Z-स्कोर कैलकुलेटर

Z-स्कोर कैलक्यूलेटर का उपयोग किसी भी प्रकार के Z-स्कोर से संबंधित गणनाओं के लिए किया जा सकता है। आप पहले कैलकुलेटर में एक अपरिष्कृत स्कोर (X), जनसंख्या माध्य (μ), और स्टैण्डर्ड डेविएशन (σ) दर्ज कर सकते हैं ताकि उस पंक्ति स्कोर के चरणों और संबंधित संभावनाओं के साथ Z-स्कोर का पता लगाया जा सके।

Z-स्कोर और प्रोबेबिलिटी कन्वर्टर आपको Z-टेबल को संदर्भित किए बिना Z-स्कोर और संभावनाओं के बीच कनवर्ट करने में मदद करता है। परिणामों में उस एकल Z स्कोर के साथ सभी संभावित संभाव्यता गणनाएं शामिल होंगी। 2 Z-स्कोर के बीच संभावना खोजने के लिए अंतिम कैलकुलेटर का प्रयोग करें।

Z-स्कोर क्या है?

Z-स्कोर एक सांख्यिकीय माप है जो डेटा सेट के माध्य से डेटा पॉइंट के स्टैण्डर्ड डेविएशन की संख्या का वर्णन करता है। Z-स्कोर का उपयोग एकल डेटा पॉइंट की तुलना पूरे डेटा सेट से करने के लिए किया जाता है और डेटा को मानकीकृत करने में मदद करता है ताकि तुलना और विश्लेषण करना आसान हो।

Z-स्कोर हमें यह निर्धारित करने की अनुमति देता है कि कैसे "टिपिकल" या इसके विपरीत "एटिपिकल" एकल डेटा पॉइंट की तुलना संपूर्ण डेटा सेट से की जाती है।

• आउटलियर्स पता करना: Z-स्कोर हमें यह पता लगाने में मदद कर सकता है कि कौन से डेटा पॉइंट बाकी से बहुत अलग हैं। यह वित्त और चिकित्सा अनुसंधान जैसे क्षेत्रों में मददगार है, जहां आउटलेयर महत्वपूर्ण पैटर्न या विषमता दिखा सकते हैं।
• विभिन्न सेटों से डेटा की तुलना करना: Z-स्कोर हमें विभिन्न सेटों से डेटा की तुलना करने देता है, भले ही उनकी अलग-अलग इकाइयां या श्रेणियां हों। यह मशीन लर्निंग जैसे क्षेत्रों में सहायक है, जहाँ आपको मॉडल बनाने के लिए विभिन्न स्रोतों से डेटा की तुलना करने की आवश्यकता होती है।
• डेटा को सामान्य करना: डेटा को Z-स्कोर में परिवर्तित करके, हम डेटा को मानकीकृत कर सकते हैं और तुलना और विश्लेषण करना आसान बना सकते हैं। यह डेटा विज़ुअलाइज़ेशन जैसे क्षेत्रों में मददगार है, जहाँ हमें डेटा को इस तरह से दिखाने की ज़रूरत होती है जो समझने में आसान हो।

Z-स्कोर फॉर्मूला

जनसंख्या के लिए Z स्कोर

Z = कच्चा स्कोर -जनसंख्या माध्य / जनसंख्या स्टैण्डर्ड डेविएशन

Z = (X - μ) / σ

सैंपल के लिए Z स्कोर

Z = रॉ स्कोर -सैंपल मीन / सैंपल स्टैंडर्ड डेविएशन

Z = (X - x̄) / s

प्राप्त Z-स्कोर के परिणामों की व्याख्या

पॉजिटिव Z-स्कोर: पॉजिटिव Z-स्कोर का अर्थ है कि आपका डेटा पॉइंट डेटासेट के औसत मान से ऊपर है। दूसरे शब्दों में, आपका देखा गया डेटा पॉइंट डेटासेट में विशिष्ट मान से अधिक है।

नेगेटिव Z-स्कोर: एक नेगेटिव Z-स्कोर का अर्थ है कि आपका डेटा पॉइंट डेटासेट के औसत मान से कम है। दूसरे शब्दों में, आपका देखा गया डेटा पॉइंट डेटासेट में सामान्य मान से कम है।

Z-स्कोर: Z-स्कोर आपको बताता है कि डेटासेट औसत से आपका डेटा पॉइंट कितनी दूर है। Z-स्कोर जितना बड़ा होगा, आपका प्रेक्षित डेटा पॉइंट औसत मान से उतना ही दूर होगा।

