Kalkulator Z-Score

Nasz inteligentny kalkulator Z-score to wszechstronne narzędzie do wszelkich obliczeń związanych z wynikami standardowymi. W pierwszym module możesz wprowadzić wynik surowy (X), średnią populacji (μ) oraz odchylenie standardowe (σ), aby precyzyjnie wyliczyć wartość Z-score. Narzędzie zaprezentuje Ci pełne rozwiązanie krok po kroku oraz wyliczy prawdopodobieństwa związane z tym wynikiem.

Konwerter Z-score i prawdopodobieństwa pozwala na błyskawiczne przeliczanie wartości Z-score na prawdopodobieństwo (i odwrotnie) – bez konieczności ręcznego sprawdzania tabeli Z. Otrzymasz zestawienie wszystkich możliwych scenariuszy prawdopodobieństwa dla pojedynczego wyniku. Dodatkowo, korzystając z ostatniego kalkulatora, szybko sprawdzisz prawdopodobieństwo wystąpienia obszaru między dwoma wartościami Z-score.

Co to jest Z-score?

Z-score (nazywany również wynikiem standardowym) to miara statystyczna, która określa, o ile odchyleń standardowych dany punkt danych różni się od średniej wartości całego zbioru. Wskaźnik ten służy do porównywania pojedynczych obserwacji z szerszym kontekstem oraz pomaga w standaryzacji danych, czyniąc je znacznie łatwiejszymi do analizy.

Z-score pozwala statystykom i analitykom ocenić, jak "typowy" lub "nietypowy" jest dany wynik na tle populacji.

• Wykrywanie wartości odstających (anomalii): Z-score pomaga błyskawicznie identyfikować punkty danych, które drastycznie odbiegają od reszty zbioru. Jest to niezwykle przydatne w takich dziedzinach jak finanse, analityka biznesowa czy badania medyczne, gdzie wartości brzegowe mogą sygnalizować kluczowe wzorce, błędy lub rzadkie zjawiska.
• Porównywanie danych z różnych zestawów: Dzięki Z-score możemy zestawiać ze sobą dane pochodzące z zupełnie różnych rozkładów, nawet jeśli operują one na innych jednostkach lub skalach. To fundament wielu dziedzin, takich jak uczenie maszynowe (Machine Learning), gdzie porównywanie zróżnicowanych źródeł danych jest niezbędne do budowania poprawnych modeli.
• Normalizacja danych: Przekształcając surowe dane w wyniki Z-score, standaryzujemy je. Proces ten ułatwia analitykom interpretację i wizualizację danych, prezentując złożone informacje w przejrzysty, znormalizowany sposób.

Formuła Z-score

Z-score dla populacji

Z = Wynik surowy - Średnia populacji / Odchylenie standardowe populacji

Z = (X - μ) / σ

Z-score dla próby

Z = Wynik surowy - Średnia z próby / Odchylenie standardowe z próby

Z = (X - x̄) / s

Interpretacja uzyskanego Z-score

Dodatni Z-score: Wartość dodatnia oznacza, że analizowany punkt danych znajduje się powyżej średniej dla całego zbioru. Innymi słowy, zaobserwowany wynik jest wyższy niż typowa, przeciętna wartość.

Ujemny Z-score: Wartość ujemna wskazuje, że punkt danych znajduje się poniżej średniej. Oznacza to, że zaobserwowany wynik jest niższy niż przeciętna w analizowanym zbiorze.

Wartość Z-score: Sama liczba informuje nas o dystansie dzielącym punkt danych od średniej. Im wyższa wartość bezwzględna Z-score, tym dalej analizowany punkt znajduje się od średniej – co świadczy o jego wyjątkowości (bądź skrajności).

Z-score i odchylenie standardowe

Wskaźnik Z-score i odchylenie standardowe są ze sobą nierozerwalnie połączone. Odchylenie standardowe stanowi fundament i kluczowy element samej formuły matematycznej obliczającej Z-score.

Odchylenie standardowe to popularna miara rozproszenia danych. Obrazuje ono, jak bardzo poszczególne punkty danych różnią się od średniej całego zbioru. Wyższe odchylenie standardowe oznacza, że dane są mocno "rozrzucone" na wykresie.

Z-score z kolei określa dystans konkretnego, pojedynczego punktu od średniej, wyrażając go właśnie w jednostkach odchylenia standardowego. Wykorzystując ten mechanizm, możesz zestawić pojedynczą wartość z całą populacją i natychmiast stwierdzić, czy jest ona czymś powszechnym, czy statystyczną rzadkością.

