Kalkulator Skor-Z

Kalkulator Skor-Z kami yang serba guna direka untuk mengendalikan semua pengiraan berkaitan skor-Z anda dengan mudah. Dengan memasukkan skor mentah (X), min populasi (μ), dan sisihan piawai (σ) ke dalam kalkulator utama kami, anda boleh mencari skor-Z yang tepat secara serta-merta. Alat ini menyediakan jalan penyelesaian langkah demi langkah yang jelas dan menunjukkan kebarangkalian relevan yang dikaitkan dengan skor mentah anda.

Penukar Skor-Z dan Kebarangkalian membolehkan anda bertukar dengan lancar antara skor-Z dan kebarangkalian yang sepadan tanpa perlu merujuk jadual-Z secara manual. Keputusan akan memaparkan semua senario kebarangkalian yang mungkin dikaitkan dengan skor-Z tunggal tersebut secara serta-merta. Akhir sekali, anda boleh menggunakan kalkulator ketiga kami untuk mencari kebarangkalian tepat antara dua skor-Z yang berbeza dengan cepat.

Apakah itu skor-Z?

Skor-Z (juga dikenali sebagai skor piawai) ialah ukuran statistik asas yang menunjukkan berapa banyak sisihan piawai bagi sesuatu titik data tertentu dari min keseluruhan set data. Digunakan terutamanya untuk membandingkan nilai individu dengan populasi yang lebih luas, skor-Z membantu memiawaikan data, menjadikan set data yang kompleks jauh lebih mudah untuk dibezakan dan dianalisis.

Akhirnya, skor-Z membolehkan kita menentukan sejauh mana sesuatu titik data itu "tipikal" atau "atipikal" apabila dilihat dalam konteks keseluruhan kumpulan.

• Mengesan pencilan: Skor-Z membantu kita mengenal pasti titik data yang menyimpang secara ketara daripada baki set data dengan cepat. Ini sangat berharga dalam bidang seperti kewangan dan penyelidikan perubatan, di mana pencilan sering menunjukkan corak kritikal, ralat atau anomali.
• Membandingkan data daripada set berbeza: Skor-Z membolehkan kita membandingkan data merentas set data yang berbeza sama sekali, walaupun ia mempunyai unit atau skala pengukuran yang berbeza. Ini terbukti penting dalam bidang seperti pembelajaran mesin, di mana data daripada pelbagai sumber mesti disatukan untuk membina model yang tepat.
• Menormalkan data: Dengan menukar data mentah kepada skor-Z, kita memiawaikan set data dan meletakkan segala-galanya pada tahap yang sama. Ini amat berguna dalam visualisasi data, di mana pembentangan data dalam format piawai yang mudah difahami adalah sangat penting.

Formula Skor-Z

Skor-Z untuk populasi

Z = Skor mentah - Min Populasi / Sisihan Piawai Populasi

Z = (X - μ) / σ

Skor-Z untuk sampel

Z = Skor mentah - Min Sampel / Sisihan Piawai Sampel

Z = (X - x̄) / s

Tafsiran keputusan skor-Z yang diperoleh

Skor-Z positif: Skor-Z positif menunjukkan bahawa titik data anda berada di atas nilai purata set data. Ringkasnya, titik data yang anda perhatikan adalah lebih tinggi daripada nilai tipikal yang terdapat dalam kumpulan tersebut.

Skor-Z negatif: Skor-Z negatif menunjukkan bahawa titik data anda jatuh di bawah nilai purata set data. Ini bermakna titik data yang anda perhatikan adalah lebih rendah daripada nilai tipikal dalam kumpulan tersebut.

Magnitud skor-Z: Nilai sebenar skor-Z memberitahu anda sejauh mana titik data anda tersasar daripada min. Semakin besar nilai mutlak skor-Z, semakin jauh titik data yang diperhatikan daripada purata set data.

Skor-Z dan sisihan piawai

Skor-Z dan sisihan piawai saling berkait rapat kerana sisihan piawai ialah unit ukuran utama yang digunakan untuk mengira skor-Z. Malah, sisihan piawai bertindak sebagai penyebut teras dalam formula skor-Z.

