Z-Skor Hesaplayıcı

Z-Skoru Hesaplayıcısı, Z-skoru ile ilgili tüm istatistiksel hesaplamalarınızı hızlı ve kolay bir şekilde yapmanızı sağlar. İlk hesaplama aracına ham puan (X), popülasyon ortalaması (μ) ve standart sapma (σ) değerlerini girerek; ilgili ham puana ait Z-skorunu, çözüm adımlarını ve bu değere karşılık gelen olasılıkları saniyeler içinde bulabilirsiniz.

Z-Skoru ve Olasılık Dönüştürücü ise Z-tablosuna (standart normal dağılım tablosu) başvurmanıza gerek kalmadan, Z-skorları ile olasılıklar arasında zahmetsizce dönüşüm yapmanıza yardımcı olur. Sonuç ekranı, girdiğiniz tek bir Z-skoruna ait tüm olası olasılık hesaplamalarını detaylıca sunar. İki farklı Z-skoru arasındaki olasılığı bulmak için ise sayfadaki son hesaplama aracını kullanabilirsiniz.

Z-skoru nedir?

Z-skoru (standart skor), bir veri noktasının ait olduğu veri setinin ortalamasından kaç standart sapma uzaklıkta olduğunu gösteren istatistiksel bir ölçümdür. Tek bir veri noktasını tüm veri setiyle karşılaştırmak için kullanılan Z-skoru, verileri standartlaştırarak karşılaştırma ve analiz süreçlerini çok daha kolay hale getirir.

Z-skoru, tek bir veri noktasının tüm veri setine kıyasla ne kadar "tipik" (beklenen) ya da tam tersine ne kadar "atipik" (sıra dışı) olduğunu belirlememize olanak tanır.

• Anormallikleri (Aykırı Değerleri) Tespit Etme: Z-skorları, kümedeki diğer verilerden önemli ölçüde sapan noktaları belirlememize yardımcı olur. Bu durum, özellikle finans ve tıbbi araştırma gibi alanlarda son derece faydalıdır; çünkü aykırı değerler, kritik kalıpları veya anomalileri işaret edebilir.
• Farklı Setlerdeki Verileri Karşılaştırma: Z-skoru, farklı ölçü birimlerine veya aralıklara sahip olsalar bile farklı setlerdeki verileri karşılaştırmamıza olanak tanır. Bu özellik, farklı kaynaklardan gelen verileri kıyaslayarak tahmin modelleri oluşturulan makine öğrenmesi gibi alanlarda oldukça kullanışlıdır.
• Verileri Normalize Etme (Standartlaştırma): Verileri Z-skorlarına dönüştürerek standartlaştırabilir, böylece karşılaştırma ve analiz işlemlerini kolaylaştırabiliriz. Bu işlem, verileri net ve anlaşılır bir şekilde sunmamız gereken veri görselleştirme süreçlerinde büyük avantaj sağlar.

Z-Skoru Formülü

Bir Popülasyon için Z-Skoru

Z = (Ham skor - Popülasyon Ortalaması) / Popülasyon Standart Sapması

Z = (X - μ) / σ

Bir Örneklem için Z-Skoru

Z = (Ham skor - Örneklem Ortalaması) / Örneklem Standart Sapması

Z = (X - x̄) / s

Hesaplanan Z-Skorunun Sonuçlarının Yorumlanması

Pozitif Z-Skoru: Pozitif bir Z-skoru, veri noktanızın veri setinin ortalama değerinin üzerinde olduğu anlamına gelir. Diğer bir deyişle, gözlemlediğiniz veri noktası, veri setindeki genel (tipik) değerden daha yüksektir.

Negatif Z-Skoru: Negatif bir Z-skoru, veri noktanızın veri setinin ortalama değerinin altında olduğu anlamına gelir. Yani, gözlemlediğiniz veri noktası, veri setindeki genel değerden daha düşüktür.

Z-Skorunun Büyüklüğü (Mutlak Değeri): Z-skoru, veri noktanızın veri seti ortalamasından ne kadar uzakta olduğunu gösterir. Z-skorunun mutlak değeri ne kadar büyükse, gözlemlenen veri noktası ortalama değerden o kadar uzakta yer alır.

Z-Skoru ve Standart Sapma İlişkisi

Z-skoru ve standart sapma birbirine sıkı sıkıya bağlıdır çünkü Z-skorunu hesaplamak için standart sapma değeri kullanılır. Aslında standart sapma, Z-skoru formülünün en temel bileşenidir.

