ماشین حساب ک.م.م (LCM)

این ماشین حساب آنلاین ک.م.م (LCM) به شما امکان می‌دهد کمترین مضرب مشترک دو یا چند عدد را به سرعت محاسبه کنید. کمترین مضرب مشترک، کوچکترین عددی است که مضربی از تمام اعداد داده شده باشد (بر همه آن‌ها بخش‌پذیر باشد). به عنوان مثال، ک.م.م اعداد 2 و 3 برابر با 6 است؛ زیرا 6 کوچکترین عددی است که بدون باقیمانده بر هر دو عدد 2 و 3 تقسیم می‌شود. این ماشین حساب از روش‌های مختلفی مانند تجزیه به عوامل اول، روش کیک/نردبان، روش تقسیم، استفاده از ب.م.م (GCF) و نمودار ون پشتیبانی می‌کند.

دستورالعمل استفاده:

• برای استفاده از ماشین حساب LCM، اعداد مورد نظر خود را وارد کرده و دکمه محاسبه (Calculate) را فشار دهید.
• از فاصله (Space) یا کاما برای جدا کردن اعداد از یکدیگر استفاده کنید. توجه داشته باشید که نباید درون یک عدد از کاما استفاده کنید. به عنوان مثال، عدد هزار را به صورت 1000 بنویسید، نه 1,000. ماشین حساب بلافاصله کمترین مضرب مشترک اعداد وارد شده را نمایش می‌دهد.
• برای مشاهده راه حل دقیق و مرحله‌به‌مرحله، روش حل مورد نظر خود را از منوی کشویی انتخاب کرده و مجدداً (Calculate) را فشار دهید.
• اگر می‌خواهید مراحل حل را بر اساس روش دیگری مشاهده کنید، به سادگی روش جدید را از منوی کشویی انتخاب کرده و دوباره روی (Calculate) کلیک کنید.

الگوریتم‌های محاسبه:

فهرست کردن مضارب

ساده‌ترین راه برای یافتن کمترین مضرب مشترک چند عدد، نوشتن فهرست مضارب هر یک از آن‌هاست؛ این کار را تا جایی ادامه می‌دهیم که یک مضرب مشترک در تمامی فهرست‌ها ظاهر شود. این عدد همان ک.م.م (LCM) خواهد بود.

برای مثال، بیایید ک.م.م اعداد 5 و 7 یعنی LCM (5, 7) را پیدا کنیم:

مضارب 5: 5، 10، 15، 20، 25، 30، 35، 40، 45، 50، 55، 60 و غیره.

مضارب 7: 7، 14، 21، 28، 35، 42، 49، 56، 63، 70، 77 و غیره.

عدد 35 اولین مضربی است که در هر دو لیست ظاهر شده است. بنابراین، LCM (5, 7) = 35.

تجزیه به عوامل اول:

برای یافتن ک.م.م چند عدد با استفاده از تجزیه به عوامل اول، مراحل زیر را دنبال کنید:

1. عوامل اول هر عدد را به دست آورید.
2. تجزیه به عوامل اول هر عدد را به صورت توان‌دار بنویسید (مثلاً 2 × 2 × 2 به صورت 2^3 نوشته می‌شود).
3. بالاترین توانِ هر عامل اول را در نظر گرفته و آن‌ها را در هم ضرب کنید.
4. عدد حاصل، ک.م.م (LCM) اعداد داده شده خواهد بود.

توجه داشته باشید که می‌توانید LCM را بدون نوشتن عوامل اول به شکل توان‌دار نیز پیدا کنید. در این حالت، در مرحله 3 باید هر عامل اول را به بیشترین دفعاتی که در تجزیه هر یک از اعداد تکرار شده است، در هم ضرب کنید.

برای مثال، بیایید ک.م.م اعداد 3، 12 و 40 یعنی LCM (3, 12, 40) را پیدا کنیم:

1. یافتن عوامل اول هر عدد:

عوامل اول 3: 3 یک عدد اول است.

عوامل اول 12: 2 × 2 × 3

عوامل اول 40: 2 × 2 × 2 × 5

2. نوشتن عوامل اول به صورت توان‌دار:

3 = 3^1

12 = 2^2 × 3^1

40 = 2^3 × 5^1

3. ضرب بالاترین توان‌های همه عوامل اول:

2^3 × 3^1 × 5^1 = 120

4. LCM (3, 12, 40) = 120

بدون استفاده از حالت توان‌دار، مرحله 3 به این شکل خواهد بود: 120 = 5 × 3 × 2 × 2 × 2. ماشین حساب آنلاین LCM ما، هر دو حالت را در بخش راه حلِ الگوریتم تجزیه به عوامل اول نمایش می‌دهد.

