حاسبة الفرص والاحتمالات

غالبًا ما يُستخدم مصطلحا الفرص (Odds) والاحتمالات (Probabilities) عند إجراء التنبؤات أو التوقعات الإحصائية. وعلى الرغم من استخدامهما بشكل متبادل أحيانًا، إلا أنهما ليسا مصطلحين مترادفين؛ حيث توجد فروق رياضية جوهرية بين الفرص والاحتمالات.

تعريف الاحتمال

يشير الاحتمال (Probability) إلى إمكانية أو فرصة وقوع حدث معين. بعبارة أخرى، هو النسبة التي تمثل عدد النتائج التي تؤدي إلى الحدث المطلوب من بين إجمالي النتائج الممكنة.

لنستخدم مثالاً عملياً لفهم هذا المفهوم بوضوح.

مثال على الاحتمال

تحتوي مجموعة أوراق اللعب القياسية (الكوتشينة) على 52 بطاقة، من بينها 12 بطاقة وجه (صور). تتمثل هذه البطاقات في الملك، والملكة، والولد (الجاك)، حيث يوجد أربع بطاقات من كل نوع.

افترض أن صديقك قام بخلط أوراق اللعب عشوائياً، ثم طلب منك سحب بطاقة واحدة عشوائياً من تلك المجموعة. تعتقد أنك تستطيع الفوز في هذا الرهان؛ لذا تراهن على أنك إذا لم تتمكن من سحب بطاقة وجه، فستعطيه دولاراً واحداً. وفي المقابل، إذا سحبت بطاقة وجه، فسيعطيك 5 دولارات.

أوجد احتمال الفوز.

احتمال الفوز هنا هو فرصة الحصول على بطاقة وجه من بين جميع النتائج الممكنة. يوجد إجمالي 52 بطاقة، مما يعني أن هناك 52 نتيجة محتملة في المجموع. أما حدثك المفضل (الفوز) فهو سحب بطاقة وجه، وهناك 12 نتيجة ممكنة لهذا الحدث لأن مجموعة البطاقات تحتوي على 12 بطاقة وجه.

أنت هنا تقارن العدد الإجمالي للنتائج المرغوبة بالعدد الإجمالي للنتائج الممكنة. النسبة هي 12/52. بهذه الطريقة يتم حساب احتمال الفوز.

تعريف الفرص

تقيس الفرص (Odds) مدى احتمالية حدوث شيء ما من خلال مقارنة عدد النتائج المرغوبة بعدد النتائج غير المرغوب فيها. بمعنى آخر، تُعد الفرص (أو نسب الأرجحية) طريقة رياضية للتعبير عن العلاقة بين النتائج الإيجابية (المواتية) والنتائج السلبية (غير المواتية) في موقف معين.

لنستخدم المثال السابق لفهم هذا المفهوم بوضوح.

مثال على الفرص

بالعودة إلى المثال أعلاه، نتيجتك الإيجابية (المرغوبة) هي سحب بطاقة وجه؛ وبالتالي، هناك 12 نتيجة مواتية. يتم حساب عدد النتائج غير المواتية عن طريق طرح عدد النتائج المواتية من العدد الإجمالي للنتائج الممكنة. ستقوم بطرح 12 من 52 لأن إجمالي النتائج هو 52.

عدد النتائج غير المواتية = إجمالي عدد النتائج - عدد النتائج المواتية = 52 - 12 = 40

يمكنك الآن استخدام النسبة للتعبير عن إجمالي عدد النتائج المرغوبة مقارنةً بإجمالي عدد النتائج غير المرغوب فيها. وهذا ما يسمى بـ "الفرص".

حساب الاحتمالات

يتم حساب الاحتمال عن طريق قسمة عدد النتائج المرغوبة على إجمالي عدد النتائج الممكنة.

الاحتمال = عدد النتائج المرغوبة / إجمالي عدد النتائج

دعونا الآن نحسب احتمال الفوز في المثال السابق.

احتمال الفوز = عدد بطاقات الوجه / إجمالي عدد البطاقات في المجموعة = 12/52 = 3/13

سنحسب الآن احتمال الخسارة. هذا الإجراء مشابه لتقدير احتمالية الحدث المتمم للحدث المطلوب.

إذا كان الحدث المطلوب هو A، فإن الحدث المتمم (التكميلي) هو Aᶜ أو A¹. يتم حساب احتمال الحدث المتمم عن طريق طرح احتمالية الحدث المطلوب من 1.

$$P\left(A^c\right)=1-P\left(A\right)$$

لنحسب احتمال الخسارة للمثال السابق.

لقد حسبنا بالفعل احتمال الفوز كـ 3 / 13. وبالتالي:

احتمال الخسارة = 1 - احتمال الفوز = 1 - 3/13 = 10/13

حساب الفرص

يتم حساب الفرص من خلال إيجاد أبسط نسبة بين عدد النتائج المرغوبة وعدد النتائج غير المرغوب فيها. يمكن أيضاً تحديد ذلك عن طريق حساب النسبة بين احتمال وقوع النتائج المرغوبة واحتمال وقوع الأحداث غير المرغوب فيها.