Standart sapma, bir veri setindeki yayılımı (dağılımı) ölçer. Her bir veri noktasının veri setinin genel ortalamasından ne kadar saptığını gösterir. Standart sapma ne kadar büyükse, verilerin dağılımı da o kadar geniş alana yayılmış demektir.

Öte yandan Z-skoru, bir veri noktasının ortalamaya göre kaç standart sapma uzaklıkta olduğunu belirtir. Standart sapmayı kullanarak Z-skorunu hesapladığınızda, elinizdeki tek bir veriyi tüm veri setiyle objektif bir şekilde karşılaştırabilir ve durumun ne kadar tipik ya da sıra dışı olduğunu analiz edebilirsiniz.

Z-Skoru ve Normal Dağılım

Normal dağılım, doğada ve gerçek dünyadaki pek çok olguda karşılaştığımız istatistiksel bir dağılım türüdür. Verilerin ortalama etrafında nasıl dağıldığını gösteren simetrik, çan şeklinde bir eğri ile temsil edilir. Ünlü matematikçi Carl Friedrich Gauss'a ithafen "Gauss dağılımı" olarak da bilinir.

Z-skoru, bir veri noktasının veri setinin ortalamasından ne kadar uzaklaştığını standart sapma cinsinden ölçen bir yöntemdir. Her bir veri noktasını Z-skoruna dönüştürerek, bireysel bir veriyi tüm kümeyle kıyaslayabilir ve veri dağılımındaki yerini tam olarak görebilirsiniz.

Z-skoru ile normal dağılım arasındaki asıl bağlantı, Z-skorunun verileri standartlaştırarak "standart normal dağılım" (ortalama = 0, standart sapma = 1) formatına getirmesinden kaynaklanır. Bu, dağılımı ne olursa olsun, herhangi bir veri setindeki değerleri Z-skoruna çevirerek standartlaştırabileceğiniz anlamına gelir. Birçok istatistiksel analiz ve hipotez testi verilerin normal dağıldığını varsaydığından, verileri bu yolla standartlaştırmak analitik yöntemleri çok daha doğru bir şekilde uygulamanızı sağlar.

Veri Noktalarının Karşılaştırılması

Z-skoru, belirli bir veri noktasının kendi grubunun ortalamasına göre nerede konumlandığını net bir şekilde anlamanıza yardımcı olur.

Z-skoru kullanarak veri noktalarını karşılaştırmayı finanstan bir örnekle açıklayabiliriz: Diyelim ki iki farklı hisse senedi portföyüne yatırım yaptınız ve hangisinin riske göre daha iyi performans gösterdiğini karşılaştırmak istiyorsunuz. A Portföyünün ortalama getirisi %10 ve standart sapması %2 iken; B Portföyünün ortalama getirisi %8 ve standart sapması %3 olsun. Elde ettiğiniz getirileri Z-skoruna dönüştürerek, farklı dinamiklere sahip bu iki portföyü aynı ölçekte adil bir şekilde kıyaslayabilir ve hangisinin daha başarılı olduğunu belirleyebilirsiniz.

Bir diğer pratik örnek spordan verilebilir: Örneğin, iki basketbol oyuncusunun performansını karşılaştırmak istiyorsunuz. A Oyuncusu maç başına ortalama 20 sayı atıyor ve standart sapması 5 sayı; B Oyuncusu ise maç başına ortalama 18 sayı atıyor ve standart sapması 3 sayı. Skorları Z-skoruna dönüştürerek, her iki oyuncunun kendi takımları veya lig ortalamaları içindeki istikrarını ve performans kalitesini kıyaslayabilirsiniz.

Veri Normalizasyonu (Standartlaştırma)

Veri normalizasyonu, farklı biçim ve aralıklardaki verileri tek bir standart ölçeğe dönüştürme sürecidir. Bu işlem son derece önemlidir çünkü gerçek dünya verileri genellikle çok farklı birimlere ve büyüklüklere sahiptir. Verileri normalleştirmek, onları aynı düzleme taşıyarak adil bir karşılaştırma ve doğru bir analiz yapılmasını sağlar.

Her bir veri noktasını Z-skoruna dönüştürerek verilerinizi standartlaştırabilir ve aynı ölçekte buluşturabilirsiniz. Z-skoru ile standartlaştırma (Standardization), her zaman ortalamanın 0, standart sapmanın ise 1 olduğu sabit bir ölçek yaratır.

