Permutationskalkylator

Vår permutationskalkylator fastställer det exakta antalet sätt du kan ordna n distinkta objekt, genom att ta ett urval av r element i taget. Den beräknar antalet möjliga arrangemang för grupper där elementens specifika sekvens eller ordning är strikt viktig. Det totala antalet tillgängliga objekt betecknas med n, medan antalet element i varje vald grupp betecknas med r.

Till exempel, om vi vill ordna bokstäverna XYZ i grupper om två bokstäver vardera, kan vi bilda XY, XZ, YZ, YX, ZX och ZY, vilket resulterar i 6 olika sätt.

För att använda denna nPr-kalkylator anger du helt enkelt n (det totala antalet objekt som ska ordnas) och r (antalet element i varje urvalsgrupp) och klickar sedan på "Beräkna".

Permutationer

Inom matematiken är en permutation ett arrangemang av en mängds medlemmar i en specifik sekvens eller ordning. Om en mängd redan är ordnad skapar en omkastning av dess element en ny permutation. I alla permutationer spelar ordningen på elementen absolut roll. Till exempel representerar sekvenserna AB och BA två helt olika permutationer. Det totala antalet permutationer av n objekt tagna i urval av r objekt betecknas vanligen som nPr.

Att beräkna antalet permutationer beror i hög grad på typen av objekt som ska ordnas och om upprepningar är tillåtna. Om inget annat anges antas det i allmänhet att upprepningar inte är tillåtna när man beräknar permutationer.

I den här artikeln kommer vi uteslutande att fokusera på exempel på permutationer utan upprepning.

Permutationer bygger på multiplikationsprincipen (den grundläggande kombinatoriska principen). Denna princip anger att om ett experiment består av k sekventiella händelser, där den första händelsen kan inträffa på n₁ sätt, den andra på n₂ sätt, och så vidare tills den sista händelsen inträffar på nₖ sätt, är det totala antalet sätt experimentet kan utvecklas på produkten av dessa enskilda händelser: n₁ × n₂ × ... × nₖ.

Anta att vi vill fastställa antalet möjliga permutationer för bokstäverna ABC utan några upprepningar. Vilken som helst av de tre bokstäverna kan placeras först, vilket innebär att det finns 3 sätt att välja den första bokstaven.

När den första bokstaven är vald återstår två bokstäver. Vilken som helst av dessa två kan väljas som den andra bokstaven, vilket ger oss 2 sätt att välja den andra bokstaven. Efter att den andra bokstaven har valts återstår endast en bokstav, vilket innebär att det bara finns 1 sätt att välja den tredje bokstaven.

Genom att tillämpa multiplikationsprincipen finns det totalt 3 × 2 × 1 = 6 sätt att ordna bokstäverna ABC. Dessa arrangemang är ABC, ACB, BCA, BAC, CAB och CBA.

Fakultet

Som visas ovan beräknas antalet permutationer av 3 distinkta objekt som 3 × 2 × 1 = 6. I allmänhet ges antalet permutationer för att ordna en hel mängd av n objekt av n × (n-1) × (n-2) × ... × 1.

Detta innebär att man multiplicerar alla positiva heltal från n ner till 1. Inom matematiken kallas produkten av ett heltal n och alla de positiva heltalen under det för en fakultet, vilket betecknas med ett utropstecken (!).

Följaktligen är n! = n × (n-1) × (n-2) × ... × 1, och det uttalas som "n-fakultet".

Observera att enligt matematisk konvention är 0! = 1 och 1! = 1.

Exempel på permutationer

Standardbanan för sprintlopp i OS har 9 banor. För 100-metersloppet lämnas dock bana 1 vanligtvis tom. De 8 löparna placeras i stället i bana 2 till 9. På hur många möjliga sätt kan dessa 8 löpare ordnas på bana 2 till 9?

