Z-Score Rekenmachine

De Z-score rekenmachine kan worden gebruikt voor elk type berekening dat gerelateerd is aan Z-scores. Je kunt een ruwe score (X), het populatiegemiddelde (μ) en de standaarddeviatie (σ) invoeren in de eerste calculator om de Z-score te berekenen. Hierbij krijg je de volledige berekeningsstappen en de bijbehorende waarschijnlijkheden (probabiliteit) voor die specifieke ruwe score te zien.

De Z-score naar waarschijnlijkheid omzetter helpt je moeiteloos te converteren tussen Z-scores en waarschijnlijkheden, zonder dat je handmatig een Z-tabel hoeft te raadplegen. De resultaten tonen alle mogelijke waarschijnlijkheidsberekeningen voor die specifieke Z-score. Gebruik de laatste calculator om de exacte waarschijnlijkheid tussen twee verschillende Z-scores te berekenen.

Wat is een Z-score?

Een Z-score is een statistische maatstaf die aangeeft hoeveel standaarddeviaties (of standaardafwijkingen) een specifiek datapunt verwijderd is van het gemiddelde van een dataset. De Z-score wordt gebruikt om één enkel datapunt te vergelijken met de volledige dataset. Het helpt bij het standaardiseren van gegevens, waardoor deze veel gemakkelijker te vergelijken en te analyseren zijn.

De Z-score stelt ons in staat om te bepalen hoe "typisch" of juist "atypisch" een datapunt is in verhouding tot de rest van de verzamelde data.

• Uitschieters detecteren (outliers): Z-scores helpen ons bij het identificeren van datapunten die aanzienlijk afwijken van de rest van de gegevens. Dit is enorm waardevol in sectoren zoals financiën en medisch onderzoek, waar uitschieters kunnen wijzen op belangrijke patronen of anomalieën.
• Datasets vergelijken: Met de Z-score kunnen we gegevens uit verschillende datasets met elkaar vergelijken, zelfs als deze verschillende eenheden of bereiken hebben. Dit is cruciaal in vakgebieden zoals machine learning, waarbij je data uit diverse bronnen moet combineren en vergelijken om nauwkeurige modellen te bouwen.
• Data normaliseren: Door ruwe gegevens om te zetten naar Z-scores, standaardiseren we de data. Dit maakt de analyse en onderlinge vergelijking veel eenvoudiger. Dit wordt veelvuldig toegepast bij datavisualisatie, waar informatie op een heldere, begrijpelijke manier gepresenteerd moet worden.

De Z-score formule

De Z-score voor een populatie

Z = Ruwe score - Populatiegemiddelde / Populatiestandaarddeviatie

Z = (X - μ) / σ

De Z-score voor een steekproef

Z = Ruwe score - Steekproefgemiddelde / Steekproefstandaarddeviatie

Z = (X - x̄) / s

Interpretatie van de berekende Z-score

Positieve Z-score: Een positieve Z-score betekent dat jouw datapunt boven het gemiddelde van de dataset ligt. Met andere woorden: de geobserveerde waarde is hoger dan de typische waarde binnen de reeks.

Negatieve Z-score: Een negatieve Z-score geeft aan dat jouw datapunt onder het gemiddelde van de dataset ligt. De geobserveerde waarde is dus lager dan de typische waarde.

De Z-score zelf: De absolute waarde van de Z-score vertelt je exact hoe ver het datapunt van het gemiddelde verwijderd is. Hoe groter de Z-score (positief of negatief), hoe verder de waargenomen waarde van het gemiddelde af ligt.

Z-score en standaarddeviatie

De Z-score en de standaarddeviatie zijn onlosmakelijk met elkaar verbonden, aangezien de standaarddeviatie (of standaardafwijking) nodig is om de Z-score te berekenen. De standaarddeviatie is een fundamenteel onderdeel van de Z-score formule.

