Rechner für die Addition von Brüchen

Mit unserem professionellen Online-Bruchrechner können Sie Brüche einfach und schnell addieren und subtrahieren. Er eignet sich hervorragend für echte und unechte (gemischte) sowie für positive und negative Brüche. Der Rechner ermöglicht es Ihnen, bis zu 9 Brüche in einem einzigen Rechenschritt zu addieren oder zu subtrahieren.

Bedienungsanleitung

Um den Bruchrechner zu verwenden, wählen Sie zunächst aus dem Dropdown-Menü die Anzahl der Brüche aus, die Sie addieren oder subtrahieren möchten. Diese Zahl kann zwischen 2 und 9 liegen. Sobald Sie die Auswahl getroffen haben, wird die entsprechende Anzahl an Eingabefeldern angezeigt.

Tragen Sie nun die Zähler und Nenner der jeweiligen Brüche ein. Ist ein Bruch negativ, setzen Sie einfach ein Minuszeichen in eines der Felder für diesen Bruch – das Minuszeichen kann entweder beim Zähler oder beim Nenner eingegeben werden. Beachten Sie: Wenn Sie sowohl beim Zähler als auch beim Nenner ein Minuszeichen setzen, wird der resultierende Bruch positiv, da \$\frac{-a}{-b}\$ = \$\frac{a}{b}\$ gilt. Denken Sie außerdem daran, dass der Nenner niemals 0 sein darf.

Wählen Sie anschließend das gewünschte Rechenzeichen für jeden Schritt aus. Sie können für jede Operation entweder "+" (Addieren) oder "-" (Subtrahieren) festlegen. Sobald alle Felder ausgefüllt sind und die Vorzeichen stimmen, klicken Sie auf "Calculate" (Berechnen).

Der Bruchrechner liefert Ihnen nicht nur das Endergebnis, sondern zeigt auch den detaillierten Lösungsweg der Aufgabe an. Das finale Resultat wird übersichtlich als vollständig gekürzter (vereinfachter) echter Bruch oder als gemischte Zahl dargestellt.

Wie man Brüche addiert und subtrahiert

Wenn die Nenner gleich sind

Um gleichnamige Brüche (Brüche mit identischem Nenner) zu addieren oder zu subtrahieren, gehen Sie wie folgt vor:

1. Addieren oder subtrahieren Sie lediglich die Zähler der angegebenen Brüche.
2. Das Ergebnis aus Schritt 1 bildet den neuen Zähler. Der ursprüngliche Nenner wird unverändert als neuer Nenner beibehalten.
3. Kürzen (vereinfachen) Sie das Ergebnis, falls möglich.

Betrachten wir als Beispiel folgende Aufgabe:

\$\frac{1}{8}\$ + \$\frac{13}{8}\$ + \$\frac{3}{8}\$ – \$\frac{5}{8}\$ = ?

Alle hier aufgeführten Brüche haben denselben Nenner. Wenn wir nach der oben erklärten Methode vorgehen, erhalten wir:

1. 1 + 13 + 3 - 5 = 12
2. 12 ist der neue Zähler und 8 bleibt der Nenner. Der neue Bruch lautet somit: \$\frac{12}{8}\$.

Dieser Bruch lässt sich noch vereinfachen. Dazu ermitteln wir den größten gemeinsamen Teiler (ggT) von Zähler und Nenner.

• Die Teiler von 8: 1, 2, 4, 8.
• Die Teiler von 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Der größte gemeinsame Teiler der Zahlen 8 und 12 ist somit 4.

Wenn wir den Zähler und den Nenner durch den ggT = 4 dividieren, ergibt sich:

\$\frac{12}{8}\$ = \$\frac{12 ÷ 4}{8 ÷ 4}\$ = \$\frac{3}{2}\$

\$\frac{3}{2}\$ ist ein unechter Bruch und kann daher als gemischte Zahl geschrieben werden:

\$\frac{3}{2}\$ = \$1\frac{1}{2}\$

Der vollständige Lösungsweg sieht wie folgt aus:

\$\frac{1}{8}\$ + \$\frac{13}{8}\$ + \$\frac{3}{8}\$ - \$\frac{5}{8}\$ = \$\frac{1 + 13 + 3 - 5}{8}\$ = \$\frac{12}{8}\$ = \$\frac{3}{2}\$ = \$1\frac{1}{2}\$

Wenn die Nenner unterschiedlich sind

Um ungleichnamige Brüche (Brüche mit unterschiedlichen Nennern) zu addieren oder zu subtrahieren, gehen Sie wie folgt vor:

1. Bringen Sie alle Brüche auf einen gemeinsamen Nenner (Hauptnenner, HN). Ermitteln Sie dafür das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der Nenner und verwenden Sie dieses als neuen Nenner für alle Brüche.
2. Wenden Sie anschließend die gleichen Schritte an wie bei der Berechnung von Brüchen mit gleichem Nenner.

Betrachten wir als Beispiel folgende Aufgabe:

\$\frac{2}{5}\$ + \$\frac{1}{10}\$ + \$\frac{3}{4}\$ = ?

