शेष गणक के साथ लम्बा विभाजन

यह लॉन्ग डिवीज़न (Long Division) कैलकुलेटर शेषफल के साथ भाग करने की प्रक्रिया को आसान बनाता है। यह दी गई एक संख्या (भाज्य - Dividend) को दूसरी संख्या (भाजक - Divisor) से विभाजित करता है और उत्तर को पूर्ण संख्या (भागफल - Quotient) तथा शेषफल (Remainder) के रूप में प्रस्तुत करता है। यह कैलकुलेटर उत्तर को मिश्रित संख्या (Mixed number) के रूप में भी दिखाता है और यदि संभव हो, तो परिणामी मिश्रित संख्या को सरल रूप में भी प्रस्तुत करता है।

उपयोग के निर्देश

इस कैलकुलेटर का उपयोग करने के लिए, संबंधित बॉक्स में बस अपना भाज्य (dividend) और भाजक (divisor) दर्ज करें और "कैलकुलेट" (Calculate) पर क्लिक करें। यह कैलकुलेटर तुरंत लॉन्ग डिवीज़न का परिणाम दिखाएगा, जिसमें भागफल, शेषफल और मिश्रित संख्या (इसके सरलतम रूप के साथ) शामिल होगी। इसके साथ ही, पूरी गणना प्रक्रिया (solution steps) भी स्क्रीन पर विस्तार से दिखाई जाएगी।

गणना की प्रक्रिया

आप लॉन्ग डिवीज़न को दो तरह से कर सकते हैं: शेषफल (remainder) के साथ या दशमलव (decimal) के साथ। यहाँ हम मुख्य रूप से पहले तरीके पर ध्यान केंद्रित करेंगे—यानी शेषफल के साथ भाग देना।

महत्वपूर्ण परिभाषाएँ

• भाज्य (Dividend): यह वह संख्या है जिसे आप विभाजित कर रहे हैं। आमतौर पर यह दो संख्याओं में से बड़ी संख्या होती है।
• भाजक (Divisor): यह वह संख्या है जिससे आप भाग दे रहे हैं। यह आमतौर पर छोटी संख्या होती है।
• भागफल (Quotient): यह उत्तर का पूर्ण संख्या वाला भाग होता है।
• शेषफल (Remainder): भाग देने के बाद जो संख्या बच जाती है, उसे शेषफल कहते हैं।

उदाहरण के लिए, 168 / 15 = 11 R3, जहाँ 168 भाज्य है, 15 भाजक है, 11 भागफल है, और 3 शेषफल है।

शेषफल के साथ लॉन्ग डिवीज़न करने के चरण

भाग करने के चरण नीचे विस्तार से समझाए गए हैं। उपरोक्त उदाहरण (168/15) को आधार मानकर, आइए लॉन्ग डिवीज़न की प्रक्रिया को समझते हैं।

चरण 1

• भाजक और भाज्य को एक दूसरे के बगल में लिखें, जिसकी शुरुआत भाजक से हो।
• भाजक और भाज्य को एक खड़ी (लंबवत) रेखा से अलग करें।
• भाज्य के ऊपर एक क्षैतिज (आड़ी) रेखा खींचें, ताकि इसे भागफल से अलग किया जा सके।

इन क्षैतिज और खड़ी रेखाओं के संयोजन को आमतौर पर विभाजन कोष्ठक (division bracket) या भाग का चिह्न कहा जाता है। आपकी सुविधा के लिए यह चिह्न हमारे कैलकुलेटर इंटरफ़ेस में पहले से शामिल है।

चरण 2

• भाज्य के पहले अंक को भाजक से भाग दें। इस मामले में, 1 को 15 से विभाजित करें। चूँकि 1, 15 से छोटा है, इसलिए भागफल 0 होगा और शेषफल 1 बचेगा।
• क्षैतिज रेखा के ऊपर उत्तर (भागफल) का पूर्ण संख्या वाला भाग लिखें। इस उदाहरण में, आप 0 लिखेंगे। क्षैतिज रेखा के ऊपर लिखी जाने वाली संख्याएँ अंतिम भागफल का हिस्सा बनेंगी।
• अब इस पूर्ण संख्या (हमारे मामले में 0) को भाजक (15) से गुणा करें और परिणाम (0) को भाज्य के पहले अंक के ठीक नीचे लिखें। चरण 2 को पूरा करने के लिए इस संख्या के नीचे एक क्षैतिज रेखा खींचें।

चरण 3

• भाज्य के पहले अंक में से चरण 2 के परिणाम को घटाएँ: 1 - 0 = 1। इस उत्तर (1) को क्षैतिज रेखा के नीचे लिखें।
• अब भाज्य के दूसरे अंक (6) को नीचे लाएँ, और उसे पहले वाले उत्तर के ठीक बगल में लिखें। इस तरह हमारे उदाहरण में नई संख्या 16 बन जाएगी।