Z-score a rozkład normalny

Rozkład normalny to fundamentalny typ rozkładu statystycznego, powszechnie występujący w naturze i otaczającym nas świecie. Tworzy on charakterystyczną krzywą w kształcie dzwonu, reprezentującą sposób, w jaki dane grupują się wokół wartości średniej. Często nazywa się go rozkładem Gaussa, na cześć wybitnego matematyka Carla Friedricha Gaussa.

Z-score służy do mierzenia odległości pojedynczego punktu od średniej w jednostkach odchylenia standardowego. Przekształcając każdy surowy wynik na wynik standardowy, możemy nałożyć nasze dane na uniwersalny model statystyczny.

Ścisły związek między wskaźnikiem Z-score a rozkładem normalnym opiera się na standaryzacji. Możemy wziąć niemal dowolny zbiór danych i dopasować go do standardowego rozkładu normalnego, obliczając Z-score dla każdego punktu. Jest to absolutnie kluczowe w analityce, ponieważ wiele zaawansowanych metod statystycznych zakłada, że dane mają rozkład normalny. Standaryzacja gwarantuje, że analizy te będą dokładne i wiarygodne.

Porównanie punktów danych za pomocą Z-score

Z-score to idealne narzędzie do zrozumienia, jak bardzo dany punkt różni się od średniej w kontekście zmienności całego zbioru.

Świetnym przykładem wykorzystania Z-score jest sektor finansowy. Załóżmy, że zainwestowałeś w dwa różne portfele akcji i chcesz rzetelnie porównać ich rentowność. Średni zwrot z portfela A wynosi 10% przy odchyleniu standardowym na poziomie 2%, podczas gdy portfel B generuje średnio 8% zwrotu z odchyleniem rzędu 3%. Przekształcając stopy zwrotu na wskaźniki Z-score, zyskujesz obiektywną miarę pozwalającą ocenić, który z portfeli radzi sobie statystycznie lepiej, uwzględniając ryzyko (zmienność).

Inny klasyczny scenariusz to świat sportu. Chcesz porównać efektywność dwóch koszykarzy. Gracz A rzuca średnio 20 punktów w meczu (odchylenie standardowe: 5 punktów). Gracz B zdobywa średnio 18 punktów (odchylenie standardowe: 3 punkty). Konwertując ich zdobycze punktowe na Z-score, sprawdzisz, czyj wynik jest statystycznie bardziej imponujący na tle ich historycznych występów.

Normalizacja danych

Normalizacja danych to proces przekształcania wartości do standardowej skali, co pozwala na ich bezproblemowe analizowanie. W świecie Big Data napotykamy dane w różnych formatach i jednostkach. Ich znormalizowanie gwarantuje, że "mówią one tym samym językiem".

Obliczając Z-score dla każdego rekordu, standaryzujesz dane. Dzieje się tak dlatego, że standardowy Z-score zawsze opiera się na tej samej skali: średnia populacji wynosi w niej dokładnie 0, a odchylenie standardowe równa się 1.

Praktyczny przykład znajdziemy w psychologii, przy porównywaniu wyników różnych testów IQ. Załóżmy, że Test A ma średni wynik punktowy równy 100 i odchylenie standardowe 15, natomiast Test B ma średnią 110 i odchylenie równe 10. Konwersja na wartości Z-score ustandaryzuje wyniki obu testów, umożliwiając bezpośrednie i obiektywne porównanie inteligencji osób badanych obydwoma narzędziami.

Podobny mechanizm sprawdza się w edukacji. Chcemy porównać systemy oceniania dwóch uczniów. Uczeń A ma średnią ocen 80 z odchyleniem standardowym 5, a Uczeń B ma średnią 90 z odchyleniem 3. Zastosowanie normalizacji Z-score zrównuje skale i ułatwia sprawiedliwą ocenę postępów edukacyjnych.

Testowanie hipotez statystycznych

Testowanie hipotez to kluczowa technika analityczna służąca do sprawdzania, czy dysponujemy wystarczającymi dowodami matematycznymi, aby odrzucić hipotezę zerową (standardowe założenie mówiące, że między badanymi zmiennymi nie ma żadnego związku). Jest to fundament w badaniach klinicznych, socjologii i podejmowaniu decyzji biznesowych (Data-Driven Decisions).

