Калькулятор перестановок

Наш онлайн-калькулятор перестановок допомагає визначити точну кількість способів розміщення n різних об'єктів, вибираючи по r елементів за один раз. Він швидко обчислює кількість можливих варіантів для груп, де точна послідовність або порядок елементів мають вирішальне значення. Загальна кількість доступних об'єктів позначається через n, тоді як розмір вибірки (кількість елементів у кожній вибраній групі) — через r.

Наприклад, якщо ми хочемо об'єднати літери XYZ у групи по дві, ми можемо утворити такі пари: XY, XZ, YZ, YX, ZX та ZY. У результаті отримуємо 6 різних способів розміщення.

Щоб скористатися цим калькулятором nPr, просто введіть значення n (загальна кількість об'єктів) та r (кількість елементів у вибірці), а потім натисніть «Обчислити».

Перестановки

У комбінаториці та математиці перестановка — це впорядковане розміщення елементів певної множини. Якщо множина вже впорядкована, зміна позицій її елементів створює нову перестановку. Головне правило: у будь-якій перестановці порядок елементів має принципове значення. Наприклад, послідовності AB і BA — це дві абсолютно різні перестановки. Загальна кількість перестановок з n об'єктів, узятих у вибірки по r елементів, зазвичай позначається як nPr.

Алгоритм обчислення перестановок залежить від типу об'єктів і від того, чи дозволені повторення. За замовчуванням (якщо не вказано інше) під час розрахунків припускається, що повторення не допускаються.

У цій статті ми зосередимося виключно на прикладах обчислення перестановок без повторень.

Перестановки ґрунтуються на основному принципі комбінаторики (правилі множення). Цей принцип стверджує: якщо складний експеримент складається з k послідовних етапів, де перший етап можна виконати n₁ способами, другий — n₂ способами і так далі до останнього етапу (nₖ способів), то загальна кількість варіантів розвитку подій є добутком цих проміжних значень: n₁ × n₂ × ... × nₖ.

Припустімо, ми хочемо знайти кількість можливих перестановок для літер ABC без жодних повторень. Будь-яку з трьох літер можна поставити першою — це означає, що ми маємо 3 способи вибрати першу літеру.

Після того як першу позицію зайнято, залишаються дві літери. Будь-яку з них можна поставити на друге місце, що дає нам 2 способи вибору другої літери. Відповідно, для третьої позиції залишається лише 1 літера і 1 спосіб вибору.

Застосовуючи основний принцип комбінаторики, отримуємо загалом 3 × 2 × 1 = 6 способів розміщення літер ABC. Цими унікальними перестановками є: ABC, ACB, BCA, BAC, CAB та CBA.

Факторіал

Як показано в попередньому прикладі, кількість перестановок для 3 різних об'єктів обчислюється як 3 × 2 × 1 = 6. У загальному вигляді кількість перестановок для впорядкування всієї множини з n об'єктів визначається формулою n × (n-1) × (n-2) × ... × 1.

Це означає множення всіх додатних цілих чисел від n до 1. У математиці добуток цілого числа n та всіх менших за нього додатних цілих чисел називається факторіалом і позначається знаком оклику (!).

Отже, n! = n × (n-1) × (n-2) × ... × 1, що читається як «n факторіал».

Зверніть увагу: за загальноприйнятою математичною домовленістю 0! = 1 та 1! = 1.

Приклад перестановок

На Олімпійських іграх стандартна бігова доріжка для спринтерських забігів має 9 смуг. Проте у фіналі на 100 метрів першу смугу зазвичай залишають вільною. Відповідно, 8 спринтерів розміщуються на смугах з 2-ї по 9-ту. Скількома способами можна розподілити цих 8 бігунів по 8 смугах?

