Probability Calculator

Calculator ng Probability ng Dalawang Event

Kapag alam mo ang probability ng dalawang independent na event, maaari mong gamitin ang Probability of Two Events Calculator upang matukoy ang posibilidad na mangyari ang mga ito nang magkasama. Ipasok lamang ang mga probability ng iyong dalawang independent na event (Probability ng A at Probability ng B) sa tool. Agad na bubuo ang kalkuleytor ng union, intersection, at iba pang nauugnay na probability, kumpleto sa mga visual na Venn diagram upang matulungan kang maunawaan ang mga resulta.

Probability Solver para sa Dalawang Event

Binibigyang-daan ka ng Probability Solver para sa Dalawang Event na kalkulahin ang iba't ibang probability para sa dalawang independent na event hangga't mayroon kang anumang dalawang input value. Napakapanipakinabang nito kapag hindi alam ang mga paunang probability ng isa o parehong event. Hindi lamang ibinibigay ng tool na ito ang pinal na sagot, kundi ipinapakita rin nito ang kumpleto at hakbang-hakbang na mga kalkulasyon para sa iyong sanggunian.

Probability ng Serye ng mga Independent na Event

Maaari mong gamitin ang Probability of a Series of Independent Events Calculator upang suriin ang mga eksperimento kung saan ang mga independent na event ay nangyayari nang sunud-sunod. Upang mahanap ang probability ng mga magkakasunod na kaganapang ito, ilagay lamang ang mga kinakailangang probability at itakda kung ilang beses magaganap ang event.

Probability ng Normal Distribution

Ang aming Normal Distribution Probability Calculator ay isang mahusay na tool para sa pagtukoy ng probability sa ilalim ng isang normal curve. Ipasok lamang ang mean na μ, standard deviation na σ, at ang iyong gustong mga boundary. Mabilis na kakalkulahin ng normal probability calculator na ito ang probability para sa mga tinukoy na boundary at magbibigay ng mga confidence interval sa iba't ibang antas ng confidence (confidence levels).

Panimula sa Probability

Ang probability ay ang istatistikal na posibilidad na mangyari ang isang partikular na event. Kapag ang isang event ay talagang tiyak na mangyayari, ang probability nito ay 1. Sa kabilang banda, kapag ang isang event ay imposible, ang probability nito ay 0. Dahil dito, ang anumang probability ng isang partikular na event ay palaging nasa pagitan ng 0 at 1. Sa paggamit ng nakalaang probability calculator, nagiging napakasimple at tumpak ang pagsusuri sa mga pagkakataong ito.

Mga Panuntunan sa mga Operasyon ng Event

Sa statistics, ang anumang partikular na pagpapangkat ng mga resulta ng isang eksperimento ay tinutukoy bilang isang event. Sa pangkalahatan, ang event ay anumang subset ng isang sample space. Ang mga pangunahing operasyon na ginagamit upang suriin ang mga event na ito ay ang complement, intersection, at union. Tuklasin natin ang bawat isa sa mga panuntunang ito gamit ang isang praktikal na halimbawa.

Halimbawa

Ipagpalagay na ang iyong kolehiyo ay may iba't ibang departamento, kabilang ang isang Business Faculty. Mayroon ding mga internasyonal na mag-aaral (international students) na naka-enroll sa kolehiyo. Bilang bahagi ng isang proyekto, kailangan mong magsagawa ng mga panayam sa mga mag-aaral, at napagpasyahan mong magsimula sa unang taong papasok sa gate. Alam mo ang sumusunod na mga probability:

A = Ang unang mag-aaral ay mula sa Business Faculty.

B = Ang unang mag-aaral ay isang internasyonal na mag-aaral.

P(A) = 0.6

P(B) = 0.3

Complement ng isang Event

Ang complement ng isang event ay kinabibilangan ng lahat ng resulta sa isang sample space na hindi bahagi ng partikular na event na iyon.

Halimbawa, ang complement ng event A ay nangangahulugan na ang unang mag-aaral na napili ay mula sa ibang departamento bukod sa Business Faculty. Maaari itong isulat bilang \$A\prime\$ o Aᶜ.

Tingnan natin ang complement ng event A gamit ang isang Venn diagram.

Sa Venn diagram sa itaas, ang may kulay na bahagi ay kumakatawan sa complement ng event A.

Ang kabuuang lawak ng parihaba ay kumakatawan sa pangkalahatang probability ng sample space, na eksaktong 1. Ang espasyo sa labas ng bilog A ay naglalarawan sa probability ng complement ng event A. Ang biswal na representasyong ito ay nagbibigay-daan sa atin na itatag ang sumusunod na ugnayan:

$$P\left(A\right)+P\left(A^\prime\right)=1$$

Samakatuwid,

$$P\left(A^\prime\right)=1-P\left(A\right)$$

Ngayon, kalkulahin natin ang mga kaukulang probability.

