Calcolatore di Quartili

Il calcolatore di quartili è uno strumento statistico fondamentale per ottenere la sintesi a cinque valori (five-number summary), indispensabile per costruire i grafici a scatola e baffi (Box-and-Whisker plot). Questo pratico calcolatore online individua automaticamente il primo quartile (Q1), il secondo quartile o mediana (Q2), il terzo quartile (Q3), oltre al valore minimo e massimo del set di dati fornito. Inoltre, determina con precisione il range interquartile e il campo di variazione totale.

Ti basterà digitare o incollare i tuoi dati e cliccare sul pulsante "Calcola". Ricorda solo di separare ogni numero con una virgola o uno spazio.

Quartili

I quartili sono importanti indici di posizione in statistica. Servono a descrivere e individuare la collocazione di un dato valore rispetto al resto dei dati all'interno di un campione.

Più nello specifico, i quartili vengono utilizzati per dividere una serie di dati (precedentemente ordinata in senso crescente) in quattro sezioni perfettamente uguali. Ogni sezione conterrà lo stesso numero di osservazioni. Per qualsiasi dataset, è possibile calcolare tre quartili principali:

• Primo quartile (Q1 o quartile inferiore)
• Secondo quartile (Q2 o mediana)
• Terzo quartile (Q3 o quartile superiore)

Il primo quartile (Q1) è il valore che separa il 25% inferiore dal 75% superiore dei dati ordinati. Di conseguenza, il 25% dei valori sarà inferiore o uguale a Q1, mentre il restante 75% sarà superiore. Questo valore corrisponde al 25° percentile del dataset.

Il secondo quartile (Q2) è il valore che divide esattamente a metà i dati ordinati, separando il 50% inferiore dal 50% superiore. Pertanto, metà dei valori sarà inferiore a Q2 e l'altra metà superiore. Il secondo quartile coincide esattamente con la mediana e con il 50° percentile dell'insieme di dati.

Il terzo quartile (Q3) è il valore che separa il 75% inferiore dal 25% superiore dei dati ordinati. In questo caso, il 75% delle osservazioni è inferiore a Q3, mentre solo il 25% è superiore. Questo indice corrisponde al 75° percentile.

Questo calcolatore online per i quartili si rivela estremamente utile per calcolare rapidamente la sintesi a cinque valori necessaria per i diagrammi Box-and-Whisker. Lo strumento statistico individuerà in automatico il primo quartile (Q1), la mediana o secondo quartile (Q2), il terzo quartile (Q3), insieme al valore minimo e massimo della distribuzione. Inoltre, ti fornirà il calcolo del range interquartile e dell'ampiezza totale del campione.

Inserisci i tuoi valori manualmente o incollali direttamente nel box, poi premi il pulsante "Calcola". Assicurati semplicemente di dividere ogni cifra con uno spazio o una virgola.

Quartili

In statistica, i quartili rappresentano fondamentali indici di posizione. Il loro scopo è mostrare la distribuzione di determinati valori in relazione all'intero dataset.

Come suggerisce il nome, i quartili frazionano un array di dati (ordinati in modo crescente) in quattro segmenti di pari ampiezza, ciascuno contenente lo stesso numero di elementi. In un set di dati si identificano sempre tre quartili:

• Primo quartile (Q1 o quartile inferiore)
• Secondo quartile (Q2 o mediana)
• Terzo quartile (Q3 o quartile superiore)

Il primo quartile (Q1) funge da spartiacque tra il 25% dei valori più bassi e il 75% dei valori più alti di una distribuzione ordinata. Essendo il limite del primo quarto dei dati, rappresenta il 25° percentile.

Il secondo quartile (Q2) divide a metà la serie di dati ordinata: il 50% dei valori si trova al di sotto di esso e il 50% al di sopra. Il Q2 è l'esatto equivalente della mediana e rappresenta il 50° percentile.

Il terzo quartile (Q3) fa da confine tra il 75% dei valori più bassi e il 25% dei valori più alti della serie ordinata. Rappresentando il limite superiore dei tre quarti dei dati, equivale al 75° percentile.

Esempio 1

Il seguente set di dati rappresenta lo stipendio iniziale di contabili neolaureati assunti da un college. Trova la mediana (Q2), il quartile inferiore (Q1) e il quartile superiore (Q3) per questi stipendi iniziali. Interpreta poi i risultati.

45.000€, 60.000€, 52.000€, 45.000€, 74.000€, 75.000€, 48.000€, 58.000€, 72.000€, 66.000€, 45.000€, 50.000€, 54.000€, 65.000€, 71.000€

Soluzione

Come prima cosa, ordiniamo i dati in ordine crescente.

45.000€, 45.000€, 48.000€, 50.000€, 52.000€, 54.000€, 55.000€, 58.000€, 60.000€, 65.000€, 66.000€, 71.000€, 72.000€, 74.000€, 75.000€

Successivamente, individuiamo la posizione del secondo quartile (o mediana).

$$Secondo\ quartile(Q2)=\left(\frac{N+1}{2}\right)^{mo} elemento =\left(\frac{15+1}{2}\right)^{mo} elemento = 8^{mo} elemento = 58.000€$$

Ora, calcoliamo la mediana della metà inferiore dei dati (i valori sotto Q2) per trovare Q1.

