เครื่องคำนวณ z-score

เครื่องคำนวณ Z-score (Z-score Calculator) สามารถตอบโจทย์ทุกการคำนวณที่เกี่ยวข้องกับค่า Z-score ได้อย่างครบวงจร คุณสามารถป้อนค่าคะแนนดิบ (X) ค่าเฉลี่ยประชากร (μ) และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (σ) ลงในเครื่องคำนวณส่วนแรก เพื่อหาค่า Z-score พร้อมแสดงวิธีทำทีละขั้นตอน และค่าความน่าจะเป็นที่เกี่ยวข้องกับคะแนนดิบนั้นๆ

นอกจากนี้ ตัวแปลงค่า Z-score และความน่าจะเป็น (Z-score and Probability Converter) ยังช่วยให้คุณแปลงค่าไปมาระหว่าง Z-score และความน่าจะเป็นได้อย่างรวดเร็วโดยไม่ต้องเปิดตาราง Z-table ผลลัพธ์ที่ได้จะครอบคลุมการคำนวณความน่าจะเป็นที่เป็นไปได้ทั้งหมดจากค่า Z-score เดี่ยวนั้น และคุณยังสามารถใช้เครื่องคำนวณส่วนสุดท้ายเพื่อหาค่าความน่าจะเป็นระหว่าง 2 Z-score ได้อีกด้วย

ค่า Z-score คืออะไร?

Z-score (หรือคะแนนมาตรฐาน) คือการวัดทางสถิติที่บอกให้เราทราบว่าจุดข้อมูลที่สนใจอยู่ห่างจากค่าเฉลี่ยของชุดข้อมูลเป็นระยะกี่ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ค่า Z-score มักถูกนำมาใช้เพื่อเปรียบเทียบจุดข้อมูลเดี่ยวกับชุดข้อมูลทั้งหมด และช่วยปรับมาตรฐานของข้อมูล (Standardize) เพื่อให้ง่ายต่อการเปรียบเทียบและนำไปวิเคราะห์ต่อ

Z-score ช่วยให้เราสามารถระบุได้ว่าจุดข้อมูลหนึ่งๆ นั้นเป็นข้อมูลที่ "ปกติทั่วไป" หรือ "ผิดปกติ" เมื่อนำไปเทียบกับภาพรวมของชุดข้อมูลทั้งหมด

• ตรวจจับค่าสุดโต่ง (Outliers): Z-score สามารถช่วยเราระบุจุดข้อมูลที่มีความแตกต่างอย่างมีนัยสำคัญจากข้อมูลส่วนใหญ่ได้ ซึ่งมีประโยชน์อย่างมากในหลายแวดวง เช่น การวิจัยทางการเงินและการแพทย์ ที่ค่าสุดโต่งอาจเป็นตัวบ่งชี้ถึงรูปแบบที่สำคัญหรือความผิดปกติที่ต้องระวัง
• เปรียบเทียบข้อมูลจากชุดที่ต่างกัน: Z-score ช่วยให้เราสามารถเปรียบเทียบข้อมูลจากต่างชุดข้อมูลได้ แม้ว่าข้อมูลเหล่านั้นจะมีหน่วยวัดหรือช่วงคะแนนที่แตกต่างกันก็ตาม สิ่งนี้มีความสำคัญมากในสาขาอย่างแมชชีนเลิร์นนิง (Machine Learning) ที่คุณจำเป็นต้องเปรียบเทียบข้อมูลจากหลากหลายแหล่งเพื่อนำมาสร้างโมเดล
• ทำให้ข้อมูลเป็นมาตรฐาน (Standardization): การแปลงข้อมูลให้เป็นค่า Z-score ช่วยให้เราสามารถสร้างมาตรฐานให้กับข้อมูล ทำให้การเปรียบเทียบและการวิเคราะห์ทำได้ง่ายขึ้น ซึ่งมีประโยชน์มากในงานด้านการแสดงภาพข้อมูล (Data Visualization) ที่ต้องนำเสนอข้อมูลให้ออกมาเข้าใจง่ายที่สุด