هناك نوعان من حسابات الفرص:

• الفرص لصالح (المؤيدة)،
• الفرص ضد (المعارضة).

الفرص المؤيدة

تُعرف أبسط نسبة لعدد النتائج التي تؤدي إلى وقوع الحدث المطلوب، مقارنةً بعدد النتائج التي لا تؤدي إلى وقوعه، باسم "الفرص لصالح" (Odds in favor). لنفترض أن الحدث المطلوب هو A. يتم حساب الفرص لصالح الحدث A على النحو التالي:

بناءً على عدد النتائج:

$$الاحتمالات \ لصالح \ الحدث \ أ = n\left(A\right):n\left(A^c\right)$$

على أساس الاحتمال:

$$الاحتمالات \ لصالح \ الحدث \ أ = P\left(A\right):P\left(A^c\right)$$

لنحسب الفرص لصالح الفوز في المثال الموضح أعلاه.

1. بناءً على عدد النتائج

في المثال السابق، كان الحدث المطلوب هو سحب بطاقة وجه.

عدد النتائج المرغوبة = 12

عدد النتائج غير المرغوب فيها = إجمالي عدد النتائج - عدد النتائج المرغوبة = 52 - 12 = 40

وبالتالي،

الفرص لصالح الحدث = عدد النتائج المرغوبة / عدد النتائج غير المرغوب فيها = 12/40 = 3/10

2. استنادًا إلى الاحتمالية

الحدث المطلوب هو سحب بطاقة وجه.

احتمال الفوز = عدد النتائج المرغوبة / إجمالي عدد النتائج = 12/52 = 3/13

احتمال الخسارة = 1 - احتمال الفوز = 1 - 3/13 = 10/13

الفرص لصالح الحدث = احتمال الفوز / احتمال الخسارة = 3/13 : 10/13 = 3:10

الفرص ضد

"الفرص ضد" (Odds against) هي أبسط نسبة لعدد النتائج التي لا تؤدي إلى وقوع الحدث المطلوب، مقارنةً بعدد النتائج التي تؤدي إلى وقوعه. لنفترض أن الحدث المطلوب هو A. يتم حساب الفرص ضد الحدث A على النحو التالي:

بناءً على عدد النتائج،

$$الاحتمالات \ ضد \ الحدث \ أ = n\left(A^c\right):n\left(A\right)$$

على أساس الاحتمال،

$$الاحتمالات \ ضد \ الحدث \ أ = P\left(A^c\right):P\left(A\right)$$

لنحسب الفرص ضد الفوز في المثال الموضح أعلاه.

1. بناءً على عدد النتائج

الحدث المطلوب هو سحب بطاقة وجه.

عدد النتائج المرغوبة = 12

عدد النتائج غير المرغوب فيها = إجمالي عدد النتائج - عدد النتائج المرغوبة = 52 - 12 = 40

وبالتالي

الفرص ضد الفوز = عدد النتائج غير المرغوب فيها : عدد النتائج المرغوبة = 40 : 12 = 10 : 3

2. استنادًا إلى الاحتمالية

الحدث المطلوب هو سحب بطاقة وجه.

احتمال الفوز = عدد النتائج المرغوبة / إجمالي عدد النتائج = 12/52 = 3/13

احتمال الخسارة = 1 - احتمال الفوز = 1 - 3/13 = 10/13

الفرص ضد الفوز = احتمال الخسارة : احتمال الفوز = 10/13 : 3/13 = 10 : 3

التعبير

التعبير عن الاحتمالية

يمكن التعبير عن الاحتمالات في صورة رقم عشري، أو نسبة مئوية، أو كسر، أو نسبة رياضية.

في المثال السابق، قمنا بحساب احتمال الفوز في صورة كسر.

• احتمال الفوز = عدد النتائج المرغوبة / إجمالي عدد النتائج = 12/52 = 3/13

يمكننا التعبير عن احتمال الفوز في صورة عدد عشري.

• احتمال الفوز = عدد النتائج المرغوبة / إجمالي عدد النتائج = 12/52 = 3/13 = 0.2308

يمكن التعبير عن احتمال الفوز كنسبة مئوية.

• احتمال الفوز = (عدد النتائج المرغوبة / إجمالي عدد النتائج) × 100% = (12/52) × 100% = (3/13) × 100% = 23.08%

يمكن استخدام النسبة لتمثيل احتمال الفوز.

• احتمال الفوز = عدد النتائج المرغوبة : إجمالي عدد النتائج = 12:52 = 3:13

لنلخص موضوع المقال،

• احتمال الفوز = 3/13 = 0.2308 = 23.08%

التعبير عن الفرص

عادة ما يتم التعبير عن الفرص كنسبة في أبسط صورها.

