Calculadora de desvio padrão e margem de erro

A nossa calculadora de desvio padrão permite calcular rapidamente o grau de dispersão de um conjunto numérico. Além do desvio padrão em si, esta ferramenta fornece métricas estatísticas complementares essenciais, como a média e a variância. Para tornar a sua análise ainda mais completa, a calculadora também determina o intervalo de confiança do conjunto de dados em diferentes níveis de confiança e gera uma tabela de distribuição de frequência.

Para usar a nossa calculadora online, basta inserir os números desejados separados por vírgulas. Em seguida, indique se os dados representam uma população ou uma amostra e clique em "Calcular". Você pode usar o botão "Limpar" a qualquer momento para reiniciar e analisar um novo conjunto de valores.

O Desvio Padrão

Na estatística, o desvio padrão é uma medida fundamental que define o grau de dispersão ou variabilidade de um determinado conjunto de dados. Em termos práticos, ele indica a distância média dos pontos de dados em relação à média geral do grupo. Quanto menor for o desvio padrão, mais próximos os valores estarão da média (baixa dispersão). Por outro lado, um desvio padrão elevado revela que os dados estão mais espalhados e distantes do centro. Matematicamente, o desvio padrão é calculado extraindo-se a raiz quadrada de outra medida de dispersão importante: a variância.

A forma de calcular essa métrica varia conforme a natureza das informações. Se o conjunto de dados abranger todos os elementos de interesse para o seu estudo (a totalidade), calculamos o chamado desvio padrão da população. No entanto, se os dados representarem apenas um subconjunto ou parte desse grupo, utilizamos a fórmula do desvio padrão amostral (ou da amostra).

O Desvio Padrão da População

O desvio padrão populacional é calculado quando o conjunto de dados inclui absolutamente todas as observações do grupo que está sendo estudado. Ele é representado matematicamente por σ (a letra grega minúscula Sigma).

O desvio padrão da população é calculado através da seguinte fórmula:

$$\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}{(x_i-\mu)^2}}{N}}$$

Onde:

• Σ (Sigma maiúsculo) é o símbolo usado em matemática para denotar o somatório;
• xᵢ representa cada valor individual do conjunto de dados, desde a primeira até a última observação (N);
• μ representa a média da população;
• N é o tamanho total da população.

Exemplo de cálculo do desvio padrão da população

O exemplo a seguir demonstra o passo a passo para encontrar o desvio padrão em dados populacionais.

No mercado financeiro, os investidores costumam considerar as ações como ativos de risco devido à sua alta volatilidade em comparação a outras classes de investimentos. Imagine que um gestor queira analisar a volatilidade de uma ação específica durante o mês anterior. Ele possui uma regra rigorosa: não recomendará aos clientes nenhuma ação cujo desvio padrão seja maior ou igual à sua respectiva média, por considerá-la "arriscada demais".

Abaixo estão listados todos os preços diários de fechamento (em USD) dessa ação ao longo do último mês. Calcule o desvio padrão e determine se o gestor a aprovará ou não:

1,31, 1,30, 1,36, 1,40, 1,40, 1,41, 1,27, 1,19, 1,15, 1,12, 0,99, 1,00, 0,97, 0,94, 0,88, 0,90, 0,86, 0,88, 0,80, 0,81

Como o gestor está avaliando exclusivamente o desempenho do mês anterior e dispõe de todos os preços de fechamento desse período, temos a população completa à nossa disposição. Sendo assim, aplicaremos a fórmula do desvio padrão populacional.