สูตร Z-score

Z-score สำหรับประชากร

Z = (คะแนนดิบ - ค่าเฉลี่ยประชากร) / ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร

Z = (X - μ) / σ

Z-score สำหรับกลุ่มตัวอย่าง

Z = (คะแนนดิบ - ค่าเฉลี่ยกลุ่มตัวอย่าง) / ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของกลุ่มตัวอย่าง

Z = (X - x̄) / s

การตีความผลลัพธ์ของค่า Z-score

Z-score เป็นบวก: ค่า Z-score ที่เป็นบวกหมายความว่าจุดข้อมูลของคุณอยู่สูงกว่าค่าเฉลี่ยของชุดข้อมูล กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ ข้อมูลที่คุณสังเกตได้มีค่ามากกว่าค่าทั่วไปในชุดข้อมูลนั้น

Z-score เป็นลบ: ค่า Z-score ที่เป็นลบหมายความว่าจุดข้อมูลของคุณอยู่ต่ำกว่าค่าเฉลี่ยของชุดข้อมูล กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ ข้อมูลที่คุณสังเกตได้มีค่าน้อยกว่าค่าทั่วไปในชุดข้อมูลนั้น

ขนาดของ Z-score: ตัวเลขของ Z-score จะบอกคุณว่าจุดข้อมูลของคุณอยู่ห่างจากค่าเฉลี่ยของชุดข้อมูลมากน้อยเพียงใด ยิ่งค่า Z-score มีขนาดใหญ่เท่าใด (ไม่ว่าจะเป็นบวกหรือลบ) จุดข้อมูลนั้นก็ยิ่งอยู่ห่างจากค่าเฉลี่ยมากขึ้นเท่านั้น

ความสัมพันธ์ระหว่าง Z-score และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

Z-score และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานมีความสัมพันธ์กันอย่างใกล้ชิด เนื่องจากส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็นตัวแปรที่ต้องใช้ในการคำนวณ Z-score อันที่จริงแล้ว ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานคือองค์ประกอบสำคัญในสูตร Z-score

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (Standard Deviation) คือมาตรวัดการกระจายตัวของชุดข้อมูล โดยจะแสดงให้เห็นว่าจุดข้อมูลแต่ละจุดอยู่ห่างจากค่าเฉลี่ยมากน้อยเพียงใด ยิ่งส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานมีค่ามาก การกระจายตัวของข้อมูลก็จะยิ่งสูงขึ้น

ในทางกลับกัน Z-score จะบอกคุณว่าจุดข้อมูลหนึ่งจุดอยู่ห่างจากค่าเฉลี่ยเป็นระยะเท่าใด เมื่อเทียบกับส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน การใช้ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานในการคำนวณ Z-score จะช่วยให้คุณสามารถเปรียบเทียบจุดข้อมูลนั้นกับข้อมูลทั้งหมด และพิจารณาได้ว่าข้อมูลนั้นปกติหรือผิดปกติเพียงใด

ค่า Z-score และการแจกแจงแบบปกติ (Normal Distribution)

การแจกแจงแบบปกติ คือรูปแบบการกระจายตัวของข้อมูลที่พบได้บ่อยในปรากฏการณ์ต่างๆ บนโลกแห่งความเป็นจริง โดยมีลักษณะเป็นเส้นโค้งรูประฆังคว่ำที่แสดงให้เห็นการกระจายตัวของข้อมูลรอบๆ ค่าเฉลี่ย การแจกแจงแบบปกตินี้เรียกอีกอย่างว่า การแจกแจงแบบเกาส์เซียน (Gaussian distribution) ตามชื่อของคาร์ล ฟรีดริช เกาส์ (Carl Friedrich Gauss) นักคณิตศาสตร์ชื่อดัง

