ماشین حساب نمره Z

ماشین حساب نمره Z برای هر نوع محاسبات مرتبط با نمره Z قابل استفاده است. شما می‌توانید یک امتیاز خام (X)، میانگین جمعیت (μ)، و انحراف معیار (σ) را در ماشین حساب اول وارد کنید تا نمره Z را به همراه مراحل و احتمالات مرتبط با آن امتیاز خام پیدا کنید.

مبدل نمره Z و احتمال به شما کمک می‌کند تا بین نمره‌های Z و احتمالات بدون ارجاع به جدول Z تبدیل انجام دهید. نتایج شامل تمام محاسبات احتمال ممکن با آن نمره Z واحد خواهد بود. از ماشین حساب آخر برای پیدا کردن احتمال بین 2 نمره Z استفاده کنید.

نمره Z چیست؟

نمره Z یک معیار آماری است که تعداد انحراف‌های استاندارد یک نقطه داده از میانگین یک مجموعه داده را توصیف می‌کند. از نمره Z برای مقایسه یک نقطه داده با کل مجموعه داده استفاده می‌شود و به استانداردسازی داده‌ها کمک می‌کند تا مقایسه و تحلیل آن‌ها آسان‌تر شود.

نمره Z به ما امکان می‌دهد تا تعیین کنیم که یک نقطه داده تا چه حد "معمولی" یا برعکس "غیرمعمولی" نسبت به کل مجموعه داده است.

• شناسایی نقاط دورافتاده: نمره‌های Z به ما کمک می‌کنند تا نقاط داده‌ای که به طور قابل توجهی از بقیه داده‌ها متفاوت هستند را شناسایی کنیم. این در زمینه‌هایی مانند مالی و تحقیقات پزشکی که نقاط دورافتاده می‌توانند الگوها یا ناهنجاری‌های مهمی را نشان دهند، مفید است.
• مقایسه داده‌ها از مجموعه‌های مختلف: نمره Z به ما امکان می‌دهد داده‌ها را از مجموعه‌های مختلف، حتی اگر واحدها یا دامنه‌های مختلفی داشته باشند، مقایسه کنیم. این در زمینه‌هایی مانند یادگیری ماشین که نیاز دارید داده‌ها را از منابع مختلف برای ساختن مدل‌ها مقایسه کنید، مفید است.
• نرمال‌سازی داده‌ها: با تبدیل داد

امتیاز Z برای یک نمونه

Z = امتیاز خام - میانگین نمونه / انحراف معیار نمونه

Z = (X - x̄) / s

تفسیر نتایج امتیاز Z به‌دست آمده

امتیاز Z مثبت: یک امتیاز Z مثبت به این معناست که نقطه داده شما بالاتر از مقدار متوسط دیتاست است. به عبارت دیگر، نقطه داده مشاهده‌شده شما بالاتر از مقدار معمول در دیتاست است.

امتیاز Z منفی: یک امتیاز Z منفی به این معناست که نقطه داده شما پایین‌تر از مقدار متوسط دیتاست است. به عبارت دیگر، نقطه داده مشاهده‌شده شما پایین‌تر از مقدار معمول در دیتاست است.

امتیاز Z: امتیاز Z به شما می‌گوید که نقطه داده شما چقدر از میانگین دیتاست فاصله دارد. هرچه امتیاز Z بیشتر باشد، نقطه داده مشاهده‌شده شما از مقدار متوسط دورتر است.

امتیاز Z و انحراف معیار

امتیاز Z و انحراف معیار به این دلیل با یکدیگر مرتبط هستند که انحراف معیار برای محاسبه امتیاز Z استفاده می‌شود. در واقع، انحراف معیار یک جزء کلیدی از فرمول امتیاز Z است.

انحراف معیار، میزان پراکندگی دیتاست را نشان می‌دهد. این میزان نشان می‌دهد که هر نقطه داده چقدر از مقدار متوسط دیتاست فاصله دارد. هرچه انحراف معیار بیشتر باشد، پراکندگی داده‌ها بیشتر است.

