پرمیٹیشن کیلکولیٹر

ہمارا پرمیٹیشن کیلکولیٹر ان طریقوں کی درست تعداد کا تعین کرتا ہے جن سے آپ n مختلف اشیاء کو ترتیب دے سکتے ہیں، جبکہ ایک وقت میں r عناصر کا نمونہ لیا جائے۔ یہ ان گروپس کے لیے ممکنہ ترتیب کی تعداد کا حساب لگاتا ہے جہاں عناصر کی مخصوص ترتیب (sequence یا order) سختی سے اہم ہوتی ہے۔ دستیاب اشیاء کی کل تعداد کو n سے ظاہر کیا جاتا ہے، جبکہ ہر منتخب کردہ گروپ میں عناصر کی تعداد کو r سے ظاہر کیا جاتا ہے۔

مثال کے طور پر، اگر ہم حروف XYZ کو دو دو حروف کے گروپس میں ترتیب دینا چاہیں، تو ہم XY، XZ، YZ، YX، ZX، اور ZY بنا سکتے ہیں، جس کے نتیجے میں 6 مختلف طریقے سامنے آتے ہیں۔

اس nPr کیلکولیٹر کو استعمال کرنے کے لیے، بس n (ترتیب دی جانے والی اشیاء کی کل تعداد) اور r (ہر نمونہ گروپ میں عناصر کی تعداد) درج کریں، اور پھر "Calculate" (حساب لگائیں) پر کلک کریں۔

پرمیٹیشنز (Permutations)

ریاضی میں، پرمیٹیشن کسی سیٹ کے ارکان کو ایک مخصوص ترتیب یا سلسلے میں منظم کرنے کو کہتے ہیں۔ اگر کوئی سیٹ پہلے سے ترتیب میں ہو، تو اس کے عناصر کو دوبارہ ترتیب دینے سے ایک نئی پرمیٹیشن بنتی ہے۔ کسی بھی پرمیٹیشن میں، عناصر کی ترتیب بالکل اہمیت رکھتی ہے۔ مثال کے طور پر، سلسلے AB اور BA دو بالکل مختلف پرمیٹیشنز کی نمائندگی کرتے ہیں۔ r اشیاء کے نمونوں میں لی گئی n اشیاء کی پرمیٹیشنز کی کل تعداد کو عام طور پر nPr کے طور پر ظاہر کیا جاتا ہے۔

پرمیٹیشنز کی تعداد کا حساب لگانا اس بات پر بہت زیادہ منحصر ہے کہ کس قسم کی اشیاء کو ترتیب دیا جا رہا ہے اور کیا تکرار (repetition) کی اجازت ہے۔ جب تک کہ واضح طور پر نہ کہا جائے، پرمیٹیشنز کا حساب لگاتے وقت عام طور پر یہ فرض کیا جاتا ہے کہ تکرار کی اجازت نہیں ہے۔

اس مضمون میں، ہم خصوصی طور پر تکرار کے بغیر پرمیٹیشنز کی مثالوں پر توجہ مرکوز کریں گے۔

پرمیٹیشنز کا انحصار گنتی کے بنیادی اصول پر ہے۔ یہ اصول بتاتا ہے کہ اگر کوئی تجربہ k ترتیب وار واقعات پر مشتمل ہو، جہاں پہلا واقعہ n₁ طریقوں سے رونما ہو سکتا ہے، دوسرا n₂ طریقوں سے، اور اسی طرح آخری واقعہ nₖ طریقوں سے رونما ہو سکتا ہے، تو اس تجربے کے مکمل ہونے کے کل طریقوں کی تعداد ان انفرادی واقعات کا حاصل ضرب ہوگی: n₁ × n₂ × ... × nₖ۔

فرض کریں کہ ہم حروف ABC کے لیے بغیر کسی تکرار کے ممکنہ پرمیٹیشنز کی تعداد معلوم کرنا چاہتے ہیں۔ ان تینوں حروف میں سے کسی کو بھی پہلے رکھا جا سکتا ہے، جس کا مطلب ہے کہ پہلے حرف کو سیٹ کرنے کے 3 طریقے ہیں۔