Z-score เป็นวิธีการวัดว่าจุดข้อมูลจุดหนึ่งอยู่ห่างจากค่าเฉลี่ยเป็นระยะกี่ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน เมื่อคุณแปลงจุดข้อมูลแต่ละจุดให้เป็น Z-score คุณจะสามารถเปรียบเทียบข้อมูลเหล่านั้นกับชุดข้อมูลทั้งหมดเพื่อดูว่ามีความปกติหรือผิดปกติเพียงใด

ความเชื่อมโยงระหว่าง Z-score และการแจกแจงแบบปกติก็คือ Z-score สามารถนำมาใช้เพื่อปรับข้อมูลให้เป็นมาตรฐานและเข้าสู่การแจกแจงแบบปกติได้ นั่นหมายความว่า คุณสามารถแปลงชุดข้อมูลใดๆ ก็ตามให้เป็นการแจกแจงแบบปกติได้โดยการเปลี่ยนข้อมูลแต่ละจุดให้เป็น Z-score สิ่งนี้มีประโยชน์มาก เนื่องจากวิธีการทางสถิติส่วนใหญ่ถูกออกแบบมาโดยตั้งสมมติฐานว่าข้อมูลมีการแจกแจงแบบปกติ การปรับข้อมูลให้เข้าสู่มาตรฐานนี้จึงช่วยให้คุณใช้วิธีทางสถิติได้อย่างแม่นยำยิ่งขึ้น

การใช้ Z-score เพื่อเปรียบเทียบจุดข้อมูล

Z-score สามารถช่วยให้คุณเข้าใจว่าจุดข้อมูลจุดหนึ่งอยู่ห่างจากค่าเฉลี่ยมากน้อยแค่ไหนเมื่อเทียบกับส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ตัวอย่างการใช้ Z-score เพื่อเปรียบเทียบข้อมูลในแวดวงการเงิน เช่น สมมติว่าคุณลงทุนในพอร์ตหุ้นสองพอร์ตที่แตกต่างกัน และต้องการเปรียบเทียบผลการดำเนินงาน ผลตอบแทนเฉลี่ยของพอร์ต A คือ 10% โดยมีส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 2% และผลตอบแทนเฉลี่ยของพอร์ต B คือ 8% โดยมีส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 3% เมื่อแปลงผลตอบแทนให้เป็น Z-score คุณจะสามารถเปรียบเทียบและตัดสินใจได้ว่าพอร์ตใดมีประสิทธิภาพที่ดีกว่ากันเมื่อเทียบกับความผันผวนของตัวเอง

อีกตัวอย่างที่น่าสนใจคือวงการกีฬา สมมติว่าคุณต้องการเปรียบเทียบผลงานของนักบาสเกตบอลสองคน ผู้เล่น A ทำคะแนนเฉลี่ย 20 คะแนนต่อเกม โดยมีส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 5 คะแนน ส่วนผู้เล่น B ทำคะแนนเฉลี่ย 18 คะแนนต่อเกม โดยมีส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 3 คะแนน เมื่อแปลงคะแนนของทั้งคู่เป็น Z-score คุณจะสามารถเปรียบเทียบผลงานได้อย่างเป็นธรรมและประเมินได้ว่าใครมีฟอร์มการเล่นที่โดดเด่นกว่ากัน

การปรับข้อมูลให้เป็นมาตรฐาน (Data Standardization)

การปรับข้อมูลให้เป็นมาตรฐานเป็นกระบวนการแปลงข้อมูลให้อยู่ในสเกลเดียวกัน เพื่อให้ง่ายต่อการเปรียบเทียบและวิเคราะห์ ขั้นตอนนี้มีความสำคัญมาก เนื่องจากข้อมูลแต่ละชุดอาจมีหน่วยวัดและขนาดที่แตกต่างกัน การปรับให้เป็นมาตรฐานจะช่วยยืนยันว่าข้อมูลทั้งหมดอยู่ในระดับเดียวกัน

