三角形计算器

三角形计算器

三角形计算器是一个在线三角形求解器，允许您基于三个已知测量值快速找到所有三角形测量值。计算器接受三角形的边长和角度作为输入，并计算以下测量值：

• 缺失的边长，
• 缺失的三角形角度，
• 面积，
• 周长，
• 半周长，
• 三角形所有边的高度，
• 三角形所有边的中线，
• 内切圆半径，
• 外接圆半径。

计算器还提供顶点的坐标、质心、内切圆中心和外接圆中心的坐标，假设顶点A的坐标是[0, 0]。

使用说明

要使用这个三角形计算器，请在输入栏位中输入任意三个值。您可以输入任何角度或任何边长的值。请注意，至少有一个值必须代表一个边长；否则，三角形将有无限多的解。

输入值后，选择三角形角度的单位。您可以在度和弧度之间选择。选择弧度时，使用“pi”表示π。例如，如果角度值是\$\frac{π}{3}\$，请输入“pi/3”。插入已知值后，按“计算”。计算器将返回上述列表中所有缺失的值和三角形的示意图，这将帮助您更好地可视化它。

在答案之后，您可以展开以下字段 - 显示计算步骤 - 以熟悉解决算法和用于找到答案的公式。

输入值的限制

至少已知的一个值必须是边长。

输入以下值组合时 - 两个角度和一个边长 - 请注意，角度值的和必须小于180°或π。

输入三个边长时，请注意任何两个边长的和应该大于剩余边的长度。

计算示例

假设您正在搬家，并想从朋友那里借一辆卡车。您需要装卸卡车，但它没有内置的斜坡。您有一个便携式斜坡，但您必须确保其尺寸适合卡车的高度。您的斜坡不可调节，并且您已经测量出其两边的长度分别为1米和0.8米，与1米边相对的角度为85度（见图）。您知道您可以将卡车的高度调整到0.5米到1米。您的斜坡合适吗？

给定

• 边b = 1；
• 边c = 0.8；
• 角B = 85度。

解答

为了确定您的斜坡是否适合卡车，您需要解决上述三角形并估算边A的长度是否适合卡车高度的给定范围：0.5 < a < 1。

将上述值输入三角形计算器，您在任务中得到以下答案，我们只需要缺失的边长。

因此，其余的答案在这个实际示例中没有展示，虽然三角形求解器仍然计算它们：

答案

• 边a = 0.67376

• 边b = 1

• 边c = 0.8

• 角A = 42.16° = 42°9'35" = 0.73582弧度

• 角B = 85° = 1.48353弧度

• 角C = 52.84° = 52°50'25" = 0.92224弧度

斜坡看起来像这样：

我们看到a ≈ 0.674，我们知道卡车的高度可以在范围0.5 < a < 1内调整。这意味着斜坡高度适合卡车的可调高度，您可以从朋友那里借卡车，而不是租一辆！

三角形：定义和重要公式

在几何学中，三角形是由三条非平行的直线相交而形成的平面图形。三角形也可以被描述为一个有三个顶点和三条边的多边形。三角形的边通常被称为边。

三角形存在的条件

有两个条件定义了三角形的存在；一个条件应用于边上，另一个应用于角上。边的条件基于三角不等式。它规定三角形任意两边的长度之和必须大于或等于第三边的长度。如果两边的长度之和等于第三边的长度，则这个三角形被称为退化三角形。

退化三角形是所有三个顶点都位于同一条直线上的三角形。这是一个非常特殊的三角形情况，通常不在初等几何中讨论，因此在这里不予考虑。

角的条件规定任何三角形的三个角的和总是等于180°或π弧度。

三角形测量

让我们定义最关键的三角形测量，并查看计算它们值的公式。

三角形的周长是其所有边的长度之和，可以如下计算：

p = a + b + c

三角形的半周长 - 是三角形周长长度的一半：

$$s=\frac{p}{2}=\frac{a+b+c}{2}$$

三角形的面积 - 是描述三角形在平面上占用多少空间的属性。如果已知三角形的两边长度和这两边之间的角，则可以如下计算三角形的面积：

$$A=\frac{1}{2}ab \sin{C}$$

三角形的高度或海拔，是从其中一个角垂直到对边。由于任何三角形都有三条边，任何三角形也将有三个垂线。垂直于边A的高度通常表示为hₐ。类似地，其他两个高度表示为\$h_b\$和h꜀。找到三角形的高度最简单的方法是通过其面积：

$$A=\frac{1}{2}ah_a=\frac{1}{2}bh_b=\frac{1}{2}ch_c$$

$$h_a=\frac{2A}{a}, h_b=\frac{2A}{b}, h_c=\frac{2A}{c}$$

三角形一边的中线 - 是从三角形的一个顶点到对边中点的线。任何三角形都有三条中线。

到边a的中线通常表示为mₐ。类似地，其他两个中线表示为\$m_b\$和m꜀。我们可以用以下公式找到中线的长度：

$$m_a=\frac{1}{2}\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}$$

三角形的内切圆半径 - 是内切于三角形并接触其所有边的圆的半径。

内切圆半径r的长度可以如下计算：

$$r=\frac{A}{s}$$

三角形的外接圆半径 - 是通过三角形所有三个顶点的圆的半径。

我们可以根据正弦定律找到外接圆半径R的长度：

$$2R=\frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}$$

正弦定律对于找出三角形的边长或角度的缺失值也很有帮助。另一个有用的规则是余弦定律：

$$a=\sqrt{b^2+c^2-2bc\cos{A}}$$

$$b=\sqrt{a^2+c^2-2ac\cos{B}}$$

$$c=\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos{C}}$$

上述公式允许计算所有三角形的测量值。三角形计算器使用这些公式来找出缺失的值。