امتیاز Z، از طرف دیگر، به شما می‌گوید که یک نقطه داده نسبت به میانگین دیتاست چقدر فاصله دارد نسبت به انحراف معیار. با استفاده از انحراف معیار برای محاسبه امتیاز Z، شما می‌توانید یک نقطه داده را با کل دیتاست مقایسه کنید و ببینید که چقدر غیر معمول یا معمولی است.

امتیاز Z و توزیع نرمال

توزیع نرمال نوعی از توزیع است که اغلب در بسیاری از پدیده‌های واقعی یافت می‌شود. این یک منحنی به شکل زنگ است که توزیع داده‌ها را دور میانگین مجموعه‌ای از داده‌ها نشان می‌دهد. توزیع نرمال همچنین به نام توزیع گاوسی شناخته می‌شود، به افتخار ریاضیدان کارل فریدریش گاوس.

امتیاز Z روشی برای اندازه‌گیری این است که یک نقطه داده چقدر از میانگین مجموعه داده‌ها نسبت به انحراف معیار دور است. با تبدیل هر نقطه داده به یک امتیاز Z، می‌توانید یک نقطه داده فردی را با کل مجموعه داده مقایسه کنید و ببینید که چقدر غیرعادی یا معمولی است.

ارتباط بین یک امتیاز Z و توزیع نرمال این است که امتیاز Z می‌تواند برای استانداردسازی داده‌ها و تطبیق آن‌ها با توزیع نرمال استفاده شود. این به این معناست که می‌توانید هر مجموعه داده‌ای را با تبدیل هر نقطه داده به یک امتیاز Z به یک توزیع نرمال تبدیل کنید. این مفید است زیرا بسیاری از روش‌های آماری فرض می‌کنند که داده‌ها به طور نرمال توزیع شده‌اند، بنابراین تبدیل داده‌ها به توزیع نرمال می‌تواند به شما کمک کند از این روش‌ها با دقت بیشتری استفاده کنید.

مقایسه نقاط داده

امتیاز Z می‌تواند به شما کمک کند تا درک کنید یک نقطه داده چقدر از میانگین یک مجموعه داده‌ها نسبت به انحراف معیار فاصله دارد.

مثال ما از استفاده امتیاز Z برای مقایسه نقاط داده به حوزه مالی اعمال می‌شود. برای مثال، شما در دو پرتفوی سهام مختلف سرمایه‌گذاری کرده‌اید و می‌خواهید عملکرد آن‌ها را با هم مقایسه کنید. میانگین بازگشت پرتفوی A، 10٪ با انحراف معیار 2٪ و میانگین بازگشت پرتفوی B، 8٪ با انحراف معیار 3٪ است. با تبدیل بازده‌ها به امتیاز‌های Z، می‌توانید بازده هر پرتفوی را با هم مقایسه کنید و تعیین کنید کدام یک بهتر عمل می‌کند.

یک مثال عملی دیگر از استفاده امتیاز Z برای مقایسه نقاط داده در ورزش است. برای مثال، شما می‌خواهید عملکرد دو بازیکن بسکتبال، بازیکن A و بازیکن B را با هم مقایسه کنید. بازیکن A به طور میانگین 20 امتیاز در هر بازی کسب می‌کند با انحراف معیار 5 امتیاز، و بازیکن B به طور میانگین 18 امتیاز در هر بازی کسب می‌کند با انحراف معیار 3 امتیاز. با تبدیل امتیازات به امتیاز Z، می‌توانید عملکرد هر بازیکن را با هم مقایسه کنید و تعیین کنید کدام بازیکن بهتر عمل می‌کند.