Z-स्कोर और स्टैण्डर्ड डेविएशन

Z-स्कोर और स्टैण्डर्ड डेविएशन संबंधित हैं क्योंकि Z-स्कोर की गणना के लिए स्टैण्डर्ड डेविएशन का उपयोग किया जाता है। वास्तव में, स्टैण्डर्ड डेविएशन Z-स्कोर सूत्र का एक प्रमुख घटक है।

स्टैण्डर्ड डेविएशन डेटा सेट के प्रसार का एक उपाय है। यह दर्शाता है कि डेटा सेट के औसत मूल्य से प्रत्येक डेटा पॉइंट कितनी दूर है। स्टैण्डर्ड डेविएशन जितना अधिक होगा, डेटा का फैलाव उतना ही अधिक होगा।

दूसरी ओर, Z-स्कोर, आपको बताता है कि स्टैण्डर्ड डेविएशन के सापेक्ष डेटा सेट के माध्य से एक डेटा पॉइंट कितनी दूर है। Z-स्कोर की गणना करने के लिए स्टैण्डर्ड डेविएशन का उपयोग करके, आप एक डेटा पॉइंट की तुलना पूरे डेटा सेट से कर सकते हैं और देख सकते हैं कि यह कितना असामान्य या विशिष्ट है।

Z-स्कोर और सामान्य वितरण

सामान्य वितरण एक प्रकार का वितरण है जो वास्तविक दुनिया में होने वाली कई चीजों में सामान्य है। यह एक घंटी की तरह दिखता है, और यह दिखाता है कि डेटा के एक सेट के माध्यम से डेटा कैसे फैला हुआ है। गाऊसी वितरण सामान्य वितरण का दूसरा नाम है। इसका नाम गणितज्ञ कार्ल फ्रेडरिक गॉस से मिलता है।

Z-स्कोर यह मापने का एक तरीका है कि स्टैण्डर्ड डेविएशन के संबंध में डेटा के एक सेट के माध्य से एक डेटा पॉइंट कितनी दूर है। प्रत्येक डेटा पॉइंट को Z-स्कोर में बदलकर, आप एक डेटा पॉइंट की तुलना डेटा के पूरे सेट से कर सकते हैं और देख सकते हैं कि यह कितना असामान्य या विशिष्ट है।

Z-स्कोर और सामान्य वितरण के बीच की कड़ी यह है कि Z-स्कोर का उपयोग डेटा को मानकीकृत करने और इसे सामान्य वितरण में फिट करने के लिए किया जा सकता है। इसका अर्थ है कि आप प्रत्येक डेटा पॉइंट को Z-स्कोर देकर डेटा के किसी भी सेट को सामान्य वितरण में बदल सकते हैं। यह मददगार है क्योंकि कई सांख्यिकीय विधियां मानती हैं कि डेटा सामान्य रूप से वितरित हैं। डेटा को सामान्य वितरण में बदलने से आपको इन विधियों का अधिक सटीक उपयोग करने में मदद मिल सकती है।

डेटा पॉइंट्स की तुलना

Z-स्कोर आपको यह समझने में मदद कर सकता है कि स्टैण्डर्ड डेविएशन के सापेक्ष डेटा सेट के माध्य से एक डेटा पॉइंट कितनी दूर है।

डेटा पॉइंट्स की तुलना करने के लिए Z-स्कोर का उपयोग करने का हमारा उदाहरण वित्त पर लागू होता है। उदाहरण के लिए, आपने दो अलग-अलग स्टॉक पोर्टफोलियो में निवेश किया है और उनके प्रदर्शन की तुलना करना चाहते हैं। पोर्टफोलियो ए का औसत रिटर्न 2% के स्टैण्डर्ड डेविएशन के साथ 10% है, और पोर्टफोलियो B का औसत रिटर्न 3% के स्टैण्डर्ड डेविएशन के साथ 8% है। रिटर्न को Z-स्कोर में परिवर्तित करके, आप प्रत्येक पोर्टफोलियो के रिटर्न की तुलना कर सकते हैं और निर्धारित कर सकते हैं कि कौन सा बेहतर प्रदर्शन करता है।

