İhtimal Hesaplayıcısı

İstatistik, matematik ve tahmin biliminde "olasılık" (probability) ve "ihtimal" (odds) sıkça karşımıza çıkan terimlerdir. Günlük dilde genellikle aynı anlamda kullanılsalar da matematiksel olarak olasılık ve ihtimal arasında belirgin farklar bulunur.

Olasılığın Tanımı

Bir olayın olasılığı, o olayın gerçekleşme şansını matematiksel olarak ifade eder. Başka bir deyişle, istenen durumu sağlayan sonuçların, tüm olası sonuçlara oranıdır.

Bu durumu daha iyi kavramak için bir örneğe bakalım.

Olasılık Örneği

Standart 52 kartlık bir iskambil destesinde 12 adet resimli kart bulunur. Dört farklı serinin (kupa, maça, karo, sinek) her birinde birer papaz, kız ve vale yer alır.

Diyelim ki bir arkadaşınız desteyi iyice karıştırdı ve sizden rastgele bir kart çekmenizi istedi. Eğlencesine bir iddiaya girdiniz: Eğer resimli bir kart çekemezseniz ona 1 dolar vereceksiniz, ancak resimli bir kart çekerseniz o size 5 dolar verecek.

Kazanma olasılığınızı bulun.

Kazanma olasılığı, tüm olası sonuçlar arasından resimli bir kart çekme şansınızdır. Destede toplam 52 kart bulunduğu için tüm olası sonuçların sayısı 52'dir. Hedeflediğiniz (istenen) olay ise resimli bir kart çekmektir. Karıştırılmış destede 12 adet resimli kart olduğu için, istenen olay adına 12 olası sonuç vardır.

Olasılığı bulmak için, istenen olayların sayısını tüm sonuçlara oranlarsınız. Bu da 12/52'ye denk gelir. İşte kazanma olasılığı tam olarak bu şekilde hesaplanır.

İhtimalin Tanımı

İhtimal (veya oran), elde etmek istenen olumlu sonuçların sayısını, istenmeyen olumsuz sonuçların sayısıyla karşılaştıran bir ölçümdür. Başka bir deyişle ihtimal, belirli bir senaryoda olumlu sonuçların olumsuzlara olan oranını ifade etme yöntemidir.

Bu kavramı pekiştirmek için bir önceki örneğimizi kullanmaya devam edelim.

İhtimal Örneği

Yukarıdaki kart örneğinde sizin lehinize olan (istenen) sonuç resimli bir kart çekmektir. Dolayısıyla lehinize olan 12 sonuç bulunmaktadır. İstenmeyen sonuçların sayısı ise, toplam olası sonuçlardan lehte olanların çıkarılmasıyla bulunur. Toplam 52 sonuç olduğuna göre, 52'den 12'yi çıkarmalısınız.

İstenmeyen sonuç sayısı = Toplam sonuç sayısı - İstenen sonuç sayısı = 52 - 12 = 40

Şimdi, arzu edilen sonuçların sayısını istenmeyen sonuçların sayısına oranlarsınız. Matematikte ve bahis dünyasında buna ihtimal (oran) adı verilir.

Olasılık Hesaplama

Olasılık, istenen sonuçların sayısının toplam olası sonuç sayısına bölünmesiyle elde edilir.

Olasılık = İstenen sonuç sayısı / Toplam sonuç sayısı

Şimdi az önceki iskambil örneğindeki kazanma olasılığımızı hesaplayalım.

Kazanma olasılığı = Resimli kartların sayısı / Destedeki toplam kart sayısı = 12 / 52 = 3 / 13

Ardından kaybetme olasılığını hesaplayacağız. Bu işlem, istenen olayın "tümleyen (tamamlayıcı) olayı"nın olasılığını bulmak demektir.

Eğer istenen olay A ise, tümleyen olay Aᶜ veya A¹ olarak gösterilir. Tümleyen olayın olasılığı, istenen olayın olasılığının 1'den çıkarılmasıyla hesaplanır.

P(Aᶜ) = 1 - P(A)

Aynı örnekteki kaybetme olasılığını hesaplayalım.

Kazanma olasılığını daha önce 3 / 13 olarak bulmuştuk. Bu durumda:

Kaybetme olasılığı = 1 - Kazanma Olasılığı = 1 - 3 / 13 = 10 / 13

İhtimal Hesaplama

İhtimal, istenen sonuçların sayısının istenmeyen sonuçların sayısına olan oranının en sade halini bularak hesaplanır. Bu değer aynı zamanda, istenen olayların olasılığının istenmeyen olayların olasılığına oranlanmasıyla da belirlenebilir.

İki farklı ihtimal (oran) hesaplama türü vardır:

• lehte ihtimal,
• aleyhte ihtimal.