Ang probability na ang unang mag-aaral na pinili para sa panayam ay hindi mula sa Business Faculty ay:

$$P\left(A^\prime\right)=1-P\left(A\right)=1-0.6=0.4$$

Ang probability na ang unang mag-aaral na pinili ay hindi isang internasyonal na mag-aaral ay:

$$P\left(B^\prime\right)=1-P\left(B\right)=1-0.3=0.7$$

Intersection ng mga Event

Ang intersection ng dalawang event, A at B, ay binubuo ng set ng lahat ng karaniwang elemento na ibinabahagi ng parehong event. Ang salitang "AT" ("AND") ay madalas na ginagamit upang ipahiwatig ang intersection na ito.

Sa ating halimbawa, ang intersection ng event A at event B ay nangangahulugang pagpili ng isang mag-aaral na isang internasyonal na mag-aaral AT kabilang sa Business Faculty. Sa matematika, isinusulat ito nang ganito:

$$A\cap B$$

Tingnan natin ang intersection ng mga event A at B sa pamamagitan ng isang Venn diagram.

Sa Venn diagram sa itaas, ang naka-shade na bahagi ay nagha-highlight sa intersection ng mga event A at B.

Ngayon, ipakilala natin ang event C: pagpili ng isang lokal na mag-aaral para sa panayam. Maaari nating ipakita ang mga event A at C sa isang bagong Venn diagram.

Dahil ang isang mag-aaral ay hindi maaaring maging lokal at internasyonal nang sabay, ang pagpili ng isang internasyonal na mag-aaral ay likas na nag-aalis sa posibilidad ng pagpili ng isang lokal na mag-aaral. Dahil hindi sila maaaring mangyari nang sabay, ang mga event A at C ay itinuturing na mutually exclusive.

Ang mga mutually exclusive na event ay walang ibinabahaging karaniwang elemento. Bilang resulta, ang kanilang intersection ay walang laman:

$$A\cap C=φ$$

Maaari mong kalkulahin ang probability ng isang intersection gamit ang ilang iba't ibang pamamaraan depende sa mga kilalang variable. Ang intersection para sa mga event A at B ay maaaring isulat gamit ang mga pormulang ito:

$$P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cup B\right)$$

$$P\left(A\cap B\right)=P(A)× P(B/A)$$

$$P\left(A\cap B\right)=P(B)× P(A/B)$$

Mga Independent na Event

Ang mga independent na event ay mga event kung saan ang mga resulta ay hindi nakakaapekto sa isa't isa. Kung babalikan ang ating halimbawa, ang pagpili ng isang mag-aaral mula sa Business Faculty ay walang epekto sa kung ang mag-aaral na iyon ay internasyonal o lokal. Samakatuwid, ang event A at event B ay mga independent na event.

Kapag ang mga event ay ganap na independent, ang probability ng pagkakaroon ng isa ay hindi nakasalalay sa paglitaw ng isa pa. Kaya, ang matematikal na ugnayan ay ipinapahayag bilang:

$$P(B/A)=B\ at\ P(A/B)=A$$

Maaari mong ipalit ang mga ito sa ating mga nakaraang equation upang mapadali ang paghahanap sa probability ng intersecting independent events:

$$P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)× P\left(\mathrm{B/A}\right)P\left(A\cap B\right)=P(A)× P(B)$$

$$P\left(A\cap B\right)=P\left(B\right)× P\left(\mathrm{A/B}\right)P\left(A\cap B\right)=P(B)× P(A)$$

Nangangahulugan ito na madali mong mahahanap ang intersection ng dalawang independent na event sa pamamagitan lamang ng pagpaparami (multiplying) ng kanilang mga indibidwal na probability:

$$P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)× P\left(B\right)=P(B)× P(A)$$

Dahil ang mga event A at B ay independent, tukuyin natin ang probability na ang unang mag-aaral na pipiliin para sa panayam ay parehong mula sa Business Faculty at isang internasyonal na mag-aaral:

$$P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)× P\left(B\right)=0.6× 0.3=0.18$$

Union ng mga Event

Ang union ng dalawang event ay nagreresulta sa isang mas malawak na event na naglalaman ng lahat ng elemento mula sa isa o parehong orihinal na event. Ang salitang "O" ("OR") ay karaniwang ginagamit upang ilarawan ang ganitong uri ng ugnayan.

Sa ating halimbawa, ang union ng mga event A at B ay nangangahulugang pagpili ng isang mag-aaral na internasyonal O kaya'y mula sa Business Faculty (o pareho). Ito ay tinutukoy bilang:

$$A\cup B$$

Tingnan natin ang union ng mga event A at B gamit ang isang Venn diagram.

Sa Venn diagram sa itaas, ang buong may kulay na bahagi ay kumakatawan sa union ng mga event A at B.

Upang makalkula ang probability na mangyari ang event A o event B, pagsasamahin natin ang mga probability ng parehong indibidwal na event at pagkatapos ay ibabawas ang probability ng kanilang intersection.

Ang formula para sa probability ng isang union sa pagitan ng mga event A at B ay isinusulat bilang sumusunod:

$$P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right)$$

Maaari rin nating baguhin ito upang lumikha ng isang partikular na formula para sa union ng dalawang independent na event. Ito ay lalong nakakatulong kapag hindi alam ang probability ng intersection.