เมื่อคุณแปลงจุดข้อมูลแต่ละจุดให้เป็นค่า Z-score คุณกำลังปรับข้อมูลให้เป็นมาตรฐานและนำมาวางไว้บนสเกลเดียวกัน เนื่องจาก Z-score จะอยู่ในสเกลมาตรฐานที่มีค่าเฉลี่ยเท่ากับ 0 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 1 เสมอ

ตัวอย่างการนำ Z-score ไปใช้จริงทางจิตวิทยา เช่น การเปรียบเทียบคะแนนสอบ IQ จากสองแบบทดสอบ แบบทดสอบ A มีคะแนนเฉลี่ย 100 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 15 แบบทดสอบ B มีคะแนนเฉลี่ย 110 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 10 เมื่อแปลงคะแนนสอบให้เป็นค่า Z-score ข้อมูลจะถูกปรับให้เป็นมาตรฐานในระดับเดียวกัน ทำให้การเปรียบเทียบและวิเคราะห์ทำได้ง่ายขึ้น

อีกตัวอย่างด้านการศึกษา เช่น คุณต้องการเปรียบเทียบเกรดของนักเรียน 2 คน นักเรียน A มีคะแนนเฉลี่ย 80 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 5 นักเรียน B มีคะแนนเฉลี่ย 90 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 3 ด้วยการแปลงเกรดให้เป็นค่า Z-score คุณจะสามารถจัดมาตรฐานเกรดทั้งหมดให้อยู่บนสเกลเดียวกันเพื่อการประเมินผลที่แม่นยำยิ่งขึ้น

การทดสอบสมมติฐาน (Hypothesis Testing)

การทดสอบสมมติฐานเป็นเทคนิคทางสถิติที่ใช้เพื่อพิจารณาว่ามีหลักฐานเพียงพอที่จะปฏิเสธสมมติฐานว่าง (Null Hypothesis) ซึ่งเป็นสมมติฐานเริ่มต้นที่ระบุว่าไม่มีความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรสองตัวหรือไม่ เทคนิคนี้มีความสำคัญในหลายสาขา ทั้งการวิจัยทางการแพทย์ สังคมศาสตร์ และธุรกิจ ซึ่งการตัดสินใจโดยอิงจากข้อมูลเป็นสิ่งชี้วัดความสำเร็จ

ในการทดสอบสมมติฐาน ค่า Z-score สามารถใช้เพื่อหาความน่าจะเป็นที่ผลลัพธ์หนึ่งๆ จะเกิดขึ้น ตัวอย่างเช่น คุณอาจต้องการทดสอบว่าน้ำหนักเฉลี่ยของคนกลุ่มหนึ่งแตกต่างจากน้ำหนักเฉลี่ยของประชากรทั้งหมดหรือไม่ คุณสามารถใช้ Z-score เพื่อพิจารณาว่าความแตกต่างนั้นมีนัยสำคัญทางสถิติหรือไม่

ตัวอย่างที่เห็นภาพชัดเจนในวงการแพทย์ เช่น การทดสอบว่ายาตัวใหม่มีประสิทธิภาพในการลดอาการของโรคหรือไม่ คุณสามารถใช้ Z-score เพื่อตรวจสอบว่าความแตกต่างของอาการระหว่างกลุ่มที่ได้รับยาและกลุ่มควบคุมนั้นมีนัยสำคัญทางสถิติหรือไม่

ในด้านการเงิน คุณอาจต้องการทดสอบว่าหุ้นตัวใดตัวหนึ่งมีผลตอบแทนสูงกว่าหุ้นทั่วไปในตลาดหรือไม่ การใช้ Z-score จะช่วยวิเคราะห์ว่าส่วนต่างของผลตอบแทนนั้นมีนัยสำคัญทางสถิติหรือเป็นเพียงความบังเอิญ

การปรับขนาดฟีเจอร์ (Feature Scaling)

