Калькулятор стандартного отклонения и предельной погрешности

Наш онлайн-калькулятор стандартного отклонения позволяет быстро и точно вычислить среднеквадратическое отклонение для любого набора чисел. Помимо базового расчета, инструмент предоставляет расширенную статистическую сводку, включая среднее значение и дисперсию. Калькулятор также определяет доверительный интервал массива данных для различных уровней значимости и формирует наглядную таблицу распределения частот.

Чтобы воспользоваться калькулятором, просто введите числовые значения через запятую. Укажите, к чему относятся ваши данные — к генеральной совокупности или к выборке, — а затем нажмите кнопку «Рассчитать». Для анализа нового набора чисел используйте кнопку «Очистить», которая моментально сбросит предыдущие результаты.

Стандартное отклонение

Стандартное (или среднеквадратическое) отклонение — это ключевой статистический показатель, оценивающий степень разброса или изменчивости значений в наборе данных. Он отражает среднее расстояние каждого элемента массива от математического ожидания (среднего значения). Чем меньше стандартное отклонение, тем плотнее данные сгруппированы вокруг среднего. И наоборот, высокое значение указывает на сильный разброс данных. Математически стандартное отклонение представляет собой квадратный корень из другого важного показателя — дисперсии.

Метод расчета стандартного отклонения зависит от источника данных. Если ваш набор включает в себя все существующие элементы исследования (то есть генеральную совокупность), применяется формула для вычисления стандартного отклонения генеральной совокупности. Если же анализируется лишь часть данных, используется формула для выборочного стандартного отклонения (стандартного отклонения выборки).

Стандартное отклонение совокупности

Стандартное отклонение генеральной совокупности рассчитывается в тех случаях, когда набор данных охватывает абсолютно все интересующие нас объекты или наблюдения. Этот показатель обозначается символом σ.

σ — это строчная буква греческого алфавита «сигма». Формула для расчета выглядит следующим образом:

$$\sigma=\sqrt{\dfrac{\sum_{i=1}^{N}{(x_i-\mu)^2}}{N}}$$

Где:

• Σ — заглавная греческая буква Сигма, которая используется в математике для обозначения суммы;
• xᵢ — каждое отдельное значение в наборе данных (каждое наблюдение), начиная с первого и заканчивая $N-ым (последним) элементом;
• μ — среднее значение генеральной совокупности;
• n — размер (объем) совокупности.

Пример расчета стандартного отклонения генеральной совокупности

Следующий пример наглядно демонстрирует, как найти стандартное отклонение для генеральной совокупности данных.

Инвесторы часто относят акции к высокорисковым активам из-за их высокой волатильности по сравнению с другими финансовыми инструментами. Инвестиционный менеджер хочет проанализировать волатильность определенных акций за прошлый месяц. Он не станет рекомендовать своим клиентам бумаги, чье стандартное отклонение превышает или равно среднему значению, так как считает их «слишком рискованными».

Ниже приведены все дневные цены закрытия (в долларах США) по интересующей акции за прошлый месяц. Вычислим стандартное отклонение и определим, сочтет ли менеджер эти акции «слишком рискованными»:

1,31, 1,30, 1,36, 1,40, 1,40, 1,41, 1,27, 1,19, 1,15, 1,12, 0,99, 1,00, 0,97, 0,94, 0,88, 0,90, 0,86, 0,88, 0,80, 0,81

Обратите внимание: менеджера интересуют котировки акций только за предыдущий месяц, и приведенный выше список содержит абсолютно все цены за этот период. Следовательно, мы имеем дело с генеральной совокупностью и будем использовать соответствующую формулу.