De standaarddeviatie is een maatstaf voor de spreiding binnen een dataset. Het laat zien in hoeverre de individuele datapunten afwijken van het gemiddelde. Hoe groter de standaarddeviatie, hoe breder de data verspreid is.

De Z-score vertelt je op zijn beurt de afstand van een specifiek datapunt tot het gemiddelde, uitgedrukt in het aantal standaarddeviaties. Door dit te gebruiken, kun je individuele datapunten in context plaatsen en bepalen of een waarde normaal of juist zeer ongebruikelijk is.

Z-score en de normale verdeling

De normale verdeling is een kansverdeling die ontzettend vaak voorkomt bij natuurlijke fenomenen en situaties in de echte wereld. Het wordt grafisch weergegeven als een klokvormige curve (de bekende bell curve) en toont de verdeling van gegevens rondom het gemiddelde. De normale verdeling staat ook wel bekend als de Gauss-verdeling, vernoemd naar de wiskundige Carl Friedrich Gauss.

De Z-score meet hoe ver een datapunt van het gemiddelde afligt, gerelateerd aan de standaarddeviatie. Door alle datapunten om te zetten in Z-scores, transformeer je de dataset naar een standaard schaal.

De connectie tussen de Z-score en de normale verdeling is dat Z-scores gebruikt worden om gegevens te standaardiseren en te fitten in een standaard normale verdeling. Dit betekent dat je elke willekeurige normaal verdeelde dataset kunt omzetten naar een gestandaardiseerde vorm (waarbij het gemiddelde 0 is en de standaarddeviatie 1). Dit is van groot belang, omdat veel statistische methodes ervan uitgaan dat data normaal verdeeld is. Het standaardiseren van je data zorgt voor veel nauwkeurigere analyses.

Datapunten vergelijken met Z-scores

Een Z-score is het perfecte hulpmiddel om te begrijpen hoe een individuele score presteert ten opzichte van het grotere geheel.

Een goed voorbeeld hiervan vinden we in de financiële wereld. Stel dat je hebt geïnvesteerd in twee verschillende aandelenportefeuilles en je wilt de prestaties eerlijk vergelijken. Portefeuille A heeft een gemiddeld rendement van 10% met een standaarddeviatie van 2%, terwijl portefeuille B een gemiddeld rendement heeft van 8% met een standaarddeviatie van 3%. Door de individuele rendementen van een specifieke periode om te rekenen naar Z-scores, kun je objectief bepalen welke portefeuille naar verhouding écht het beste heeft gepresteerd.

Een ander praktisch voorbeeld zien we in de sportwereld. Stel, je wilt twee basketbalspelers (Speler A en Speler B) uit verschillende competities met elkaar vergelijken. Speler A scoort gemiddeld 20 punten per wedstrijd met een standaarddeviatie van 5 punten. Speler B scoort gemiddeld 18 punten per wedstrijd met een standaarddeviatie van 3 punten. Door hun individuele wedstrijdscores om te zetten in Z-scores, haal je de verschillen in competitieniveau weg en kun je bepalen wie statistisch gezien de meest uitzonderlijke prestatie levert.

Datanormalisatie

Datanormalisatie is het proces waarbij ruwe gegevens worden omgezet naar een gestandaardiseerde schaal, zodat ze eenvoudig geanalyseerd en vergeleken kunnen worden. Omdat datasets vaak verschillende meeteenheden en schaalgroottes hebben, is normalisatie cruciaal om een 'appels met appels' vergelijking mogelijk te maken.

Door elk datapunt te converteren naar een Z-score, breng je alle variabelen terug naar exact dezelfde schaal. De Z-score hanteert namelijk altijd een standaardschaal met een gemiddelde van 0 en een standaarddeviatie van 1.