Sisihan piawai mengukur penyebaran atau serakan keseluruhan set data. Ia menentukan sejauh mana, secara purata, setiap titik data tersasar daripada min set data. Sisihan piawai yang lebih tinggi bermakna data tersebar dengan lebih luas.

Skor-Z memanfaatkan perkara ini dengan menyatakan sejauh mana titik data tertentu berada dari min dalam bentuk sisihan piawai. Dengan menggunakan sisihan piawai untuk mengira skor-Z, anda meletakkan titik data tunggal dalam konteks keseluruhan set data untuk melihat dengan tepat sejauh mana ia tipikal atau luar biasa.

Skor-Z dan taburan normal

Taburan normal ialah corak biasa yang ditemui dalam pelbagai fenomena dunia nyata. Sering kali dirujuk sebagai taburan Gaussian (dinamakan sempena ahli matematik Carl Friedrich Gauss), ia menjelma sebagai lengkung berbentuk loceng yang simetri yang mewakili bagaimana data diagihkan secara sama rata di sekitar min.

Memandangkan skor-Z mengukur jarak titik data dari min berbanding dengan sisihan piawai, menukar setiap titik data dalam set kepada skor-Z akan memiawaikan keseluruhan set data.

Hubungan kuat antara skor-Z dan taburan normal ialah skor-Z membolehkan anda menukar hampir mana-mana set data normal menjadi taburan normal piawai. Apabila dipiawaikan, min sentiasa menjadi 0, dan sisihan piawai menjadi 1. Ini sangat berguna kerana kaedah statistik yang tidak terkira banyaknya bergantung pada andaian taburan normal piawai, membolehkan penyelidik dan ahli statistik menggunakan model ramalan dan teori kebarangkalian dengan ketepatan yang tinggi.

Perbandingan titik data

Mengira skor-Z ialah cara paling cekap untuk memahami prestasi atau kedudukan relatif bagi sesuatu titik data tunggal.

Contoh praktikal penggunaan skor-Z untuk membandingkan titik data boleh ditemui dalam bidang kewangan. Bayangkan anda telah melabur dalam dua portfolio saham yang berbeza dan ingin menilai prestasinya. Portfolio A mempunyai pulangan purata 10% dengan sisihan piawai 2%, manakala Portfolio B mempunyai pulangan purata 8% dengan sisihan piawai 3%. Dengan mengira skor-Z untuk pulangan tertentu dalam setiap portfolio, anda boleh membandingkan prestasi terlaras risiko mereka secara objektif dan menentukan portfolio mana yang benar-benar memberikan keputusan yang lebih baik.

Satu lagi contoh menarik boleh ditemui dalam analisis sukan. Katakan anda ingin membandingkan prestasi jaringan dua pemain bola keranjang. Pemain A mencatatkan purata 20 mata setiap perlawanan dengan sisihan piawai 5 mata. Pemain B mencatatkan purata 18 mata setiap perlawanan dengan sisihan piawai 3 mata. Dengan menukar skor perlawanan tertentu kepada skor-Z untuk setiap pemain, anda boleh menentukan siapa yang mempunyai perlawanan yang lebih mengagumkan secara statistik berbanding dengan garis dasar prestasi tipikal mereka.

Penormalan data

Penormalan data ialah proses menterjemah data yang kompleks ke dalam skala piawai untuk perbandingan dan analisis yang lancar. Memandangkan data dunia nyata datang dalam bentuk, julat, dan unit yang sangat berbeza, penormalan adalah penting untuk memastikan perbandingan yang adil (epal-ke-epal).

Dengan menukar titik data mentah kepada skor-Z, anda memiawaikan data tersebut dan meletakkan pada skala yang seragam. Skala skor-Z difahami secara universal: min sentiasa tepat 0, dan sisihan piawai sentiasa tepat 1.

Pakar psikologi kerap menggunakan skor-Z untuk menormalkan data ujian. Sebagai contoh, anda mungkin perlu membandingkan keputusan dua ujian IQ yang berbeza. Ujian A mempunyai skor min 100 dan sisihan piawai 15. Ujian B mempunyai skor min 110 dan sisihan piawai 10. Dengan mengira skor-Z untuk keputusan individu, kedua-dua ujian dipiawaikan kepada satu skala tunggal, sekali gus menyelesaikan percanggahan dalam sistem pemarkahan mereka serta-merta.