Для начала найдем среднее значение. Напомним, что среднее (μ) вычисляется путем деления суммы всех чисел на их количество:

$$\mu=\dfrac{1,31+1,30+1,36+1,40+1,40+1,41+1,27+1,19+1,15+1,12+0,99+1,00+0,97+0,94+0,88+0,90+0,86+0,88+0,80+0,81}{20}=1,097$$

Затем из каждого числа вычитаем среднее значение и возводим полученную разницу в квадрат. Складываем все полученные квадраты отклонений и делим сумму на количество наблюдений. Этот результат называется дисперсией (σ²):

$$\sigma^2=\frac{\left(1,31-1,097\right)^2+\left(1,30-1,097\right)^2+\left(1,36-1,097\right)^2+\left(1,40-1,097\right)^2+\ldots+\left(0,81-1,097\right)^2}{20}=0,045031$$

Наконец, извлекаем квадратный корень из дисперсии, чтобы получить искомое стандартное отклонение:

$$\sigma=\sqrt{0,045031}\approx0,21$$

Как мы видим, стандартное отклонение цен на данную акцию за прошлый месяц оказалось меньше среднего значения. Таким образом, менеджер не сочтет этот актив «слишком рискованным».

Стандартное отклонение выборки

Выборочное стандартное отклонение применяется тогда, когда анализируемый набор данных является лишь частью (выборкой) из более широкой генеральной совокупности. Этот показатель обозначается латинской буквой s и рассчитывается по следующей формуле:

$$s=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(x_i-\bar{x}\right)^2}{n-1}}$$

Где:

• Σ — знак суммы;
• xᵢ — каждое отдельное значение выборки;
• x̄ — среднее значение выборки;
• n — размер выборки.

Проиллюстрируем расчет выборочного стандартного отклонения на том же примере с ценами на акции. Но представим, что теперь у инвестиционного менеджера нет доступа к котировкам за все торговые дни прошлого месяца. В его распоряжении есть цены закрытия только за 5 случайных дней. Следовательно, он будет оценивать волатильность на основе имеющейся выборки.

Предположим, у него есть данные за 5 дней:

1,31, 1,40, 0,86, 0,88, 1,40

Поскольку это лишь небольшое подмножество от общего числа торговых дней за месяц, мы имеем дело с выборкой и применяем формулу выборочного стандартного отклонения.

Сначала найдем среднее выборочное значение:

$$\bar{x}=\frac{1,31+1,40+0,86+0,88+1,40}{5}=1,17$$

Далее рассчитаем выборочную дисперсию s²:

$$s^2=\frac{\left(1,31-1,17\right)^2+\left(1,40-1,17\right)^2+\left(0,86-1,17\right)^2+\left(0,88-1,17\right)^2+\left(1,40-1,17\right)^2}{5-1}=0,0764$$

И извлекаем квадратный корень из дисперсии для получения выборочного стандартного отклонения:

$$s=\sqrt{0,0764}\approx0,28$$

Предел погрешности

Одно из важнейших практических применений стандартного отклонения — определение допустимого диапазона значений. Это играет критическую роль в контроле качества и предиктивной аналитике. Если мы предполагаем, что данные распределены нормально, такой диапазон называется доверительным интервалом (подробнее об этом в следующем разделе). Эти интервалы рассчитываются для различных уровней доверия (выраженных в процентах).

Предел погрешности (или маржа ошибки) — это составная часть доверительного интервала, определяющая его ширину. Простыми словами, предел погрешности устанавливает максимально и минимально допустимые отклонения для исследуемой величины.

Формула расчета предела погрешности:

$$Предел\ погрешности\ = z_{\alpha/2}\left(\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$$

Она применяется, если нам известно стандартное отклонение генеральной совокупности σ, а размер выборки достаточно велик (как правило, n>30).

Если же стандартное отклонение генеральной совокупности неизвестно и выборка мала (n≤30), используется другая формула:

$$Предел\ погрешности\ = t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)$$

Здесь вместо неизвестного σ применяется выборочное стандартное отклонение s.

Показатели \$z_{\alpha/2}\$ и \$t_{n-1, \alpha/2}\$ называются критическими значениями и определяются с помощью z-статистики и t-статистики соответственно. Это константы, привязанные к выбранному уровню доверия.

