Kikokotoo cha Z-Score

Kikokotoo chetu cha Z-Score chenye matumizi mengi kimeundwa kushughulikia kwa urahisi hesabu zako zote zinazohusiana na Z-score. Kwa kuweka alama ghafi (X), wastani wa idadi ya watu (μ), na mkengeuko sanifu (σ) kwenye kikokotoo chetu kikuu, unaweza kupata Z-score halisi papo hapo. Chombo hiki hutoa masuluhisho wazi, ya hatua kwa hatua na kuonyesha uwezekano husika unaohusishwa na alama yako ghafi.

Kibadilishaji cha Z-Score na Uwezekano (Z-Score and Probability Converter) kinakuruhusu kubadilisha kati ya Z-score na uwezekano wake unaolingana bila kuhitaji kurejelea jedwali la Z kwa mikono. Matokeo huonyesha papo hapo hali zote zinazowezekana za uwezekano zinazounganishwa na Z-score hiyo moja. Mwishowe, unaweza kutumia kikokotoo chetu cha tatu kupata haraka uwezekano halisi kati ya Z-score mbili tofauti.

Z-score ni nini?

Z-score (pia inajulikana kama alama sanifu) ni kipimo cha msingi cha takwimu ambacho kinaonyesha ni mikengeuko sanifu mingapi ambayo nukta mahususi ya data ipo kutoka kwenye wastani wa seti nzima ya data. Kimsingi hutumika kulinganisha thamani ya mtu binafsi dhidi ya idadi kubwa ya watu, Z-score husaidia kusanifisha data, kufanya seti changamano za data kuwa rahisi sana kulinganisha na kuchanganua.

Hatimaye, Z-score huturuhusu kubaini jinsi nukta moja ya data ilivyo ya "kawaida" au "siyo ya kawaida" inapotazamwa katika muktadha wa kundi zima.

• Kutambua data zilizojitenga (outliers): Z-score hutusaidia kutambua haraka nukta za data zinazokengeuka kwa kiasi kikubwa kutoka kwenye seti nzima ya data. Hili lina thamani kubwa katika nyanja kama vile fedha na utafiti wa matibabu, ambapo data zilizojitenga mara nyingi huashiria mwelekeo muhimu, makosa, au dosari.
• Kulinganisha data kutoka seti tofauti: Z-score hutuwezesha kulinganisha data kwenye seti tofauti kabisa za data, hata kama zina vipimo au viwango tofauti. Hili ni muhimu katika nyanja kama vile ujifunzaji wa mashine (machine learning), ambapo data kutoka vyanzo mbalimbali lazima ziunganishwe ili kujenga miundo sahihi.
• Kurekebisha (Normalize) data: Kwa kubadilisha data ghafi kuwa Z-score, tunasanifisha seti ya data na kuweka kila kitu katika kiwango sawa. Hili linafaa sana katika uwasilishaji wa data, ambapo kuwasilisha data katika muundo ulio sanifu na unaoeleweka kwa urahisi ni muhimu.

Kanuni ya Z-Score

Z-Score kwa idadi ya watu (population)

Z = Alama ghafi - Wastani wa Idadi ya Watu / Mkengeuko Sanifu wa Idadi ya Watu

Z = (X - μ) / σ

Z-Score kwa sampuli

Z = Alama ghafi - Wastani wa Sampuli / Mkengeuko Sanifu wa Sampuli

Z = (X - x̄) / s

Tafsiri ya matokeo ya Z-score iliyopatikana

Z-score Chanya: Z-score chanya inaonyesha kuwa nukta yako ya data iko juu ya thamani ya wastani ya seti ya data. Kwa ufupi, nukta yako ya data iliyozingatiwa ni kubwa kuliko thamani ya kawaida inayopatikana ndani ya kundi.

Z-score Hasi: Z-score hasi inaonyesha kuwa nukta yako ya data iko chini ya thamani ya wastani ya seti ya data. Hii ina maana kwamba nukta yako ya data iliyozingatiwa ni ndogo kuliko thamani ya kawaida katika kundi.

Ukubwa wa Z-score: Nambari halisi ya Z-score inakuambia hasa ni umbali gani nukta yako ya data inatoka kwenye wastani. Kadiri thamani kamili ya Z-score inavyokuwa kubwa, ndivyo nukta yako ya data inavyokuwa mbali na wastani wa seti ya data.