نرمال‌سازی داده‌ها

نرمال‌سازی داده‌ها فرایندی است که در آن داده‌ها به مقیاس استاندارد تبدیل می‌شوند تا بتوان به راحتی آن‌ها را با یکدیگر مقایسه و تحلیل کرد. این امر به این دلیل مهم است که داده‌ها می‌توانند اشکال و مقیاس‌های مختلفی داشته باشند، و نرمال‌سازی داده‌ها اطمینان می‌دهد که همه داده‌ها بر روی یک مقیاس قرار گیرند و این کار مقایسه و تحلیل آن‌ها را آسان‌تر می‌کند.

با تبدیل هر نقطه داده به امتیاز Z، می‌توانید داده‌ها را استانداردسازی کنید و آن‌ها را بر روی یک مقیاس قرار دهید. این به این دلیل است که امتیاز Z همیشه بر روی یک مقیاس استاندارد قرار دارد، جایی که میانگین 0 و انحراف معیار 1 است.

یک مثال عملی از استفاده امتیاز Z برای نرمال‌سازی داده‌ها به حوزه روانشناسی مربوط می‌شود. برای مثال، شما می‌خواهید نتایج دو آزمون هوش، آزمون A و آزمون B را با هم مقایسه کنید. آزمون A دارای میانگین امتیاز 100 با انحراف معیار 15 و آزمون B دارای میانگین امتیاز 110 با انحراف معیار 10 است. با تبدیل امتیازات به امتیاز Z، امتیازات می‌توانند استانداردسازی و به یک مقیاس واحد تقلیل یابند، که مقایسه و تحلیل را آسان‌تر می‌کند.

یک مثال عملی دیگر از استفاده امتیاز Z برای نرمال‌سازی داده‌ها در آموزش است. برای مثال، شما می‌خواهید نمرات دو دانش‌آموز، دانش‌آموز A و دانش‌آموز B را با هم مقایسه کنید. دانش‌آموز A دارای معدل نمره 80 با انحراف معیار 5 و دانش‌آموز B دارای معدل نمره 90 با انحراف معیار 3 است. با تبدیل نمرات به ضرایب Z، می‌توانید نمرات را استانداردسازی کنید و همه آن‌ها را بر روی یک مقیاس قرار دهید، که مقای

آزمون فرضیه

آزمون فرضیه یک تکنیک آماری است که برای تعیین اینکه آیا شواهد کافی برای رد فرضیه صفر، یا فرض استاندارد که هیچ رابطه‌ای بین دو متغیر وجود ندارد، استفاده می‌شود. این تکنیک در بسیاری از زمینه‌ها از جمله تحقیقات پزشکی، علوم اجتماعی و کسب‌وکار، که تصمیم‌گیری آگاهانه بر اساس داده‌ها حیاتی است، مهم است.

هنگام آزمون فرضیه‌ها، می‌توان از ضرایب Z برای تعیین احتمال وقوع یک نتیجه خاص استفاده کرد. برای مثال، ممکن است شما بخواهید آزمایش کنید که آیا وزن متوسط یک گروه از افراد با وزن متوسط کل جمعیت تفاوت دارد یا خیر. می‌توانید از امتیاز Z برای تعیین اینکه آیا تفاوت به لحاظ آماری معنی‌دار است، استفاده کنید.

یک مثال عملی از استفاده از امتیاز Z برای آزمون فرضیه‌ها در زمینه پزشکی است. برای مثال، شما می‌خواهید آزمایش کنید که آیا داروی جدیدی در کاهش علائم یک بیماری خاص مؤثر است یا خیر. می‌توانید از امتیاز Z برای تعیین اینکه آیا تفاوت در علائم بین گروهی که دارو را مصرف می‌کنند و گروه کنترل به لحاظ آماری معنی‌دار است، استفاده کنید.