การปรับขนาดฟีเจอร์เป็นเทคนิคที่ใช้ในแมชชีนเลิร์นนิง (Machine Learning) และแอปพลิเคชันวิเคราะห์ข้อมูลอื่นๆ เพื่อให้มั่นใจว่าฟีเจอร์หรือตัวแปรทั้งหมดในชุดข้อมูลมีขนาดสเกลที่สอดคล้องกัน สิ่งนี้สำคัญมากเนื่องจากอัลกอริธึมหลายตัวไวต่อขนาดของข้อมูล และอาจสร้างผลลัพธ์ที่ผิดเพี้ยนได้หากสเกลข้อมูลแตกต่างกันเกินไป

หนึ่งในวิธีที่นิยมใช้ที่สุดในการปรับขนาดฟีเจอร์คือ การปรับมาตรฐานแบบ Z-score (Z-score Standardization) หรือที่เรียกว่า Normalization ในกระบวนการนี้ ฟีเจอร์แต่ละตัวจะถูกแปลงสภาพเพื่อให้มีค่าเฉลี่ยเป็น 0 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็น 1 โดยสูตรในการคำนวณ Z-score สำหรับฟีเจอร์มีดังนี้:

Z = (X - ค่าเฉลี่ย) / ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน

โดยที่ X คือค่าของฟีเจอร์ ค่าเฉลี่ยคือค่าเฉลี่ยของฟีเจอร์นั้น และค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานคือส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของฟีเจอร์นั้น

ตัวอย่างการใช้งานจริงในด้านคอมพิวเตอร์วิทัศน์ (Computer Vision) เมื่อคุณต้องจัดการกับข้อมูลภาพ ค่าของพิกเซลมักจะต้องถูกปรับสเกลให้อยู่ในช่วง 0 ถึง 1 ซึ่งสามารถทำได้ด้วยการปรับมาตรฐาน Z-score เพื่อให้พิกเซลมีค่าเฉลี่ยเท่ากับ 0 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 1

อีกตัวอย่างในการประมวลผลภาษาธรรมชาติ (Natural Language Processing - NLP) เมื่อต้องวิเคราะห์ข้อมูลข้อความ เป็นเรื่องปกติที่จะมีการปรับสเกลของความถี่คำและความถี่ผกผันของเอกสาร (TF-IDF) ให้อยู่ในช่วง 0 ถึง 1 ซึ่งสามารถทำได้อย่างมีประสิทธิภาพด้วยการปรับมาตรฐาน Z-score

การสร้างโมเดลเชิงคาดการณ์ (Predictive Modeling)

การสร้างโมเดลเชิงคาดการณ์เป็นเทคนิคที่ใช้ในแมชชีนเลิร์นนิงและการวิเคราะห์ข้อมูล เพื่อทำการทำนายอนาคตโดยอิงจากข้อมูลในอดีต กระบวนการนี้เกี่ยวข้องกับการฝึกสอนโมเดล (Train Model) ด้วยชุดข้อมูล และนำโมเดลนั้นไปพยากรณ์ข้อมูลใหม่ที่ยังไม่เคยพบมาก่อน

สิ่งสำคัญประการหนึ่งในการสร้างโมเดลคือ การเลือกฟีเจอร์ (Feature Selection) ซึ่งหมายถึงการคัดเลือกตัวแปรที่เกี่ยวข้องมากที่สุดจากชุดข้อมูลมาใช้ในโมเดล โดยทั่วไป ฟีเจอร์ที่มีความสัมพันธ์สูงกับตัวแปรเป้าหมาย (Target Variable) จะถูกเลือกใช้ก่อน เนื่องจากมีโอกาสทำนายผลลัพธ์ได้อย่างแม่นยำกว่า

Z-score สามารถนำมาใช้ระบุฟีเจอร์ที่มีความสัมพันธ์สูงกับเป้าหมายได้ เนื่องจากฟีเจอร์ที่มีค่า Z-score สูงมีแนวโน้มที่จะเป็นตัวพยากรณ์ที่ดี สูตรการคำนวณค่า Z-score สำหรับการพิจารณาฟีเจอร์มีดังนี้:

Z = (X - ค่าเฉลี่ย) / ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน

โดยที่ X คือค่าของฟีเจอร์ ค่าเฉลี่ยคือค่าเฉลี่ยของฟีเจอร์ และค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานคือส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของฟีเจอร์นั้น