ایک بار پہلا حرف سیٹ ہو جائے تو دو حروف باقی بچتے ہیں۔ ان دونوں میں سے کسی ایک کو بھی دوسرے حرف کے طور پر منتخب کیا جا سکتا ہے، جس سے ہمیں دوسرا حرف سیٹ کرنے کے 2 طریقے ملتے ہیں۔ دوسرا حرف منتخب ہونے کے بعد، صرف ایک حرف باقی رہ جاتا ہے، جس کا مطلب ہے کہ تیسرے حرف کو سیٹ کرنے کا صرف 1 طریقہ ہے۔

گنتی کے بنیادی اصول کا اطلاق کرنے سے، حروف ABC کو ترتیب دینے کے کل 3 × 2 × 1 = 6 طریقے ہیں۔ یہ ترتیبات ABC، ACB، BCA، BAC، CAB، اور CBA ہیں۔

فیکٹوریل (The Factorial)

جیسا کہ اوپر دکھایا گیا ہے، 3 مختلف اشیاء کی پرمیٹیشنز کی تعداد کا حساب 3 × 2 × 1 = 6 کے طور پر لگایا جاتا ہے۔ عام طور پر، n اشیاء کے پورے سیٹ کو ترتیب دینے کے لیے پرمیٹیشنز کی تعداد کا فارمولہ n × (n-1) × (n-2) × ... × 1 ہوتا ہے۔

اس میں n سے لے کر 1 تک کے تمام مثبت عدد (positive integers) کو ضرب دینا شامل ہے۔ ریاضی میں، کسی عدد n اور اس سے چھوٹے تمام مثبت اعداد کے حاصل ضرب کو فیکٹوریل کہا جاتا ہے، جسے فجائیہ کے نشان (!) سے ظاہر کیا جاتا ہے۔

لہٰذا، n! = n × (n-1) × (n-2) × ... × 1، اور اسے "n فیکٹوریل" پڑھا جاتا ہے۔

یاد رہے کہ ریاضی کے اصول کے مطابق، 0! = 1 اور 1! = 1 ہوتا ہے۔

پرمیٹیشنز کی مثال

اولمپکس میں سپرنٹنگ ریس کے لیے معیاری ٹریک میں 9 لینز ہوتی ہیں۔ تاہم، 100 میٹر ڈیش کے لیے، لین 1 کو عام طور پر خالی چھوڑ دیا جاتا ہے۔ اس کے بجائے 8 دوڑنے والوں کو لین 2 سے 9 میں رکھا جاتا ہے۔ ان 8 دوڑنے والوں کو لین 2 سے 9 تک ترتیب دینے کے کتنے ممکنہ طریقے ہو سکتے ہیں؟

گنتی کے بنیادی اصول کا استعمال کرتے ہوئے:

• 8 دوڑنے والوں میں سے کسی کو بھی لین 2 دی جا سکتی ہے،
• باقی 7 میں سے کسی کو بھی لین 3 دی جا سکتی ہے،
• باقی 6 میں سے کسی کو بھی لین 4 دی جا سکتی ہے،
• باقی 5 میں سے کسی کو بھی لین 5 دی جا سکتی ہے،
• باقی 4 میں سے کسی کو بھی لین 6 دی جا سکتی ہے،
• باقی 3 میں سے کسی کو بھی لین 7 دی جا سکتی ہے،
• باقی 2 میں سے کسی ایک کو لین 8 دی جا سکتی ہے،
• باقی 1 دوڑنے والے کو لین 9 دی جاتی ہے۔

لہٰذا، 8 دستیاب لینز میں 8 دوڑنے والوں کو ترتیب دینے کے لیے کل ممکنہ پرمیٹیشنز کی تعداد 8! = 8 × 7 × 6 × ... × 2 × 1 = 40,320 طریقے ہے۔

اسے ہمارے پرمیٹیشنز کیلکولیٹر کا استعمال کرتے ہوئے حل کرنے کے لیے، n (اشیاء) اور r (نمونہ) دونوں خانوں میں 8 درج کریں، پھر "Calculate" (حساب لگائیں) پر کلک کریں تاکہ آپ کو فوری طور پر 40,320 مل سکے۔

سب سیٹس کی پرمیٹیشن (Permutation of Subsets)

پچھلی مثالوں میں، ہم نے ان پرمیٹیشنز کا حساب دیکھا جب سیٹ کی ہر شے کو ترتیب میں استعمال کیا جاتا ہے۔ تاہم، بہت سی ایسی صورتحال ہوتی ہیں جہاں اشیاء کے ایک بڑے سیٹ کو چھوٹے ذیلی گروپس (subgroups) میں ترتیب دیا جاتا ہے۔