डेटा पॉइंट्स की तुलना करने के लिए Z-स्कोर का उपयोग करने का एक अन्य व्यावहारिक उदाहरण खेल है। उदाहरण के लिए, आप दो बास्केटबॉल खिलाड़ियों, खिलाड़ी A और खिलाड़ी B के प्रदर्शन की तुलना करना चाहते हैं। खिलाड़ी A 5 अंकों के स्टैण्डर्ड डेविएशन के लिए प्रति गेम औसतन 20 अंक प्राप्त करता है, और खिलाड़ी B 5 अंकों के स्टैण्डर्ड डेविएशन के लिए प्रति खेल औसतन 18 अंक प्राप्त करता है। 3 अंक का एक स्टैण्डर्ड डेविएशन। स्कोर को Z-स्कोर में परिवर्तित करके, आप प्रत्येक खिलाड़ी के प्रदर्शन की तुलना कर सकते हैं और निर्धारित कर सकते हैं कि कौन सा खिलाड़ी बेहतर प्रदर्शन कर रहा है।

डेटा सामान्यीकरण

डेटा सामान्यीकरण डेटा को एक स्टैण्डर्ड पैमाने पर रखने की प्रक्रिया है ताकि इसकी आसानी से तुलना और विश्लेषण किया जा सके। यह महत्वपूर्ण है क्योंकि डेटा के विभिन्न आकार और पैमाने हो सकते हैं। डेटा को सामान्य बनाना यह सुनिश्चित करता है कि सब कुछ समान पैमाने पर है और तुलना और विश्लेषण करना आसान बनाता है।

प्रत्येक डेटा पॉइंट को Z-स्कोर में बदलकर, आप डेटा को मानकीकृत कर सकते हैं और सभी को एक ही पैमाने पर रख सकते हैं। ऐसा इसलिए है क्योंकि Z-स्कोर हमेशा एक स्टैण्डर्ड पैमाने पर आधारित होता है, जहां माध्य 0 होता है और स्टैण्डर्ड डेविएशन 1 होता है।

उदाहरण के लिए, मनोविज्ञान के क्षेत्र में डेटा को सामान्य करने के लिए Z-स्कोर का उपयोग किया जाता है। मान लें कि आप टेस्ट A और टेस्ट B, दो आईक्यू टेस्ट के परिणामों की तुलना करना चाहते हैं। टेस्ट A पर औसत स्कोर 100 है, और स्टैण्डर्ड डेविएशन 15 है, जबकि टेस्ट B पर औसत स्कोर 110 है, और स्टैण्डर्ड डेविएशन 10 है। स्कोर को Z-स्कोर में बदलकर, उन्हें मानकीकृत किया जा सकता है और एक पर रखा जा सकता है। सिंगल स्केल, तुलना और विश्लेषण करना आसान बनाता है।

शिक्षा में, Z-स्कोर का उपयोग वास्तविक दुनिया के दूसरे उदाहरण में डेटा को सामान्य करने के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए, मान लें कि आप देखना चाहते हैं कि छात्रों A और B ने स्कूल में कैसा प्रदर्शन किया। छात्र A का औसत ग्रेड 80 और स्टैण्डर्ड डेविएशन 5 है, और छात्र B का औसत ग्रेड 90 और स्टैण्डर्ड डेविएशन 3 है। ग्रेड को Z-गुणांकों में बदलकर, आप उन सभी को समान बना सकते हैं और उन्हें एक पर रख सकते हैं। समान पैमाना, जिससे तुलना और विश्लेषण करना आसान हो जाता है।

परिकल्पना परीक्षण

परिकल्पना परीक्षण एक सांख्यिकीय पद्धति है जिसका उपयोग यह देखने के लिए किया जाता है कि क्या अशक्त परिकल्पना को अस्वीकार करने के लिए पर्याप्त सबूत हैं, जो स्टैण्डर्ड धारणा है कि दो चर के बीच कोई संबंध नहीं है। यह चिकित्सा अनुसंधान, सामाजिक विज्ञान और व्यवसाय जैसे कई क्षेत्रों में महत्वपूर्ण है, जहाँ डेटा के आधार पर निर्णय लेना महत्वपूर्ण है।

परिकल्पनाओं का परीक्षण करते समय, Z-गुणांकों का उपयोग यह पता लगाने के लिए किया जा सकता है कि यह कितनी संभावना है कि एक निश्चित परिणाम होगा। उदाहरण के लिए, आप देख सकते हैं कि लोगों के समूह का औसत वजन पूरी आबादी के औसत वजन से अलग है या नहीं। Z-स्कोर का उपयोग यह पता लगाने के लिए किया जा सकता है कि अंतर सांख्यिकीय रूप से महत्वपूर्ण है या नहीं।