ตัวอย่างในวงการการเงิน การสร้างโมเดลเพื่อทำนายราคาหุ้นอาจใช้ Z-score ของผลการดำเนินงานในอดีตมาคาดการณ์ผลตอบแทนในอนาคต หากค่า Z-score สูง แสดงว่าผลตอบแทนในอดีตของหุ้นตัวนั้นสูงกว่าค่าเฉลี่ยตลาดมาก ซึ่งอาจบ่งชี้ถึงผลตอบแทนที่ดีในอนาคต

ตัวอย่างด้านการดูแลสุขภาพ การพยากรณ์อาการของผู้ป่วยอาจใช้ Z-score เพื่อประเมินความเสี่ยง หากค่า Z-score สูง อาจหมายความว่าผลตรวจสุขภาพของผู้ป่วยแย่กว่าคนทั่วไปอย่างมีนัยสำคัญ ซึ่งสามารถใช้เตือนถึงแนวโน้มปัญหาสุขภาพในอนาคตได้

วิธีการใช้ตาราง Z-score (Z-table)

ตาราง Z-score (หรือที่เรียกว่าตารางปกติมาตรฐาน) เป็นตารางที่แสดงค่ามาตรฐานซึ่งใช้ในการคำนวณความน่าจะเป็นที่ข้อมูลจะตกลงมาอยู่ต่ำกว่า สูงกว่า หรืออยู่ระหว่างค่าที่กำหนดในการแจกแจงแบบปกติมาตรฐาน

ในการใช้งานตาราง Z-table คุณต้องหาแถวที่ตรงกับค่า Z-score (หลักแรกและหลักทศนิยมตำแหน่งแรก) จากนั้นให้เลื่อนไปดูคอลัมน์ที่ตรงกับหลักทศนิยมตำแหน่งที่สอง เพื่อหาพื้นที่ (หรือความน่าจะเป็น) ใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐาน ค่าที่ปรากฏในตารางคือความน่าจะเป็นโดยประมาณที่ตัวแปรสุ่มจะน้อยกว่าหรือเท่ากับค่า Z-score ที่คุณคำนวณได้

ตัวอย่างเช่น หากคุณมีค่า Z-score เท่ากับ 1.96 ให้ดูแถวที่ 1.9 และคอลัมน์ที่ 0.06 ค่าที่ได้จะบอกถึงพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐานที่อยู่ทางซ้ายมือของ 1.96 ซึ่งมีค่าประมาณ 0.975 นั่นหมายความว่าประมาณ 97.5% ของข้อมูลจากการแจกแจงแบบปกติมาตรฐาน จะมีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับ 1.96

ข้อควรระวังคือ ตาราง Z-table จะใช้ได้เฉพาะกับการแจกแจงแบบปกติมาตรฐานที่มีค่าเฉลี่ย 0 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็น 1 เท่านั้น หากข้อมูลของคุณยังไม่อยู่ในรูปแบบนี้ คุณต้องแปลงข้อมูลให้เป็น Z-score เพื่อปรับให้เป็นมาตรฐานเสียก่อน

การหาความน่าจะเป็นจากค่า Z-score

เมื่อเราแปลงตัวแปรที่มีการแจกแจงแบบปกติให้เป็น Z-score แล้ว เราสามารถใช้ตาราง Z-table เพื่อหาสัดส่วนของพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติได้ เนื่องจากพื้นที่ทั้งหมดใต้เส้นโค้งปกติมีค่าเท่ากับ 1 ดังนั้น สัดส่วนของพื้นที่ใต้เส้นโค้ง ณ จุดที่กำหนด จึงเท่ากับความน่าจะเป็นของค่า Z-score นั้นพอดี

ตัวอย่างที่ 1

น้ำหนักของนักมวยกลุ่มหนึ่งมีการแจกแจงแบบปกติ โดยมีค่าเฉลี่ย 75 กิโลกรัม และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 3 กิโลกรัม ความน่าจะเป็นที่นักมวยซึ่งถูกสุ่มเลือกมา 1 คนจะมีน้ำหนักดังต่อไปนี้ คือเท่าใด?