یک مثال عملی دیگر از استفاده از امتیاز Z برای آزمون فرضیه‌ها در زمینه مالی است. برای مثال، شما می‌خواهید آزمایش کنید که آیا یک سهم خاص بازگشت بیشتری نسبت به میانگین سهام در بازار دارد یا خیر. می‌توانید از امتیاز Z برای تعیین اینکه آیا تفاوت در بازگشت‌ها به لحاظ آماری معنی‌دار است، استفاده کنید.

مقیاس‌بندی ویژگی‌ها

مقیاس‌بندی ویژگی‌ها تکنیکی است که در یادگیری ماشین و سایر کاربردهای تحلیل داده برای اطمینان از اینکه تمام ویژگی‌ها در یک مجموعه داده بر روی یک مقیاس یکسان قرار دارند، استفاده می‌شود. این مهم است زیرا برخی از الگوریتم‌های یادگیری ماشین نسبت به مقیاس داده‌ها حساس هستند و در صورتی که مقیاس مطابقت نداشته باشد، می‌توانند نتایج نادرستی تولید کنند.

یکی از روش‌های رایج مقیاس‌بندی ویژگی‌ها نرمال‌سازی امتیاز Z است که به عنوان استانداردسازی نیز شناخته می‌شود. در این فرایند، هر ویژگی به گونه‌ای تبدیل می‌شود که میانگین آن 0 و انحراف معیار آن 1 باشد. فرمول محاسبه امتیاز Z برای یک ویژگی به شرح زیر است:

Z = (X - میانگین) / انحراف معیار

که در آن X مقدار ویژگی، میانگین میانگین ویژگی، و انحراف معیار انحراف معیار ویژگی است.

یک مثال عملی از استفاده از امتیاز Z برای مقیاس‌بندی ویژگی‌ها در زمینه بینایی کامپیوتری است. هنگام کار با داده‌های تصویری، معمولاً لازم است مقادیر پیکسلی را به گونه‌ای مقیاس‌بندی کنید که در بازه 0 تا 1 قرار گیرند. این کار با نرمال‌سازی امتیاز Z قابل دستیابی است، زیرا می‌توان هر مقدار پیکسلی را به گونه‌ای تبدیل کرد که میانگین آن 0 و انحراف معیار آن 1 باشد.

یک مثال عملی دیگر از استفاده از امتیاز Z برای مقیاس‌بندی ویژگی‌ها در پردازش زبان طبیعی است. هنگام کار با داده‌های متنی، روال معمول این است که مقادیر فرکانس اصطلاح و فرکانس معکوس اسناد (TF-IDF) را به گونه‌ای مقیاس‌بندی کنید که در بازه 0 تا 1 قرار گیرند. این کار نیز با استفاده از نرمال‌سازی امتیاز Z قابل انجام است.

مدل‌سازی پیش‌بینی

مدل‌سازی پیش‌بینی تکنیکی است که در یادگیری ماشین و سایر کاربردهای تحلیل داده برای انجام پیش‌بینی‌ها بر اساس داده‌های تاریخی استفاده می‌شود. این روش شامل آموزش یک مدل بر روی یک مجموعه داده و استفاده از آن مدل برای انجام پیش‌بینی‌ها بر روی داده‌های جدید و ندیده می‌باشد.

یکی از جنبه‌های مهم مدل‌سازی پیش‌بینی، انتخاب ویژگی است که شامل انتخاب ویژگی‌های مرتبط‌ترین از مجموعه داده برای استفاده در مدل می‌شود. اغلب، ویژگی‌هایی که به شدت با متغیر هدف مرتبط هستند ترجیح داده می‌شوند زیرا احتمال بیشتری دارد که متغیر هدف را پیش‌بینی کنند.

امتیاز Z می‌تواند برای شناسایی ویژگی‌هایی که به شدت با متغیر هدف مرتبط هستند استفاده شود زیرا ویژگی‌هایی که امتیاز Z بالایی دارند احتمال بیشتری دارد که متغیر هدف را پیش‌بینی کنند. فرمول محاسبه امتیاز Z برای یک ویژگی به شرح زیر است:

Z = (X - میانگین) / انحراف معیار

که در آن X مقدار ویژگی، میانگین میانگین ویژگی، و انحراف معیار انحراف معیار ویژگی است.