Pendidik bergantung pada skor-Z untuk pemarkahan yang adil. Jika anda ingin membandingkan prestasi akademik Pelajar A dan Pelajar B dalam dua kelas yang terkenal dengan tahap kesukaran yang berbeza, skor-Z dapat membantu. Kelas Pelajar A mencatatkan purata 80 dengan sisihan piawai 5, manakala kelas Pelajar B mencatatkan purata 90 dengan sisihan piawai 3. Menukar gred akhir mereka kepada skor-Z menormalkan tahap kesukaran kedua-dua kelas tersebut, menjadikan perbandingan pelajar jauh lebih objektif.

Pengujian hipotesis

Pengujian hipotesis ialah teknik statistik penting yang digunakan untuk menentukan sama ada terdapat bukti matematik yang mencukupi untuk menolak "hipotesis nol" (andaian lalai bahawa tiada hubungan atau perbezaan antara dua pemboleh ubah). Teknik ini membentuk tulang belakang pembuatan keputusan dalam penyelidikan perubatan, sains sosial, dan analisis perniagaan moden.

Semasa pengujian hipotesis, skor-Z (sering dipanggil statistik-Z atau ujian-Z dalam konteks ini) digunakan untuk mengira kebarangkalian sesuatu hasil tertentu berlaku secara kebetulan. Sebagai contoh, jika anda ingin tahu sama ada berat purata kumpulan sampel tertentu berbeza secara ketara daripada populasi umum, skor-Z akan mendedahkan sama ada perbezaan itu signifikan secara statistik.

Dalam bidang perubatan, skor-Z sangat penting untuk ujian klinikal. Jika penyelidik ingin menguji sama ada ubat baharu berkesan mengurangkan gejala penyakit berbanding plasebo, mereka menggunakan skor-Z untuk menentukan sama ada pengurangan gejala dalam kumpulan rawatan adalah signifikan secara statistik atau sekadar turun naik rawak.

Dalam bidang kewangan, penganalisis kerap menggunakan skor-Z untuk menguji hipotesis pasaran. Jika pelabur percaya bahawa sesuatu dana amanah saham tertentu menghasilkan pulangan yang lebih tinggi daripada purata pasaran yang lebih luas, mereka akan mengira skor-Z bagi pulangan dana tersebut untuk mengesahkan sama ada prestasi cemerlang itu signifikan secara statistik atau sekadar nasib semata-mata.

Penskalaan ciri

Penskalaan ciri ialah teknik pra-pemprosesan data kritikal yang digunakan dalam pembelajaran mesin untuk memastikan semua pemboleh ubah input (ciri) berkongsi skala yang berkadar. Memandangkan banyak algoritma pembelajaran mesin (seperti K-Jiran Terdekat atau Penurunan Kecerunan) sangat sensitif terhadap skala data input, data yang tidak diskalakan boleh memesongkan keputusan secara mendalam dan merosakkan ketepatan model.

Kaedah penskalaan ciri yang paling boleh dipercayai ialah penormalan skor-Z (sering dirujuk sebagai pemiawaian). Semasa proses ini, setiap ciri ditukar secara matematik supaya nilai minnya bersamaan dengan 0 dan sisihan piawainya bersamaan dengan 1. Formula yang digunakan untuk mengira skor-Z sesuatu ciri ialah:

Z = (X - Min) / Sisihan Piawai

di mana X mewakili nilai ciri, Min ialah purata nilai ciri tersebut, dan Sisihan Piawai ialah serakan ciri khusus tersebut.

Dalam penglihatan komputer, penormalan skor-Z adalah sangat penting. Apabila melatih algoritma pada data imej, nilai piksel biasanya perlu diskalakan dengan tepat. Dengan menggunakan pemiawaian skor-Z, nilai setiap piksel ditukar supaya keseluruhan set data imej berpusat di sekitar min 0 dengan sisihan piawai 1, sekali gus mempercepatkan proses latihan.