ก) มากกว่า 78 กิโลกรัม? ข) น้อยกว่า 69 กิโลกรัม? ค) มากกว่า 72 กิโลกรัม? ง) น้อยกว่า 79.5 กิโลกรัม? จ) อยู่ระหว่าง 72 กิโลกรัม และ 76.5 กิโลกรัม? ฉ) อยู่ระหว่าง 72 กิโลกรัม และ 73.5 กิโลกรัม?

ก) ความน่าจะเป็นที่นักมวยซึ่งสุ่มเลือกมาจะมีน้ำหนักมากกว่า 78 กิโลกรัม คือเท่าใด?

X > 78 μ = 75 σ = 3

$$P(X>78)=P\left(Z>\frac{X-μ}{σ}\right)=P\left(Z>\frac{78-75}{3}\right)=P(Z>1)$$

ขั้นแรก เราจะวาดกราฟเส้นโค้ง Z-curve เพื่อให้เห็นภาพรวม

ต่อมา เราจะเปิดตาราง Z-table เพื่อหาความน่าจะเป็นที่เกี่ยวข้องกับค่า Z-score ที่คำนวณได้

โปรดจำไว้ว่า ตาราง Z-score ในบางรูปแบบจะให้ค่าความน่าจะเป็นที่วัดจากค่าเฉลี่ยไปจนถึงจุด Z-score ดังนั้น เพื่อหาความน่าจะเป็นของพื้นที่ใต้กราฟส่วนหางที่แรเงาไว้ เราต้องนำความน่าจะเป็นที่เปิดได้ไปหักลบออกจาก 0.5 (เนื่องจากพื้นที่ใต้เส้นโค้งทั้งหมดคือ 1 และค่าเฉลี่ยแบ่งพื้นที่ออกเป็นสองฝั่งเท่าๆ กัน ฝั่งละ 0.5)

P (X > 78) = P (Z > 1) P (X > 78) = 0.5 - P(0 < Z < 1) P (X > 78) = 0.5 - 0.3413 P (X > 78) = 0.1587

ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่นักมวยซึ่งถูกสุ่มเลือกมาจะมีน้ำหนักมากกว่า 78 กิโลกรัม คือ 0.1587 (หรือ 15.87%)

ข) ความน่าจะเป็นที่นักมวยซึ่งสุ่มเลือกมาจะมีน้ำหนักน้อยกว่า 69 กิโลกรัม คือเท่าใด?

X < 69 μ = 75 σ = 3

$$P(X<69)=P\left(Z>\frac{X-μ}{σ}\right)=P\left(Z>\frac{69-75}{3}\right)=P(Z<-2)$$

ขั้นแรก เราจะวาดภาพพื้นที่ที่สนใจลงบนเส้นโค้ง Z-curve

จากนั้นใช้ตาราง Z-table เพื่อหาค่าความน่าจะเป็นที่เกี่ยวข้อง

เช่นเคย Z-score จะให้ความน่าจะเป็นระหว่างจุด Z-score กับค่าเฉลี่ย ดังนั้นเพื่อให้ได้พื้นที่ส่วนหางที่แรเงา เราต้องหักลบค่าที่ได้ออกจาก 0.5

P (X < 69) = P (Z < -2) P (X < 69) = 0.5 - P (0 > Z > -2) P (X < 69) = 0.5 - 0.4772 P (X < 69) = 0.0228

ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่นักมวยซึ่งถูกสุ่มเลือกมาจะมีน้ำหนักน้อยกว่า 69 กิโลกรัม คือ 0.0228 (หรือ 2.28%)

ค) ความน่าจะเป็นที่นักมวยซึ่งถูกสุ่มเลือกมาจะมีน้ำหนักอยู่ระหว่าง 72 กิโลกรัม ถึง 76.5 กิโลกรัม คือเท่าใด?