Psikoloji alanından veri normalizasyonuna bir örnek verelim: İki farklı formattaki IQ testinin sonuçlarını karşılaştırmak istiyorsunuz. A Testinin ortalama puanı 100 ve standart sapması 15; B Testinin ortalama puanı 110 ve standart sapması 10 olsun. Doğrudan puanları kıyaslamak yanıltıcı olacaktır. Ancak puanları Z-skoruna dönüştürdüğünüzde, her iki testi tek bir standart ölçeğe indirgemiş olur ve katılımcıların gerçek başarı sıralamasını kolayca analiz edebilirsiniz.

Eğitim alanında da Z-skoru sıklıkla kullanılır. Örneğin, iki farklı sınıftaki veya dersteki öğrencilerin notlarını karşılaştırmak istiyorsunuz. A Öğrencisinin sınıf ortalaması 80, standart sapması 5 iken; B Öğrencisinin sınıf ortalaması 90, standart sapması 3 olsun. Farklı zorluk derecelerine sahip bu derslerdeki notları Z-skoruna dönüştürerek, hangi öğrencinin kendi sınıfına göre daha üstün bir başarı gösterdiğini matematiksel olarak kanıtlayabilirsiniz.

Hipotez Testi

Hipotez testi, iki değişken arasında herhangi bir ilişki olmadığını savunan "boş hipotezi" (null hypothesis) reddetmek için elimizde yeterli istatistiksel kanıt olup olmadığını belirlemek amacıyla kullanılan bir tekniktir. Tıbbi araştırmalar, sosyal bilimler ve veri odaklı iş kararları dahil olmak üzere birçok alanda kritik bir rol oynar.

Hipotez testleri yapılırken, belirli bir sonucun şans eseri mi yoksa anlamlı bir nedenden mi oluştuğunu (olasılığını) belirlemek için Z-skorlarından faydalanılır. Örneğin, diyet yapan bir grubun ortalama ağırlığının, genel nüfusun ortalama ağırlığından gerçekten farklı olup olmadığını test edebilirsiniz. Z-skorunu hesaplayarak, aradaki bu farkın "istatistiksel olarak anlamlı" olup olmadığına karar verirsiniz.

Tıp alanında Z-skoru ile hipotez testine pratik bir örnek: Yeni geliştirilen bir ilacın, belirli bir hastalığın semptomlarını azaltmada gerçekten etkili olup olmadığını test ediyorsunuz. Z-skorunu kullanarak, ilacı kullanan deney grubu ile plasebo alan kontrol grubu arasındaki iyileşme farkının istatistiksel olarak anlamlı olup olmadığını (şans eseri olup olmadığını) kanıtlayabilirsiniz.

Finans alanında hipotez testine bir başka örnek: Belirli bir şirkete ait hisse senedinin, genel piyasa ortalamasından (örneğin BIST 100 endeksinden) daha yüksek getiri sağlayıp sağlamadığını test etmek istiyorsunuz. Getiri oranlarının Z-skorunu hesaplayarak, piyasaya kıyasla oluşan farkın istatistiksel bir anlam ifade edip etmediğini ölçebilirsiniz.

Özellik Ölçeklendirme (Feature Scaling)

Özellik ölçeklendirme, makine öğrenmesi (machine learning) ve veri bilimi projelerinde kullanılan, veri setindeki tüm özelliklerin (değişkenlerin) aynı ölçekte olmasını sağlayan kritik bir tekniktir. Birçok makine öğrenmesi algoritması (örneğin KNN, SVM) verilerin büyüklük ölçeğine karşı son derece duyarlıdır. Veriler aynı ölçekte olmadığında, büyük sayılara sahip özellikler modeli domine edebilir ve yanlış sonuçlar üretebilir.

Özellikleri ölçeklendirmenin en yaygın yöntemlerinden biri Z-Skoru Normalizasyonudur (Standartlaştırma - Standardization). Bu süreçte, veri setindeki her bir özellik, ortalaması 0 ve standart sapması 1 olacak şekilde dönüştürülür. Bir özelliğin Z-skorunu hesaplamak için kullanılan formül şöyledir:

Z = (X - Ortalama) / Standart Sapma

Burada X özelliğin kendi değerini, Ortalama ilgili özelliğin genel ortalamasını ve Standart Sapma ise o özelliğin standart sapmasını ifade eder.