В статистическом анализе чаще всего используются уровни доверия 90%, 95% и 99%. Соответствующие им значения \$z_{\alpha/2}\$ равны 1,645 (для 90%), 1,96 (для 95%) и 2,575 (для 99%).

Дроби \$\frac{\sigma}{\sqrt n}\$ и \$\frac{s}{\sqrt n}\$ называются стандартной ошибкой.

• \$\frac{\sigma}{\sqrt n}\$ применяется, когда известно стандартное отклонение генеральной совокупности σ и объем выборки достаточно велик (n>30).
• \$\frac{s}{\sqrt n}\$ применяется, когда параметр σ неизвестен, а выборка мала (n≤30). В этом случае для расчетов мы вынуждены использовать стандартное отклонение самой выборки s.

Доверительный интервал

Как упоминалось ранее, доверительный интервал — это диапазон значений, в котором с заданной вероятностью (уровнем доверия) будет находиться истинное значение исследуемого параметра.

К примеру, мы можем утверждать, что рост 13-летних девочек варьируется от 59 до 66 дюймов с уровнем доверия 90%. Это означает, что если мы случайным образом отберем группу 13-летних девочек, то примерно в 90% случаев их рост окажется в пределах этого диапазона.

Доверительный интервал рассчитывается по формуле:

$$\bar{x}± z_{\alpha/2}\left(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$$

• x̄ — среднее значение выборки,
• \$z_{\alpha/2}\$ — критическое значение,
• σ — стандартное отклонение генеральной совокупности,
• n — количество наблюдений.

Альтернативная формула используется при неизвестном параметре генеральной совокупности σ, когда в расчетах применяется стандартное отклонение выборки s:

$$\bar{x}± t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)$$

• x̄ — среднее значение выборки,
• \$t_{n-1,\alpha/2}\$ — критическое значение,
• s — выборочное стандартное отклонение,
• n — количество наблюдений.

Как мы выяснили в предыдущем разделе, выражения \$z_{\alpha/2}\left(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)\$ и \$t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)\$ представляют собой пределы погрешности.

Пример расчета доверительного интервала

Предположим, известно, что анализируемые нами ежедневные цены на акции подчиняются закону нормального распределения. В нашем распоряжении имеется следующая выборка цен:

1,31, 1,36, 1,40, 1,27, 1,15, 0,99, 0,97, 0,88, 0,86, 0,80

Перед нами стоит задача: определить диапазон, в котором будут колебаться цены на акции, с уверенностью в 95%.

Поскольку объем выборки невелик, а стандартное отклонение генеральной совокупности нам неизвестно, для расчетов мы задействуем выборочные показатели и следующую формулу:

$$\bar{x}± t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)$$

• x̄ — среднее значение выборки, 1,10
• \$t_{n-1,\alpha/2}\$ — критическое значение, \$t_{9, 0,025}\$ = 2,26 (находится по статистическим таблицам распределения Стьюдента или z-таблицам для заданного уровня доверия и размера выборки)
• s — стандартное отклонение выборки, 0,23
• n — число наблюдений, 10
• \$\frac{s}{\sqrt n}\$ — стандартная ошибка, которая в данном случае равна \$\frac{0,23}{\sqrt{10}}=0,07\$

Подставим имеющиеся значения в формулу:

$$\bar{x}± t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)$$

И получим:

$$\bar{x}-z_{\alpha/2}\left(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right) = 1,17 - 1,96 \left(\frac{0,21}{\sqrt{5}}\right)=0,99$$

$$\bar{x}+z_{\alpha/2}\left(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right) = 1,17 + 1,96 \left(\frac{0,21}{\sqrt{5}}\right)=1,35$$

Это означает, что мы на 95% уверены, что средняя цена на акции лежит в доверительном интервале (0,94, 1,26).