Pemprosesan Bahasa Tabii (NLP) juga sangat bergantung pada skor-Z. Apabila memproses teks, saintis data kerap menskalakan skor kekerapan istilah-frekuensi dokumen songsang (TF-IDF). Penormalan skor-Z memastikan metrik teks yang kompleks ini diskalakan secara seragam sebelum dimasukkan ke dalam model ramalan.

Pemodelan ramalan

Pemodelan ramalan ialah teknik analisis lanjutan yang memanfaatkan data sejarah dan pembelajaran mesin untuk meramal hasil masa depan. Proses ini melibatkan latihan algoritma pada set data yang diketahui dan kemudian menggunakan model tersebut untuk membuat ramalan yang tepat pada data baharu yang belum pernah dilihat sepenuhnya.

Langkah asas dalam pemodelan ramalan ialah pemilihan ciri—proses mengenal pasti dan mengekalkan pemboleh ubah data yang paling relevan sahaja untuk model tersebut. Ciri-ciri yang menunjukkan korelasi tinggi dengan hasil sasaran akan diutamakan, kerana ia mempunyai kuasa ramalan yang paling kuat.

Skor-Z ialah alat yang hebat untuk mengenal pasti ciri-ciri korelasi tinggi ini. Ciri-ciri yang mempamerkan magnitud skor-Z yang ketara sering kali menandakan hubungan ramalan yang kuat dengan pemboleh ubah sasaran. Formula asasnya tetap konsisten:

Z = (X - Min) / Sisihan Piawai

di mana X mewakili nilai, Min ialah purata ciri, dan Sisihan Piawai menentukan penyebaran data.

Dalam sektor kewangan, pemodelan ramalan menggunakan skor-Z untuk meramal trajektori saham. Dengan mengira skor-Z bagi metrik prestasi sejarah saham, penganalisis kuantitatif boleh menilai potensi pulangan masa depannya. Skor-Z yang tinggi secara konsisten membayangkan bahawa sesuatu saham telah mengatasi prestasi rakan setaranya dari segi sejarah, yang digunakan oleh algoritma sebagai isyarat untuk momentum harga masa depan.

Dalam analisis penjagaan kesihatan, skor-Z sangat berharga untuk meramal risiko pesakit. Apabila menilai biometrik yang kompleks, pengiraan skor-Z pesakit menyerlahkan sejauh mana penanda kesihatan mereka menyimpang daripada purata sihat. Skor-Z yang tinggi secara unik sering kali menandakan pesakit sebagai berisiko tinggi, membolehkan doktor meramal dan mencegah hasil kesihatan masa depan yang buruk.

Menggunakan jadual skor-Z

Jadual-Z (juga dipanggil jadual normal piawai atau jadual normal unit) ialah carta matematik komprehensif yang digunakan untuk mencari kebarangkalian tepat bagi sesuatu statistik yang jatuh di bawah, di atas, atau di antara nilai-nilai pada lengkung taburan normal piawai.