Podczas weryfikacji hipotez, wskaźnik Z-score służy do wyznaczania prawdopodobieństwa wystąpienia danego wyniku (tzw. p-value). Wyobraź sobie, że badasz, czy średnia waga określonej grupy demograficznej różni się od średniej całego kraju. Z-score pozwoli określić, czy zaobserwowana różnica ma charakter istotności statystycznej.

Przykład z medycyny: Chcesz udowodnić skuteczność nowego leku w łagodzeniu objawów rzadkiej choroby. Za pomocą Z-score możesz statystycznie wykazać, czy różnica w poprawie zdrowia między grupą przyjmującą eksperymentalny lek a grupą kontrolną (placebo) jest na tyle duża, że nie wynika z przypadku.

W finansach Z-score pomaga określić, czy wybrana akcja giełdowa generuje stopy zwrotu wyższe niż średnia rynkowa i czy ta przewaga jest trwała oraz statystycznie istotna.

Skalowanie cech (Feature Scaling)

Skalowanie cech to proces wykorzystywany w uczeniu maszynowym (Machine Learning) oraz analityce danych do ujednolicenia zakresu wszystkich zmiennych w modelu. Jest to niezwykle istotne, ponieważ wiele algorytmów sztucznej inteligencji wykazuje wysoką wrażliwość na wielkość liczb. Bez odpowiedniego przeskalowania algorytm może błędnie przypisać większą wagę zmiennym o wysokich wartościach nominalnych.

Jedną z najpopularniejszych metod jest normalizacja Z-score (tzw. standaryzacja). Wymusza ona transformację każdej cechy tak, aby jej średnia rynkowa wynosiła dokładnie 0, a odchylenie standardowe oscylowało wokół 1. Używamy do tego standardowego wzoru:

Z = (X - Średnia) / Odchylenie standardowe

Gdzie X to wartość konkretnej cechy.

Dobrym przykładem wykorzystania tego mechanizmu jest wizja komputerowa (Computer Vision). Analizując obraz, wartości pojedynczych pikseli są często standaryzowane, by mieściły się w zakresie od 0 do 1. Normalizacja Z-score idealnie się do tego nadaje.

W dziedzinie przetwarzania języka naturalnego (NLP), inżynierowie często normalizują wskaźniki ważności słów w dokumencie (TF-IDF). Przeskalowanie Z-score optymalizuje działanie algorytmów wyszukiwania i analizy tekstu.

Modelowanie predykcyjne

Modelowanie predykcyjne (prognozowanie) to zaawansowana technika uczenia maszynowego pozwalająca przewidywać przyszłe zdarzenia na podstawie danych historycznych. Polega na trenowaniu algorytmu na odpowiednio przygotowanym zbiorze danych i generowaniu prognoz dla zupełnie nowych rekordów.

Fundamentem tworzenia skutecznych modeli jest tzw. selekcja cech (Feature Selection) – proces wyboru wyłącznie tych zmiennych, które niosą ze sobą największą wartość informacyjną. Analitycy poszukują cech silnie skorelowanych ze zmienną docelową (target variable), ponieważ gwarantują one najwyższą skuteczność prognozowania.

Wynik Z-score można z powodzeniem wykorzystać do identyfikowania takich wyjątkowych zmiennych. Ekstremalne odchylenia (wysokie wartości bezwzględne Z) mogą być silnym predyktorem nadchodzących anomalii. Wzór pozostaje ten sam:

Z = (X - Średnia) / Odchylenie standardowe

W świecie finansów Z-score oparty na historycznej wydajności akcji jest stałym elementem strategii inwestycyjnych. Bardzo wysoki dodatni wynik Z-score oznacza, że stopa zwrotu akcji znacznie przekracza średnią rynkową, co w pewnych modelach może być sygnałem do kupna (lub przeciwnie – wskaźnikiem "przegrzania" rynku).

W ochronie zdrowia Z-score pomaga prognozować stan pacjenta. Wysoki Z-score w wynikach badań (np. stężenia markerów zapalnych w stosunku do normy dla wieku) stanowi jasny sygnał ostrzegawczy (tzw. red flag) wskazujący na podwyższone ryzyko pogorszenia zdrowia.