Z-score na mkengeuko sanifu

Z-score na mkengeuko sanifu vinaingiliana kwa karibu kwa sababu mkengeuko sanifu ni kipimo kikuu kinachotumiwa kukokotoa Z-score. Kwa hakika, mkengeuko sanifu hufanya kazi kama asili (denominator) kuu katika kanuni ya Z-score.

Mkengeuko sanifu hupima mtawanyiko wa jumla wa seti ya data. Huamua ni umbali gani, kwa wastani, kila nukta ya data hutengana kutoka kwenye wastani wa seti ya data. Mkengeuko sanifu wa juu unamaanisha kuwa data imetawanywa kwa mapana zaidi.

Z-score hutumia hili kwa kueleza ni umbali gani nukta mahususi ya data ipo kutoka kwenye wastani kulingana na mkengeuko sanifu. Kwa kutumia mkengeuko sanifu kukokotoa Z-score, unaweka nukta moja ya data katika muktadha dhidi ya seti nzima ya data ili kuona kwa usahihi jinsi ilivyo ya kawaida au isiyo ya kawaida.

Z-score na usambazaji wa kawaida (normal distribution)

Usambazaji wa kawaida (normal distribution) ni muundo unaopatikana kila mahali katika matukio mengi ya ulimwengu halisi. Mara nyingi hujulikana kama usambazaji wa Gaussian (uliopewa jina la mwanahisabati Carl Friedrich Gauss), hujitokeza kama mzingo (curve) wenye ulinganifu na umbo la kengele unaowakilisha jinsi data inavyosambazwa kwa usawa kuzunguka wastani.

Kwa kuwa Z-score hupima umbali wa nukta ya data kutoka kwa wastani kuhusiana na mkengeuko sanifu, kubadilisha kila nukta ya data kwenye seti kuwa Z-score husanifisha seti nzima ya data.

Muunganisho wenye nguvu kati ya Z-score na usambazaji wa kawaida ni kwamba Z-score hukuruhusu kubadilisha karibu seti yoyote ya data ya kawaida kuwa usambazaji wa kawaida ulio sanifu (standard normal distribution). Inaposanifishwa, wastani huwa 0 kila wakati, na mkengeuko sanifu unakuwa 1. Hili ni muhimu sana kwa sababu mbinu nyingi za takwimu hutegemea dhana ya usambazaji wa kawaida ulio sanifu, hivyo kuwaruhusu watafiti na wanatakwimu kutumia miundo ya ubashiri na nadharia za uwezekano kwa usahihi wa hali ya juu.

Ulinganisho wa nukta za data

Kukokotoa Z-score ni njia bora zaidi ya kuelewa utendaji linganifu au nafasi ya nukta moja ya data.

Mfano halisi wa kutumia Z-score kulinganisha nukta za data unaweza kupatikana katika masuala ya fedha. Fikiria umewekeza katika mifuko miwili tofauti ya hisa (portfolios) na unataka kutathmini utendaji wake. Mfuko A unajivunia wastani wa mapato ya 10% na mkengeuko sanifu wa 2%, huku Mfuko B una wastani wa mapato ya 8% na mkengeuko sanifu wa 3%. Kwa kukokotoa Z-score kwa mapato mahususi katika kila mfuko, unaweza kulinganisha kwa uhalisia utendaji wao kulingana na hatari na kubaini ni upi unatoa matokeo bora zaidi.

Mfano mwingine mzuri unaweza kupatikana katika uchanganuzi wa michezo. Tuseme unataka kulinganisha uwezo wa ufungaji wa wachezaji wawili wa mpira wa kikapu. Mchezaji A anapata wastani wa pointi 20 kwa kila mchezo na mkengeuko sanifu wa pointi 5. Mchezaji B anapata wastani wa pointi 18 kwa kila mchezo na mkengeuko sanifu wa pointi 3. Kwa kubadilisha alama ya mchezo mahususi kuwa Z-score kwa kila mchezaji, unaweza kubaini ni nani aliyekuwa na mchezo wa kuvutia zaidi kitakwimu kuhusiana na utendaji wao wa kawaida.

Urekebishaji wa data (Data normalization)

Urekebishaji wa data ni mchakato wa kubadilisha data changamano kwenye kipimo sanifu kwa ajili ya ulinganisho na uchanganuzi usio na msuguano. Kwa kuwa data ya ulimwengu halisi huja katika maumbo, viwango na vipimo tofauti sana, kurekebisha ni muhimu ili kuhakikisha ulinganisho ulio sawa (apples-to-apples).

