Kalkulator Wzoru na Odległość

Ten kalkulator znajduje odległość między dwoma punktami na płaszczyźnie, jeśli znane są ich współrzędne. Kalkulator działa w dwuwymiarowej przestrzeni.

Ponieważ prosta linia reprezentuje najkrótszą odległość między 2 punktami, ten kalkulator może być używany jako kalkulator długości linii.

Instrukcje użytkowania

Kalkulator znajduje odległość między punktem 1 o współrzędnych (X₁, Y₁) i punktem 2 o współrzędnych (X₂, Y₂).

Aby znaleźć odległość między dwoma punktami, wprowadź ich współrzędne do odpowiednich pól. Współrzędne należy wprowadzić w następujący sposób:

• Przecinek powinien oddzielać dwie współrzędne każdego punktu; na przykład wprowadź “4,5” do pola (X₁, Y₁), aby uzyskać punkt 1 ze współrzędną x równą 4 i współrzędną y równą 5. Jeśli któraś ze współrzędnych jest reprezentowana przez liczbę dziesiętną, użyj kropki dziesiętnej do oddzielenia części całkowitej od dziesiętnej; na przykład wprowadź “4,5,7” aby uzyskać punkt ze współrzędną x równą 4,5 i współrzędną y równą 7.
• Można używać tylko liczb całkowitych i dziesiętnych jako współrzędnych punktów. Ułamki nie są akceptowane.
• Spacje między współrzędnymi nie są konieczne, ale można ich używać dla wygody

Po wprowadzeniu współrzędnych naciśnij “Oblicz”. Kalkulator zwróci końcową odpowiedź i szczegółowy algorytm rozwiązania.

Wzór na odległość

Na dwuwymiarowej płaszczyźnie odległość d między punktem 1 o współrzędnych (X₁, Y₁) i punktem 2 o współrzędnych (X₂, Y₂) można znaleźć za pomocą następującego wzoru:

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}$$

Innymi słowy: odległość między 2 punktami w dwuwymiarowej przestrzeni można znaleźć jako pierwiastek kwadratowy sumy kwadratów różnic odpowiednich współrzędnych. Ten wzór jest znany jako wzór na odległość euklidesową. Dlatego ten kalkulator może być również nazywany kalkulatorem odległości euklidesowej.

Wyprowadzenie wzoru na odległość euklidesową

Aby wyprowadzić wzór, przyjrzyjmy się dwóm danym punktom na płaszczyźnie współrzędnych (X, Y):

Aby znaleźć odległość między punktem 1 a punktem 2, narysujmy pionową linię w dół z punktu 2 i poziomą linię w prawo z punktu 1. Dwie narysowane linie i potrzebna odległość utworzą trójkąt prostokątny. Pionowa noga tego trójkąta będzie tworzona przez pionową odległość między punktem 1 a punktem 2: Y₂ – Y₁. Pozioma noga trójkąta będzie tworzona przez poziomą odległość między dwoma punktami: X₂ – X₁. Przeciwprostokątna tego trójkąta reprezentuje potrzebną odległość mi

ędzy punktami. Gdy znane są długości nóg trójkąta prostokątnego, długość przeciwprostokątnej można znaleźć za pomocą twierdzenia Pitagorasa:

$$d^2=(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2$$

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}$$

Przykłady obliczeń

Przykład 1

Znajdźmy odległość między punktem 1 o (X₁, Y₁) = (3, 1) i punktem 2 o (X₂, Y₂) = (5, 7). Podstawiając wartości X₁, Y₁, X₂, Y₂ do wzoru na odległość euklidesową, otrzymamy:

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}=\sqrt{(5-3)^2+(7-1)^2}=\sqrt{2^2+6^2}$$

$$\sqrt{2^2+6^2}=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}\approx 6,32$$

Należy zauważyć, że zmiana kolejności punktów nie zmienia końcowego wyniku, ponieważ różnice między współrzędnymi są podnoszone do kwadratu. Powtórzmy powyższe obliczenie, zakładając, że (X₁, Y₁) = (5, 7), a (X₂, Y₂) = (3, 1):