45.000€, 45.000€, 48.000€, 50.000€, 52.000€, 54.000€, 55.000€

Primo quartile (Q1) = 50.000€

Allo stesso modo, calcoliamo la mediana della metà superiore dei dati (i valori sopra Q2) per trovare Q3.

60.000€, 65.000€, 66.000€, 71.000€, 72.000€, 74.000€, 75.000€

Terzo quartile (Q3) = 71.000€

Possiamo interpretare i quartili calcolati in questo modo:

Il 25% dei neolaureati in contabilità percepisce uno stipendio inferiore a 50.000€, mentre un altro 25% guadagna più di 71.000€. Il 50% dei neolaureati guadagna più di 58.000€, mentre la restante metà percepisce una cifra inferiore.

Come si evince dall'esempio precedente, quando si ha un numero dispari di osservazioni, i quartili corrispondono a valori effettivamente presenti nel dataset. Tuttavia, con un numero pari di dati, i quartili potrebbero non coincidere con i valori originali. Modifichiamo l'esempio per illustrare questo concetto.

Esempio 2

Immagina di aver dimenticato di includere uno stipendio nel set di dati dell'Esempio 1. Lo stipendio mancante ammonta a 95.000€. Trova la nuova mediana (Q2), il quartile inferiore (Q1) e il quartile superiore (Q3) ricalcolati.

Soluzione

Come prima cosa, ordiniamo i dati in ordine crescente.

45.000€, 45.000€, 48.000€, 50.000€, 52.000€, 54.000€, 55.000€, 58.000€, 60.000€, 65.000€, 66.000€, 71.000€, 72.000€, 74.000€, 75.000€, 95.000€

Quindi, calcoliamo la posizione dei quartili.

$$Secondo\ quartile(Q2)=\left(\frac{N+1}{2}\right)^{mo} elemento =\left(\frac{16+1}{2}\right)^{mo} elemento = 8.5^{mo} elemento$$

$$Secondo\ quartile(Q2)=\frac{8^{mo} elemento + 9^{mo} elemento}{2}=\frac{58.000€+60.000€}{2}=59.000€$$

Ora, dividiamo l'insieme di dati a partire dalla mediana in due gruppi. Calcoliamo la mediana della metà inferiore dei dati (sotto Q2) per trovare Q1.

45.000€, 45.000€, 48.000€, 50.000€, 52.000€, 54.000€, 55.000€, 58.000€

Primo quartile (Q1)=(50.000€ + 52.000€)/2 = 51.000€

Poi, calcoliamo la mediana dei valori al di sopra di Q2 per trovare Q3.

60.000€, 65.000€, 66.000€, 71.000€, 72.000€, 74.000€, 75.000€, 95.000€

Terzo quartile (Q3) = (71.000€ + 72.000€)/2 = 71.500€

Intervallo Interquartile

La differenza tra il quartile superiore (Q3) e il quartile inferiore (Q1) è nota come range o intervallo interquartile (IQR).

• Intervallo interquartile (IQR) = Quartile superiore - Quartile inferiore
• Intervallo interquartile (IQR) = Terzo quartile - Primo quartile
• Intervallo interquartile (IQR) = Q3 - Q1

Il range interquartile esclude il 25% dei valori più bassi e il 25% dei valori più alti della distribuzione. In altre parole, si concentra esclusivamente sulla variabilità del 50% centrale dei dati. Poiché scarta le estremità del dataset, questo indice è esente dall'influenza dei valori estremi o anomali (outlier). Ciò lo rende una misura di dispersione molto più robusta e affidabile rispetto al semplice calcolo dell'intervallo totale.

Esempio 3

Trova l'intervallo interquartile per l'Esempio 1.

Soluzione

Abbiamo già calcolato i quartili per questo set di dati:

• Primo quartile (Q1) = 50.000€
• Secondo quartile (Q2) = 58.000€
• Terzo quartile (Q3) = 71.000€

Applichiamo i valori alla formula dell'intervallo interquartile.

Intervallo interquartile (IQR) = Terzo quartile (Q3) - Primo quartile (Q1) = 71.000€ - 50.000€ = 21.000€

Esempio 4

Trova l'intervallo interquartile per l'Esempio 2.

Soluzione

Abbiamo già calcolato i quartili per questo set di dati:

• Primo quartile (Q1) = 51.000€
• Secondo quartile (Q2) = 59.000€
• Terzo quartile (Q3) = 71.500€

Applichiamo i valori alla formula dell'intervallo interquartile.

Intervallo interquartile (IQR) = Terzo quartile (Q3) - Primo quartile (Q1) = 71.500€ - 51.000€ = 20.500€

Valori Minimo e Massimo

Il valore minimo indica l'osservazione più piccola all'interno di un set di dati. In un dataset ordinato in senso crescente, corrisponde al primo elemento della serie.

Il valore massimo, al contrario, indica l'osservazione più grande. Quando si ordina un insieme di dati in modo crescente, questo rappresenta l'ultimo elemento.