Die gegebenen Brüche haben unterschiedliche Nenner. Daher wenden wir die Methode für ungleichnamige Brüche an:

1. Um den Hauptnenner (HN) von \$\frac{2}{5}\$, \$\frac{1}{10}\$ und \$\frac{3}{4}\$ zu bestimmen, müssen wir das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der Nenner 5, 10 und 4 berechnen: HN (\$\frac{2}{5}\$, \$\frac{1}{10}\$, \$\frac{3}{4}\$) = kgV (5, 10, 4).

Wir ermitteln das kgV (5, 10, 4), indem wir die Vielfachen auflisten:

• Vielfache von 5: 5, 10, 15, 20, 25, 30...

• Vielfache von 10: 10, 20, 30, 40...

• Vielfache von 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24...

• kgV (5, 10, 4) = 20

• HN (\$\frac{2}{5}\$, \$\frac{1}{10}\$, \$\frac{3}{4}\$) = 20

Erweitern wir nun alle Brüche so, dass sie den Hauptnenner 20 haben, erhalten wir:

• \$\frac{2}{5}\$ = \$\frac{2 × 4}{5 × 4}\$ = \$\frac{8}{20}\$
• \$\frac{1}{10}\$ = \$\frac{1 × 2}{10 × 2}\$ = \$\frac{2}{20}\$
• \$\frac{3}{4}\$ = \$\frac{3 × 5}{4 × 5}\$ = \$\frac{15}{20}\$

Die ursprüngliche Aufgabe lässt sich somit wie folgt umschreiben:

\$\frac{2}{5}\$ + \$\frac{1}{10}\$ + \$\frac{3}{4}\$ = \$\frac{8}{20}\$ + \$\frac{2}{20}\$ + \$\frac{15}{20}\$

2. Wenden wir nun die Regeln für die Addition gleichnamiger Brüche an:

• Die Summe der Zähler ergibt: 8 + 2 + 15 = 25
• Der neue Bruch lautet \$\frac{25}{20}\$
• Nach dem Kürzen (Vereinfachen) erhalten wir: \$\frac{25}{20}\$ = \$\frac{25 ÷ 5}{20 ÷ 5}\$ = \$\frac{5}{4}\$ = \$1\frac{1}{4}\$

Zusammenfassend sieht die vollständige Rechnung so aus:

\$\frac{2}{5}\$ + \$\frac{1}{10}\$ + \$\frac{3}{4}\$ = \$\frac{8}{20}\$ + \$\frac{2}{20}\$ + \$\frac{15}{20}\$ = \$\frac{8 + 2 + 15}{20}\$ = \$\frac{25}{20}\$ = \$\frac{5}{4}\$ = \$1\frac{1}{4}\$

Arbeiten mit negativen Brüchen

Beim Rechnen mit negativen Brüchen gelten exakt dieselben Regeln wie bei der Addition und Subtraktion von ganzen Zahlen oder Dezimalzahlen. Wie sich die Vorzeichen kombinieren lassen, veranschaulicht diese Übersichtstabelle:

Berechnungsbeispiel

Kate kocht eine leckere Nudelsoße und benötigt dafür 2 Tassen Passata (passierte Tomaten). Sie hat jedoch nur noch \$\frac{1}{3}\$ einer Tasse in der Speisekammer. Wie viel Passata fehlt ihr noch, um die Soße fertigzustellen?

Lösung

Wir wissen, dass Kate insgesamt 2 Tassen Passata benötigt und bereits \$\frac{1}{3}\$ Tasse besitzt. Um die fehlende Menge zu berechnen, müssen wir subtrahieren: 2 - \$\frac{1}{3}\$. Da 2 eine ganze Zahl ist, lässt sie sich problemlos als Bruch umschreiben: 2 = \$\frac{2}{1}\$. Die Gleichung lautet somit:

\$\frac{2}{1}\$ - \$\frac{1}{3}\$ = ?

Da diese beiden Brüche ungleichnamig sind (unterschiedliche Nenner aufweisen), müssen wir sie zunächst auf einen gemeinsamen Nenner (Hauptnenner) bringen.

HN (\$\frac{2}{1}\$, \$\frac{1}{3}\$) = kgV (1, 3)

kgV (1, 3) = 3

Wenn wir den Bruch \$\frac{2}{1}\$ so erweitern, dass er eine 3 im Nenner hat, erhalten wir:

\$\frac{2}{1}\$ = \$\frac{2 × 3}{1 × 3}\$ = \$\frac{6}{3}\$

Die ursprüngliche Gleichung kann nun wie folgt umgeschrieben werden:

\$\frac{2}{1}\$ – \$\frac{1}{3}\$ = \$\frac{6}{3}\$ – \$\frac{1}{3}\$

Wenden wir jetzt die Rechenregeln für Brüche mit gleichem Nenner an, so ergibt sich:

\$\frac{2}{1}\$ – \$\frac{1}{3}\$ = \$\frac{6}{3}\$ – \$\frac{1}{3}\$ = \$\frac{6 – 1}{3}\$ = \$\frac{5}{3}\$

Durch die Umwandlung in eine gemischte Zahl erhalten wir:

\$\frac{5}{3}\$ = \$1\frac{2}{3}\$

Antwort

Kate benötigt noch \$1\frac{2}{3}\$ Tassen Passata, um ihre Nudelsoße zuzubereiten.