Dahil independent ang mga event:

$$P\left(A\cap B\right)=P(A)× P(B)$$

Samakatuwid, ang formula ng union ay magiging:

$$P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P(A)× P(B)$$

Kalkulahin natin ang probability ng union ng mga event A at B. Sa madaling salita, ano ang tsansa na makapili ng isang mag-aaral na isang business major, isang internasyonal na mag-aaral, o pareho sa parehong pagkakataon?

$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=0.6+0.3-0.18=0.72$$

Salamat sa aming Probability of Two Events Calculator at Probability Solver para sa Dalawang Event, maaari mong gawin ang lahat ng kalkulasyong ito nang mabilisan. Ang mga tool na ito ay perpekto para sa pag-verify ng manwal na matematika, dahil ipinapakita ng mga ito ang komprehensibong hakbang-hakbang na mga kalkulasyon kasama ng mga pinal na sagot.

Normal Distribution

Ang normal distribution ay isang simetriko (symmetrical) at hugis-kampanang (bell-shaped) curve. Sa isang perpektong normal distribution, ang mean, median, at mode ay pare-pareho lahat. Eksaktong 50% ng data ay nasa itaas ng mean, at ang isa pang 50% ay nasa ibaba nito. Habang ang curve ay lumalayo mula sa mean sa magkabilang direksyon, ito ay lumalapit—ngunit hindi kailanman talagang humahawak—sa X-axis. Ang kabuuang lawak sa ilalim ng curve na ito ay palaging katumbas ng 1.

Kung ang isang random variable X ay sumusunod sa isang normal distribution na may mga parameter na μ (mean) at σ² (variance), isinusulat ito bilang X ~ N(μ, σ²).

Probability ng isang Normal Distribution

Ang probability density function ng isang normal distribution ay ipinapahayag bilang:

$$f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2π\sigma^2}}× e^\frac{-{(x-\mu)}^2}{2\sigma^2}$$

Sa function na ito:

• ang μ ay ang mean ng distribution;
• ang σ² ay ang variance ng distribution;
• ang π ay humigit-kumulang 3.14;
• ang e ay humigit-kumulang 2.7182.

Dahil mayroong walang katapusang bilang ng mga normal curve, imposibleng gumawa ng isang probability table para sa bawat posibleng kumbinasyon ng mga mean at standard deviation. Upang malutas ito, gumagamit ang mga statistician ng standard normal distribution. Isa itong espesyal na kaso ng normal distribution kung saan ang mean ay 0 at ang standard deviation ay 1.

Upang manwal na makalkula ang probability ng isang normal distribution, dapat mo munang i-transform ang iyong partikular na distribution sa isang standard normal distribution gamit ang isang z-score. Kapag na-convert na, maaari kang gumamit ng z-table upang mahanap ang probability. Bilang kahalili, ang aming Normal Probability Calculator ay walang putol na gumagana bilang isang standard normal probability calculator, na agad kinakalkula ang mga probability at confidence interval nang hindi na kailangang manwal na tumingin sa tsart.

Ang formula para sa z-score ay:

$$Z=\frac{X-\mu}{\sigma}$$

Ang standard normal distribution curve ay isang napakalakas na tool para sa paglutas ng mga tunay na problema sa statistics. Partikular itong ginagamit upang matukoy ang probability ng mga continuous variable. Ang isang continuous variable ay maaaring kumuha ng walang katapusang dami ng halaga, kabilang ang mga decimal—tulad ng taas, timbang, at temperatura.

Tingnan natin ang isang praktikal na halimbawa upang maunawaan kung paano hanapin ang probability sa loob ng isang normal distribution.

Halimbawa

Ipagpalagay na ang mga resulta ng iyong kurso sa statistics ay normally distributed, na nagtatampok ng mean na iskor na 65 at standard deviation na 10. Kung ang isang mag-aaral ay napili nang random, tukuyin ang probability ng mga sumusunod na sitwasyon:

• Ang iskor ng mag-aaral ay katumbas o higit pa sa 70.
• Ang iskor ng mag-aaral ay mahigpit na mas mababa sa 70.
• Ang iskor ng mag-aaral ay nasa pagitan ng 50 at 70.

Solusyon

$$P\left(X≥70\right)=P\left(Z≥\frac{70-65}{10}\right)=P\left(Z≥0.5\right)=1-0.6915=0.3085$$

$$P\left(X<70\right)=P\left(Z<\frac{70-65}{10}\right)=P\left(Z<0.5\right)=0.6915$$

$$P\left(50>X>70\right)=P\left(\frac{50-65}{10}>Z>\frac{70-65}{10}\right)=P\left(1.5>Z>0.5\right)=0.4332+0.1915=0.6247$$

Ang manwal na pag-compute ng probability ng isang normal curve ay nagsasangkot ng maraming kumplikadong hakbang at nangangailangan ng pagbabasa ng mga z-table. Sa kabutihang palad, binibigyang-daan ka ng aming Normal Distribution Probability Calculator na lagpasan ang abalang ito. Maglagay lamang ng apat na halaga—ang mean, ang standard deviation, at ang kaliwa at kanang boundary—at ang kalkuleytor na ang agad na magku-compute ng tumpak na probability para sa iyo.