Een mooi voorbeeld van Z-scores voor datanormalisatie vinden we in de psychologie. Stel je voor dat je de resultaten van twee verschillende IQ-tests (Test A en Test B) wilt vergelijken. Test A heeft een populatiegemiddelde van 100 met een standaarddeviatie van 15, terwijl Test B een gemiddelde heeft van 110 met een standaarddeviatie van 10. Door individuele scores om te zetten naar Z-scores, worden de testresultaten gestandaardiseerd en op één universele schaal geplaatst, wat een eerlijke vergelijking mogelijk maakt.

Ook in het onderwijs wordt dit toegepast. Als je student A (gemiddeld cijfer 80, standaarddeviatie 5) wilt vergelijken met student B (gemiddeld cijfer 90, standaarddeviatie 3) uit een andere klas met een andere moeilijkheidsgraad, kun je de cijfers omrekenen naar Z-scores. Zo normaliseer je de prestaties en zie je wie het, relatief ten opzichte van zijn of haar klasgenoten, beter heeft gedaan.

Hypothesetoetsing

Hypothesetoetsing (of hypothese testen) is een statistische methode om te bepalen of er voldoende bewijs is om een 'nulhypothese' te verwerpen. De nulhypothese is de standaard aanname dat er géén effect of géén relatie is tussen twee variabelen. Dit is een fundamenteel proces in medisch onderzoek, sociale wetenschappen en het bedrijfsleven om datagedreven beslissingen te nemen.

Bij het toetsen van hypothesen worden Z-scores (vaak in de vorm van een Z-toets of Z-test) gebruikt om de statistische waarschijnlijkheid (p-waarde) van een uitkomst te bepalen. Je kunt bijvoorbeeld testen of het gemiddelde gewicht van een specifieke testgroep significant afwijkt van het nationale gemiddelde. De berekende Z-score toont direct aan of dit verschil statistisch gezien toeval is of daadwerkelijk betekenisvol (significant).

In de medische sector is dit cruciaal. Stel dat je wilt testen of een nieuw medicijn effectiever is in het verlagen van de bloeddruk dan een placebo. Je berekent de Z-score om te bepalen of het waargenomen verschil in symptomen tussen de behandelgroep en de controlegroep statistisch significant is.

Ook in de financiële wereld is hypothesetoetsing met Z-scores gebruikelijk. Als je wilt onderzoeken of een specifieke handelsstrategie structureel meer rendement oplevert dan de marktindex, gebruik je de Z-score om vast te stellen of jouw meerrendement statistisch significant is, of gewoon een kwestie van geluk.

Feature scaling (Kenmerkschaling)

Feature scaling is een onmisbare datavoorbereidingstechniek binnen machine learning en data science, die ervoor zorgt dat alle variabelen (features) in een dataset dezelfde weging en schaal krijgen. Veel machine learning algoritmes zijn erg gevoelig voor de numerieke grootte van data. Als variabelen niet geschaald worden, kan het algoritme onnauwkeurige modellen of foutieve voorspellingen genereren.

Een van de meest gebruikte methodes voor feature scaling is Z-score normalisatie, in de data science vaak Standardization genoemd. Tijdens dit proces wordt elke feature zo getransformeerd dat het gemiddelde exact 0 wordt en de standaarddeviatie 1. De formule hiervoor luidt:

Z = (X - Gemiddelde) / Standaarddeviatie

Hierbij is X de originele waarde, en worden het gemiddelde en de standaarddeviatie berekend over de gehele kolom (feature) van de dataset.

Een praktisch voorbeeld van Z-score scaling vinden we in Computer Vision. Bij het verwerken van beelddatasets moeten pixelwaarden (die variëren van 0 tot 255) vaak worden gestandaardiseerd. Door middel van Z-score normalisatie worden de pixelintensiteiten getransformeerd zodat het model contrasten en patronen veel beter en sneller kan leren.

Een ander voorbeeld vinden we in Natural Language Processing (NLP). Bij tekstanalyses worden numerieke scores zoals TF-IDF (Term Frequency-Inverse Document Frequency) vaak geschaald met behulp van Z-score normalisatie, zodat algoritmes teksten eerlijk met elkaar kunnen vergelijken.