Kwa kubadilisha nukta ghafi za data kuwa Z-score, unasanifisha data na kuilazimisha kwenye kipimo kimoja. Kipimo cha Z-score kinaeleweka ulimwenguni kote: wastani huwa 0 kila wakati, na mkengeuko sanifu huwa 1 kila wakati.

Wataalamu wa saikolojia mara nyingi hutumia Z-score kurekebisha data ya majaribio. Kwa mfano, unaweza kuhitaji kulinganisha matokeo ya vipimo viwili tofauti vya IQ. Jaribio A lina alama ya wastani ya 100 na mkengeuko sanifu wa 15. Jaribio B lina alama ya wastani ya 110 na mkengeuko sanifu wa 10. Kwa kukokotoa Z-score kwa matokeo ya mtu binafsi, majaribio yote mawili husanifishwa kwa kipimo kimoja, na hivyo kutatua papo hapo tofauti katika mifumo yao ya utoaji wa alama.

Vile vile, waelimishaji hutegemea Z-score ili kutoa alama kwa haki. Ikiwa unataka kulinganisha ufaulu wa kitaaluma wa Mwanafunzi A na Mwanafunzi B katika madarasa mawili tofauti yanayojulikana kuwa na ugumu tofauti, Z-score husaidia. Darasa la Mwanafunzi A lina wastani wa 80 na mkengeuko sanifu wa 5, wakati darasa la Mwanafunzi B lina wastani wa 90 na mkengeuko sanifu wa 3. Kubadilisha alama zao za mwisho kuwa Z-score kunarekebisha ugumu wa madarasa hayo mawili, hivyo kufanya ulinganisho wa wanafunzi kuwa wa kweli zaidi.

Upimaji wa nadharia (Hypothesis testing)

Upimaji wa nadharia ni mbinu muhimu ya takwimu inayotumiwa kubaini kama kuna ushahidi wa kutosha wa kihisabati kukataa "nadharia tupu" (null hypothesis - dhana ya msingi kwamba hakuna uhusiano au tofauti kati ya vigezo viwili). Mbinu hii huunda uti wa mgongo wa kufanya maamuzi katika utafiti wa matibabu, sayansi ya jamii, na uchanganuzi wa kisasa wa biashara.

Wakati wa upimaji wa nadharia, Z-score (mara nyingi huitwa Z-statistics au vipimo vya Z katika muktadha huu) hutumiwa kukokotoa uwezekano wa matokeo fulani kutokea kwa bahati nasibu. Kwa mfano, ikiwa unataka kujua kama wastani wa uzito wa kikundi fulani cha sampuli ni tofauti kwa kiasi kikubwa na idadi ya watu kwa ujumla, Z-score itaonyesha kama tofauti hiyo ni kubwa kitakwimu.

Katika nyanja ya matibabu, Z-score ni muhimu sana kwa majaribio ya kimatibabu. Kama watafiti wanataka kujaribu iwapo dawa mpya inapunguza kwa ufanisi dalili za ugonjwa ikilinganishwa na dawa asili (placebo), wao hutumia Z-score kubaini kama upunguzaji wa dalili katika kikundi cha matibabu ni muhimu kitakwimu au ni mabadiliko ya nasibu tu.

Katika masuala ya fedha, wachambuzi hutumia Z-score mara kwa mara kujaribu nadharia za soko. Ikiwa mwekezaji anaamini mfuko fulani wa pamoja (mutual fund) unazalisha faida kubwa zaidi kuliko wastani mpana wa soko, anakokotoa Z-score ya mapato ya mfuko huo kuthibitisha kama ufanisi huo mkubwa ni muhimu kitakwimu au ni bahati tu.

Urekebishaji wa vipengele (Feature scaling)

Urekebishaji wa vipengele ni mbinu muhimu ya kuchakata data mapema (preprocessing) inayotumika katika ujifunzaji wa mashine (machine learning) ili kuhakikisha vigezo vyote vinavyoingizwa (vipengele) vinatumia kipimo linganifu. Kwa kuwa algoriti nyingi za ujifunzaji wa mashine (kama K-Nearest Neighbors au Gradient Descent) ni nyeti sana kwa kipimo cha data inayoingizwa, data isiyorekebishwa inaweza kupotosha matokeo kwa kiasi kikubwa na kuharibu usahihi wa muundo.