Insieme, il valore minimo e il valore massimo permettono di comprendere l'ampiezza complessiva della distribuzione. L'intervallo (o range), che rappresenta la misura di dispersione più semplice, si calcola proprio a partire dalla differenza tra questi due estremi.

Esempio 5

Trova i valori minimo e massimo del set di dati relativo allo stipendio iniziale dei contabili dell'Esempio 1.

Soluzione

Abbiamo già ordinato l'insieme di dati in ordine crescente come segue:

45.000€, 45.000€, 48.000€, 50.000€, 52.000€, 54.000€, 55.000€, 58.000€, 60.000€, 65.000€, 66.000€, 71.000€, 72.000€, 74.000€, 75.000€

Lo stipendio minimo corrisponde al primo valore della serie. Pertanto:

Lo stipendio iniziale minimo dei contabili neolaureati = 45.000€

Lo stipendio massimo corrisponde all'ultimo valore della serie. Pertanto:

Lo stipendio iniziale massimo dei contabili neolaureati = 75.000€

Esempio 6

Trova i valori minimo e massimo del set di dati relativo allo stipendio iniziale dei contabili dell'Esempio 2.

Soluzione

Abbiamo già ordinato l'insieme di dati in ordine crescente come segue:

45.000€, 45.000€, 48.000€, 50.000€, 52.000€, 54.000€, 55.000€, 58.000€, 60.000€, 65.000€, 66.000€, 71.000€, 72.000€, 74.000€, 75.000€, 95.000€

Lo stipendio minimo corrisponde al primo valore della serie. Pertanto:

Lo stipendio iniziale minimo dei contabili neolaureati = 45.000€

Lo stipendio massimo corrisponde all'ultimo valore della serie. Pertanto:

Lo stipendio iniziale massimo dei contabili neolaureati = 95.000€

Intervallo di un insieme

Il range (o intervallo di un insieme) è la misura più semplice della dispersione statistica di un dataset. Viene calcolato come la differenza tra il valore più grande (massimo) e quello più piccolo (minimo).

L'intervallo di un insieme = Valore massimo - Valore minimo

L'intervallo di un insieme = Valore più grande - Valore più piccolo

L'intervallo rappresenta la distanza totale, ovvero l'ampiezza complessiva, tra i due valori estremi del dataset. È considerata una misura approssimativa della dispersione.

Essendo determinato esclusivamente dai due valori estremi, qualora questi includano degli outlier (valori anomali), il risultato del range subirà una forte distorsione e non sarà rappresentativo dell'intera distribuzione.

Proprio perché non tiene conto della totalità dei dati presenti nel campione, l'intervallo totale generalmente non è considerato una misura di dispersione affidabile e robusta.

Esempio 7

Trova l'intervallo del set di dati relativo agli stipendi iniziali dell'Esempio 1.

Soluzione

In precedenza abbiamo individuato il valore minimo e il valore massimo del set di dati:

Lo stipendio iniziale minimo = 45.000€

Lo stipendio iniziale massimo = 75.000€

Ora applicheremo i valori all'equazione dell'intervallo.

L'intervallo di un insieme = Valore massimo - Valore minimo = 75.000€ - 45.000€ = 30.000€

Esempio 8

Trova l'intervallo del set di dati relativo agli stipendi iniziali dell'Esempio 2.

Soluzione

In precedenza abbiamo individuato il valore minimo e il valore massimo del set di dati:

Lo stipendio iniziale minimo = 45.000€

Lo stipendio iniziale massimo = 95.000€

Ora applicheremo i valori all'equazione dell'intervallo.

L'intervallo di un insieme = Valore massimo - Valore minimo = 95.000€ - 45.000€ = 50.000€

Applicazioni dei calcoli sui quartili nel mondo reale

Il calcolo dei quartili è estremamente utile quando si desidera esaminare la reale distribuzione di un set di dati escludendone i valori estremi. L'elenco seguente illustra vari settori in cui i quartili vengono regolarmente impiegati per prendere decisioni strategiche:

Risorse Umane - I quartili vengono analizzati per definire in modo equo le fasce salariali dei dipendenti. Questo metodo aiuta a isolare ed escludere le retribuzioni eccezionalmente basse (come quelle dei tirocinanti) e quelle estremamente alte (dovute a un'elevata seniority o a competenze rare).

Finanza - Nella pianificazione del budget, si calcolano i quartili delle spese mensili per comprendere l'andamento e la distribuzione dei costi passati. Questo approccio protegge il management dal rischio di sovrastimare o sottostimare i fondi necessari.

L'utilizzo dei quartili fornisce inoltre dati accurati sulle capacità produttive, poiché offre una panoramica ripulita dalle distorsioni causate da eventi eccezionali (come interruzioni di corrente, scioperi o temporaneo esaurimento delle materie prime).

Marketing - Quando i responsabili marketing analizzano il pricing della concorrenza, utilizzano i quartili per identificare le fasce di prezzo più rilevanti. In questo modo possono concentrare le proprie analisi escludendo consapevolmente i prodotti di bassissima qualità e i brand di extra-lusso fuori mercato.