Voorspellende modellering (Predictive Modeling)

Voorspellende modellering is een AI- en data-analysetechniek waarbij op basis van historische gegevens patronen worden gezocht om de toekomst te voorspellen. Het model wordt getraind op een bestaande dataset, om vervolgens voorspellingen te kunnen doen op nieuwe, nog onbekende data.

Een essentiële stap hierbij is feature selection: het kiezen van de variabelen die de meeste voorspellende waarde hebben voor het uiteindelijke doel. Variabelen die sterk gecorreleerd zijn met de doelvariabele (target) krijgen daarbij de voorkeur.

De Z-score kan worden ingezet om extreme waarden of sterk afwijkende kenmerken te identificeren die invloed hebben op het voorspellende model. Door het berekenen van de Z-score (gebruikmakend van de standaardformule: Z = (X - Gemiddelde) / Standaarddeviatie), kunnen data scientists zien welke datapunten als significante signalen fungeren.

In de financiële sector wordt voorspellende modellering met Z-scores bijvoorbeeld gebruikt voor kredietrisicoanalyses (zoals de bekende Altman Z-score voor het voorspellen van faillissementen). Als financiële ratio's van een bedrijf een extreem negatieve Z-score vertonen ten opzichte van het sectorgemiddelde, wijst dit op een sterk verhoogd risico, wat van levensbelang is voor investeerders.

In de gezondheidszorg wordt de Z-score ingezet voor medische risicomodellen. Als de gezondheidsindicatoren van een patiënt (zoals bloedwaarden of botdichtheid) na standaardisatie een sterk afwijkende Z-score vertonen, kan het algoritme automatisch een waarschuwing afgeven voor een verhoogd risico op toekomstige complicaties.

Gebruik van de Z-score tabel

Een Z-tabel, ook wel de standaard normale tabel genoemd, is een referentietabel vol met gestandaardiseerde waarden. Deze tabel wordt gebruikt om de waarschijnlijkheid (kans) te berekenen dat een bepaalde statistische waarde onder, boven of tussen specifieke punten van de standaard normale verdeling valt.