طبقاً للمثال،

• الفرص لصالح = عدد النتائج المرغوبة : عدد النتائج غير المرغوب فيها = 12 : 40 = 3 : 10

• الفرص ضد = عدد النتائج غير المرغوب فيها : عدد النتائج المرغوبة = 40 : 12 = 10 : 3

المدى

مدى الاحتمالات

عندما يقع حدث ما بشكل مؤكد، فإن احتمالية حدوثه تكون 1. وعندما يكون من المستحيل وقوع الحدث، يكون احتماله صفراً. ونتيجة لذلك، تكون قيمة احتمال أي حدث دائماً بين 0 و 1. وإذا تم التعبير عن الاحتمال كنسبة مئوية، فستكون قيمته دائماً بين 0% و 100%.

مدى الفرص

تكون الفرص لصالح الحدث لا حصر لها (تمتد إلى ما لا نهاية) عندما يكون من المؤكد حدوث الحدث. وإذا كان الحدث لن يحدث أبداً، فالفرص تكون صفراً. لذلك، يتم تمثيل الفرص كرقم يتراوح بين 0 وما لا نهاية.

حسب المثال،

• الفرص لصالح = 3 : 10 = 0.3

• الفرص ضد = 10 : 3 = 3.33

تحويل الفرص إلى احتمالات

كما ذكرنا سابقاً، تُعد الفرص (Odds) طريقة رياضية لتمثيل العلاقة بين نسبة النتائج الإيجابية والنتائج غير المواتية في موقف معين.

لكن الفرص ليست تعبيراً مباشراً عن مدى احتمالية حدوث الحدث. لذلك، عند إعطائك قيمة للفرص، قد تحتاج إلى تحويل هذه الفرص إلى احتمال (Probability) لمعرفة فرصة وقوع هذا الحدث بدقة. يمكنك تحويل الفرص إلى احتمالات على النحو التالي:

إذا كان الحدث المواتي هو A،

بما أن:

$$n\left(S\right)=n\left(A\right)+n(A^c)$$

وبالتالي:

$$P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(S\right)}=\frac{n\left(A\right)}{n\left(A\right)+n(A^c)}$$

مثال لحساب تحويل الفرص إلى احتمالات

في مثالنا،

• الفرص لصالح = 3:10

لذا،

• احتمال الفوز = عدد النتائج المرغوبة / (عدد النتائج المرغوبة + عدد النتائج غير المرغوبة) = 3 / (3 + 10) = 3/13

في مثالنا،

• الفرص ضد = 10 : 3

لذا،

• احتمال الخسارة = عدد النتائج غير المرغوب فيها / (عدد النتائج غير المرغوب فيها + عدد النتائج المرغوبة) = 10 / (10 + 3) = 10/13

لم يعد تحويل الفرص إلى احتمالات أو تبسيط الفرص إلى أدنى نسبة أمراً معقداً. يمكن أن تساعدك حاسبة الفرص والاحتمالات بكل سهولة على تحويل فرص الفوز إلى احتمال فوز دقيق، وتبسيط أي احتمالات إلى أبسط صورة. تعمل هذه الأداة على تقليص الفرص لصالح الحدث إلى أدنى نسبة لها، كما تحول الفرص ضد الحدث إلى احتمال الخسارة بدقة متناهية.

لحساب الإجابات في المثال السابق باستخدام حاسبة الاحتمالات والفرص، أدخل القيمة 12 في الحقل A والقيمة 40 في الحقل B، ثم اختر "الفرص لصالح الفوز" (Odds for winning)، وانقر على زر الحساب. يمكنك الحصول على نفس النتائج المعاكسة إذا أدخلت 40 للحقل A و 12 للحقل B واخترت "الفرص ضد الفوز". ستكون الإجابات الدقيقة جاهزة في جزء من الثانية.

أهمية الفرص

تحظى الفرص بأهمية كبرى ولها تطبيقات واسعة في مجالات متعددة.

كثيراً ما يعتمد قطاع البحث العلمي على حساب الفرص، خاصة في دراسة انتقال الأمراض. ولفهم كيفية انتشار وباء ما وإيجاد العلاجات المناسبة، يستخدم العلماء نسب الأرجحية والفرص لمقارنة نسبة السكان المعرضين للإصابة بالمرض بنسبة غير المعرضين له.

في المجال المالي، يمكن للخبراء الاقتصاديين الاستفادة من الفرص لتحديد ما إذا كان استثمار معين ينطوي على مخاطر عالية أو يقدم مكاسب مجزية، مما يساعدهم في اتخاذ قرارات استثمارية مدروسة.

مجال المراهنات والألعاب هو من المجالات الرئيسية الأخرى التي تعتمد بكثافة على الفرص. مع ذلك، لا تمثل نسب عوائد الرهان (Odds) المعروضة الاحتمالية الحقيقية لوقوع الحدث أو عدمه بدقة تامة؛ حيث يضيف وكلاء المراهنات دائماً هامش ربح خاص بهم إلى هذه الفرص. وبالتالي، فإن العائد المالي من الرهان الرابح يكون دائماً أقل مما كان ينبغي أن يكون عليه الحال لو كانت الفرص تمثل الاحتمالات الرياضية الحقيقية بشكل دقيق.