ان صورتوں میں، دستیاب اشیاء کی کل تعداد کو n سے ظاہر کیا جاتا ہے، ذیلی گروپ (نمونہ) کے لیے منتخب کی گئی اشیاء کی تعداد کو r سے ظاہر کیا جاتا ہے، اور پرمیٹیشنز کی تعداد کا حساب لگانے کے لیے درج ذیل فارمولہ استعمال کیا جاتا ہے:

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{\left(n-r\right)!}$$

یہ وہ معیاری پرمیٹیشن فارمولہ ہے جو تکرار کے بغیر ترتیبات کا حساب لگانے کے لیے استعمال کیا جاتا ہے، خاص طور پر جب آپ کو ایک بڑے سیٹ n سے لیے گئے ایک مخصوص نمونے r کو منظم کرنے کی ضرورت ہو۔

اگر آپ کو کسی سیٹ کے تمام عناصر کو ایک مخصوص ترتیب میں تکرار کے بغیر ترتیب دینے کے طریقوں کی تعداد کا حساب لگانا ہو (جہاں n اور r برابر ہوں)، تو فارمولہ کچھ یوں آسان ہو جاتا ہے:

$$ₙPᵣ=n!$$

مثال (Example)

100 میٹر ڈیش کی مثال کی طرف واپس آتے ہیں، ہم نے پہلے ٹریک پر تمام آٹھ دوڑنے والوں کو ترتیب دینے کے کل طریقوں کا حساب لگایا تھا۔ اب، آئیے تمغوں (medals) پر نظر ڈالتے ہیں۔ تین تمغے جیتنے کے لیے دستیاب ہیں: پہلی پوزیشن والے کو سونا (gold)، دوسری پوزیشن والے کو چاندی (silver)، اور تیسری پوزیشن والے کو کانسی (bronze) ملتا ہے۔ 8 شروع کرنے والے دوڑنے والوں میں سے، کتنے ممکنہ طریقوں سے گولڈ، سلور، اور برونز میڈلز دیے جا سکتے ہیں؟

گنتی کے بنیادی اصول کے مطابق، 8 دوڑنے والوں میں سے کوئی بھی پہلی پوزیشن حاصل کر سکتا ہے۔ ایک بار گولڈ میڈلسٹ کا فیصلہ ہو جانے کے بعد، 7 دوڑنے والے دوسری پوزیشن کے لیے مقابلے میں رہتے ہیں۔ سلور ملنے کے بعد، 6 دوڑنے والے تیسری پوزیشن کے برونز میڈل کے لیے رہ جاتے ہیں۔ اس لیے، 8 دوڑنے والوں میں سے ٹاپ تین پوزیشنز کے لیے کل ممکنہ پرمیٹیشنز کی تعداد یہ ہے: 8 × 7 × 6 = 336

متبادل کے طور پر، ہم nPr فارمولہ بھی استعمال کر سکتے ہیں:

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{\left(n-r\right)!}$$

اپنے اعداد کو فارمولے میں ڈالنے سے ہمیں یہ نتیجہ ملتا ہے:

$$₈P₃=\frac{8!}{\left(8-3\right)!}=\frac{8!}{5!}=\frac{8×7×6×5×4×\ldots×1}{5×4×\ldots×1}=8×7×6=336$$

اسے پرمیٹیشنز کیلکولیٹر کا استعمال کرتے ہوئے معلوم کرنے کے لیے، n (اشیاء) کے خانے میں 8 اور r (نمونہ) کے خانے میں 3 درج کریں۔ "Calculate" (حساب لگائیں) پر کلک کریں، اور آپ کو 336 کا جواب مل جائے گا۔

پرمیٹیشنز اور کمبی نیشنز: بنیادی فرق

ریاضی میں گنتی کی ایک اور اہم تکنیک کمبی نیشنز (combinations) ہے۔ کمبی نیشنز ان مختلف طریقوں کی نمائندگی کرتے ہیں جن کے ذریعے اشیاء کے ایک بڑے پول (n) سے کم تعداد میں اشیاء (نمونہ r) کا انتخاب کیا جا سکتا ہے۔ n اشیاء میں سے چنی گئی r اشیاء کے کمبی نیشنز کی تعداد کو عام طور پر ₙCᵣ سے ظاہر کیا جاتا ہے۔

