Калькулятор вероятности
Точный онлайн-калькулятор вероятности. Легко рассчитывайте вероятность случайных событий, нормальное распределение и шансы на выигрыш. Попробуйте сейчас!
| Результат | ||
|---|---|---|
| Вероятность того, что A не наступит: P(A') | 0.5 | |
| Вероятность того, что B не наступит: P(B') | 0.6 | |
| Вероятность того, что наступят и A, и B: P(A∩B) | 0.2 | |
| Вероятность того, что наступит A или B или оба: P(A∪B) | 0.7 | |
| Вероятность того, что наступит A или B, но не оба: P(AΔB) | 0.5 | |
| Вероятность того, что не наступит ни A, ни B: P((A∪B)') | 0.3 | |
| Вероятность того, что наступит A, но не B: | 0.3 | |
| Вероятность того, что наступит B, но не A: | 0.2 | |
Probability
Вероятность A: P(A) = 0.5
Вероятность B: P(B) = 0.4
Вероятность того, что A не наступит: P(A') = 1 - P(A) = 0.5
Вероятность того, что B не наступит: P(B') = 1 - P(B) = 0.6
Вероятность того, что наступят и A, и B: P(A∩B) = P(A) × P(B) = 0.2
Вероятность того, что наступит A или B или оба: P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B) = 0.7
Вероятность того, что наступит A или B, но не оба: P(AΔB) = P(A) + P(B) - 2P(A∩B) = 0.5
Вероятность того, что не наступит ни A, ни B: P((A∪B)') = 1 - P(A∪B) = 0.3
Вероятность того, что наступит A, но не B: P(A) × (1 - P(B)) = 0.3
Вероятность того, что наступит B, но не A: (1 - P(A)) × P(B) = 0.2
Probability
Вероятность наступления A 5 раз(а) = 0.65 = 0.07776
Вероятность того, что A не наступит = (1-0.6)5 = 0.01024
Вероятность наступления A = 1-(1-0.6)5 = 0.98976
Вероятность наступления B 3 раз(а) = 0.33 = 0.027
Вероятность того, что B не наступит = (1-0.3)3 = 0.343
Вероятность наступления B = 1-(1-0.3)3 = 0.657
Вероятность наступления A 5 раз(а) и B 3 раз(а) = 0.65 × 0.33 = 0.00209952
Вероятность того, что не наступит ни A, ни B = (1-0.6)5 × (1-0.3)3 = 0.00351232
Вероятность наступления и A, и B = (1-(1-0.6)5) × (1-(1-0.3)3) = 0.65027232
Вероятность наступления A 5 раз, но не B = 0.65 × (1-0.3)3 = 0.02667168
Вероятность наступления B 3 раза, но не A = (1-0.6)5 × 0.33 = 2.7648e-4
Вероятность наступления A, но не B = (1-(1-0.6)5) × (1-0.3)3 = 0.33948768
Вероятность наступления B, но не A = (1-0.6)5 × (1-(1-0.3)3) = 0.00672768
Probability
Вероятность между -1 и 1 составляет 0.68268
Вероятность за пределами -1 и 1 составляет 0.31732
Вероятность -1 или меньше (≤-1) составляет 0.15866
Вероятность 1 или больше (≥1) составляет 0.15866
| ТАБЛИЦА ДОВЕРИТЕЛЬНЫХ ИНТЕРВАЛОВ | ||
|---|---|---|
| ДОВЕРИЕ | ДИАПАЗОН | N |
| 0.6828 | -1.00000 – 1.00000 | 1 |
| 0.8 | -1.28155 – 1.28155 | 1.281551565545 |
| 0.9 | -1.64485 – 1.64485 | 1.644853626951 |
| 0.95 | -1.95996 – 1.95996 | 1.959963984540 |
| 0.98 | -2.32635 – 2.32635 | 2.326347874041 |
| 0.99 | -2.57583 – 2.57583 | 2.575829303549 |
| 0.995 | -2.80703 – 2.80703 | 2.807033768344 |
| 0.998 | -3.09023 – 3.09023 | 3.090232306168 |
| 0.999 | -3.29053 – 3.29053 | 3.290526731492 |
| 0.9999 | -3.89059 – 3.89059 | 3.890591886413 |
| 0.99999 | -4.41717 – 4.41717 | 4.417173413469 |
Произошла ошибка при расчете.