चिकित्सा क्षेत्र एक ऐसा स्थान है जहां परिकल्पना का परीक्षण करने के लिए Z-स्कोर का उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, आप यह देखना चाह सकते हैं कि क्या कोई नई दवा किसी निश्चित बीमारी के लक्षणों को कम करने में मदद करती है। आप Z-स्कोर का उपयोग यह पता लगाने के लिए कर सकते हैं कि दवा लेने वाले समूह और नियंत्रण समूह के बीच लक्षणों में अंतर सांख्यिकीय रूप से महत्वपूर्ण है या नहीं।

परिकल्पना का परीक्षण करने के लिए जेड-स्कोर का उपयोग करने का एक और व्यावहारिक उदाहरण वित्त के क्षेत्र में है। उदाहरण के लिए, आप यह परीक्षण करना चाहते हैं कि क्या किसी विशेष स्टॉक का बाजार में औसत स्टॉक की तुलना में अधिक रिटर्न है। आप यह निर्धारित करने के लिए जेड-स्कोर का उपयोग कर सकते हैं कि रिटर्न में अंतर सांख्यिकीय रूप से महत्वपूर्ण है या नहीं।

फीचर स्केलिंग

फ़ीचर स्केलिंग यह सुनिश्चित करने का एक तरीका है कि डेटासेट में सभी सुविधाओं का आकार समान हो। इसका उपयोग मशीन लर्निंग और अन्य डेटा विश्लेषण अनुप्रयोगों में किया जाता है। यह महत्वपूर्ण है क्योंकि कुछ मशीन लर्निंग एल्गोरिदम इस बात के प्रति संवेदनशील होते हैं कि डेटा कितना बड़ा या छोटा है, और यदि पैमाना मेल नहीं खाता है, तो वे गलत परिणाम दे सकते हैं।

स्केलिंग लक्षण का एक सामान्य तरीका जेड-स्कोर सामान्यीकरण है, जिसे मानकीकरण के रूप में भी जाना जाता है। इस प्रक्रिया में, प्रत्येक विशेषता को परिवर्तित किया जाता है ताकि इसका औसत मान 0 हो और इसका मानक विचलन 1 हो। एक विशेषता के जेड-स्कोर की गणना करने का सूत्र इस प्रकार है:

Z = (X - माध्य) / स्टैण्डर्ड डेविएशन

जहाँ X फीचर का मान है, मीन फीचर का मतलब है, और स्टैंडर्ड डेविएशन फीचर का स्टैंडर्ड डेविएशन है।

जेड-स्कोर टू स्केल फीचर्स का उपयोग करने का एक व्यावहारिक उदाहरण कंप्यूटर दृष्टि के क्षेत्र में है। छवि डेटा के साथ काम करते समय, आमतौर पर पिक्सेल मानों को स्केल करने की आवश्यकता होती है ताकि वे 0 से 1 की सीमा में हों। इसे Z- स्कोर को सामान्य करके प्राप्त किया जा सकता है, क्योंकि प्रत्येक पिक्सेल मान को रूपांतरित किया जा सकता है ताकि इसका माध्य मान हो 0, और इसका मानक विचलन 1 है।

फीचर स्केलिंग के लिए जेड-स्कोर का उपयोग करने का एक और व्यावहारिक उदाहरण प्राकृतिक भाषा प्रसंस्करण है। शाब्दिक डेटा के साथ काम करते समय, टर्म फ़्रीक्वेंसी और इनवर्स डॉक्यूमेंट फ़्रीक्वेंसी (TF-IDF) मानों को स्केल करना आम बात है ताकि वे 0 से 1 की सीमा में हों। इसे Z-स्कोर सामान्यीकरण का उपयोग करके भी प्राप्त किया जा सकता है।

प्रिडिक्टिव मॉडलिंग

प्रिडिक्टिव मॉडलिंग पिछले डेटा के आधार पर भविष्यवाणी करने का एक तरीका है। इसका उपयोग मशीन लर्निंग और अन्य डेटा विश्लेषण अनुप्रयोगों में किया जाता है। इसमें डेटा के एक सेट पर एक मॉडल को प्रशिक्षित करना और फिर उस मॉडल का उपयोग नए डेटा पर भविष्यवाणी करने के लिए करना शामिल है जिसे मॉडल ने पहले नहीं देखा है।

मॉडल में उपयोग करने के लिए सेट किए गए डेटा से सबसे महत्वपूर्ण विशेषताओं को चुनना भविष्य कहनेवाला मॉडलिंग का एक महत्वपूर्ण हिस्सा है। इसे फीचर चयन कहा जाता है। अक्सर, लक्ष्य चर के साथ उच्च सहसंबंध रखने वाले लक्षण चुने जाते हैं क्योंकि वे लक्ष्य चर की भविष्यवाणी करने की अधिक संभावना रखते हैं।