جب ہم پرمیٹیشنز کی تعریف کر رہے تھے، تو ہم نے یہ طے کیا تھا کہ اس میں ترتیب (sequence) سختی سے اہم ہے۔ پرمیٹیشنز اور کمبی نیشنز کے درمیان بالکل یہی بنیادی فرق ہے: کمبی نیشنز میں ترتیب اہمیت نہیں رکھتی۔

مثال کے طور پر، ہم نے پہلے غور کیا تھا کہ حروف XYZ کو دو کے گروپس میں لینے سے چھ مختلف پرمیٹیشنز بنتی ہیں: XY، XZ، YZ، YX، ZX، اور ZY۔

تاہم، حروف XYZ کے دو کے گروپس میں کمبی نیشنز سے صرف تین مختلف جوڑے بنتے ہیں: XY، XZ، اور YZ۔ چونکہ کمبی نیشنز میں ترتیب اہمیت نہیں رکھتی، اس لیے XY اور YX کو بالکل ایک ہی جوڑا سمجھا جاتا ہے۔ یہی اصول XZ اور ZX، اور اس کے ساتھ ساتھ YZ اور ZY پر بھی لاگو ہوتا ہے۔

n اشیاء میں سے r اشیاء کے کمبی نیشنز کی تعداد کا حساب لگانے کے لیے درج ذیل فارمولہ استعمال کیا جاتا ہے:

$$ₙСᵣ=\frac{n!}{r!\left(n-r\right)!}$$

کمبی نیشنز کا حساب لگانے کی مثال

اوپر دوڑنے والوں کے منظر نامے میں، ہم نے ان طریقوں کی تعداد کا حساب لگایا تھا جن کے ذریعے ہم 8 دوڑنے والوں کے گروپ سے مخصوص پہلی، دوسری اور تیسری پوزیشن تفویض کر سکتے ہیں۔ لیکن کیا ہوگا اگر ہم صرف 8 دوڑنے والوں میں سے 3 میڈلسٹ منتخب کرنے کے طریقوں کی تعداد جاننا چاہیں، قطع نظر اس کے کہ ان کی مخصوص پوزیشن کیا ہے؟ اس صورت میں، اس سے کوئی فرق نہیں پڑتا کہ کون پہلا، دوسرا، یا تیسرا آیا ہے—صرف یہ اہمیت رکھتا ہے کہ وہ میڈل جیتنے کے لیے منتخب ہوئے ہیں۔

چونکہ یہاں تمغوں کی صحیح ترتیب غیر متعلقہ ہے، اس لیے ہم کمبی نیشنز کا استعمال کرتے ہیں۔ ہم اسے معیاری کمبی نیشنز فارمولہ کا استعمال کرتے ہوئے حل کر سکتے ہیں:

$$ₙСᵣ = \frac{n!}{r!(n-r)!}$$

8 دوڑنے والوں کے پول میں سے 3 غیر درجہ بند (unranked) میڈلسٹ منتخب کرنے کے طریقوں کی تعداد یہ ہے:

$$₈C₃=\frac{8!}{3! × \left(8-3\right)!}=\frac{8!}{3! × 5!}=\frac{8 × 7 × 6}{3 × 2 × 1}=8×7=56$$

پرمیٹیشنز کا حساب لگانے کی مثالیں

1. ایک ٹیلی ویژن نیوز پروڈیوسر کو آئندہ تجزیاتی پروگرام کے لیے 5 دستیاب مہمان مقررین میں سے 3 کا انتخاب کرنا ہے۔ جس ترتیب میں مہمان بولیں گے وہ انتہائی اہم ہے۔ پروڈیوسر کتنے مختلف طریقوں سے پیشکش (presentations) کو ترتیب دے سکتا ہے؟ چونکہ یہاں ترتیب اہمیت رکھتی ہے اور تکرار کی اجازت نہیں ہے (ایک مہمان ایک ہی لائن اپ میں دو بار ظاہر نہیں ہو سکتا)، اس لیے ہم پرمیٹیشنز کا فارمولہ استعمال کرتے ہیں:

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{(n-r)!}$$

$$₅P₃ = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} = 5 × 4 × 3 = 60$$

اس سے ظاہر ہوتا ہے کہ پروڈیوسر کے پاس مہمان مقررین کو منظم کرنے کے 60 منفرد طریقے ہیں۔