Lehte İhtimal

İstenen olayın gerçekleşebileceği sonuçların sayısının, istenmeyen olayın gerçekleşeceği sonuçların sayısına olan en sade oranına lehte ihtimal (odds in favor) denir. Hedeflediğimiz olay A olsun. Bu durumda A olayının lehte ihtimali şu şekilde hesaplanır:

Sonuç sayısına göre;

A olayının lehte ihtimali = n(A) : n(Aᶜ)

Olasılığa göre;

A olayının lehte ihtimali = P(A) : P(Aᶜ)

Verilen örnekteki iddiayı kazanmanın lehte ihtimalini hesaplayalım.

1. Sonuç sayısına göre

Önceki örneğimizde istenen olay resimli bir kart çekmekti.

İstenen sonuçların sayısı = 12

İstenmeyen sonuçların sayısı = Toplam sonuç sayısı - İstenen sonuçların sayısı = 52 - 12 = 40

Bu durumda,

Lehte ihtimal = İstenen sonuçların sayısı / İstenmeyen sonuçların sayısı = 12 / 40 = 3 / 10

2. Olasılığa göre

İstenen olay resimli bir kart çekmektir.

Kazanma olasılığı = İstenen sonuçların sayısı / Toplam sonuç sayısı = 12 / 52 = 3 / 13

Kaybetme olasılığı = 1 - Kazanma olasılığı = 1 - 3 / 13 = 10 / 13

Lehte ihtimal = Kazanma olasılığı / Kaybetme olasılığı = 3 / 13 : 10 / 13 = 3:10

Aleyhte İhtimal

Aleyhte ihtimal (odds against), istenmeyen sonuçların sayısının, istenen olayın gerçekleşeceği sonuçların sayısına olan en sade oranıdır. Hedeflediğimiz olay A olsun. Bu durumda A olayının aleyhte ihtimali şu şekilde hesaplanır:

Sonuç sayısına göre;

A olayının aleyhte ihtimali = n(Aᶜ) : n(A)

Olasılığa göre;

A olayının aleyhte ihtimali = P(Aᶜ) : P(A)

Aynı örnek üzerinden kazanmamanın (kaybetmenin) aleyhte ihtimalini hesaplayalım.

1. Sonuç sayısına göre

İstenen olay resimli bir kart çekmektir.

İstenen sonuçların sayısı = 12

İstenmeyen sonuçların sayısı = Toplam sonuç sayısı - İstenen sonuçların sayısı = 52 - 12 = 40

Bu durumda,

Kazanmamanın aleyhte ihtimali = İstenmeyen sonuçların sayısı : İstenen sonuçların sayısı = 40 : 12 = 10 : 3

2. Olasılığa göre

İstenen olay resimli bir kart çekmektir.

Kazanma olasılığı = İstenen sonuçların sayısı / Toplam sonuç sayısı = 12 / 52 = 3 / 13

Kaybetme olasılığı = 1 - Kazanma olasılığı = 1 - 3 / 13 = 10 / 13

Kazanmamanın aleyhte ihtimali = Kaybetme olasılığı : Kazanma olasılığı = 10 / 13 : 3 / 13 = 10 : 3

İfade

Olasılığın İfadesi

Olasılık değerleri ondalık sayı, yüzde, kesir veya oran olarak çeşitli şekillerde ifade edilebilir.

Önceki örnekte, kazanma olasılığını kesir olarak hesaplamıştık:

• Kazanma olasılığı = İstenen sonuçların sayısı / Toplam sonuç sayısı = 12 / 52 = 3 / 13

Kazanma olasılığını ondalık sayı olarak ifade edebiliriz:

• Kazanma olasılığı = İstenen sonuçların sayısı / Toplam sonuç sayısı = 12 / 52 = 3 / 13 = 0,2308

Kazanma olasılığını yüzde olarak ifade edebiliriz:

• Kazanma olasılığı = (İstenen sonuçların sayısı / Toplam sonuç sayısı) × 100% = (12 / 52) × 100% = (3 / 13) × 100% = 23,08%

Kazanma olasılığını bir oran olarak temsil edebiliriz:

• Kazanma olasılığı = İstenen sonuçların sayısı : Toplam sonuç sayısı = 12 : 52 = 3 : 13

Özetlemek gerekirse;

• Kazanma olasılığı = 3 / 13 = 0,2308 = 23,08%

İhtimallerin İfadesi

İhtimaller (oranlar) genellikle en sadeleştirilmiş halleriyle bir oran formatında ifade edilir.

Örneğimize göre;

• Lehine ihtimal = İstenen sonuçların sayısı : İstenmeyen sonuçların sayısı = 12 : 40 = 3 : 10

• Aleyhte ihtimal = İstenmeyen sonuçların sayısı : İstenen sonuçların sayısı = 40 : 12 = 10 : 3

Aralık

Olasılık Aralığı

Bir olayın gerçekleşmesi kesinse olasılık değeri 1'dir. Eğer bir olay hiçbir zaman gerçekleşmeyecekse (imkansız olay), olasılığı 0'dır. Sonuç olarak, belirli bir olayın matematiksel olasılığı her zaman 0 ile 1 aralığındadır. Eğer olasılık yüzde olarak ifade edilirse, bu değer %0 ile %100 arasında olacaktır.