Med hjälp av multiplikationsprincipen:

• kan vilken som helst av de 8 löparna tilldelas bana 2,
• kan vilken som helst av de återstående 7 löparna tilldelas bana 3,
• kan vilken som helst av de återstående 6 löparna tilldelas bana 4,
• kan vilken som helst av de återstående 5 löparna tilldelas bana 5,
• kan vilken som helst av de återstående 4 löparna tilldelas bana 6,
• kan vilken som helst av de återstående 3 löparna tilldelas bana 7,
• kan endera av de återstående 2 löparna tilldelas bana 8,
• tilldelas den 1 återstående löparen bana 9.

Därför är det totala antalet möjliga permutationer för att ordna de 8 löparna över de 8 tillgängliga banorna 8! = 8 × 7 × 6 × ... × 2 × 1 = 40 320 sätt.

För att lösa detta med vår permutationskalkylator anger du helt enkelt 8 i både rutan för n (objekt) och rutan för r (urval). Klicka sedan på "Beräkna" för att direkt få fram 40 320.

Permutation av delmängder

I de föregående exemplen tittade vi på hur man beräknar permutationer när varje objekt i mängden används i arrangemanget. Det finns dock många situationer där en större mängd objekt ordnas i mindre undergrupper.

I dessa fall betecknas det totala antalet tillgängliga objekt med n, antalet valda objekt för undergruppen (urvalet) betecknas med r, och följande formel används för att beräkna antalet permutationer:

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{\left(n-r\right)!}$$

Detta är standardformeln för permutationer som används för att beräkna arrangemang utan upprepningar när du behöver ordna ett specifikt urval r som tagits från en större mängd n.

Om du behöver beräkna antalet sätt att ordna alla element i en mängd i en specifik ordning utan upprepningar (där n är lika med r), förenklas formeln till:

$$ₙPᵣ=n!$$

Exempel

Om vi återgår till exemplet med 100-metersloppet beräknade vi tidigare det totala antalet sätt som alla åtta löpare kunde ordnas på banan. Låt oss nu titta på medaljerna. Tre medaljer står på spel: första plats vinner guld, andra plats vinner silver och tredje plats vinner brons. Av de 8 startande löparna, på hur många möjliga sätt kan guld-, silver- och bronsmedaljerna delas ut?

Enligt multiplikationsprincipen kan vilken som helst av de 8 löparna ta förstaplatsen. När guldmedaljören är utsedd finns det 7 löpare kvar som kämpar om andraplatsen. När silvret är utdelat återstår 6 löpare som tävlar om bronsmedaljen för tredjeplatsen. Därför är det totala antalet möjliga permutationer för de tre översta placeringarna av 8 löpare: 8 × 7 × 6 = 336

Alternativt kan vi använda nPr-formeln:

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{\left(n-r\right)!}$$

Om vi sätter in våra siffror får vi:

$$₈P₃=\frac{8!}{\left(8-3\right)!}=\frac{8!}{5!}=\frac{8×7×6×5×4×\ldots×1}{5×4×\ldots×1}=8×7×6=336$$

För att räkna ut detta med permutationskalkylatorn, skriv 8 i rutan för n (objekt) och 3 i rutan för r (urval). Klicka på "Beräkna", så får du 336.

Skillnaden mellan permutationer och kombinationer

En annan central beräkningsteknik inom matematiken är kombinationer. Kombinationer representerar de olika sätten som ett mindre antal objekt (urvalet r) kan väljas från en större mängd objekt (n). Antalet kombinationer av r objekt valda från n objekt betecknas helt enkelt som ₙCᵣ.

När vi definierade permutationer konstaterade vi att sekvensen eller arrangemanget är strikt avgörande. Detta är just den grundläggande skillnaden mellan permutationer och kombinationer: i kombinationer spelar ordningen ingen roll.

Till exempel noterade vi tidigare att permutationerna av bokstäverna XYZ i grupper om två ger sex distinkta arrangemang: XY, XZ, YZ, YX, ZX och ZY.

Men kombinationerna av bokstäverna XYZ i grupper om två ger bara tre distinkta par: XY, XZ och YZ. Eftersom ordningen inte spelar någon roll i kombinationer, betraktas XY och YX som exakt samma par. Detsamma gäller för XZ och ZX, liksom för YZ och ZY.