Z-स्कोर का उपयोग उन लक्षणों की पहचान करने के लिए किया जा सकता है जो लक्ष्य चर के साथ अत्यधिक सहसंबद्ध हैं क्योंकि उच्च Z-स्कोर वाले लक्षण लक्ष्य चर की भविष्यवाणी करने की अधिक संभावना रखते हैं। एक विशेषता के Z-स्कोर की गणना करने का सूत्र इस प्रकार है:

Z = (X - माध्य) / स्टैण्डर्ड डेविएशन

जहाँ X फीचर का मान है, मीन फीचर का मतलब है, और स्टैंडर्ड डेविएशन फीचर का स्टैंडर्ड डेविएशन है।

प्रागैतिहासिक मॉडलिंग में Z-स्कोर का उपयोग करने का एक व्यावहारिक उदाहरण वित्त के क्षेत्र से संबंधित है। स्टॉक की कीमतों की भविष्यवाणी करते समय स्टॉक के पिछले प्रदर्शन के Z-स्कोर का उपयोग भविष्य की रिटर्न क्षमता निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है। एक उच्च Z-स्कोर इंगित करता है कि स्टॉक का पिछला रिटर्न औसत से काफी ऊपर है और भविष्य में उच्च रिटर्न के लिए अनुमानित किया जा सकता है।

पूर्वानुमानित मॉडलिंग में Z-स्कोर का उपयोग करने का एक और व्यावहारिक उदाहरण स्वास्थ्य देखभाल क्षेत्र में है। रोगी के परिणामों की भविष्यवाणी करते समय, Z-स्कोर का उपयोग भविष्य के परिणामों के लिए रोगी की क्षमता निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है। एक उच्च Z-स्कोर इंगित करता है कि रोगी के स्वास्थ्य के परिणाम औसत से काफी खराब हैं और खराब भविष्य के परिणामों का संकेत दे सकते हैं।

Z स्कोर टेबल का उपयोग करना

एक Z-टेबल, जिसे एक स्टैण्डर्ड सामान्य टेबल या इ*-*काई सामान्य टेबल के रूप में भी जाना जाता है, एक ता-लिका है जिसमें स्टैण्डर्ड सामान्य वितरण के नीचे, ऊपर या बीच में दिए गए आंकड़े की संभावना की गणना करने के लिए उपयोग किए जाने वाले मानकीकृत मान होते हैं।