z	0	0,01	0,02	0,03	0,04	0,05	0,06	0,07	0,08	0,09
0	0	0,00399	0,00798	0,01197	0,01595	0,01994	0,02392	0,0279	0,03188	0,03586
0,1	0,03983	0,0438	0,04776	0,05172	0,05567	0,05962	0,06356	0,06749	0,07142	0,07535
0,2	0,07926	0,08317	0,08706	0,09095	0,09483	0,09871	0,10257	0,10642	0,11026	0,11409
0,3	0,11791	0,12172	0,12552	0,1293	0,13307	0,13683	0,14058	0,14431	0,14803	0,15173
0,4	0,15542	0,1591	0,16276	0,1664	0,17003	0,17364	0,17724	0,18082	0,18439	0,18793
0,5	0,19146	0,19497	0,19847	0,20194	0,2054	0,20884	0,21226	0,21566	0,21904	0,2224
0,6	0,22575	0,22907	0,23237	0,23565	0,23891	0,24215	0,24537	0,24857	0,25175	0,2549
0,7	0,25804	0,26115	0,26424	0,2673	0,27035	0,27337	0,27637	0,27935	0,2823	0,28524
0,8	0,28814	0,29103	0,29389	0,29673	0,29955	0,30234	0,30511	0,30785	0,31057	0,31327
0,9	0,31594	0,31859	0,32121	0,32381	0,32639	0,32894	0,33147	0,33398	0,33646	0,33891
1	0,34134	0,34375	0,34614	0,34849	0,35083	0,35314	0,35543	0,35769	0,35993	0,36214
1,1	0,36433	0,3665	0,36864	0,37076	0,37286	0,37493	0,37698	0,379	0,381	0,38298
1,2	0,38493	0,38686	0,38877	0,39065	0,39251	0,39435	0,39617	0,39796	0,39973	0,40147
1,3	0,4032	0,4049	0,40658	0,40824	0,40988	0,41149	0,41308	0,41466	0,41621	0,41774
1,4	0,41924	0,42073	0,4222	0,42364	0,42507	0,42647	0,42785	0,42922	0,43056	0,43189
1,5	0,43319	0,43448	0,43574	0,43699	0,43822	0,43943	0,44062	0,44179	0,44295	0,44408
1,6	0,4452	0,4463	0,44738	0,44845	0,4495	0,45053	0,45154	0,45254	0,45352	0,45449
1,7	0,45543	0,45637	0,45728	0,45818	0,45907	0,45994	0,4608	0,46164	0,46246	0,46327
1,8	0,46407	0,46485	0,46562	0,46638	0,46712	0,46784	0,46856	0,46926	0,46995	0,47062
1,9	0,47128	0,47193	0,47257	0,4732	0,47381	0,47441	0,475	0,47558	0,47615	0,4767
2	0,47725	0,47778	0,47831	0,47882	0,47932	0,47982	0,4803	0,48077	0,48124	0,48169
2,1	0,48214	0,48257	0,483	0,48341	0,48382	0,48422	0,48461	0,485	0,48537	0,48574
2,2	0,4861	0,48645	0,48679	0,48713	0,48745	0,48778	0,48809	0,4884	0,4887	0,48899
2,3	0,48928	0,48956	0,48983	0,4901	0,49036	0,49061	0,49086	0,49111	0,49134	0,49158
2,4	0,4918	0,49202	0,49224	0,49245	0,49266	0,49286	0,49305	0,49324	0,49343	0,49361
2,5	0,49379	0,49396	0,49413	0,4943	0,49446	0,49461	0,49477	0,49492	0,49506	0,4952
2,6	0,49534	0,49547	0,4956	0,49573	0,49585	0,49598	0,49609	0,49621	0,49632	0,49643
2,7	0,49653	0,49664	0,49674	0,49683	0,49693	0,49702	0,49711	0,4972	0,49728	0,49736
2,8	0,49744	0,49752	0,4976	0,49767	0,49774	0,49781	0,49788	0,49795	0,49801	0,49807
2,9	0,49813	0,49819	0,49825	0,49831	0,49836	0,49841	0,49846	0,49851	0,49856	0,49861
3	0,49865	0,49869	0,49874	0,49878	0,49882	0,49886	0,49889	0,49893	0,49896	0,499
3,1	0,49903	0,49906	0,4991	0,49913	0,49916	0,49918	0,49921	0,49924	0,49926	0,49929
3,2	0,49931	0,49934	0,49936	0,49938	0,4994	0,49942	0,49944	0,49946	0,49948	0,4995
3,3	0,49952	0,49953	0,49955	0,49957	0,49958	0,4996	0,49961	0,49962	0,49964	0,49965
3,4	0,49966	0,49968	0,49969	0,4997	0,49971	0,49972	0,49973	0,49974	0,49975	0,49976
3,5	0,49977	0,49978	0,49978	0,49979	0,4998	0,49981	0,49981	0,49982	0,49983	0,49983
3,6	0,49984	0,49985	0,49985	0,49986	0,49986	0,49987	0,49987	0,49988	0,49988	0,49989
3,7	0,49989	0,4999	0,4999	0,4999	0,49991	0,49991	0,49992	0,49992	0,49992	0,49992
3,8	0,49993	0,49993	0,49993	0,49994	0,49994	0,49994	0,49994	0,49995	0,49995	0,49995
3,9	0,49995	0,49995	0,49996	0,49996	0,49996	0,49996	0,49996	0,49996	0,49997	0,49997
4	0,49997	0,49997	0,49997	0,49997	0,49997	0,49997	0,49998	0,49998	0,49998	0,49998

Om de Z-tabel af te lezen, zoek je eerst de rij op die overeenkomt met de eerste twee cijfers van jouw berekende Z-score (bijv. 1,9). Vervolgens zoek je de kolom die overeenkomt met het tweede decimaal (bijv. 0,06). Het snijpunt in de tabel geeft je het gebied (de waarschijnlijkheid) onder de standaard normale curve. Deze resulterende waarde is de benaderde kans dat een willekeurige variabele kleiner dan of gelijk aan jouw berekende Z-score zal zijn.