یک مثال عملی از استفاده از امتیاز Z در مدل‌سازی پیش‌بینی به حوزه مالی تعلق دارد. هنگام پیش‌بینی قیمت‌های سهام، امتیاز Z عملکرد گذشته سهام می‌تواند برای تعیین پتانسیل بازگشت آینده آن استفاده شود. یک امتیاز Z بالا نشان می‌دهد که بازگشت گذشته سهام بسیار بالاتر از میانگین است و می‌توان برای بازگشت‌های بالاتر در آینده پیش‌بینی کرد.

یک مثال عملی دیگر از استفاده از امتیاز Z در مدل‌سازی پیش‌بینی در زمینه بهداشت و درمان است. هنگام پیش‌بینی نتایج بیماران، امتیاز Z می‌تواند برای تعیین پتانسیل یک بیمار برای نتایج آینده استفاده شود. یک امتیاز Z

استفاده از جدول امتیاز Z

یک جدول Z، که به عنوان جدول نرمال استاندارد یا جدول نرمال واحد نیز شناخته می‌شود، جدولی است که حاوی مقادیر استانداردشده‌ای است که برای محاسبه احتمال اینکه یک آمار داده‌شده در زیر، بالاتر، یا بین توزیع نرمال استاندارد قرار گیرد، استفاده می‌شود.