Korzystanie z tabeli Z-score

Tabela Z-score (nazywana również standardową tabelą rozkładu normalnego) to specjalne zestawienie zawierające wyliczone wartości prawdopodobieństwa. Służy do określenia, jaka część pola pod krzywą dzwonową znajduje się poniżej, powyżej lub pomiędzy konkretnymi wynikami w standardowym rozkładzie normalnym.

z	0	0,01	0,02	0,03	0,04	0,05	0,06	0,07	0,08	0,09
0	0	0,00399	0,00798	0,01197	0,01595	0,01994	0,02392	0,0279	0,03188	0,03586
0,1	0,03983	0,0438	0,04776	0,05172	0,05567	0,05962	0,06356	0,06749	0,07142	0,07535
0,2	0,07926	0,08317	0,08706	0,09095	0,09483	0,09871	0,10257	0,10642	0,11026	0,11409
0,3	0,11791	0,12172	0,12552	0,1293	0,13307	0,13683	0,14058	0,14431	0,14803	0,15173
0,4	0,15542	0,1591	0,16276	0,1664	0,17003	0,17364	0,17724	0,18082	0,18439	0,18793
0,5	0,19146	0,19497	0,19847	0,20194	0,2054	0,20884	0,21226	0,21566	0,21904	0,2224
0,6	0,22575	0,22907	0,23237	0,23565	0,23891	0,24215	0,24537	0,24857	0,25175	0,2549
0,7	0,25804	0,26115	0,26424	0,2673	0,27035	0,27337	0,27637	0,27935	0,2823	0,28524
0,8	0,28814	0,29103	0,29389	0,29673	0,29955	0,30234	0,30511	0,30785	0,31057	0,31327
0,9	0,31594	0,31859	0,32121	0,32381	0,32639	0,32894	0,33147	0,33398	0,33646	0,33891
1	0,34134	0,34375	0,34614	0,34849	0,35083	0,35314	0,35543	0,35769	0,35993	0,36214
1,1	0,36433	0,3665	0,36864	0,37076	0,37286	0,37493	0,37698	0,379	0,381	0,38298
1,2	0,38493	0,38686	0,38877	0,39065	0,39251	0,39435	0,39617	0,39796	0,39973	0,40147
1,3	0,4032	0,4049	0,40658	0,40824	0,40988	0,41149	0,41308	0,41466	0,41621	0,41774
1,4	0,41924	0,42073	0,4222	0,42364	0,42507	0,42647	0,42785	0,42922	0,43056	0,43189
1,5	0,43319	0,43448	0,43574	0,43699	0,43822	0,43943	0,44062	0,44179	0,44295	0,44408
1,6	0,4452	0,4463	0,44738	0,44845	0,4495	0,45053	0,45154	0,45254	0,45352	0,45449
1,7	0,45543	0,45637	0,45728	0,45818	0,45907	0,45994	0,4608	0,46164	0,46246	0,46327
1,8	0,46407	0,46485	0,46562	0,46638	0,46712	0,46784	0,46856	0,46926	0,46995	0,47062
1,9	0,47128	0,47193	0,47257	0,4732	0,47381	0,47441	0,475	0,47558	0,47615	0,4767
2	0,47725	0,47778	0,47831	0,47882	0,47932	0,47982	0,4803	0,48077	0,48124	0,48169
2,1	0,48214	0,48257	0,483	0,48341	0,48382	0,48422	0,48461	0,485	0,48537	0,48574
2,2	0,4861	0,48645	0,48679	0,48713	0,48745	0,48778	0,48809	0,4884	0,4887	0,48899
2,3	0,48928	0,48956	0,48983	0,4901	0,49036	0,49061	0,49086	0,49111	0,49134	0,49158
2,4	0,4918	0,49202	0,49224	0,49245	0,49266	0,49286	0,49305	0,49324	0,49343	0,49361
2,5	0,49379	0,49396	0,49413	0,4943	0,49446	0,49461	0,49477	0,49492	0,49506	0,4952
2,6	0,49534	0,49547	0,4956	0,49573	0,49585	0,49598	0,49609	0,49621	0,49632	0,49643
2,7	0,49653	0,49664	0,49674	0,49683	0,49693	0,49702	0,49711	0,4972	0,49728	0,49736
2,8	0,49744	0,49752	0,4976	0,49767	0,49774	0,49781	0,49788	0,49795	0,49801	0,49807
2,9	0,49813	0,49819	0,49825	0,49831	0,49836	0,49841	0,49846	0,49851	0,49856	0,49861
3	0,49865	0,49869	0,49874	0,49878	0,49882	0,49886	0,49889	0,49893	0,49896	0,499
3,1	0,49903	0,49906	0,4991	0,49913	0,49916	0,49918	0,49921	0,49924	0,49926	0,49929
3,2	0,49931	0,49934	0,49936	0,49938	0,4994	0,49942	0,49944	0,49946	0,49948	0,4995
3,3	0,49952	0,49953	0,49955	0,49957	0,49958	0,4996	0,49961	0,49962	0,49964	0,49965
3,4	0,49966	0,49968	0,49969	0,4997	0,49971	0,49972	0,49973	0,49974	0,49975	0,49976
3,5	0,49977	0,49978	0,49978	0,49979	0,4998	0,49981	0,49981	0,49982	0,49983	0,49983
3,6	0,49984	0,49985	0,49985	0,49986	0,49986	0,49987	0,49987	0,49988	0,49988	0,49989
3,7	0,49989	0,4999	0,4999	0,4999	0,49991	0,49991	0,49992	0,49992	0,49992	0,49992
3,8	0,49993	0,49993	0,49993	0,49994	0,49994	0,49994	0,49994	0,49995	0,49995	0,49995
3,9	0,49995	0,49995	0,49996	0,49996	0,49996	0,49996	0,49996	0,49996	0,49997	0,49997
4	0,49997	0,49997	0,49997	0,49997	0,49997	0,49997	0,49998	0,49998	0,49998	0,49998