z	0	0.01	0.02	0.03	0.04	0.05	0.06	0.07	0.08	0.09
0	0	0.00399	0.00798	0.01197	0.01595	0.01994	0.02392	0.0279	0.03188	0.03586
0.1	0.03983	0.0438	0.04776	0.05172	0.05567	0.05962	0.06356	0.06749	0.07142	0.07535
0.2	0.07926	0.08317	0.08706	0.09095	0.09483	0.09871	0.10257	0.10642	0.11026	0.11409
0.3	0.11791	0.12172	0.12552	0.1293	0.13307	0.13683	0.14058	0.14431	0.14803	0.15173
0.4	0.15542	0.1591	0.16276	0.1664	0.17003	0.17364	0.17724	0.18082	0.18439	0.18793
0.5	0.19146	0.19497	0.19847	0.20194	0.2054	0.20884	0.21226	0.21566	0.21904	0.2224
0.6	0.22575	0.22907	0.23237	0.23565	0.23891	0.24215	0.24537	0.24857	0.25175	0.2549
0.7	0.25804	0.26115	0.26424	0.2673	0.27035	0.27337	0.27637	0.27935	0.2823	0.28524
0.8	0.28814	0.29103	0.29389	0.29673	0.29955	0.30234	0.30511	0.30785	0.31057	0.31327
0.9	0.31594	0.31859	0.32121	0.32381	0.32639	0.32894	0.33147	0.33398	0.33646	0.33891
1	0.34134	0.34375	0.34614	0.34849	0.35083	0.35314	0.35543	0.35769	0.35993	0.36214
1.1	0.36433	0.3665	0.36864	0.37076	0.37286	0.37493	0.37698	0.379	0.381	0.38298
1.2	0.38493	0.38686	0.38877	0.39065	0.39251	0.39435	0.39617	0.39796	0.39973	0.40147
1.3	0.4032	0.4049	0.40658	0.40824	0.40988	0.41149	0.41308	0.41466	0.41621	0.41774
1.4	0.41924	0.42073	0.4222	0.42364	0.42507	0.42647	0.42785	0.42922	0.43056	0.43189
1.5	0.43319	0.43448	0.43574	0.43699	0.43822	0.43943	0.44062	0.44179	0.44295	0.44408
1.6	0.4452	0.4463	0.44738	0.44845	0.4495	0.45053	0.45154	0.45254	0.45352	0.45449
1.7	0.45543	0.45637	0.45728	0.45818	0.45907	0.45994	0.4608	0.46164	0.46246	0.46327
1.8	0.46407	0.46485	0.46562	0.46638	0.46712	0.46784	0.46856	0.46926	0.46995	0.47062
1.9	0.47128	0.47193	0.47257	0.4732	0.47381	0.47441	0.475	0.47558	0.47615	0.4767
2	0.47725	0.47778	0.47831	0.47882	0.47932	0.47982	0.4803	0.48077	0.48124	0.48169
2.1	0.48214	0.48257	0.483	0.48341	0.48382	0.48422	0.48461	0.485	0.48537	0.48574
2.2	0.4861	0.48645	0.48679	0.48713	0.48745	0.48778	0.48809	0.4884	0.4887	0.48899
2.3	0.48928	0.48956	0.48983	0.4901	0.49036	0.49061	0.49086	0.49111	0.49134	0.49158
2.4	0.4918	0.49202	0.49224	0.49245	0.49266	0.49286	0.49305	0.49324	0.49343	0.49361
2.5	0.49379	0.49396	0.49413	0.4943	0.49446	0.49461	0.49477	0.49492	0.49506	0.4952
2.6	0.49534	0.49547	0.4956	0.49573	0.49585	0.49598	0.49609	0.49621	0.49632	0.49643
2.7	0.49653	0.49664	0.49674	0.49683	0.49693	0.49702	0.49711	0.4972	0.49728	0.49736
2.8	0.49744	0.49752	0.4976	0.49767	0.49774	0.49781	0.49788	0.49795	0.49801	0.49807
2.9	0.49813	0.49819	0.49825	0.49831	0.49836	0.49841	0.49846	0.49851	0.49856	0.49861
3	0.49865	0.49869	0.49874	0.49878	0.49882	0.49886	0.49889	0.49893	0.49896	0.499
3.1	0.49903	0.49906	0.4991	0.49913	0.49916	0.49918	0.49921	0.49924	0.49926	0.49929
3.2	0.49931	0.49934	0.49936	0.49938	0.4994	0.49942	0.49944	0.49946	0.49948	0.4995
3.3	0.49952	0.49953	0.49955	0.49957	0.49958	0.4996	0.49961	0.49962	0.49964	0.49965
3.4	0.49966	0.49968	0.49969	0.4997	0.49971	0.49972	0.49973	0.49974	0.49975	0.49976
3.5	0.49977	0.49978	0.49978	0.49979	0.4998	0.49981	0.49981	0.49982	0.49983	0.49983
3.6	0.49984	0.49985	0.49985	0.49986	0.49986	0.49987	0.49987	0.49988	0.49988	0.49989
3.7	0.49989	0.4999	0.4999	0.4999	0.49991	0.49991	0.49992	0.49992	0.49992	0.49992
3.8	0.49993	0.49993	0.49993	0.49994	0.49994	0.49994	0.49994	0.49995	0.49995	0.49995
3.9	0.49995	0.49995	0.49996	0.49996	0.49996	0.49996	0.49996	0.49996	0.49997	0.49997
4	0.49997	0.49997	0.49997	0.49997	0.49997	0.49997	0.49998	0.49998	0.49998	0.49998

Untuk membaca jadual-Z, mula-mula cari baris yang sepadan dengan dua digit pertama skor-Z yang anda kira (nilai sa dan persepuluh). Kemudian, cari lajur yang sepadan dengan nilai perseratus. Persilangan baris dan lajur tersebut mendedahkan luas (atau kebarangkalian) di bawah lengkung normal piawai. Nombor akhir ini mewakili kebarangkalian bahawa pemboleh ubah rawak daripada taburan normal piawai adalah kurang daripada atau sama dengan skor-Z yang anda kira.