z	0	0.01	0.02	0.03	0.04	0.05	0.06	0.07	0.08	0.09
0	0	0.00399	0.00798	0.01197	0.01595	0.01994	0.02392	0.0279	0.03188	0.03586
0.1	0.03983	0.0438	0.04776	0.05172	0.05567	0.05962	0.06356	0.06749	0.07142	0.07535
0.2	0.07926	0.08317	0.08706	0.09095	0.09483	0.09871	0.10257	0.10642	0.11026	0.11409
0.3	0.11791	0.12172	0.12552	0.1293	0.13307	0.13683	0.14058	0.14431	0.14803	0.15173
0.4	0.15542	0.1591	0.16276	0.1664	0.17003	0.17364	0.17724	0.18082	0.18439	0.18793
0.5	0.19146	0.19497	0.19847	0.20194	0.2054	0.20884	0.21226	0.21566	0.21904	0.2224
0.6	0.22575	0.22907	0.23237	0.23565	0.23891	0.24215	0.24537	0.24857	0.25175	0.2549
0.7	0.25804	0.26115	0.26424	0.2673	0.27035	0.27337	0.27637	0.27935	0.2823	0.28524
0.8	0.28814	0.29103	0.29389	0.29673	0.29955	0.30234	0.30511	0.30785	0.31057	0.31327
0.9	0.31594	0.31859	0.32121	0.32381	0.32639	0.32894	0.33147	0.33398	0.33646	0.33891
1	0.34134	0.34375	0.34614	0.34849	0.35083	0.35314	0.35543	0.35769	0.35993	0.36214
1.1	0.36433	0.3665	0.36864	0.37076	0.37286	0.37493	0.37698	0.379	0.381	0.38298
1.2	0.38493	0.38686	0.38877	0.39065	0.39251	0.39435	0.39617	0.39796	0.39973	0.40147
1.3	0.4032	0.4049	0.40658	0.40824	0.40988	0.41149	0.41308	0.41466	0.41621	0.41774
1.4	0.41924	0.42073	0.4222	0.42364	0.42507	0.42647	0.42785	0.42922	0.43056	0.43189
1.5	0.43319	0.43448	0.43574	0.43699	0.43822	0.43943	0.44062	0.44179	0.44295	0.44408
1.6	0.4452	0.4463	0.44738	0.44845	0.4495	0.45053	0.45154	0.45254	0.45352	0.45449
1.7	0.45543	0.45637	0.45728	0.45818	0.45907	0.45994	0.4608	0.46164	0.46246	0.46327
1.8	0.46407	0.46485	0.46562	0.46638	0.46712	0.46784	0.46856	0.46926	0.46995	0.47062
1.9	0.47128	0.47193	0.47257	0.4732	0.47381	0.47441	0.475	0.47558	0.47615	0.4767
2	0.47725	0.47778	0.47831	0.47882	0.47932	0.47982	0.4803	0.48077	0.48124	0.48169
2.1	0.48214	0.48257	0.483	0.48341	0.48382	0.48422	0.48461	0.485	0.48537	0.48574
2.2	0.4861	0.48645	0.48679	0.48713	0.48745	0.48778	0.48809	0.4884	0.4887	0.48899
2.3	0.48928	0.48956	0.48983	0.4901	0.49036	0.49061	0.49086	0.49111	0.49134	0.49158
2.4	0.4918	0.49202	0.49224	0.49245	0.49266	0.49286	0.49305	0.49324	0.49343	0.49361
2.5	0.49379	0.49396	0.49413	0.4943	0.49446	0.49461	0.49477	0.49492	0.49506	0.4952
2.6	0.49534	0.49547	0.4956	0.49573	0.49585	0.49598	0.49609	0.49621	0.49632	0.49643
2.7	0.49653	0.49664	0.49674	0.49683	0.49693	0.49702	0.49711	0.4972	0.49728	0.49736
2.8	0.49744	0.49752	0.4976	0.49767	0.49774	0.49781	0.49788	0.49795	0.49801	0.49807
2.9	0.49813	0.49819	0.49825	0.49831	0.49836	0.49841	0.49846	0.49851	0.49856	0.49861
3	0.49865	0.49869	0.49874	0.49878	0.49882	0.49886	0.49889	0.49893	0.49896	0.499
3.1	0.49903	0.49906	0.4991	0.49913	0.49916	0.49918	0.49921	0.49924	0.49926	0.49929
3.2	0.49931	0.49934	0.49936	0.49938	0.4994	0.49942	0.49944	0.49946	0.49948	0.4995
3.3	0.49952	0.49953	0.49955	0.49957	0.49958	0.4996	0.49961	0.49962	0.49964	0.49965
3.4	0.49966	0.49968	0.49969	0.4997	0.49971	0.49972	0.49973	0.49974	0.49975	0.49976
3.5	0.49977	0.49978	0.49978	0.49979	0.4998	0.49981	0.49981	0.49982	0.49983	0.49983
3.6	0.49984	0.49985	0.49985	0.49986	0.49986	0.49987	0.49987	0.49988	0.49988	0.49989
3.7	0.49989	0.4999	0.4999	0.4999	0.49991	0.49991	0.49992	0.49992	0.49992	0.49992
3.8	0.49993	0.49993	0.49993	0.49994	0.49994	0.49994	0.49994	0.49995	0.49995	0.49995
3.9	0.49995	0.49995	0.49996	0.49996	0.49996	0.49996	0.49996	0.49996	0.49997	0.49997
4	0.49997	0.49997	0.49997	0.49997	0.49997	0.49997	0.49998	0.49998	0.49998	0.49998

Z-टेबल का उपयोग करने के लिए, आपको वह पंक्ति ढूंढनी होगी जो आपके परिकलित Z-स्कोर से मेल खाती हो और फिर उस पंक्ति से मेल खाने वाले कॉलम को ढूंढें। स्टैण्डर्ड सामान्य वक्र के अंतर्गत क्षेत्र (संभावना) स्टैण्डर्ड सामान्य वक्र के अंतर्गत क्षेत्र द्वारा दिया जाता है। परिणाम अनुमानित संभावना है कि एक स्टैण्डर्ड सामान्य वितरण से एक यादृच्छिक चर आपके परिकलित Z-स्कोर से कम या उसके बराबर होगा।