Bilgisayarlı görü (Computer Vision) alanında özellik ölçeklendirmeye bir örnek: Görüntü verileriyle çalışırken, piksel yoğunluk değerlerini belirli bir aralıkta standartlaştırmak modellerin daha hızlı eğitilmesini sağlar. Z-skoru normalizasyonu ile her bir piksel değeri, ortalaması 0 ve standart sapması 1 olan bir dağılıma dönüştürülerek ağın kararlılığı artırılır.

Doğal dil işleme (NLP) alanında özellik ölçeklendirmeye bir başka örnek: Metin verileri üzerinde çalışırken, TF-IDF (Terim Frekansı - Ters Belge Frekansı) değerlerini belirli bir aralıkta ölçeklendirmek sıkça başvurulan bir yöntemdir. Farklı uzunluktaki metinlerden kaynaklanan sayısal dengesizlikleri gidermek için Z-skoru normalizasyonu başarıyla kullanılabilir.

Tahmine Dayalı Modelleme (Predictive Modeling)

Tahmine dayalı modelleme, tarihsel verilere dayanarak gelecekteki eğilimleri veya sonuçları tahmin etmek için makine öğrenimi ve yapay zeka uygulamalarında kullanılan bir tekniktir. Bu süreç, algoritmaların mevcut bir veri seti üzerinde eğitilmesini ve ardından daha önce hiç görmediği yeni veriler üzerinde doğru tahminler (prediction) yapmasını içerir.

Model oluşturmanın en önemli adımlarından biri, veri seti içindeki en alakalı ve anlamlı özellikleri seçmektir (Feature Selection). Genellikle, hedef değişkenle (tahmin edilmek istenen sonuç) yüksek korelasyona sahip özellikler tercih edilir, çünkü bu değişkenlerin doğru tahminde bulunma gücü çok daha yüksektir.

Z-skoru, hedef değişkenle yüksek korelasyona sahip özellikleri belirlemek veya modeldeki sıra dışı eğilimleri yakalamak için harika bir araçtır. Z-skoru yüksek olan (ortalamadan pozitif veya negatif yönde çok sapan) özellikler, tahmin modelinin kritik kararlar almasında belirleyici olabilir.

Finansal piyasalarda tahmine dayalı modelleme örneği: Hisse senedi fiyatlarını tahmin eden bir model kurarken, hisse senedinin geçmiş getiri performansının Z-skoru, gelecekteki potansiyel hareketini belirlemek için bir sinyal olarak kullanılabilir. Yüksek ve pozitif bir Z-skoru, hisse senedinin tarihsel ortalamasının çok üzerine çıktığını gösterir; bu durum bir ivme (momentum) habercisi olabileceği gibi, aşırı alım (overbought) sinyali verip düzeltme geleceğini de işaret edebilir.

Sağlık teknolojilerinde tahmine dayalı modelleme örneği: Hastalık risk tahmin modellerinde, bir hastanın biyobelirteçlerinin (örneğin kan değerlerinin) Z-skoru, o hastanın gelecekteki klinik sonuçlarını tahmin etmek için kullanılır. Yüksek bir Z-skoru (örneğin kolesterol için), hastanın değerlerinin sağlıklı ortalamadan tehlikeli boyutta saptığını ve gelecekte kalp krizi riskinin yüksek olabileceğini algoritmaya net bir şekilde iletir.

Z Skoru Tablosunun Kullanımı

Z-tablosu (standart normal dağılım tablosu veya birim normal tablo), hesaplanan belirli bir Z-skorunun standart normal dağılım eğrisinin altında kalan alanını (yani bu değerin altında, üstünde veya iki değer arasında olma olasılığını) bulmak için kullanılan standartlaştırılmış olasılık değerleri tablosudur.

Z Tablosunu Okumak ve Kullanmak

Z tablosunu doğru bir şekilde kullanmak için, hesapladığınız Z-skorunun tam sayı ve ilk ondalık basamağına karşılık gelen satırı bulmalı; ardından ikinci ondalık basamağa (yüzdelik dilime) karşılık gelen sütunla kesiştirmelisiniz. Kesişim noktasındaki bu değer, standart normal dağılımdan rastgele seçilen bir değişkenin, hesapladığınız Z-skoruna eşit veya ondan daha küçük olma olasılığını (eğri altındaki alanı) temsil eder.