Sebagai contoh, jika skor-Z yang anda kira ialah 1.96, anda imbas ke bawah ke baris yang dilabel 1.9 dan merentasi ke lajur yang dilabel 0.06. Nilai persilangan tersebut memberikan luas di bawah lengkung di sebelah kiri 1.96. Dalam jadual ekor kiri piawai, nilai ini adalah kira-kira 0.975. Ini bermakna terdapat kebarangkalian 97.5% bahawa mana-mana titik data rawak akan jatuh pada atau di bawah skor-Z 1.96.

Adalah penting untuk diingat bahawa jadual-Z hanya terpakai secara ketat pada taburan normal piawai (min = 0, sisihan piawai = 1). Jika set data anda tidak sepadan secara semula jadi dengan ini, anda mesti memiawaikan data anda terlebih dahulu dengan mengira skor-Z masing-masing.

Mencari kebarangkalian daripada skor-Z

Sebaik sahaja pemboleh ubah yang bertabur normal ditukar kepada skor-Z, kita boleh menggunakan jadual-Z untuk mencari perkadaran tepat luas di bawah lengkung normal. Memandangkan jumlah luas di bawah sebarang lengkung normal piawai sentiasa bersamaan dengan 1, perkadaran luas yang diserlahkan secara berkesan berfungsi sebagai kebarangkalian muktamad untuk skor-Z tersebut.

Contoh 1

Berat petinju profesional adalah bertabur normal dengan min 75 kg dan sisihan piawai 3 kg. Apakah kebarangkalian berat petinju yang dipilih secara rawak adalah:

• a) Lebih daripada 78 kg?
• b) Kurang daripada 69 kg?
• c) Lebih daripada 72 kg?
• d) Kurang daripada 79.5 kg?
• e) Antara 72 kg dan 76.5 kg?
• f) Antara 72 kg dan 73.5 kg?

a) Apakah kebarangkalian pemain yang dipilih secara rawak mempunyai berat lebih daripada 78 kg?

• X > 78
• μ = 75
• σ = 3

$$P(X>78)=P\left(Z>\frac{X-μ}{σ}\right)=P\left(Z>\frac{78-75}{3}\right)=P(Z>1)$$

Pertama sekali, mari kita visualisasikan ini pada lengkung normal piawai.

Seterusnya, kita rujuk Jadual-Z untuk mencari kebarangkalian yang relevan bagi skor-Z yang telah dikira.

Sila ambil perhatian bahawa jadual-Z khusus ini menyediakan kebarangkalian antara skor-Z yang tepat dengan min. Untuk menentukan kebarangkalian kawasan ekor yang diserlahkan dalam graf, kita mesti menolak nilai jadual kita daripada 0.5. (Jumlah luas di bawah keseluruhan lengkung ialah 1, dan min membahagikan lengkung secara sistematik kepada dua bahagian simetri yang sempurna bernilai 0.5).

• P (X > 78) = P (Z > 1)
• P (X > 78) = 0.5 - P(0 < Z < 1)
• P (X > 78) = 0.5 - 0.3413
• P (X > 78) = 0.1587

Oleh itu, terdapat kebarangkalian tepat sebanyak 0.1587 (or 15.87%) bahawa petinju yang dipilih secara rawak mempunyai berat lebih daripada 78 kg.

b) Apakah kebarangkalian pemain yang dipilih secara rawak mempunyai berat kurang daripada 69 kg?

• X < 69
• μ = 75
• σ = 3

$$P(X<69)=P\left(Z<\frac{X-μ}{σ}\right)=P\left(Z<\frac{69-75}{3}\right)=P(Z<-2)$$

Pertama sekali, mari kita visualisasikan ini pada lengkung normal piawai.