İhtimallerin Aralığı

Bir olay kesin olarak gerçekleşecekse, lehine ihtimal sonsuzdur. Eğer olay asla gerçekleşmeyecekse, ihtimal değeri 0 olur. Bu nedenle ihtimaller her zaman 0 ile sonsuz arasında bir sayı olarak temsil edilir.

Örneğimize göre;

• Lehine ihtimal = 3 : 10 = 0,3

• Aleyhte ihtimal = 10 : 3 = 3,33

İhtimalleri Olasılığa Dönüştürme

Daha önce de belirttiğimiz gibi ihtimaller, belirli bir senaryoda olumlu sonuçların oranını olumsuzlara göre kıyaslamanın bir yoludur.

Ancak ihtimaller, doğrudan olayın gerçekleşme olasılığını (şansını) vermez. Bu nedenle, elinizde sadece ihtimal (oran) verileri varsa, olayın ne kadar olası olduğunu anlamak için bu ihtimalleri olasılığa dönüştürmeniz gerekir. İhtimalleri olasılığa dönüştürmek için aşağıdaki matematiksel kuralı kullanabilirsiniz.

Eğer lehte olan olay A ise;

Biliyoruz ki,

n(S) = n(A) + n(Aᶜ)

Bu nedenle,

$$P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(S\right)}=\frac{n\left(A\right)}{n\left(A\right)+n(A^c)}$$

İhtimalleri Olasılığa Dönüştürme Örneği

Örneğimizde;

• Lehine ihtimal = 3 : 10

Dolayısıyla,

• Kazanma olasılığı = İstenen sonuçların sayısı / (İstenen sonuçların sayısı + İstenmeyen sonuçların sayısı) = 3 / (3 + 10) = 3 / 13

Yine örneğimizde;

• Aleyhte ihtimal = 10 : 3

Dolayısıyla,

• Kaybetme olasılığı = İstenmeyen sonuçların sayısı / (İstenmeyen sonuçların sayısı + İstenen sonuçların sayısı) = 10 / (10 + 3) = 10 / 13

Gördüğünüz gibi, ihtimalleri olasılığa dönüştürmek ve oranları en sade haline getirmek sanıldığı kadar zor değildir. Sitemizde yer alan akıllı ihtimal hesaplama aracı, lehte ihtimalleri doğrudan kazanma olasılığına çevirmenize ve en sade oranları hızlıca bulmanıza yardımcı olur. Aynı şekilde, aleyhte olan ihtimalleri de en düşük orana indirgeyerek kaybetme olasılığını anında hesaplar.

Kart çekme örneğimizi ihtimal hesaplama aracı ile çözmek için; A değerine 12, B değerine 40 girin, "İhtimaller kazanma için" (Odds are for winning) seçeneğini işaretleyin ve hesapla butonuna tıklayın. Eğer A için 40, B için 12 değerini girip "İhtimaller aleyhte" seçeneğini seçerseniz de tamamen aynı sonuçları elde edersiniz. Aradığınız tüm cevaplar saniyeler içinde karşınıza çıkacaktır.

İhtimallerin Önemi

İhtimaller ve oran hesaplamaları, profesyonel hayatta pek çok farklı sektörde yaygın olarak kullanılır.

Tıbbi ve bilimsel araştırmalarda, özellikle hastalıkların bulaşma oranlarını inceleyen bilim insanları sıkça ihtimal hesaplamalarına başvurur. Bir hastalığın nüfus içinde nasıl yayıldığını anlamak, yeni tedaviler geliştirmek ve risk haritaları çıkarmak için hastalanan bireylerin oranını sağlıklı kalanlarla karşılaştırırken ihtimalleri kullanırlar.

Finans uzmanları ve ekonomistler, piyasa analizleri yaparken potansiyel riskleri ve getiri oranlarını değerlendirmek adına ihtimaller üzerinden yatırım kararları alırlar.

Bahis ve şans oyunları sektörü, ihtimallerin (odds) en yoğun kullanıldığı alanlardan biridir. Ancak spor müsabakalarında veya bahis bültenlerinde sergilenen oranlar, o olayın gerçek gerçekleşme olasılığını tam anlamıyla yansıtmaz. Bahis şirketleri (bookmakers), kendi kazançlarını garanti altına almak için açıklanan bu ihtimallere her zaman gizli bir "kâr marjı" eklerler. Bu nedenle, başarılı bir tahminde bahisçiye yapılan ödeme, ihtimallerin matematiksel olasılıkları %100 adil yansıttığı ideal bir senaryodakinden her zaman daha düşüktür.