z	0	0.01	0.02	0.03	0.04	0.05	0.06	0.07	0.08	0.09
0	0	0.00399	0.00798	0.01197	0.01595	0.01994	0.02392	0.0279	0.03188	0.03586
0.1	0.03983	0.0438	0.04776	0.05172	0.05567	0.05962	0.06356	0.06749	0.07142	0.07535
0.2	0.07926	0.08317	0.08706	0.09095	0.09483	0.09871	0.10257	0.10642	0.11026	0.11409
0.3	0.11791	0.12172	0.12552	0.1293	0.13307	0.13683	0.14058	0.14431	0.14803	0.15173
0.4	0.15542	0.1591	0.16276	0.1664	0.17003	0.17364	0.17724	0.18082	0.18439	0.18793
0.5	0.19146	0.19497	0.19847	0.20194	0.2054	0.20884	0.21226	0.21566	0.21904	0.2224
0.6	0.22575	0.22907	0.23237	0.23565	0.23891	0.24215	0.24537	0.24857	0.25175	0.2549
0.7	0.25804	0.26115	0.26424	0.2673	0.27035	0.27337	0.27637	0.27935	0.2823	0.28524
0.8	0.28814	0.29103	0.29389	0.29673	0.29955	0.30234	0.30511	0.30785	0.31057	0.31327
0.9	0.31594	0.31859	0.32121	0.32381	0.32639	0.32894	0.33147	0.33398	0.33646	0.33891
1	0.34134	0.34375	0.34614	0.34849	0.35083	0.35314	0.35543	0.35769	0.35993	0.36214
1.1	0.36433	0.3665	0.36864	0.37076	0.37286	0.37493	0.37698	0.379	0.381	0.38298
1.2	0.38493	0.38686	0.38877	0.39065	0.39251	0.39435	0.39617	0.39796	0.39973	0.40147
1.3	0.4032	0.4049	0.40658	0.40824	0.40988	0.41149	0.41308	0.41466	0.41621	0.41774
1.4	0.41924	0.42073	0.4222	0.42364	0.42507	0.42647	0.42785	0.42922	0.43056	0.43189
1.5	0.43319	0.43448	0.43574	0.43699	0.43822	0.43943	0.44062	0.44179	0.44295	0.44408
1.6	0.4452	0.4463	0.44738	0.44845	0.4495	0.45053	0.45154	0.45254	0.45352	0.45449
1.7	0.45543	0.45637	0.45728	0.45818	0.45907	0.45994	0.4608	0.46164	0.46246	0.46327
1.8	0.46407	0.46485	0.46562	0.46638	0.46712	0.46784	0.46856	0.46926	0.46995	0.47062
1.9	0.47128	0.47193	0.47257	0.4732	0.47381	0.47441	0.475	0.47558	0.47615	0.4767
2	0.47725	0.47778	0.47831	0.47882	0.47932	0.47982	0.4803	0.48077	0.48124	0.48169
2.1	0.48214	0.48257	0.483	0.48341	0.48382	0.48422	0.48461	0.485	0.48537	0.48574
2.2	0.4861	0.48645	0.48679	0.48713	0.48745	0.48778	0.48809	0.4884	0.4887	0.48899
2.3	0.48928	0.48956	0.48983	0.4901	0.49036	0.49061	0.49086	0.49111	0.49134	0.49158
2.4	0.4918	0.49202	0.49224	0.49245	0.49266	0.49286	0.49305	0.49324	0.49343	0.49361
2.5	0.49379	0.49396	0.49413	0.4943	0.49446	0.49461	0.49477	0.49492	0.49506	0.4952
2.6	0.49534	0.49547	0.4956	0.49573	0.49585	0.49598	0.49609	0.49621	0.49632	0.49643
2.7	0.49653	0.49664	0.49674	0.49683	0.49693	0.49702	0.49711	0.4972	0.49728	0.49736
2.8	0.49744	0.49752	0.4976	0.49767	0.49774	0.49781	0.49788	0.49795	0.49801	0.49807
2.9	0.49813	0.49819	0.49825	0.49831	0.49836	0.49841	0.49846	0.49851	0.49856	0.49861
3	0.49865	0.49869	0.49874	0.49878	0.49882	0.49886	0.49889	0.49893	0.49896	0.499
3.1	0.49903	0.49906	0.4991	0.49913	0.49916	0.49918	0.49921	0.49924	0.49926	0.49929
3.2	0.49931	0.49934	0.49936	0.49938	0.4994	0.49942	0.49944	0.49946	0.49948	0.4995
3.3	0.49952	0.49953	0.49955	0.49957	0.49958	0.4996	0.49961	0.49962	0.49964	0.49965
3.4	0.49966	0.49968	0.49969	0.4997	0.49971	0.49972	0.49973	0.49974	0.49975	0.49976
3.5	0.49977	0.49978	0.49978	0.49979	0.4998	0.49981	0.49981	0.49982	0.49983	0.49983
3.6	0.49984	0.49985	0.49985	0.49986	0.49986	0.49987	0.49987	0.49988	0.49988	0.49989
3.7	0.49989	0.4999	0.4999	0.4999	0.49991	0.49991	0.49992	0.49992	0.49992	0.49992
3.8	0.49993	0.49993	0.49993	0.49994	0.49994	0.49994	0.49994	0.49995	0.49995	0.49995
3.9	0.49995	0.49995	0.49996	0.49996	0.49996	0.49996	0.49996	0.49996	0.49997	0.49997
4	0.49997	0.49997	0.49997	0.49997	0.49997	0.49997	0.49998	0.49998	0.49998	0.49998

برای استفاده از جدول Z، شما نیاز دارید که ردیفی را پیدا کنید که متناسب با امتیاز Z محاسبه شده شما باشد و سپس ستون متناسبی را پیدا کنید که مساحت (احتمال) زیر منحنی نرمال استاندارد را به شما بدهد. مقدار به دست آمده، احتمال تقریبی است که یک متغیر تصادفی از توزیع نرمال استاندارد کمتر از یا مساوی با امتیاز Z محاسبه شده شما باشد.