72 < X < 76.5 μ = 75 σ = 3

$$P(72 \lt X \lt 76.5)=P\left(\frac{X-μ}{σ} \lt Z \lt \frac{X-μ}{σ}\right)=P\left(\frac{72-75}{3} \lt Z \lt \frac{76.5-75}{3}\right)=P(-1 \lt Z \lt 0.5)$$

วาดพื้นที่ที่สนใจลงบนกราฟ Z-curve

จากนั้นใช้ Z-table เพื่อหาความน่าจะเป็น

ในกรณีนี้ พื้นที่ที่สนใจครอบคลุมค่าเฉลี่ยทั้งสองฝั่ง คุณจึงสามารถนำค่าความน่าจะเป็นของ Z-score ทั้ง 2 ตัวที่เปิดได้จากตารางมาบวกเข้าด้วยกันได้เลย

P (72 < X < 76.5) = P (-1 < Z < 0.5) P (72 < X < 76.5) = 0.3413 + 0.1915 P (72 < X < 76.5) = 0.5328

ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่นักมวยจะมีน้ำหนักอยู่ระหว่าง 72 ถึง 76.5 กิโลกรัม คือ 0.5328 (หรือ 53.28%)

เพื่อให้การหาคำตอบรวดเร็วยิ่งขึ้น ในกรณีเช่นนี้คุณสามารถใช้ "เครื่องคำนวณความน่าจะเป็นระหว่าง 2 Z-score" บนเว็บไซต์ของเราเพื่อหาผลลัพธ์ได้ทันที

การหาค่าดิบจากความน่าจะเป็นที่กำหนด

เมื่อเราทราบว่าชุดข้อมูลมีการแจกแจงแบบปกติ เราสามารถคำนวณย้อนกลับเพื่อหาค่าคะแนนดิบ (Raw Score) จากความน่าจะเป็นหรือเปอร์เซ็นไทล์ที่กำหนดได้โดยใช้ Z-score

ตัวอย่างที่ 2

คะแนนสอบแข่งขันของผู้เข้าสอบกลุ่มหนึ่งมีการแจกแจงใกล้เคียงปกติ โดยมีคะแนนเฉลี่ย 55 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 10 หากกำหนดให้มีผู้สอบผ่านเพียง 30% แรกของผู้ที่ได้คะแนนสูงสุด จงหาว่าคะแนนสอบผ่านขั้นต่ำคือเท่าใด

วิธีแก้ปัญหา

ในกรณีนี้ เราต้องหาค่า Z-score ที่สอดคล้องกับความน่าจะเป็นหรือเปอร์เซ็นต์ที่กำหนดไว้เป็นอันดับแรก

ในการหา Z-score เราต้องรู้ว่าความน่าจะเป็นของพื้นที่ที่สนใจอยู่ตรงไหนของกราฟ

เนื่องจากกลุ่มผู้สอบผ่านคือ 30% บนสุด (พื้นที่ส่วนหางขวา) เราสามารถหาพื้นที่ที่เชื่อมกับค่าเฉลี่ยได้โดยการนำ 0.50 ไปหักออกด้วย 0.30 ดังนั้น ความน่าจะเป็นของพื้นที่ตรงกลางที่แรเงาคือ 0.20

เมื่อไปดูที่ตาราง Z-table เราต้องหาค่าความน่าจะเป็นที่ใกล้เคียงกับ 0.20 มากที่สุด ซึ่งค่า Z-score ที่ตรงกับพื้นที่นี้คือ 0.524

จากนั้น เราจะคำนวณย้อนกลับเพื่อหาค่า X (คะแนนดิบ) โดยใช้สูตร Z-score

Z = (X - μ) / σ 0.524 = (X - 55) / 10 X = (0.524 × 10) + 55 X = 60.24

ดังนั้น คะแนนสอบผ่านขั้นต่ำของการสอบครั้งนี้คือ 60.24 คะแนน