Aby skorzystać z tabeli Z-score, odszukaj w pierwszej kolumnie wiersz odpowiadający początkowi Twojego wyniku Z (np. 1,9), a następnie zlokalizuj kolumnę precyzującą drugie miejsce po przecinku (np. 0,06). Znaleziona w ten sposób wartość to pole (prawdopodobieństwo) znajdujące się pod krzywą rozkładu normalnego.

Dla przykładu: Jeśli obliczony Z-score wynosi 1,96, szukasz wiersza 1,9 i kolumny 0,06. Wartość z tabeli reprezentuje obszar pod krzywą od zera w prawo. Przekłada się to na prawdopodobieństwo rzędu 0,975. Oznacza to, że około 97,5% wszystkich obserwacji w rozkładzie normalnym znajduje się poniżej lub na równi z wynikiem 1,96.

Należy pamiętać, że tabela Z sprawdza się wyłącznie w przypadku znormalizowanych danych, w których rozkład posiada średnią 0 oraz odchylenie standardowe 1. Jeżeli pracujesz na danych surowych, pierwszym krokiem zawsze musi być wyliczenie Z-score dla Twoich wartości.

Wyliczanie prawdopodobieństwa za pomocą Z-score

Po przekształceniu wartości ze standardowego rozkładu na wynik Z-score możemy odczytać z tabeli, jaka część wykresu (obszar pod krzywą dzwonową) mu odpowiada. Całkowite pole pod krzywą zawsze równa się 1 (100%). W związku z tym wycinek tego pola wprost odpowiada prawdopodobieństwu zdarzenia.

Przykład 1

Waga zawodowych bokserów ma rozkład normalny. Średnia waga (μ) wynosi 75 kg, natomiast odchylenie standardowe (σ) to 3 kg. Jakie jest prawdopodobieństwo, że waga losowo wybranego sportowca będzie wynosić:

• a) Więcej niż 78 kg?
• b) Mniej niż 69 kg?
• c) Więcej niż 72 kg?
• d) Mniej niż 79,5 kg?
• e) Pomiędzy 72 kg a 76,5 kg?
• f) Pomiędzy 72 kg a 73,5 kg?

a) Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrany bokser waży więcej niż 78 kg?

• X > 78
• μ = 75
• σ = 3

$$P(X>78)=P\left(Z>\frac{X-μ}{σ}\right)=P\left(Z>\frac{78-75}{3}\right)=P(Z>1)$$

Zwizualizujmy to na krzywej Gausa (Z-curve).

Teraz, przy pomocy tabeli Z-score, odnajdujemy prawdopodobieństwo odpowiadające obliczonemu wskaźnikowi (Z=1).

Pamiętaj: wynik z tabeli podaje pole rozciągające się między średnią (0) a punktem Z. Ze względu na to, że interesuje nas fragment znajdujący się poza tym punktem (ogon), od wartości z tabeli musimy odjąć 0,5 (połowa obszaru pod krzywą).