उदाहरण के लिए, यदि आपका z-स्कोर 1.96 है, तो आप "1.9" बताने वाली पंक्ति और "0.06" बताने वाले कॉलम के लिए z-टेबल देखेंगे। 1.96 के दाईं ओर स्टैण्डर्ड सामान्य वक्र के नीचे का क्षेत्र आपके द्वारा प्राप्त मूल्य द्वारा दिया जाएगा। यह मान लगभग 0.975 है, जिसका अर्थ है कि स्टैण्डर्ड सामान्य वितरण से लगभग 97.5% डेटा 1.96 से कम या उसके बराबर होगा।

यह याद रखना महत्वपूर्ण है कि Z-टेबल केवल 0 के माध्य और 1 के स्टैण्डर्ड डेविएशन के साथ स्टैण्डर्ड सामान्य वितरण के लिए काम करता है। यदि आपका डेटा इस पैटर्न में फिट नहीं होता है, तो आपको पहले इसे Z-स्कोर में बदलना होगा इसे और अधिक समान बनाएं।

Z-स्कोर से संभावना ढूँढना

जब हम सामान्य रूप से वितरित चर को z-स्कोर में परिवर्तित करते हैं, तो हम Z-स्कोर टेबल का उपयोग कर सकते हैं और सामान्य वक्र के अंतर्गत क्षेत्रफल का अनुपात ज्ञात कर सकते हैं। स्टैण्डर्ड सामान्य वक्र के तहत कुल क्षेत्रफल 1 के बराबर है। इसलिए, सामान्य वक्र में शामिल क्षेत्र का अनुपात उस Z-स्कोर की संभावना के बराबर है।

उदाहरण 1

मुक्केबाजी खिलाड़ियों के वजन सामान्य रूप से 75 किलोग्राम के औसत और 3 किलोग्राम के स्टैण्डर्ड डेविएशन के साथ वितरित किए जाते हैं। क्या संभावना है कि यादृच्छिक रूप से चुने गए खिलाड़ी का वजन है;

• a) 78 किग्रा से अधिक?
• b) 69 किग्रा से कम?
• c) 72 किग्रा से अधिक?
• d) 79.5 किग्रा से कम?
• e) 72 किग्रा और 76.5 किग्रा के बीच?
• f) 72 किग्रा और 73.5 किग्रा के बीच?

a) इसकी क्या प्रोबब्लिटी है कि यादृच्छिक रूप से चुने गए खिलाड़ी का वजन 78 किग्रा से अधिक है?

• X > 78
• μ = 75
• σ = 3

$$P(X>78)=P\left(Z>\frac{X-μ}{σ}\right)=P\left(Z>\frac{78-75}{3}\right)=P(Z>1)$$

पहले, हम इसे Z वक्र में आरेखित करेंगे।

[Z-स्कोर-कैलकुलेटर] (/z-score-calculator/assets/images/z-score-calculator-001.png)

अब हम परिकलित Z-स्कोर के लिए प्रासंगिक प्रोबब्लिटी ज्ञात करने के लिए Z-टेबल का उपयोग करेंगे।

याद रखें कि Z-स्कोर हमेशा Z-स्कोर और माध्य के बीच संभावना देता है। ग्राफ़ में हाइलाइट किए गए क्षेत्र की प्रोबब्लिटी प्राप्त करने के लिए, हमें उस प्रोबब्लिटी को 0.5 से कम करना होगा। (वक्र के अंतर्गत कुल संभाव्यता 1 है, और स्टैण्डर्ड वितरण का माध्य समान रूप से 2 भागों में विभाजित होता है। इसलिए, माध्य पॉइंट से अंत के दोनों ओर की संभावना 0.5 है।)

• P (X > 78) = P (Z >1)
• P (X > 78) = 0.5 - P(0 < Z < 1)
• P (X > 78) = 0.5 - 0.3413
• P (X > 78) = 0.1587

इसलिए, इस बात की 0.1587 प्रोबब्लिटी है कि यादृच्छिक रूप से चुने गए खिलाड़ी का वजन 78 किग्रा से अधिक है।

b) इस बात की क्या प्रोबब्लिटी है कि यादृच्छिक रूप से चुने गए खिलाड़ी का वजन 69 किग्रा से कम है?