Последнее обновление: 3 июня 2026 г.
Содержание
- Калькулятор вероятностей двух событий
- Калькулятор вероятностей для двух событий
- Вероятность серии независимых событий
- Вероятность нормального распределения
- Введение в теорию вероятности
- Правила работы с событиями
- Пример
- Дополнение события
- Пересечение событий
- Независимые события
- Объединение событий
- Нормальное распределение
- Вероятность нормального распределения
- Пример
Калькулятор вероятностей двух событий
Если известны вероятности двух независимых событий, вы можете использовать калькулятор вероятности двух событий для вычисления шанса их совместного наступления. Просто введите вероятности событий a и b. Инструмент мгновенно рассчитает вероятности объединения, пересечения и другие связанные метрики, а также наглядно проиллюстрирует их с помощью диаграмм Венна.
Калькулятор вероятностей для двух событий
С помощью этого онлайн-калькулятора можно вычислить различные параметры двух независимых событий, зная любые два исходных значения. Это особенно полезно при решении обратных задач, когда одна или обе начальные вероятности неизвестны. В результатах вы получите не только итоговый ответ, но и подробное пошаговое решение.
Вероятность серии независимых событий
Калькулятор «Вероятность серии независимых событий» позволяет определить шансы того, что в ходе эксперимента два независимых события произойдут одно за другим. Для расчета в этом инструменте достаточно указать количество повторений (испытаний) данного события.
Вероятность нормального распределения
Калькулятор нормального распределения незаменим при анализе площади под кривой нормального распределения (гауссианы). Укажите среднее значение μ, стандартное отклонение σ и нужные границы диапазона. Алгоритм автоматически вычислит вероятность попадания величины в заданные пределы, а также доверительные интервалы для различных уровней значимости.
Введение в теорию вероятности
Вероятность — это числовая мера того, что определенное событие произойдет. Если событие достоверно (произойдет наверняка), его вероятность равна 1. Если событие невозможно, вероятность равна 0. Таким образом, значение вероятности всегда находится в диапазоне от 0 до 1. Наш онлайн-калькулятор вероятностей помогает автоматизировать эти расчеты, делая их быстрыми и безошибочными.
Правила работы с событиями
Любая комбинация результатов случайного эксперимента называется событием. С математической точки зрения, событие — это любое подмножество пространства элементарных исходов. Основными операциями над событиями являются дополнение, пересечение и объединение. Давайте подробно разберем каждую из этих операций на практическом примере.
Пример
Представьте, что в вашем университете есть несколько факультетов, включая факультет бизнеса, а также обучаются иностранные студенты. Для исследовательского проекта вам нужно провести интервью. Вы решаете подойти к первому студенту, который войдет в здание университета через главные ворота. Известны следующие вероятности. Допустим:
A = Первый вошедший — студент факультета бизнеса.
B = Первый вошедший — иностранный студент.
P(A) = 0,6
P(B) = 0,3
Дополнение события
Дополнение события — это множество всех элементарных исходов в пространстве исходов, которые не входят в данное событие.
Например, дополнение события A означает, что первый встреченный студент не учится на факультете бизнеса. Это можно обозначить как \$A\prime\$ или Aᶜ.
Проиллюстрируем дополнение события A с помощью диаграммы Венна.
На приведенной выше диаграмме закрашенная область представляет собой дополнение события A.
