at permutasjonene av bokstavene XYZ i grupper på to gir seks forskjellige rekkefølger: XY, XZ, YZ, YX, ZX og ZY.

Men, kombinasjonene av bokstavene XYZ i grupper på to gir bare tre unike par: XY, XZ og YZ. Fordi rekkefølgen ikke spiller noen rolle i kombinasjoner, betraktes XY og YX som nøyaktig det samme paret. Det samme gjelder for XZ og ZX, samt for YZ og ZY.

Formelen som brukes for å beregne antall kombinasjoner av r objekter fra n objekter er:

$$ₙСᵣ=\frac{n!}{r!\left(n-r\right)!}$$

Eksempel på beregning av kombinasjoner

I scenariet med løperne ovenfor, beregnet vi hvor mange måter vi kunne tildele de spesifikke første-, andre- og tredjeplassene fra en gruppe på 8 løpere. Men hva om vi ganske enkelt ønsker å vite antall måter vi kan velge ut 3 medaljevinnere fra de 8 løperne, uavhengig av deres spesifikke plassering? I dette tilfellet har det ingenting å si hvem som kommer først, på andreplass eller tredjeplass – kun at de blir valgt ut til å vinne en medalje.

Fordi den nøyaktige rekkefølgen på medaljene er irrelevant her, bruker vi kombinasjoner. Vi kan løse dette ved å bruke standardformelen for kombinasjoner:

$$ₙСᵣ = \frac{n!}{r!(n-r)!}$$

Antallet måter 3 urangerte medaljevinnere kan velges fra en gruppe på 8 løpere er gitt ved:

$$₈C₃=\frac{8!}{3! × \left(8-3\right)!}=\frac{8!}{3! × 5!}=\frac{8 × 7 × 6}{3 × 2 × 1}=8×7=56$$

Eksempler på beregning av permutasjoner

1. En TV-produsent må velge 3 av 5 tilgjengelige gjestetalere for et kommende nyhetsprogram. Rekkefølgen gjestene snakker i, er svært viktig. På hvor mange forskjellige måter kan produsenten organisere presentasjonene? Fordi rekkefølgen betyr noe og repetisjon ikke er tillatt (en gjest kan ikke opptre to ganger i samme program), bruker vi formelen for permutasjoner:

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{(n-r)!}$$

$$₅P₃ = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} = 5 × 4 × 3 = 60$$

Dette viser at produsenten har 60 unike måter å organisere gjestetalerne på.

2. En fremtredende restaurantanmelder har plukket ut 10 utmerkede sushisteder i byen for å kåre de 3 beste. Stedene må presenteres i en bestemt rekkefølge for å gjenspeile den endelige rangeringen, og ingen restaurant kan vises på listen mer enn én gang. Ettersom rekkefølgen er avgjørende og det ikke forekommer repetisjoner, oppfyller vi kjernekravene for permutasjoner. Vi bruker nPr-formelen:

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{(n-r)!}$$

$$₁₀P₃ = \frac{10!}{(10-3)!} = \frac{10!}{7!} = 10 × 9 × 8 = 720$$

3. Når vi slår fast at "rekkefølgen er viktig" i permutasjoner, betyr ikke det nødvendigvis at rekkefølgen må være en numerisk rangering som 1., 2. eller 3. plass. Rekkefølge kan også defineres av spesifikke, distinkte roller eller steder som elementene våre er tildelt.

Tenk deg for eksempel en leder for et vaktmesterselskap. Han har fire spesifikke arbeidsordrer som skal fullføres i dag: å male et visumkontor, et fabrikklager, en klesbutikk og et rom i et privat hjem. Selskapet har seks malere ansatt. Hver maler kan bare sendes til 1 anlegg per dag, noe som betyr at to malere naturlig nok vil ha fri den dagen.

De fire unike arbeidsstedene (visumkontoret, lageret, butikken og det private hjemmet) fungerer som tilsvarende posisjoner for plassene 1, 2, 3 og 4.

Lederen vurderer alternativene sine:

• 6 tilgjengelige malere som kan tildeles visumkontoret,
• 5 gjenværende malere som kan tildeles fabrikklageret,
• 4 gjenværende malere som kan sendes til klesbutikken,
• 3 gjenværende malere som kan tildeles det private hjemmet.

Intuitivt kan vi beregne det totale antallet tildelingsvalg til 6 × 5 × 4 × 3 = 360.

Fordi det spesifikke stedet hver maler tildeles, er helt avgjørende (rekkefølgen er viktig), og ingen maler kan jobbe på mer enn ett sted på én dag (ingen repetisjoner), kan vi med fordel bruke permutasjonsformelen vår:

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{(n-r)!}$$

$$\frac{6!}{(6-4)!} = \frac{6!}{2!} = 6 × 5 × 4 × 3 = 360$$

Til syvende og sist finnes det nøyaktig 360 ulike måter vaktmesterlederen kan fordele dagens oppdrag blant sine tilgjengelige malere under de gitte forholdene.