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}=\sqrt{(3-5)^2+(1-7)^2}=\sqrt{-2^2+-6^2}$$

$$\sqrt{2^2+6^2}=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}\approx 6,32$$

Przykład 2

Przyjrzyjmy się przykładowi z ujemnymi współrzędnymi i znajdźmy odległość między punktem 1 o współrzędnych (X₁, Y₁) = (-4, 2) i punktem 2 o współrzędnych (X₂, Y₂) = (6, -6). Podstawiając wartości X₁, Y₁, X₂, Y₂ do wzoru na odległość euklidesową, otrzymamy:

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}=\sqrt{(6-(-4))^2+(-6-2)^2}=\sqrt{10^2+(-8)^2}$$

$$\sqrt{10^2+(-8)^2}=\sqrt{100+64}=\sqrt{164}=2\sqrt{41}\approx 12,8$$

Przykłady z życia codziennego

Jak pokazano powyżej, wzór na odległość euklidesową opiera się na twierdzeniu Pitagorasa. Jednakże, dostosowuje to twierdzenie do sytuacji, gdy znane są tylko współrzędne punktów (a nie długości boków trójkąta używane przez twierdzenie Pitagorasa). Wzór jest użyteczny, gdy odległości muszą być obliczane na podstawie współrzędnych na mapie lub wykresie. Jest również używany do obliczania wartości liczb zespolonych i wektorów.

Przykład 3

Wyobraź sobie drabinę opartą o ścianę. W tej sytuacji podłoga reprezentuje oś x płaszczyzny 2D, a ściana reprezentuje oś y, jak pokazano na poniższym obrazku. Jeśli drabina dotyka ściany w punkcie (0, 2), a dotyka podłogi w punkcie (3, 0), znajdź długość drabiny.

Rozwiązanie

Aby znaleźć długość drabiny na 2-wymiarowej płaszczyźnie utworzonej przez ścianę i podłogę, najpierw zidentyfikujmy współrzędne końców drabiny: X₁, Y₁, X₂, Y₂. Nazwijmy punkt, w którym drabina dotyka ściany – punktem 1 (X₁, Y₁), a punkt, w którym drabina dotyka podłogi – punktem 2 (X₂, Y₂). Wiemy, że drabina dotyka ściany w punkcie o współrzędnych (0, 2). Dlatego (X₁, Y₁) = (0, 2):

X₁ = 0, Y₁ = 2

Zauważ, że X₁ = 0, co jest wyraźnie zilustrowane na powyższym obrazku, gdzie punkt (0, 0) odpowiada fizycznemu miejscu, gdzie ściana spotyka się z podłogą, co czyni ujemne wartości X i Y niemożliwymi.

Ponadto wiemy, że drabina dotyka podłogi w punkcie o współrzędnych (3, 0). Dlatego (X₂, Y₂) = (3, 0):

X₂ = 3, Y₂ = 0

Również Y₂ = 0, ponieważ te współrzędne odpowiadają punktowi bezpośrednio na podłodze. Teraz użyjmy wzoru na odległość, aby obliczyć długość drabiny:

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}=\sqrt{(3-0)^2+(0-2)^2}=\sqrt{3^2+(-2)^2}$$

$$\sqrt{3^2+(-2)^2}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}\approx 3,6$$

Odpowiedź

Długość drabiny wynosi 3,6.

Odległość w przestrzeni 3D

Odległość euklidesowa to odległość, jaką większość ludzi rozumie jako „odległość”. Gdy mówimy, że jakiś obiekt znajduje się 5 metrów od nas, mamy na myśli odległość euklidesową. Wzór na odległość opisany powyżej może być łatwo ekstrapolowany do 3 (lub nawet więcej!) wymiarów.

W 3-wymiarowej przestrzeni odległość między punktem 1 o współrzędnych (X₁, Y₁, Z₁) i punktem 2 o współrzędnych (X₂, Y₂, Z₂) można obliczyć jako pierwiastek kwadratowy sumy kwadratów różnic między odpowiednimi współrzędnymi:

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2+(Z₂-Z₁)^2}$$