Formeln som används för att beräkna antalet kombinationer av r objekt från n objekt är:

$$ₙСᵣ=\frac{n!}{r!\left(n-r\right)!}$$

Exempel på beräkning av kombinationer

I löparscenariot ovan beräknade vi antalet sätt vi kunde fördela de specifika placeringarna som etta, tvåa och trea från en grupp på 8 löpare. Men vad händer om vi helt enkelt vill veta antalet sätt att välja 3 medaljörer från de 8 löparna, oavsett deras specifika placering? I det här fallet spelar det ingen roll vem som kommer på första, andra eller tredje plats – bara att de väljs ut för att vinna en medalj.

Eftersom den exakta ordningen på medaljerna är irrelevant här använder vi oss av kombinationer. Vi kan lösa detta med hjälp av standardformeln för kombinationer:

$$ₙСᵣ = \frac{n!}{r!(n-r)!}$$

Antalet sätt 3 orankade medaljörer kan väljas från en grupp på 8 löpare ges av:

$$₈C₃=\frac{8!}{3! × \left(8-3\right)!}=\frac{8!}{3! × 5!}=\frac{8 × 7 × 6}{3 × 2 × 1}=8×7=56$$

Exempel på beräkning av permutationer

1. En nyhetsproducent på TV måste välja 3 av 5 tillgängliga gästföreläsare för ett kommande analytiskt program. Ordningen som gästerna talar i är mycket viktig. På hur många olika sätt kan producenten ordna presentationerna? Eftersom ordningen spelar roll och upprepning inte är tillåten (en gäst kan inte framträda två gånger i samma uppställning), använder vi formeln för permutationer:

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{(n-r)!}$$

$$₅P₃ = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} = 5 × 4 × 3 = 60$$

Detta visar att producenten har 60 unika sätt att organisera gästtalarlistan.

2. En framstående restaurangkritiker har valt ut 10 utmärkta sushiställen i stan för att utse de 3 bästa sushirestaurangerna. Etablissemangen måste presenteras i en specifik ordning för att återspegla deras slutliga ranking, och ingen restaurang kan dyka upp i rankingen mer än en gång. Eftersom ordningen är avgörande och det inte finns några upprepningar uppfyller vi grundkraven för permutationer. Vi tillämpar nPr-formeln:

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{(n-r)!}$$

$$₁₀P₃ = \frac{10!}{(10-3)!} = \frac{10!}{7!} = 10 × 9 × 8 = 720$$

3. När vi konstaterar att "ordningen är viktig" i permutationer betyder det inte strikt att ordningen måste vara en numerisk rangordning som 1:a, 2:a eller 3:e plats. Ordning kan också definieras av specifika, distinkta roller eller platser som våra element tilldelas.

Ta till exempel chefen för ett renoveringsföretag. Han har fyra specifika arbetsordrar att utföra i dag: målning av en visumbyrå, en fabrikslagerlokal, en klädbutik och ett rum i ett privat hem. Företaget har sex anställda målare. Varje målare kan bara skickas till 1 plats per dag, vilket innebär att två målare naturligtvis kommer att vara lediga.

De fyra unika arbetsplatserna (visumbyrån, lagret, butiken och det privata hemmet) fungerar som motsvarigheter till positionerna 1, 2, 3 och 4.

Chefen utvärderar sina alternativ:

• 6 tillgängliga målare som kan skickas till visumbyrån,
• 5 återstående målare som kan skickas till fabrikslagret,
• 4 återstående målare som kan skickas till klädbutiken,
• 3 återstående målare som kan skickas till det privata hemmet.

Intuitivt kan vi beräkna det totala antalet valmöjligheter för uppdragen till 6 × 5 × 4 × 3 = 360.

Eftersom den specifika platsen varje målare tilldelas spelar roll (ordningen är viktig) och ingen målare kan arbeta på mer än en plats under en och samma dag (inga upprepningar), kan vi utan problem tillämpa vår formel för permutationer:

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{(n-r)!}$$

$$\frac{6!}{(6-4)!} = \frac{6!}{2!} = 6 × 5 × 4 × 3 = 360$$

I slutändan finns det exakt 360 olika sätt som chefen för renoveringsföretaget kan fördela dagens beställningar bland sina tillgängliga målare under de givna villkoren.