Heb je bijvoorbeeld een Z-score berekend van 1,96? Dan kijk je in de Z-tabel bij de rij 1,9 en de kolom 0,06. Het getal dat je daar vindt, vertelt je de oppervlakte onder de curve tot aan 1,96. De waarde is ongeveer 0,975, wat betekent dat 97,5% van alle waarnemingen in een standaard normale verdeling kleiner dan of gelijk aan 1,96 zal zijn.

Houd er wel rekening mee dat de Z-tabel alléén van toepassing is op een standaard normale verdeling (waarbij het gemiddelde 0 is en de standaarddeviatie 1). Als jouw ruwe data een andere spreiding heeft, moet je deze eerst standaardiseren door ze via de formule om te zetten naar Z-scores.

Waarschijnlijkheid berekenen via de Z-score

Zodra we een normaal verdeelde variabele hebben omgezet naar een Z-score, kunnen we de Z-tabel gebruiken om het corresponderende gebied (de proportie) onder de klokcurve te vinden. De totale oppervlakte onder de standaard normale curve is per definitie exact 1 (ofwel 100%). Daarom staat het oppervlak onder de curve direct gelijk aan de waarschijnlijkheid van de bijbehorende gebeurtenis.

Voorbeeld 1

Het lichaamsgewicht van professionele boksers is normaal verdeeld met een gemiddelde van 75 kg en een standaarddeviatie van 3 kg. Wat is de waarschijnlijkheid dat het gewicht van een willekeurig geselecteerde bokser:

• a) Meer is dan 78 kg?
• b) Minder is dan 69 kg?
• c) Meer is dan 72 kg?
• d) Minder is dan 79,5 kg?
• e) Tussen de 72 kg en 76,5 kg ligt?
• f) Tussen de 72 kg en 73,5 kg ligt?

a) Wat is de waarschijnlijkheid dat een willekeurig geselecteerde speler meer dan 78 kg weegt?

• X > 78
• μ = 75
• σ = 3

$$P(X>78)=P\left(Z>\frac{X-μ}{σ}\right)=P\left(Z>\frac{78-75}{3}\right)=P(Z>1)$$

Laten we dit eerst visueel maken in een Z-curve.

Nu gebruiken we de Z-tabel om de relevante waarschijnlijkheid voor de berekende Z-score op te zoeken.

Belangrijk: Deze standaard Z-tabel toont de waarschijnlijkheid tussen het gemiddelde (0) en jouw Z-score. Om de waarschijnlijkheid van het gearceerde, rechter gebied in de grafiek te krijgen, moeten we die gevonden tabelwaarde aftrekken van 0,5. (De totale waarschijnlijkheid onder de curve is 1, en het gemiddelde verdeelt de curve perfect in twee gelijke helften. De kans vanaf het midden tot aan een van de uitersten is dus exact 0,5).

• P (X > 78) = P (Z > 1)
• P (X > 78) = 0,5 - P(0 < Z < 1)
• P (X > 78) = 0,5 - 0,3413
• P (X > 78) = 0,1587

Hieruit concluderen we dat er een waarschijnlijkheid van 0,1587 (15,87%) is dat het gewicht van een willekeurig geselecteerde bokser meer dan 78 kg bedraagt.

b) Wat is de waarschijnlijkheid dat een willekeurig geselecteerde speler minder dan 69 kg weegt?

• X < 69
• μ = 75
• σ = 3

$$P(X<69)=P\left(Z<\frac{X-μ}{σ}\right)=P\left(Z<\frac{69-75}{3}\right)=P(Z<-2)$$

We tekenen dit eerst weer in een Z-curve.