Seterusnya, kita rujuk Jadual-Z untuk mencari kebarangkalian yang relevan bagi skor-Z yang telah dikira.

Sekali lagi, jadual skor-Z menyediakan kebarangkalian antara skor-Z yang diberikan dengan min. Untuk menentukan kebarangkalian kawasan ekor bawah yang diserlahkan, kita mesti menolak nilai jadual daripada 0.5.

• P (X < 69) = P (Z < -2)
• P (X < 69) = 0.5 - P (0 > Z > -2)
• P (X < 69) = 0.5 - 0.4772
• P (X < 69) = 0.0228

Oleh itu, terdapat kebarangkalian sebanyak 0.0228 (atau 2.28%) bahawa petinju yang dipilih secara rawak mempunyai berat kurang daripada 69 kg.

e) Apakah kebarangkalian berat pemain yang dipilih secara rawak adalah antara 72 kg dan 76.5 kg?

• 72 < X < 76.5
• μ = 75
• σ = 3

$$P(72 \lt X \lt 76.5)=P\left(\frac{X-μ}{σ} \lt Z \lt \frac{X-μ}{σ}\right)=P\left(\frac{72-75}{3} \lt Z \lt \frac{76.5-75}{3}\right)=P(-1 \lt Z \lt 0.5)$$

Pertama sekali, mari kita visualisasikan ini pada lengkung normal piawai.

Seterusnya, kita gunakan Jadual-Z untuk mencari kebarangkalian yang relevan bagi kedua-dua skor-Z yang telah dikira.

Memandangkan kita memerlukan keseluruhan kawasan yang diserlahkan yang merentasi min, kita hanya perlu menambah kedua-dua kebarangkalian berasingan bagi skor-Z kita bersama-sama.

• P (72 < X < 76.5) = P (-1 < Z < 0.5)
• P (72 < X < 76.5) = 0.3413 + 0.1915
• P (72 < X < 76.5) = 0.5328

Oleh itu, terdapat kebarangkalian sebanyak 0.5328 (atau 53.28%) bahawa petinju yang dipilih secara rawak mempunyai berat antara 72 kg dan 76.5 kg.

Untuk mempercepatkan proses yang sama ini, anda boleh menggunakan kalkulator Kebarangkalian Antara Dua Skor-Z kami dengan mudah untuk menghasilkan jawapan akhir secara serta-merta.

Mencari Nilai yang Sepadan untuk Kebarangkalian yang Ditentukan

Apabila berhadapan dengan taburan normal yang diketahui, kita boleh melakukan proses kejuruteraan undur dengan mudah untuk mencari nilai mentah tertentu berdasarkan kebarangkalian yang diberikan menggunakan formula skor-Z.

Contoh 2

Skor pemohon dalam peperiksaan yang sangat kompetitif adalah bertabur secara anggaran normal, dengan min 55 dan sisihan piawai 10. Jika hanya 30% pemohon teratas lulus ujian tersebut, cari skor lulus minimum mutlak yang diperlukan.

Penyelesaian

Dalam senario ini, kita mesti menentukan skor-Z yang sepadan untuk peratusan sasaran (30%) terlebih dahulu.

Untuk menentukan skor-Z yang tepat, kita mesti mengasingkan kebarangkalian kawasan yang diserlahkan secara ketat antara min dan titik potong.

Kita dapati ini dengan menolak 0.30 daripada 0.50 (separuh bahagian atas lengkung). Oleh itu, kebarangkalian kawasan dalaman yang diserlahkan ialah 0.20.

Kini, dengan merujuk jadual-Z, kita cari kebarangkalian yang paling hampir dengan 0.20. Skor-Z yang sepadan ialah 0.524.

Akhir sekali, kita gunakan nilai ini pada formula skor-Z piawai untuk menyelesaikan skor mentah (X) kita.

• Z = (X - μ)/σ
• 0.524 = (X - 55)/10
• X = (0.524 × 10) + 55
• X = 60.24

Oleh itu, skor lulus minimum yang diperlukan untuk peperiksaan tersebut ialah 60.24.