برای مثال، اگر شما یک امتیاز Z برابر با 1.96 داشته باشید، شما باید در جدول Z برای ردیفی که متناسب با 1.9 و ستونی که متناسب با 0.06 است، نگاه کنید. مقدار به دست آمده به شما مساحت زیر منحنی نرمال استاندارد به راست 1.96 را خواهد داد. این مقدار تقریباً 0.975 است، به این معنی که تقریباً 97.5٪ از داده‌ها از یک توزیع نرمال استاندارد کمتر از یا مساوی با 1.96 خواهد بود.

مهم است که توجه داشته باشید که جدول Z فقط برای یک توزیع نرمال استاندارد با میانگین 0 و انحراف معیار 1 کار می‌کند. اگر داده‌های شما این توزیع را دنبال نمی‌کنند، شما نیاز دارید که ابتدا آن‌ها را با تبدیل داده‌ها به امتیازهای Z استاندارد کنید.

یافتن احتمال از امتیاز Z

زمانی که یک متغیر با توزیع نرمال را به امتیاز Z تبدیل می‌کنیم، می‌توانیم از جدول امتیاز Z استفاده کرده و نسبت سطح زیر منحنی نرمال را بیابیم. کل سطح زیر منحنی استاندارد نرمال برابر با 1 است. بنابراین، نسبت سطح پوشیده شده در یک منحنی نرمال برابر با احتمال آن امتیاز Z است.

مثال 1

وزن بازیکنان بوکس با توزیع نرمالی دارای میانگین 75 کیلوگرم و انحراف معیار 3 کیلوگرم است. احتمال اینکه وزن یک بازیکن به طور تصادفی انتخاب شده؛

• الف) بیش از 78 کیلوگرم باشد؟
• ب) کمتر از 69 کیلوگرم باشد؟
• ج) بیش از 72 کیلوگرم باشد؟
• د) کمتر از 79.5 کیلوگرم باشد؟
• هـ) بین 72 کیلوگرم و 76.5 کیلوگرم باشد؟
• و) بین 72 کیلوگرم و 73.5 کیلوگرم باشد؟

الف) احتمال اینکه یک بازیکن به طور تصادفی انتخاب شده وزنی بیش از 78 کیلوگرم داشته باشد چقدر است؟

• X > 78
• μ = 75
• σ = 3

$$P(X>78)=P\left(Z>\frac{X-μ}{σ}\right)=P\left(Z>\frac{78-75}{3}\right)=P(Z>1)$$

اول، این را در یک منحنی Z ترسیم می‌کنیم.

حالا از جدول Z برای پیدا کردن احتمال مربوط به امتیاز Z محاسبه شده استفاده خواهیم کرد.

به خاطر داشته باشید که امتیاز Z همیشه احتمال بین امتیاز Z و میانگین را نشان می‌دهد. برای به دست آوردن احتمال ناحیه برجسته در نمودار، نیاز است که آن احتمال را از 0.5 کاهش دهیم. (کل احتمال زیر منحنی برابر با 1 است، و میانگین توزیع استاندارد به دو قسمت مساوی تقسیم می‌شود. بنابراین، احتمال از نقطه میانگین تا هر یک از انتهاها 0.5 است.)

• P (X > 78) = P (Z > 1)
• P (X > 78) = 0.5 - P(0 < Z < 1)
• P (X > 78) = 0.5 - 0.3413
• P (X > 78) = 0.1587

بنابراین، احتمال 0.1587 وجود دارد که وزن یک بازیکن به طور تصادفی انتخاب شده بیشتر از 78 کیلوگرم باشد.

ب) احتمال اینکه وزن یک بازیکن به طور تصادفی انتخاب شده کمتر از 69 کیلوگرم باشد چقدر است؟

• X < 69
• μ = 75
• σ = 3

$$P(X<69)=P\left(Z>\frac{X-μ}{σ}\right)=P\left(Z>\frac{69-75}{3}\right)=P(Z<-2)$$

اول، این را در یک منحنی Z ترسیم می‌کنیم.