Örneğin, hesapladığınız Z-skoru 1,96 ise; Z tablosunda "1,9" değerine sahip satırı ve "0,06" değerine sahip sütunu bulmanız gerekir. Kesişimdeki değer, size 1,96'nın sol tarafında standart normal eğri altında kalan alanı verecektir. Tabloya göre bu değer yaklaşık olarak 0,4750'dir. (Tablo türüne göre, eğer kümülatif tam tablo kullanıyorsanız bu alan 0,9750 olarak okunur). Yani, standart normal dağılım gösteren bir veri setindeki değerlerin yaklaşık %97,5'i, 1,96 Z-skorunun altında kalmaktadır.

Şunu unutmamak son derece önemlidir: Z tablosu yalnızca ortalaması 0 ve standart sapması 1 olan "standart normal dağılımlar" için geçerlidir. Eğer elinizdeki veri seti bu özellikleri taşımıyorsa, tabloyu kullanmadan önce muhakkak verilerinizi Z-skoru formülü ile standartlaştırmanız gerekmektedir.

Z-Skoru ile Olasılık Bulma

Normal dağılım gösteren herhangi bir değişkeni Z-skoruna dönüştürdüğümüzde, Z-tablosunu kullanarak normal eğri altında kalan alanın oranını (olasılığını) kolayca bulabiliriz. Standart normal eğri altındaki toplam alan her zaman 1'e (yani %100'e) eşittir. Eğrinin altındaki belirli bir alanın oranı, o aralığa düşme olasılığını ifade eder.

Örnek 1

Bir grup boksörün ağırlıklarının normal dağılım gösterdiği, ortalamanın 75 kg ve standart sapmanın 3 kg olduğu bilinmektedir. Bu gruptan rastgele seçilen bir boksörün ağırlığının;

• a) 78 kg'dan fazla olma olasılığı nedir?
• b) 69 kg'dan az olma olasılığı nedir?
• c) 72 kg'dan fazla olma olasılığı nedir?
• d) 79,5 kg'dan az olma olasılığı nedir?
• e) 72 kg ile 76,5 kg arasında olma olasılığı nedir?
• f) 72 kg ile 73,5 kg arasında olma olasılığı nedir?

a) Rastgele seçilen bir boksörün ağırlığının 78 kg'dan fazla olma olasılığı nedir?

• X > 78
• μ = 75
• σ = 3

$$P(X>78)=P\left(Z>\frac{X-μ}{σ}\right)=P\left(Z>\frac{78-75}{3}\right)=P(Z>1)$$

İlk olarak durumu bir Z eğrisi üzerinde görselleştireceğiz.

Şimdi, elde ettiğimiz Z-skoru (Z=1) için Z-tablosundan karşılık gelen olasılığı bulmalıyız.

Dikkat etmeniz gereken önemli bir nokta vardır: Burada verilen türdeki Z-tabloları, genellikle ortalama (0 noktası) ile hesaplanan Z-skoru arasındaki alanı verir. Grafikteki vurgulanan uç (kuyruk) bölgesinin olasılığını bulmak için, tablodan okuduğumuz olasılık değerini 0,5'ten çıkarmamız (eksiltmemiz) gerekir. (Çünkü eğrinin altındaki toplam olasılık 1'dir ve dağılım simetrik olduğundan orta noktadan sağa veya sola doğru olan yarı alanın olasılığı tam 0,5'tir).

• P (X > 78) = P (Z > 1)
• P (X > 78) = 0,5 - P(0 < Z < 1)
• P (X > 78) = 0,5 - 0,3413
• P (X > 78) = 0,1587

Sonuç olarak, rastgele seçilen bir boksörün ağırlığının 78 kg'dan fazla olma olasılığı 0,1587'dir (%15,87).

b) Rastgele seçilen bir boksörün ağırlığının 69 kg'dan az olma olasılığı nedir?

• X < 69
• μ = 75
• σ = 3

$$P(X<69)=P\left(Z>\frac{X-μ}{σ}\right)=P\left(Z>\frac{69-75}{3}\right)=P(Z<-2)$$

Öncelikle durumu Z eğrisinde çiziyoruz.

Şimdi Z-tablosunu kullanarak -2 Z-skoruna karşılık gelen olasılığı buluyoruz.