चरण 4

अब नई संख्या (16) के लिए चरण 2 को दोहराएँ।

• नई संख्या (16) को भाजक (15) से विभाजित करें। 16 को 15 से भाग देने पर भागफल 1 आता है और शेषफल 1 बचता है।
• क्षैतिज रेखा के ऊपर भागफल के रूप में 1 लिखें।
• अब इस भागफल (1) को भाजक (15) से गुणा करें और परिणाम को 16 के नीचे लिखें (1 × 15 = 15)। चरण 4 को पूरा करने के लिए इस संख्या के नीचे एक क्षैतिज रेखा खींचें।

चरण 5

अब नई संख्याओं के साथ चरण 3 को दोहराएँ।

• हमारी पिछली संख्या में से चरण 4 के परिणाम को घटाएँ: 16 - 15 = 1। इस उत्तर (1) को क्षैतिज रेखा के नीचे लिखें।
• अब भाज्य के तीसरे अंक को नीचे लाएँ, और उसे इस उत्तर के बगल में लिखें। हमारे उदाहरण में, ऐसा करने पर नई संख्या 18 बन जाएगी।

चरण 6

नई संख्या (18) के लिए फिर से चरण 2 दोहराएँ।

• 18 को 15 से विभाजित करने पर भागफल 1 आता है और शेषफल 3 बचता है।
• क्षैतिज रेखा के ऊपर 1 लिखें।
• अब 1 × 15 = 15। इस 15 को 18 के नीचे लिखें।
• चरण 6 को पूरा करने के लिए नीचे एक क्षैतिज रेखा खींचें।

चरण 7

नई संख्याओं के साथ चरण 3 को फिर से दोहराएँ।

18 - 15 = 3

अब आपके पास नीचे लाने के लिए कोई और नया अंक नहीं बचा है। चूँकि 3, 15 (हमारा भाजक) से छोटा है, इसलिए भाग देने की प्रक्रिया यहाँ समाप्त हो जाती है। क्षैतिज रेखा के सबसे नीचे बची हुई अंतिम संख्या आपका शेषफल (Remainder) है। वहीं, विभाजन कोष्ठक के ऊपर लिखी गई संख्या आपका अंतिम भागफल (Quotient) है।

168 / 15 = 11 R3

आप अपने उत्तर को मिश्रित संख्या (Mixed number) के रूप में भी लिख सकते हैं:

168 / 15 = 11 3/15

या, इसके सरलीकृत (सिम्पलीफाइड) रूप में:

168 / 15 = 11 1/5

गणना के व्यावहारिक उदाहरण

उदाहरण 1

पैट्रिक को उसके जन्मदिन पर उपहार के रूप में 150 डॉलर ($150) मिले। उसे टॉय ट्रेंस (खिलौना रेलगाड़ियाँ) बहुत पसंद हैं और वह अपने ट्रेन कलेक्शन को बढ़ाना चाहता है। यदि प्रत्येक ट्रेन की कीमत $11 है, तो पैट्रिक अधिकतम कितनी ट्रेनें खरीद सकता है? और उसके पास कितने पैसे शेष बचेंगे?

हल

इस समस्या का समाधान खोजने के लिए, हमें शेषफल के साथ लॉन्ग डिवीज़न (long division) करने की आवश्यकता है। यहाँ प्राप्त होने वाला भागफल (quotient) उन ट्रेनों की संख्या को दर्शाएगा जो पैट्रिक खरीद सकता है, और शेषफल (remainder) उस धनराशि को दर्शाएगा जो उसके पास बच जाएगी।

150 / 11 = 13 R7.

उत्तर

पैट्रिक 13 ट्रेनें खरीद सकता है और उसके पास $7 शेष बचेंगे।

उदाहरण 2

जेन अपने जन्मदिन पर अपनी क्लास के बच्चों के लिए ट्रीट बैग्स (Treat bags) तैयार कर रही है। उसके पास 'हरिबो गमी बीयर्स' (Haribo bears) के दो बड़े पैकेट हैं, और प्रत्येक पैकेट में 65 गमी बीयर्स हैं। जेन हर ट्रीट बैग में 8 गमी बीयर्स रखना चाहती है। वह कुल कितने पूरे ट्रीट बैग बना पाएगी? यदि कुछ गमी बीयर्स बच जाते हैं, तो जेन उन्हें खुद खा सकती है। क्या जेन के खाने के लिए कुछ बचेगा? यदि हाँ, तो वह कितने गमी बीयर्स खा पाएगी?

हल

इस समस्या का सही उत्तर पाने के लिए, हमें शेषफल के साथ लॉन्ग डिवीज़न करना होगा। प्राप्त भागफल (quotient) पूरी तरह से भरे हुए ट्रीट बैग्स की संख्या को दर्शाएगा। वहीं, शेषफल (remainder) उन गमी बीयर्स की संख्या बताएगा जिन्हें जेन खा सकती है।

सबसे पहले, आइए लॉन्ग डिवीज़न के लिए भाज्य (dividend) की गणना करें। यहाँ 65 गमी बीयर्स वाले 2 पैकेट हैं; इसलिए, कुल गमी बीयर्स 2 × 65 = 130 होंगे।

130 / 8 = 16 R2.

उत्तर

जेन 16 ट्रीट बैग पूरी तरह भर सकती है, और उसके खुद के खाने के लिए 2 गमी बीयर्स शेष बचेंगे।