حالا از جدول Z برای پیدا کردن احتمال مربوط به امتیاز Z محاسبه شده استفاده خواهیم کرد.

به خاطر داشته باشید که امتیاز Z همیشه احتمال بین امتیاز Z و میانگین را می‌دهد. برای به دست آوردن احتمال ناحیه برجسته در نمودار، نیاز است که آن احتمال را از 0.5 کاهش دهیم.

• P (X < 69) = P (Z < 69)
• P (X < 69) = 0.5 - P (0 > Z > -2)
• P (X < 69) = 0.5 - 0.4772
• P (X < 69) = 0.0228

بنابراین، احتمال 0.0228 وجود دارد که وزن یک بازیکن به طور تصادفی انتخاب شده کمتر از 69 کیلوگرم باشد.

ج) احتمال اینکه وزن یک بازیکن به طور تصادفی انتخاب شده بین 72 کیلوگرم و 76.5 کیلوگرم باشد چقدر است؟

• 72 < X < 76.5
• μ = 75
• σ = 3

$$P(72 \lt X \lt 76.5)=P\left(\frac{X-μ}{σ} \lt Z \lt \frac{X-μ}{σ}\right)=P\left(\frac{72-75}{3} \lt Z \lt \frac{76.5-75}{3}\right)=P(-1 \lt Z \lt 0.5)$$

اول، این را در یک منحنی Z ترسیم می‌کنیم.

حالا از جدول Z برای پیدا کردن احتمال مربوط به امتیاز Z محاسبه شده استفاده خواهیم کرد.

به خاطر داشته باشید که امتیاز Z همیشه احتمال بین امتیاز Z و میانگین را می‌دهد. برای به دست آوردن احتمال ناحیه برجسته در نمودار، می‌توانید احتمال‌های 2 امتیاز Z را با هم جمع کنید.

• P (72 < X < 76.5) = P (-1 < Z < 0.5)
• P (72 < X < 76.5) = 0.3413 + 0.1915
• P (72 < X < 76.5) = 0.5328

بنابراین، احتمال 0.5328 وجود دارد که وزن یک بازیکن به طور تصادفی انتخاب شده بین 72 کیلوگرم و 76.5 کیلوگرم باشد.

در این حالت، باید از محاسبه‌گر احتمال بین دو امتیاز Z برای پیدا کردن پاسخ به سرعت استفاده کنید.

یافتن مقادیر متناظر برای احتمالات مشخص شده

زمانی که می‌دانیم توزیع به صورت نرمال است، می‌توانیم مقادیر متناظر برای احتمالات مشخص شده بر اساس امتیاز Z پیدا کنیم.

مثال 2

نمرات شرکت‌کنندگان در یک امتحان رقابتی تقریباً به صورت توزیع نرمالی هستند، با میانگین 55 و انحراف معیار 10. اگر 30 درصد بالایی شرکت‌کنندگان در آزمون قبول شوند، حداقل نمره قبولی را پیدا کنید.

راه‌حل

در این مورد، ابتدا باید امتیاز Z متناظر با احتمال یا درصد داده شده را پیدا کنیم.

برای پیدا کردن امتیاز Z، واقعاً نیاز به پیدا کردن احتمال در ناحیه برجسته داریم.

این با کسر کردن 0.30 از 0.50 به دست می‌آید. بنابراین، احتمال ناحیه برجسته 0.20 است.

حالا، در جدول Z، باید نزدیک‌ترین احتمال به 0.20 را پیدا کنیم. امتیاز Z متناظر 0.524 است.

سپس، باید مقدار X را با استفاده از فرمول امتیاز Z پیدا کنیم.

• Z = (X - μ)/σ
• 0.524 = (X - 55)/10
• X = (0.524 × 10) + 55
• X = 60.24

بنابراین، حداقل نمره قبولی برای آزمون 60.24 است.