روش کیک / نردبان

این روش به این دلیل نام‌گذاری شده است که مراحل حل آن شبیه به لایه‌های یک کیک یا پله‌های یک نردبان است. بیایید با استفاده از یک مثال و یافتن ک.م.م اعداد 12، 15 و 24، این الگوریتم را بررسی کنیم.

1. ابتدا اعداد داده شده را به صورت افقی کنار هم بنویسید و یک خط شبیه "پله نردبان" یا "لایه کیک" دور آن‌ها بکشید:

2. کوچکترین عدد اولی را پیدا کنید که حداقل دو عدد از اعداد داده شده بر آن بخش‌پذیر باشند. آن را در سمت چپ بنویسید و عمل تقسیم را انجام دهید. خارج‌قسمت‌ها را در لایه بعدی (زیر اعداد قبلی) بنویسید. اگر عددی بر آن مقسوم‌علیه بخش‌پذیر نبود، خود آن عدد را عیناً به پایین منتقل کنید.

در مثال ما، کار را با عدد 2 شروع می‌کنیم، زیرا اعداد 12 و 24 بر 2 بخش‌پذیرند. تصویر زیر را خواهیم داشت:

3. مرحله 2 را تا جایی تکرار کنید که دیگر هیچ دو عددی پیدا نشوند که بر یک عدد اول مشترک بخش‌پذیر باشند:

4. ک.م.م (LCM) اعداد داده شده، برابر است با حاصل‌ضرب تمام اعداد ستون سمت چپ و ردیف پایین. در این مثال:

LCM (12, 15, 24) = 2 × 2 × 3 × 1 × 5 × 2 = 120

روش تقسیم:

روش تقسیم شباهت زیادی به روش کیک/نردبان دارد. با این تفاوت که در اینجا، تقسیم کردن را تا زمانی ادامه می‌دهید که همه اعداد داده شده به 1 برسند. در این روش، هر زمان که حتی یک عدد بر مقسوم‌علیه اول بخش‌پذیر باشد، تقسیم را انجام می‌دهید. در نهایت، ردیف پایین فقط شامل عدد 1 خواهد بود و می‌توانید ک.م.م را با ضرب کردن تمام اعداد ستون سمت چپ به دست آورید. اگر به مثال قبلی برای یافتن LCM (12, 15, 24) نگاه کنیم، جدول تقسیم به شکل زیر خواهد بود:

و در نهایت: LCM (12, 15, 24) = 2 × 2 × 2 × 3 × 5 = 120

روش GCF (بزرگترین مقسوم‌علیه مشترک):

برای پیدا کردن ک.م.م دو عدد با کمک بزرگترین مقسوم‌علیه مشترک (GCF یا ب.م.م)، از فرمول زیر استفاده کنید:

LCM (x, y) = (x × y) / GCF (x, y)

برای یافتن ک.م.م بیش از دو عدد، باید فرمول بالا را به صورت متوالی تکرار کنید. به عنوان مثال، ک.م.م سه عدد به صورت زیر محاسبه می‌شود: LCM (x, y, z) = LCM (LCM (x, y), z)

برای مثال، می‌خواهیم ک.م.م اعداد 6 و 8 را پیدا کنیم. مقدار ب.م.م یا همان GCF (6, 8) برابر با 2 است. بنابراین:

LCM (6, 8) = (6 × 8) / 2 = 48 / 2 = 24

نمودار ون (Venn Diagram):

برای یافتن ک.م.م با استفاده از نمودار ون، ابتدا باید عوامل اول هر عدد را مشخص کنید. سپس این عوامل اول را بر اساس اشتراک آن‌ها بین دو یا سه عدد دسته‌بندی کرده و در قالب یک نمودار ون ترسیم کنید. برای اعداد (12, 15, 24)، نمودار ون به شکل زیر خواهد بود:

توجه داشته باشید که این ماشین حساب آنلاین، راه حل مبتنی بر نمودار ون را تنها برای 2 یا 3 عدد نمایش می‌دهد.

مثال محاسبه:

مایک و لینا هر دو در کلاس‌های کاراته شرکت می‌کنند، اما برنامه زمانی آن‌ها متفاوت است: مایک هر 5 روز یک‌بار و لینا هر 3 روز یک‌بار به کلاس می‌رود. امروز آن‌ها با هم در کلاس حاضر شدند. چند روز طول می‌کشد تا دوباره در یک روز مشترک با هم در کلاس حاضر شوند؟

راه حل:

برای حل این مسئله، باید کمترین مضرب مشترک اعداد 5 و 3 یعنی LCM (5, 3) را پیدا کنیم. اجازه دهید این کار را با کمک روش تجزیه به عوامل اول انجام دهیم.

3 یک عدد اول است، بنابراین: 3 = 3^1

5 نیز یک عدد اول است، بنابراین: 5 = 5^1

LCM (5, 3) = 3^1 × 5^1 = 15

جواب:

مایک و لینا 15 روز دیگر مجدداً با هم به کلاس کاراته خواهند رفت.