Daarna raadplegen we de Z-tabel voor deze specifieke score.

Net als in het vorige voorbeeld: om het gearceerde gebied aan de linkerstaart van de curve te berekenen, trekken we de tabelwaarde (die de afstand tot het midden toont) af van 0,5.

• P (X < 69) = P (Z < -2)
• P (X < 69) = 0,5 - P (0 > Z > -2)
• P (X < 69) = 0,5 - 0,4772
• P (X < 69) = 0,0228

Er is dus een waarschijnlijkheid van 0,0228 (2,28%) dat een willekeurig geselecteerde speler minder dan 69 kg weegt.

c) Wat is de waarschijnlijkheid dat het gewicht van een willekeurig geselecteerde speler tussen 72 kg en 76,5 kg ligt?

• 72 < X < 76,5
• μ = 75
• σ = 3

$$P(72 \lt X \lt 76,5)=P\left(\frac{X-μ}{σ} \lt Z \lt \frac{X-μ}{σ}\right)=P\left(\frac{72-75}{3} \lt Z \lt \frac{76,5-75}{3}\right)=P(-1 \lt Z \lt 0,5)$$

We visualiseren dit opnieuw in de Z-curve.

We zoeken beide waarden op in de Z-tabel.

Omdat de Z-score de kans tussen de score en het gemiddelde weergeeft, en onze twee grenzen zich aan weerszijden van het gemiddelde bevinden, kunnen we de waarschijnlijkheden van deze 2 Z-scores simpelweg bij elkaar optellen om het totale gearceerde gebied te vinden.

• P (72 < X < 76,5) = P (-1 < Z < 0,5)
• P (72 < X < 76,5) = 0,3413 + 0,1915
• P (72 < X < 76,5) = 0,5328

Dit betekent dat er een waarschijnlijkheid van 0,5328 (53,28%) is dat het gewicht van een willekeurig geselecteerde speler zich tussen 72 kg en 76,5 kg bevindt.

Tip: Je kunt voor dit soort problemen direct onze online Z-score calculator gebruiken om de waarschijnlijkheid tussen twee Z-scores snel en foutloos te berekenen.

Bijbehorende waarden vinden voor een specifieke waarschijnlijkheid

Wanneer je weet dat een distributie normaal verdeeld is, kun je het proces ook omdraaien: het vinden van de ruwe datapunten die bij een specifieke waarschijnlijkheid horen op basis van hun Z-score.

Voorbeeld 2

De scores van kandidaten op een streng toelatingsexamen zijn bij benadering normaal verdeeld. Het gemiddelde is 55 met een standaarddeviatie van 10. Als alleen de best presterende 30% van de kandidaten slaagt, wat is dan de minimale score die nodig is om te slagen?

Oplossing

In deze situatie moeten we de stappen omkeren: we zoeken eerst de Z-score die hoort bij het gegeven percentage (de kans).

Omdat we de top 30% (0,30) zoeken aan de rechterkant van de curve, moeten we eerst het gebied daartussen en het gemiddelde berekenen, zodat we de Z-tabel kunnen gebruiken.

Dit berekenen we door 0,30 van 0,50 af te trekken. De waarschijnlijkheid van het gearceerde gebied tot het gemiddelde is dus 0,20.

Vervolgens zoeken we in de Z-tabel naar de waarde die het dichtst bij de kans van 0,20 ligt. De overeenkomstige Z-score die we in de tabel vinden is 0,524.

Nu de Z-score bekend is, kunnen we de formule invullen om de onbekende ruwe score (X) te berekenen:

• Z = (X - μ) / σ
• 0,524 = (X - 55) / 10
• X = (0,524 × 10) + 55
• X = 60,24

Conclusie: De minimale toelatingsscore om bij de beste 30% te horen (en dus te slagen voor het examen) is 60,24.