Mbinu inayotegemewa zaidi ya urekebishaji wa vipengele ni usawazishaji wa Z-score (mara nyingi hujulikana kama usanifishaji/standardization). Wakati wa mchakato huu, kila kipengele kinabadilishwa kihisabati ili thamani yake ya wastani iwe sawa na 0 na mkengeuko wake sanifu usawazishwe na 1. Kanuni inayotumika kukokotoa Z-score ya kipengele ni:

Z = (X - Wastani) / Mkengeuko Sanifu

ambapo X inawakilisha thamani ya kipengele, Wastani ni wastani wa thamani za kipengele, na Mkengeuko Sanifu ni mtawanyiko wa kipengele hicho mahususi.

Katika uwezo wa kompyuta kuona (computer vision), usawazishaji wa Z-score ni muhimu sana. Wakati wa kufundisha algoriti kwenye data ya picha, thamani za pikseli (pixels) huwa zinahitaji kurekebishwa kwa usahihi. Kwa kutumia usanifishaji wa Z-score, thamani ya kila pikseli inabadilishwa ili seti nzima ya data ya picha isawazishwe kwenye wastani wa 0 na mkengeuko sanifu wa 1, hivyo kuharakisha mchakato wa mafunzo.

Usindikaji wa Lugha ya Asili (NLP) pia unategemea sana Z-score. Wakati wa kuchakata maandishi, wanasayansi wa data mara kwa mara hurekebisha alama za kasi-ya-neno-dhidi-ya-kasi-ya-hati-kinyume (TF-IDF). Usawazishaji wa Z-score unahakikisha kwamba vipimo hivi changamano vya kimatukio vinarekebishwa kwa usawa kabla ya kuingizwa kwenye muundo wa ubashiri.

Uundaji wa miundo ya ubashiri (Predictive modeling)

Uundaji wa miundo ya ubashiri ni mbinu ya kina ya uchanganuzi inayotumia data za kihistoria na ujifunzaji wa mashine (machine learning) kutabiri matokeo ya baadaye. Mchakato huu unahusisha kufundisha algoriti kwenye seti ya data inayojulikana na kisha kutumia muundo huo kufanya utabiri sahihi kwenye data mpya kabisa ambayo haijawahi kuonekana.

Hatua ya msingi katika uundaji wa miundo ya ubashiri ni uchaguzi wa vipengele—mchakato wa kutambua na kuweka tu vigezo muhimu zaidi vya data kwa muundo. Vipengele vinavyoonyesha uwiano mkubwa na matokeo yanayolengwa hupewa kipaumbele, kwa vile vina uwezo mkubwa zaidi wa kutabiri.

Z-score ni zana nzuri sana ya kutambua sifa hizi zenye uwiano wa juu. Vipengele vinavyoonyesha ukubwa wa Z-score unaoonekana wazi mara nyingi huashiria uhusiano mkubwa wa kubashiri na kigezo kinacholengwa. Kanuni ya msingi inabaki thabiti:

Z = (X - Wastani) / Mkengeuko Sanifu

ambapo X inawakilisha thamani, Wastani (Mean) ni wastani wa kipengele, na Mkengeuko Sanifu (Standard Deviation) hufafanua mtawanyiko wa data.

Katika sekta ya fedha, uundaji wa miundo ya ubashiri hutumia Z-score kutabiri mwelekeo wa hisa. Kwa kukokotoa Z-score ya vipimo vya utendaji wa kihistoria wa hisa, wachambuzi wa kiasi (quantitative analysts) wanaweza kutathmini uwezekano wa mapato ya baadaye. Z-score inayoendelea kuwa juu inamaanisha hisa imekuwa ikifanya vizuri kihistoria kuliko wenzake, jambo ambalo algoriti hutumia kama ishara ya kasi ya bei ya baadaye.

Katika uchanganuzi wa huduma ya afya, Z-score ni za thamani sana katika kutabiri hatari kwa mgonjwa. Wakati wa kutathmini vipimo changamano vya kibayolojia (biometrics), kukokotoa Z-score ya mgonjwa kunaangazia jinsi alama zao za afya zinavyokengeuka sana kutoka kwa wastani wa afya nzuri. Z-score iliyo juu kwa njia ya kipekee mara nyingi huashiria mgonjwa kuwa yuko kwenye hatari kubwa, hivyo kuwawezesha madaktari kutabiri na kuzuia matokeo mabaya ya afya ya baadaye.

Kutumia jedwali la Z-score

Jedwali la Z (linalojulikana pia kama jedwali la kawaida sanifu au jedwali la kawaida la kitengo) ni chati kamili ya hisabati inayotumiwa kupata uwezekano kamili wa takwimu kuwa chini, juu, au kati ya thamani kwenye mzingo wa usambazaji wa kawaida ulio sanifu (standard normal distribution curve).