Общая площадь прямоугольника соответствует полной вероятности пространства исходов, которая в точности равна единице. Площадь за пределами круга A показывает вероятность наступления дополнения события A. Диаграмма Венна наглядно демонстрирует следующее соотношение:
$$P\left(A\right)+P\left(A^\prime\right)=1$$
Следовательно,
$$P\left(A^\prime\right)=1-P\left(A\right)$$
Найдем следующие вероятности.
Вероятность того, что первый выбранный для интервью студент не с факультета бизнеса:
$$P\left(A^\prime\right)=1-P\left(A\right)=1-0,6=0,4$$
Вероятность того, что первый выбранный студент не является иностранцем:
$$P\left(B^\prime\right)=1-P\left(B\right)=1-0,3=0,7$$
Пересечение событий
Пересечение двух событий A и B — это множество всех общих исходов, при которых события A и B наступают одновременно. Для обозначения пересечения множеств часто используется логический союз «И» (AND).
В нашем примере пересечение событий A и B означает, что выбранный студент является и иностранцем, и студентом факультета бизнеса. Математически это записывается так:
$$A\cap B$$
Покажем пересечение событий A и B на диаграмме Венна.
На этой диаграмме Венна цветная область (перекрытие кругов) представляет пересечение событий A и B.
Теперь предположим, что событие C — это выбор местного студента. Отобразим события A и C на диаграмме Венна.
Студент не может быть одновременно и местным, и иностранным. Если первый выбранный вами студент — иностранец (событие B), это полностью исключает возможность того, что он местный (событие C). Такие события называются взаимоисключающими (несовместными).
Взаимоисключающие события не имеют общих элементов, поэтому их пересечение представляет собой пустое множество:
$$A\cap C=φ$$
Вероятность пересечения событий можно рассчитать различными способами. Для событий A и B применимы следующие формулы:
$$P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cup B\right)$$
$$P\left(A\cap B\right)=P(A)× P(B/A)$$
$$P\left(A\cap B\right)=P(B)× P(A/B)$$
Независимые события
Независимые события — это события, наступление одного из которых никак не влияет на вероятность наступления другого. В нашем примере факт обучения на факультете бизнеса не влияет на то, является ли студент иностранцем. Поэтому можно с уверенностью сказать, что события A и B независимы.
Для независимых событий условная вероятность равна безусловной. Следовательно:
$$P(B/A)=B \ и \ P(A/B)=A$$
Используя этот принцип, можно модифицировать ранее приведенные формулы для определения вероятности пересечения:
$$P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)× P\left(\mathrm{B/A}\right)P\left(A\cap B\right)=P(A)× P(B)$$
$$P\left(A\cap B\right)=P\left(B\right)× P\left(\mathrm{A/B}\right)P\left(A\cap B\right)=P(B)× P(A)$$
Таким образом, вероятность пересечения двух независимых событий равна произведению их вероятностей:
$$P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)× P\left(B\right)=P(B)× P(A)$$
Учитывая независимость событий A и B, рассчитаем вероятность того, что первый выбранный студент окажется иностранцем, обучающимся на факультете бизнеса:
$$P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)× P\left(B\right)=0,6× 0,3=0,18$$
Объединение событий
Объединение двух событий образует новое множество, содержащее все исходы, которые принадлежат хотя бы одному из этих событий. Для описания объединения обычно используется логический союз «ИЛИ» (OR).
В рассматриваемом примере объединение событий A и B означает выбор студента, который учится на факультете бизнеса или является иностранцем (либо и то, и другое). Обозначается это так:
$$A\cup B$$
Покажем объединение событий A и B на диаграмме Венна.
Закрашенная область на графике иллюстрирует объединение множеств A и B.
Чтобы найти вероятность наступления события A или события B, необходимо сложить вероятности обоих событий и вычесть вероятность их пересечения.
Вероятность объединения событий A и B можно записать следующим образом:
$$P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right)$$
Мы можем адаптировать эту формулу для нахождения вероятности объединения двух независимых событий, даже если вероятность их пересечения изначально неизвестна.