Yine tablomuz 0 ile Z noktası arasındaki alanı verdiği için; sol kuyrukta kalan bu alanı bulmak adına, okuduğumuz değeri 0,5'ten çıkarmalıyız. Normal dağılım simetrik olduğundan Z=2 için okuduğumuz değer Z=-2 için de geçerlidir.

• P (X < 69) = P (Z < -2)
• P (X < 69) = 0,5 - P (-2 < Z < 0)
• P (X < 69) = 0,5 - 0,4772
• P (X < 69) = 0,0228

Bu nedenle, rastgele seçilen bir boksörün ağırlığının 69 kg'dan az olma olasılığı 0,0228'dir (%2,28).

c) Rastgele seçilen bir boksörün ağırlığının 72 kg ile 76,5 kg arasında olma olasılığı nedir?

• 72 < X < 76,5
• μ = 75
• σ = 3

$$P(72 \lt X \lt 76,5)=P\left(\frac{X-μ}{σ} \lt Z \lt \frac{X-μ}{σ}\right)=P\left(\frac{72-75}{3} \lt Z \lt \frac{76,5-75}{3}\right)=P(-1 \lt Z \lt 0,5)$$

İlk olarak, istenilen aralığı Z eğrisi üzerinde vurguluyoruz.

Şimdi Z-tablosundan her iki hesaplanan Z-skoru (-1 ve 0,5) için olasılıkları bulmalıyız.

Ortalamanın (0 noktası) her iki zıt tarafına düşen bir aralık sorulduğundan, grafikte vurgulanan toplam alanı elde etmek için bu iki Z-skoruna ait olasılık değerlerini toplamamız gerekmektedir.

• P (72 < X < 76,5) = P (-1 < Z < 0,5)
• P (72 < X < 76,5) = 0,3413 + 0,1915
• P (72 < X < 76,5) = 0,5328

Sonuç olarak, rastgele seçilen bir boksörün ağırlığının 72 kg ile 76,5 kg arasında olma olasılığı 0,5328'dir (%53,28).

Bu tür aralık problemlerinde saniyeler içinde kesin cevaba ulaşmak için aracımızdaki "İki Z-Skoru Arasındaki Olasılık" hesaplayıcısını güvenle kullanabilirsiniz.

Belirli Bir Olasılığa Karşılık Gelen X Değerini (Ham Puanı) Bulma

Bir veri setinin normal dağılıma sahip olduğunu biliyorsak süreci tersine çevirebiliriz; yani hedeflediğimiz belirli bir olasılık veya yüzdelik dilim için Z-skorundan yola çıkarak karşılık gelen ham X değerini bulabiliriz.

Örnek 2

Rekabete dayalı bir sınavda adayların puanlarının normal dağılım gösterdiği, ortalamanın 55 ve standart sapmanın 10 olduğu tespit edilmiştir. Sadece en yüksek puanı alan %30'luk kesimin (en üst %30) sınavı geçtiği kabul edilirse, sınavı geçmek için gereken minimum puanı (barajı) bulunuz.

Çözüm

Bu durumda, işlemi tersten yapmalıyız. Verilen olasılığa (%30) karşılık gelen Z-skorunu bulmak ilk hedefimizdir.

Doğru Z-skorunu Z-tablosundan bulabilmek için, tablonun formatı gereği 0 ortalama noktası ile hedef sınır arasındaki alanı (olasılığı) bilmemiz gerekir.

En üst %30'luk dilim, sağ kuyruktaki alanı temsil eder. Eğrinin sağ yarısının toplam alanı 0,50 (yani %50) olduğuna göre, ortalamadan geçme notuna kadar olan alan: 0,50 - 0,30 = 0,20 olacaktır.

Şimdi, Z-tablosunun iç kısmında 0,20 değerine (veya buna en yakın değere) karşılık gelen Z-skorunu arıyoruz. Tabloya göre 0,2000 olasılığına en yakın değer 0,1985 ile 0,2019 arasındadır ve karşılık gelen yaklaşık Z-skoru 0,524'tür.

Son adımda, bulduğumuz bu Z-skorunu standart formüle yerleştirerek bilinmeyen X (geçme notu) değerini hesaplıyoruz.

• Z = (X - μ) / σ
• 0,524 = (X - 55) / 10
• X = (0,524 × 10) + 55
• X = 60,24

Bu sonuca göre, sınava giren bir adayın geçebilmesi için alması gereken minimum not 60,24'tür.