2. ایک ممتاز ریسٹورنٹ نقاد (critic) نے شہر کے سرفہرست 3 سشی (sushi) ریسٹورنٹس کا تعین کرنے کے لیے 10 بہترین سشی اسٹیبلشمنٹس کو شارٹ لسٹ کیا ہے۔ ان اسٹیبلشمنٹس کو ان کی حتمی رینکنگ ظاہر کرنے کے لیے ایک مخصوص ترتیب میں پیش کیا جانا چاہیے، اور کوئی بھی ریسٹورنٹ رینکنگ میں ایک سے زیادہ بار نہیں آ سکتا۔ چونکہ ترتیب اہم ہے اور کوئی تکرار نہیں ہے، اس لیے ہم پرمیٹیشنز کے بنیادی تقاضوں کو پورا کرتے ہیں۔ ہم nPr فارمولہ لاگو کرتے ہیں:

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{(n-r)!}$$

$$₁₀P₃ = \frac{10!}{(10-3)!} = \frac{10!}{7!} = 10 × 9 × 8 = 720$$

3. جب ہم بیان کرتے ہیں کہ پرمیٹیشنز میں "ترتیب اہم ہے"، تو اس کا سختی سے یہ مطلب نہیں ہوتا کہ ترتیب کا عددی درجہ (numerical ranking) ہونا ضروری ہے جیسے کہ پہلا، دوسرا، یا تیسرا۔ ترتیب کو ان مخصوص اور واضح کرداروں یا مقامات کے ذریعے بھی بیان کیا جا سکتا ہے جو ہمارے عناصر کو تفویض کیے گئے ہیں۔

مثال کے طور پر، گھروں کی مرمت کرنے والی کمپنی کے مینیجر پر غور کریں۔ آج اسے چار مخصوص کام (work orders) مکمل کرنے ہیں: ویزا ایجنسی کے دفتر، فیکٹری کے گودام، کپڑوں کی دکان، اور ایک نجی گھر کے کمرے میں پینٹ کرنا۔ کمپنی کے عملے میں چھ پینٹرز شامل ہیں۔ ہر پینٹر کو روزانہ صرف 1 مقام پر بھیجا جا سکتا ہے، جس کا مطلب ہے کہ دو پینٹرز کو قدرتی طور پر اس دن چھٹی مل جائے گی۔

کام کے چار منفرد مقامات (ویزا ایجنسی، گودام، دکان، اور نجی گھر) پوزیشن 1، 2، 3 اور 4 کے برابر کام کرتے ہیں۔

مینیجر اپنے اختیارات کا جائزہ لیتا ہے:

• 6 دستیاب پینٹرز جنہیں ویزا ایجنسی کے دفتر بھیجا جا سکتا ہے،
• باقی 5 پینٹرز جنہیں فیکٹری کے گودام میں تفویض کیا جانا ہے،
• باقی 4 پینٹرز جنہیں کپڑوں کی دکان پر بھیجنا ہے،
• باقی 3 پینٹرز جنہیں نجی گھر کے لیے تفویض کیا جا سکتا ہے۔

بدیہی طور پر، ہم اسائنمنٹ کے انتخاب کی کل تعداد کا حساب یوں لگا سکتے ہیں: 6 × 5 × 4 × 3 = 360۔

چونکہ وہ مخصوص جگہ جہاں ہر پینٹر کو تفویض کیا جاتا ہے، پوری طرح اہمیت رکھتی ہے (ترتیب اہم ہے)، اور کوئی بھی پینٹر ایک دن میں ایک سے زیادہ جگہوں پر کام نہیں کر سکتا (کوئی تکرار نہیں)، اس لیے ہم بالکل درست طور پر اپنا پرمیٹیشن فارمولہ لاگو کر سکتے ہیں:

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{(n-r)!}$$

$$\frac{6!}{(6-4)!} = \frac{6!}{2!} = 6 × 5 × 4 × 3 = 360$$

آخرکار، ان دی گئی شرائط کے تحت ہوم ریپئر مینیجر کے پاس دن کے کام کے آرڈرز کو اپنے دستیاب پینٹرز کے درمیان تقسیم کرنے کے ٹھیک 360 مختلف طریقے ہیں۔