• X <69
• μ = 75
• σ = 3

$$P(X<69)=P\left(Z>\frac{X-μ}{σ}\right)=P\left(Z>\frac{69-75}{3}\right)=P(Z<-2)$$

Z वक्र में आरेखित करेंगे ।

[ Z-स्कोर-कैलकुलेटर] (/z-score-calculator/assets/images/z-score-calculator-002.png)

अब हम परिकलित Z-स्कोर के लिए प्रासंगिक प्रोबब्लिटी ज्ञात करने के लिए Z-टेबल का उपयोग करेंगे।

याद रखें कि Z-स्कोर हमेशा Z-स्कोर और माध्य के बीच संभावना देता है। ग्राफ़ में हाइलाइट किए गए क्षेत्र की प्रोबब्लिटी प्राप्त करने के लिए, हमें उस प्रोबब्लिटी को 0.5 से कम करना होगा।

• P (X < 69) = P (Z <69)
• P (X < 69) = 0.5 - P (0 > Z > -2)
• P (X < 69) = 0.5 - 0.4772
• P (X < 69) = 0.0228

इसलिए, इस बात की 0.0228 प्रोबब्लिटी है कि बेतरतीब ढंग से चुने गए खिलाड़ी का वजन 69 किलो से कम है।

c) क्या संभावना है कि यादृच्छिक रूप से चुने गए खिलाड़ी का वजन 72 किलो और 76.5 किलो के बीच है?

• 72 < X < 76.5
• μ = 75
• σ = 3

$$P(72 \lt X \lt 76.5)=P\left(\frac{X-μ}{σ} \lt Z \lt \frac{X-μ}{σ}\right)=P\left(\frac{72-75}{3} \lt Z \lt \frac{76.5-75}{3}\right)=P(-1 \lt Z \lt 0.5)$$

Z वक्र में आरेखित करेंगे ।

[ Z-स्कोर-कैलकुलेटर] (/z-score-calculator/assets/images/z-score-calculator-005.png)

अब हम परिकलित Z-स्कोर के लिए प्रासंगिक प्रोबब्लिटी ज्ञात करने के लिए Z-टेबल का उपयोग करेंगे।

याद रखें कि Z-स्कोर हमेशा Z-स्कोर और माध्य के बीच संभावना देता है। ग्राफ़ में हाइलाइट किए गए क्षेत्र की संभावना प्राप्त करने के लिए, आप 2 Z-स्कोर की संभावनाओं को एक साथ जोड़ सकते हैं।

• P (72 < X < 76.5) = P (-1 < Z < 0.5)
• P (72 < X < 76.5) = 0.3413 + 0.1915
• P (72 < X < 76.5) = 0.5328

इसलिए, इस बात की 0.5328 प्रोबब्लिटी है कि यादृच्छिक रूप से चुने गए खिलाड़ी का वजन 72 किग्रा और 76.5 किग्रा के बीच है।

इस मामले में, आपको जल्दी से उत्तर खोजने के लिए दो Z-स्कोर कैलकुलेटर के बीच की संभावना का उपयोग करना होगा।

निर्दिष्ट संभावना के लिए संगत मान ढूँढना

जब हम जानते हैं कि वितरण सामान्य है, तो हम Z-स्कोर के आधार पर निर्दिष्ट संभावनाओं के लिए संबंधित मान पा सकते हैं।

उदाहरण 2

एक प्रतियोगी परीक्षा में आवेदकों के अंक लगभग सामान्य रूप से वितरित किए जाते हैं, 55 के माध्य और 10 के स्टैण्डर्ड डेविएशन के साथ। यदि शीर्ष 30% आवेदक परीक्षा उत्तीर्ण करते हैं, तो न्यूनतम उत्तीर्ण अंक ज्ञात करें।

समाधान

इस मामले में, हमें पहले दी गई प्रोबब्लिटी या प्रतिशत के लिए संगत Z-स्कोर ज्ञात करना होगा।

[ Z-स्कोर-कैलकुलेटर] (/z-score-calculator/assets/images/z-score-calculator-007.png)

Z-स्कोर खोजने के लिए, हमें वास्तव में हाइलाइट किए गए क्षेत्र में संभावना खोजने की जरूरत है। इसे 0.50 में से 0.30 घटाकर प्राप्त किया जाता है। इसलिए, हाइलाइट किए गए क्षेत्र की संभावना 0.20 है।

अब, Z-टेबल में, हमें 0.20 के निकटतम प्रोबब्लिटी का पता लगाना है। संबंधित Z-स्कोर 0.524 है।

फिर, हमें Z-स्कोर सूत्र का उपयोग करके X मान ज्ञात करना होगा।

• Z = (X - μ)/σ
• 0.524 = (X - 55)/10
• X = (0.524 × 10) + 55
• X = 60.24

इसलिए, परीक्षा के लिए न्यूनतम उत्तीर्ण अंक 60.24 है।