Ili kusoma jedwali la Z, kwanza tafuta safu mlango (row) inayolingana na tarakimu mbili za kwanza za Z-score yako iliyokokotolewa (sehemu ya mamoja na ya kumi). Kisha, tafuta safu wima (column) inayolingana na sehemu ya mia. Makutano ya safu mlango na safu wima hiyo huonyesha eneo (au uwezekano) chini ya mzingo wa kawaida ulio sanifu. Nambari hii ya mwisho inawakilisha uwezekano kwamba kigezo cha nasibu kutoka kwenye usambazaji wa kawaida ulio sanifu kitakuwa kidogo kuliko au sawa na Z-score yako iliyokokotolewa.

Kwa mfano, ikiwa Z-score yako iliyokokotolewa ni 1.96, unashuka chini hadi kwenye safu mlango iliyowekwa alama 1.9 na kuvuka hadi kwenye safu wima iliyowekwa alama 0.06. Thamani inayoingiliana inatoa eneo chini ya mzingo upande wa kushoto wa 1.96. Katika jedwali sanifu la mkia wa kushoto, thamani hii ni takriban 0.975. Hii inamaanisha kuna uwezekano wa 97.5% kwamba nukta yoyote ya data ya nasibu itaanguka katika au chini ya Z-score ya 1.96.

Ni muhimu kukumbuka kwamba jedwali la Z linatumika madhubuti kwa usambazaji wa kawaida ulio sanifu (wastani = 0, mkengeuko sanifu = 1). Ikiwa seti yako ya data hailingani asili na hii, lazima kwanza usanifishe data yako kwa kukokotoa Z-score husika.

Kupata uwezekano kutokana na Z-score

Mara tu kigezo kilichosambazwa kwa kawaida (normally distributed variable) kinapobadilishwa kuwa Z-score, tunaweza kutumia jedwali la Z kupata uwiano kamili wa eneo lililo chini ya mzingo wa kawaida (normal curve). Kwa kuwa eneo lote chini ya mzingo wowote wa kawaida ulio sanifu kila wakati huwa sawa na 1 haswa, uwiano wa eneo ulioangaziwa hufanya kazi kama uwezekano dhahiri wa Z-score hiyo.

Mfano 1

Uzito wa mabondia wa kulipwa husambazwa kwa kawaida (normally distributed) kwa wastani wa Kg 75 na mkengeuko sanifu wa Kg 3. Je, kuna uwezekano gani kwamba uzito wa bondia aliyechaguliwa kwa nasibu ni:

• a) Zaidi ya Kg 78?
• b) Chini ya Kg 69?
• c) Zaidi ya Kg 72?
• d) Chini ya Kg 79.5?
• e) Kati ya Kg 72 na Kg 76.5?
• f) Kati ya Kg 72 na Kg 73.5?

a) Kuna uwezekano gani kwamba mchezaji aliyechaguliwa kwa nasibu ana uzito wa zaidi ya kg 78?

• X > 78
• μ = 75
• σ = 3

$$P(X>78)=P\left(Z>\frac{X-μ}{σ}\right)=P\left(Z>\frac{78-75}{3}\right)=P(Z>1)$$

Kwanza, hebu tuitazame hii kwenye mzingo wa kawaida ulio sanifu.

Ifuatayo, tunaangalia Jedwali la Z ili kupata uwezekano husika wa Z-score yetu iliyokokotolewa.

Kumbuka kwamba jedwali hili maalum la Z hutoa uwezekano kati ya Z-score kamili na wastani. Ili kuamua uwezekano wa eneo la mkia ulioangaziwa kwenye grafu, ni lazima titoe thamani yetu ya jedwali kutoka kwenye 0.5. (Eneo lote chini ya mzingo mzima ni 1, na wastani unagawanya kwa utaratibu mzingo huo katika nusu mbili zenye ulinganifu kamili wa 0.5).

• P (X > 78) = P (Z > 1)
• P (X > 78) = 0.5 - P(0 < Z < 1)
• P (X > 78) = 0.5 - 0.3413
• P (X > 78) = 0.1587

Kwa hivyo, kuna uwezekano kamili wa 0.1587 (au 15.87%) kwamba bondia aliyechaguliwa kwa nasibu ana uzito zaidi ya Kg 78.

b) Kuna uwezekano gani kwamba mchezaji aliyechaguliwa kwa nasibu ana uzito wa chini ya kg 69?