Поскольку для независимых событий:
$$P\left(A\cap B\right)=P(A)× P(B)$$
Формула объединения принимает вид:
$$P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P(A)× P(B)$$
Давайте вычислим вероятность объединения событий A и B. С какой вероятностью случайно выбранный студент окажется с факультета бизнеса, иностранцем или будет обладать обоими признаками одновременно?
$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=0,6+0,3-0,18=0,72$$
Благодаря нашему калькулятору вероятности двух событий вы сможете мгновенно выполнять подобные вычисления. Вы также можете использовать этот инструмент для самопроверки, поскольку он отображает подробные шаги вычисления вероятности.
Нормальное распределение
Нормальное распределение имеет симметричную колоколообразную форму. В таком распределении среднее арифметическое, медиана и мода полностью совпадают, при этом 50% значений лежат выше среднего, а 50% — ниже. Кривая нормального распределения асимптотически приближается к оси X в обе стороны, но никогда ее не пересекает. Общая площадь под кривой всегда равна 1 (или 100%).
Если случайная величина X имеет нормальное распределение с математическим ожиданием (средним) μ и дисперсией σ², это записывается так: $X ~ N(\mu, \sigma^2)$.
Вероятность нормального распределения
Функция плотности вероятности для нормального распределения описывается следующей формулой:
$$f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2π\sigma^2}}× e^\frac{-{(x-\mu)}^2}{2\sigma^2}$$
В этой функции:
- μ — среднее значение (математическое ожидание) распределения;
- σ² — дисперсия распределения;
- π — математическая константа 3,14;
- e — число Эйлера, примерно равное 2,7182.
Составить таблицы вероятностей для абсолютно каждой комбинации среднего и стандартного отклонения невозможно, так как существует бесконечное множество нормальных кривых. Поэтому в статистике используют стандартное нормальное распределение (Z-распределение) — это распределение, у которого среднее значение равно 0, а стандартное отклонение равно 1.
Для расчета вероятности необходимо сначала стандартизировать исходное распределение с помощью Z-оценки, а затем применить таблицу Z-значений для определения вероятности. Наш калькулятор вероятности нормального распределения функционирует как алгоритм стандартной нормальной вероятности, автоматически вычисляя данные для различных уровней значимости.
$$Z=\frac{X-\mu}{\sigma}$$
Стандартная кривая нормального распределения широко применяется для решения множества практических и научных задач. Она помогает оценивать вероятности для непрерывных случайных величин — то есть переменных, которые могут принимать любые числовые значения, включая дробные. Классическими примерами непрерывных переменных являются рост, вес и температура.
Давайте разберем на практическом примере, как вычисляется вероятность для нормального распределения.
Пример
Оценки студентов вашей группы по курсу статистики подчиняются закону нормального распределения. Средний балл равен 65, а стандартное отклонение — 10. Если выбрать одного студента случайным образом, определите вероятность следующих сценариев:
- балл студента равен 70 или выше;
- балл студента ниже 70;
- балл студента находится в диапазоне от 50 до 70.
Решение
$$P\left(X≥70\right)=P\left(Z≥\frac{70-65}{10}\right)=P\left(Z≥0,5\right)=1-0,6915=0,3085$$
$$P\left(X<70\right)=P\left(Z<\frac{70-65}{10}\right)=P\left(Z<0,5\right)=0,6915$$
$$P\left(50>X>70\right)=P\left(\frac{50-65}{10}>Z>\frac{70-65}{10}\right)=P\left(1,5>Z>0,5\right)=0,4332+0,1915=0,6247$$
Ручной расчет площади под нормальной кривой требует нескольких математических преобразований и умения работать с таблицами стандартного нормального распределения. Однако наш калькулятор вероятности нормального распределения сделает всю рутину за вас. Достаточно просто ввести четыре параметра: среднее значение, стандартное отклонение, а также левую и правую границы диапазона, чтобы мгновенно получить точный результат.