• P (X > 78) = P (Z > 1)
• P (X > 78) = 0,5 - P(0 < Z < 1)
• P (X > 78) = 0,5 - 0,3413
• P (X > 78) = 0,1587

Odp: Prawdopodobieństwo, że wybrany bokser waży powyżej 78 kg, wynosi 0,1587 (czyli niecałe 16%).

b) Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrany bokser waży mniej niż 69 kg?

• X < 69
• μ = 75
• σ = 3

$$P(X<69)=P\left(Z<\frac{X-μ}{σ}\right)=P\left(Z<\frac{69-75}{3}\right)=P(Z<-2)$$

Spójrzmy na rozkład graficzny:

Następnie znów korzystamy z tabeli statystycznej. Podobnie jak wcześniej musimy odjąć uzyskaną z tabeli wartość od 0,5 (ponieważ interesuje nas krańcowy lewy obszar).

• P (X < 69) = P (Z < -2)
• P (X < 69) = 0,5 - P (0 > Z > -2)
• P (X < 69) = 0,5 - 0,4772
• P (X < 69) = 0,0228

Odp: Prawdopodobieństwo, że bokser waży poniżej 69 kg, wynosi bardzo niewiele, zaledwie 0,0228.

e) Jakie jest prawdopodobieństwo, że waga wybranego zawodnika mieści się dokładnie w przedziale między 72 kg a 76,5 kg?

• 72 < X < 76,5
• μ = 75
• σ = 3

$$P(72 \lt X \lt 76,5)=P\left(\frac{X-μ}{σ} \lt Z \lt \frac{X-μ}{σ}\right)=P\left(\frac{72-75}{3} \lt Z \lt \frac{76,5-75}{3}\right)=P(-1 \lt Z \lt 0,5)$$

Wizualizacja szukanego obszaru na krzywej normalnej:

Po odczytaniu wartości z tabeli dla obu Z-score, rozwiązujemy zadanie sumując je – nasz przedział znajduje się po obu stronach średniej.

• P (72 < X < 76,5) = P (-1 < Z < 0,5)
• P (72 < X < 76,5) = 0,3413 + 0,1915
• P (72 < X < 76,5) = 0,5328

Odp: Prawdopodobieństwo wynosi 0,5328.

W takich sytuacjach, z pomocą przyjdzie nasz wbudowany kalkulator prawdopodobieństwa, który błyskawicznie przetworzy odległość między dwoma Z-score, ratując Twój czas.

Obliczanie wartości granicznych dla konkretnego prawdopodobieństwa

Wiedząc, że zbiór danych zachowuje rozkład normalny, możemy odwrócić proces. Znając ułamkowe prawdopodobieństwo, jesteśmy w stanie wyliczyć odpowiadający mu próg punktowy za pomocą Z-Score.

Przykład 2

Wyniki egzaminu rekrutacyjnego w prestiżowej korporacji rozkładają się w przybliżeniu normalnie. Średnia (μ) wynosi 55 punktów, a odchylenie standardowe (σ) to 10 punktów. Wiadomo, że do kolejnego etapu rekrutacji przechodzi wyłącznie 30% najlepszych kandydatów. Oblicz minimalną liczbę punktów niezbędną do zdania egzaminu.

Rozwiązanie

W tej sytuacji naszym pierwszym krokiem musi być znalezienie wskaźnika Z-score odpowiadającego procentowemu prawdopodobieństwu zaliczenia.

Zwróć uwagę, jak na wykresie wyróżniono ten obszar. Ponieważ próg znajduje się w prawym rogu krzywej normalnej (górne 30%), interesuje nas prawdopodobieństwo stanowiące dystans między wynikiem a średnią populacji.

Wyliczamy to w prosty sposób: 0,50 (połowa wykresu) - 0,30 = 0,20.

Teraz w tabeli Z-score musimy odszukać wartość najbardziej zbliżoną do 0,20. Odpowiadający jej wskaźnik Z-Score wynosi w przybliżeniu 0,524.

Pozostaje nam wyliczyć surowy wynik (X), podstawiając dane pod naszą formułę.

• Z = (X - μ)/σ
• 0,524 = (X - 55)/10
• X = (0,524 × 10) + 55
• X = 60,24

Odpowiedź: Minimalna liczba punktów, jaką należy zdobyć, aby znaleźć się w czołowych 30% i zdać egzamin, to 60,24.