Використовуючи правило множення в комбінаториці, рахуємо:

• будь-хто з 8 бігунів може стартувати на смузі 2,
• будь-хто з 7 бігунів, що залишилися, може стартувати на смузі 3,
• будь-хто з 6 бігунів, що залишилися, може стартувати на смузі 4,
• будь-хто з 5 бігунів, що залишилися, може стартувати на смузі 5,
• будь-хто з 4 бігунів, що залишилися, може стартувати на смузі 6,
• будь-хто з 3 бігунів, що залишилися, може стартувати на смузі 7,
• будь-хто з 2 бігунів, що залишилися, може стартувати на смузі 8,
• 1 бігун, що залишився, займає смугу 9.

Таким чином, загальна кількість можливих перестановок для розміщення 8 спортсменів на 8 доступних смугах становить: 8! = 8 × 7 × 6 × ... × 2 × 1 = 40 320 способів.

Щоб вирішити цю задачу ще швидше, скористайтеся нашим онлайн-калькулятором. Просто введіть 8 в обидва поля — n (об'єкти) та r (вибірка), натисніть «Обчислити» і миттєво отримайте результат 40 320.

Перестановка підмножин

У попередніх прикладах ми обчислювали перестановки для випадків, коли задіюються всі об'єкти множини. Однак на практиці частіше виникають ситуації, коли з більшої множини вибирають і впорядковують лише певну підгрупу.

У таких випадках загальна кількість доступних об'єктів позначається як n, кількість вибраних для підгрупи елементів (вибірка) — як r, а для розрахунку застосовується класична формула перестановок:

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{\left(n-r\right)!}$$

Це стандартна формула, яка використовується для обчислення кількості розміщень без повторень, коли вам потрібно впорядкувати певну вибірку r, взяту з більшої сукупності n.

Якщо ж вам потрібно знайти кількість способів розміщення всіх елементів множини (де n дорівнює r), формула спрощується до базової:

$$ₙPᵣ=n!$$

Приклад

Повернімося до прикладу зі спринтерами на 100 метрів. Раніше ми дізналися, скількома способами можна розмістити всіх вісьмох бігунів на стартових позиціях. Тепер розглянемо розподіл нагород. Розігруються три медалі: золота (за перше місце), срібна (за друге) та бронзова (за третє). Скількома способами можна розподілити ці три медалі серед 8 учасників забігу?

Згідно з основним принципом комбінаторики, будь-який з 8 бігунів може здобути золото. Після того як переможець визначений, на срібло претендують 7 бігунів. Після фінішу другого учасника залишається 6 бігунів, які змагатимуться за бронзу. Отже, загальна кількість можливих перестановок для п'єдесталу пошани становить: 8 × 7 × 6 = 336.

Цей самий результат ми можемо отримати за допомогою формули nPr:

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{\left(n-r\right)!}$$

Підставивши наші значення, отримуємо:

$$₈P₃=\frac{8!}{\left(8-3\right)!}=\frac{8!}{5!}=\frac{8×7×6×5×4×\ldots×1}{5×4×\ldots×1}=8×7×6=336$$

Щоб знайти цю відповідь за допомогою калькулятора перестановок, введіть 8 у поле n (загальна кількість об'єктів) та 3 у поле r (розмір вибірки). Натисніть «Обчислити» — і результат 336 з'явиться на екрані.

Перестановки та комбінації: у чому різниця

Ще одним базовим поняттям комбінаторики є комбінації. Вони показують, скількома різними способами можна вибрати меншу групу (вибірку r) з більшої множини об'єктів (n). Кількість комбінацій з n елементів по r позначається як ₙCᵣ.

Як ми вже з'ясували, у перестановках точна послідовність або розташування є критично важливими. І саме в цьому полягає головна відмінність: у комбінаціях порядок елементів не має жодного значення.

Наприклад, раніше ми зазначали, що перестановки літер XYZ парами дають шість різних варіантів: XY, XZ, YZ, YX, ZX та ZY.

Проте комбінації тих самих літер XYZ по дві дають лише три унікальні пари: XY, XZ та YZ. Оскільки порядок тут ігнорується, XY та YX вважаються однією і тією ж парою. Те ж саме правило діє для XZ і ZX, а також для YZ і ZY.