• X < 69
• μ = 75
• σ = 3

$$P(X<69)=P\left(Z>\frac{X-μ}{σ}\right)=P\left(Z>\frac{69-75}{3}\right)=P(Z<-2)$$

Kwanza, hebu tuitazame hii kwenye mzingo wa kawaida ulio sanifu.

Ifuatayo, tunaangalia Jedwali la Z ili kupata uwezekano husika kwa Z-score iliyokokotolewa.

Tena, jedwali la Z-score hutoa uwezekano kati ya Z-score iliyotolewa na wastani. Ili kubaini uwezekano wa eneo la chini la mkia ulioangaziwa, ni lazima kutoa thamani ya jedwali kutoka kwa 0.5.

• P (X < 69) = P (Z < -2)
• P (X < 69) = 0.5 - P (0 > Z > -2)
• P (X < 69) = 0.5 - 0.4772
• P (X < 69) = 0.0228

Kwa hivyo, kuna uwezekano wa 0.0228 (au 2.28%) kwamba bondia aliyechaguliwa kwa nasibu ana uzito wa chini ya Kg 69.

c) Kuna uwezekano gani kwamba uzito wa mchezaji aliyechaguliwa kwa nasibu uko kati ya kg 72 na kg 76.5?

• 72 < X < 76.5
• μ = 75
• σ = 3

$$P(72 \lt X \lt 76.5)=P\left(\frac{X-μ}{σ} \lt Z \lt \frac{X-μ}{σ}\right)=P\left(\frac{72-75}{3} \lt Z \lt \frac{76.5-75}{3}\right)=P(-1 \lt Z \lt 0.5)$$

Kwanza, hebu tuitazame hii kwenye mzingo wa kawaida ulio sanifu.

Ifuatayo, tunatumia Jedwali la Z ili kupata uwezekano unaohusika kwa Z-score zote mbili zilizokokotolewa.

Kwa kuwa tunahitaji eneo lote lililoangaziwa linaloenea katika wastani, tunaongeza (tunajumlisha) tu uwezekano mbili tofauti za Z-score zetu pamoja.

• P (72 < X < 76.5) = P (-1 < Z < 0.5)
• P (72 < X < 76.5) = 0.3413 + 0.1915
• P (72 < X < 76.5) = 0.5328

Kwa hivyo, kuna uwezekano wa 0.5328 (au 53.28%) kwamba bondia aliyechaguliwa kwa nasibu ana uzito kati ya Kg 72 na Kg 76.5.

Ili kuharakisha mchakato huu kamili, unaweza kutumia Kikokotoo chetu cha Uwezekano Kati ya Z-score Mbili (Probability Between Two Z-scores calculator) kwa urahisi ili kutoa jibu la mwisho papo hapo.

Kupata Thamani Zinazolingana kwa Uwezekano Uliobainishwa

Unaposhughulikia usambazaji wa kawaida unaojulikana, tunaweza kurudisha nyuma mchakato kwa urahisi ili kupata thamani ghafi mahususi kulingana na uwezekano uliopewa kwa kutumia kanuni ya Z-score.

Mfano 2

Alama za waombaji kwenye mtihani wenye ushindani mkubwa zimesambazwa karibia na kawaida (normally distributed), zikiwa na wastani wa 55 na mkengeuko sanifu wa 10. Ikiwa 30% pekee ya waombaji waliofaulu vizuri zaidi ndio watafaulu jaribio, tafuta alama ya chini kabisa ya kufaulu inayohitajika.

Suluhisho

Katika hali hii, kwanza lazima tuamue Z-score inayolingana na asilimia inayolengwa (30%).

Ili kubainisha Z-score kamili, ni lazima tutenge uwezekano wa eneo lililoangaziwa hasa kati ya wastani na nukta ya mwisho.

Tunapata hii kwa kutoa 0.30 kutoka 0.50 (nusu ya juu ya mzingo). Kwa hivyo, uwezekano wa eneo la ndani lililoangaziwa ni 0.20.

Sasa, tukirejelea jedwali la Z, tunapata uwezekano ulio karibu zaidi na 0.20. Z-score inayolingana ni 0.524.

Mwishowe, tunatumia hii kwenye kanuni sanifu ya Z-score ili kupata alama yetu ghafi (X).

• Z = (X - μ)/σ
• 0.524 = (X - 55)/10
• X = (0.524 × 10) + 55
• X = 60.24

Kwa hivyo, alama ya chini ya kufaulu inayohitajika kwa mtihani ni 60.24.