Формула обчислення кількості комбінацій з n об'єктів по r має такий вигляд:

$$ₙСᵣ=\frac{n!}{r!\left(n-r\right)!}$$

Приклад обчислення комбінацій

У попередньому сценарії з бігунами ми визначали кількість способів розподілу конкретних медалей (1-ше, 2-ге та 3-тє місця) серед 8 учасників. Але що, якщо нам потрібно просто вибрати 3 призерів із 8 спортсменів, не зважаючи на те, хто саме яку медаль отримає? У цьому випадку позиція на п'єдесталі ігнорується — головне сам факт потрапляння до трійки лідерів.

Оскільки точний порядок медалей не важливий, ми маємо справу з комбінаціями. Використаємо стандартну формулу:

$$ₙСᵣ = \frac{n!}{r!(n-r)!}$$

Кількість способів вибору 3 медалістів із 8 бігунів без урахування їхнього місця дорівнює:

$$₈C₃=\frac{8!}{3! × \left(8-3\right)!}=\frac{8!}{3! × 5!}=\frac{8 × 7 × 6}{3 × 2 × 1}=8×7=56$$

Приклади обчислення перестановок

1. Продюсеру телевізійного шоу потрібно вибрати 3 запрошених експертів із 5 доступних для участі в аналітичній програмі. Порядок, у якому гості виступатимуть в ефірі, має велике значення. Скількома різними способами продюсер може скласти розклад виступів? Оскільки порядок важливий, а повторення неможливі (один експерт не може вийти в ефір двічі за випуск), застосовуємо формулу перестановок:

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{(n-r)!}$$

$$₅P₃ = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} = 5 × 4 × 3 = 60$$

Розрахунок показує, що продюсер має 60 унікальних способів організувати ефір.

2. Відомий ресторанний критик відібрав 10 чудових суші-закладів міста, щоб скласти з них свій ТОП-3 найкращих ресторанів. Заклади повинні бути розміщені у строгому порядку, що відображає їхній рейтинг, і жоден ресторан не може займати дві позиції одночасно. Оскільки порядок має вирішальне значення і немає повторень, умови ідеально підходять для обчислення перестановок. Застосовуємо формулу nPr:

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{(n-r)!}$$

$$₁₀P₃ = \frac{10!}{(10-3)!} = \frac{10!}{7!} = 10 × 9 × 8 = 720$$

3. Коли ми кажемо, що в перестановках «порядок має значення», це не обов'язково означає числовий рейтинг на кшталт 1-го, 2-го чи 3-го місця. Порядок також може визначатися конкретними ролями, завданнями або локаціями, куди призначаються елементи.

Розглянемо приклад: менеджеру ремонтної компанії сьогодні потрібно закрити чотири різні замовлення: пофарбувати офіс візового центру, складське приміщення, магазин одягу та кімнату в приватному будинку. У штаті компанії працює шість малярів. Кожного майстра можна відправити лише на 1 об'єкт на день, що означає, що двоє малярів сьогодні відпочиватимуть.

Чотири унікальні локації (візовий центр, склад, магазин та приватний будинок) виступають еквівалентами позицій 1, 2, 3 та 4.

Менеджер аналізує свої варіанти:

• 6 доступних малярів, будь-кого з яких можна призначити у візовий центр,
• 5 малярів, що залишилися, для роботи на складі,
• 4 маляри, що залишилися, для роботи в магазині одягу,
• 3 маляри, що залишилися, для ремонту в приватному будинку.

Користуючись логікою комбінаторики, загальну кількість варіантів можна обчислити як 6 × 5 × 4 × 3 = 360.

Оскільки конкретне місце, куди відправляється маляр, має принципове значення (тобто порядок важливий), і жоден майстер не може працювати на двох об'єктах одночасно (без повторень), ми можемо використати нашу формулу перестановок:

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{(n-r)!}$$

$$\frac{6!}{(6-4)!} = \frac{6!}{2!} = 6 × 5 × 4 × 3 = 360$$

Як бачимо, існує рівно 360 різних способів, якими менеджер може розподілити чотири замовлення між шістьма доступними працівниками.