Para calcular o desvio padrão, o primeiro passo é encontrar a média. Lembre-se de que a média μ é obtida somando-se todos os valores e dividindo-os pela contagem total de números.

$$\mu=\frac{1,31+1,30+1,36+1,40+1,40+1,41+1,27+1,19+1,15+1,12+0,99+1,00+0,97+0,94+0,88+0,90+0,86+0,88+0,80+0,81}{20}=1,097$$

Em seguida, subtraímos a média de cada número e elevamos a diferença ao quadrado. Depois, somamos todos esses resultados parciais e dividimos a soma pela quantidade total de elementos. Esse resultado é a variância, representada por σ².

$$\sigma^2=\frac{\left(1,31-1,097\right)^2+\left(1,30-1,097\right)^2+\left(1,36-1,097\right)^2+\left(1,40-1,097\right)^2+\ldots+\left(0,81-1,097\right)^2}{20}=0,045031$$

Por fim, calculamos a raiz quadrada da variância para revelar o desvio padrão real.

$$\sigma=\sqrt{0,045031}\approx0,21$$

Como podemos observar, o desvio padrão dos preços desta ação no mês passado (0,21) é consideravelmente menor do que a sua média (1,097). Portanto, segundo os critérios do gestor, esta ação não será classificada como "arriscada demais".

O Desvio Padrão da Amostra

O desvio padrão da amostra entra em cena quando o conjunto de dados sob análise representa apenas uma fração (amostra) da população total de interesse. Trata-se de um conjunto menor retirado do universo total de observações. Para diferenciá-lo, o desvio padrão amostral é representado pela letra s e calculado com a seguinte fórmula:

$$s=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(x_i-\bar{x}\right)^2}{n-1}}$$

Onde:

• Σ indica o somatório;
• xᵢ representa cada ponto de dados individual;
• $\bar{x}$ representa a média da amostra;
• n é o tamanho da amostra (quantidade de observações).

Vamos ilustrar como realizar o cálculo do desvio padrão em dados amostrais utilizando o mesmo cenário do gestor de investimentos. Só que, desta vez, imagine que ele não tenha acesso a todos os preços de fechamento do mês anterior. Em vez disso, ele tem apenas os registros de 5 dias aleatórios. Com base apenas nisso, ele precisará estimar o desvio padrão da volatilidade das ações.

Suponha que os preços de fechamento para esses 5 dias sejam:

1,31, 1,40, 0,86, 0,88, 1,40

Como o gestor está interessado no comportamento mensal, mas possui apenas um pequeno subconjunto de 5 dias, estamos lidando com uma amostra. Logo, aplicaremos a fórmula do desvio padrão amostral.

Primeiramente, calcule a média da amostra.

$$\bar{x}=\frac{1,31+1,40+0,86+0,88+1,40}{5}=1,17$$

Na sequência, calcule a variância s². (Note a divisão por n-1).

$$s^2=\frac{\left(1,31-1,17\right)^2+\left(1,40-1,17\right)^2+\left(0,86-1,17\right)^2+\left(0,88-1,17\right)^2+\left(1,40-1,17\right)^2}{5-1}=0,0764$$

Para concluir, extraia a raiz quadrada da variância para obter o desvio padrão.

$$s=\sqrt{0,0764}\approx0,28$$

Margem de Erro

Uma das aplicações mais valiosas do desvio padrão é o cálculo da faixa de valores "aceitáveis". Este conceito tem um papel vital no controle estatístico de qualidade na indústria e em modelos de análise preditiva. Se os dados que estamos estudando seguem uma distribuição normal, esse intervalo é chamado de intervalo de confiança (como veremos na próxima seção), estruturado com base em diferentes níveis de certeza (porcentagens).

A margem de erro é justamente o componente que dita a largura desse intervalo de confiança, definindo o teto e o piso de variação aceitos para a variável em análise.

A margem de erro é calculada usando a equação:

$$Margem\ de\ erro\ = z_{\alpha/2}\left(\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$$

Aplicamos essa fórmula sempre que o desvio padrão da população, σ, for conhecido e a amostra for razoavelmente grande (geralmente n > 30).

Entretanto, quando não conhecemos o desvio padrão populacional e possuímos uma amostra pequena (geralmente n ≤ 30), devemos usar a seguinte adaptação:

$$Margem\ de\ erro\ = t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)$$

Nesta versão, como não temos o σ total da população, adotamos o desvio padrão da amostra s.

Os componentes \$z_{\alpha/2}\$ e \$t_{n-1, \alpha/2}\$ são determinados através das distribuições estatísticas z e t, respectivamente, sendo conhecidos como valores críticos. Eles funcionam como constantes diretamente atreladas aos níveis de confiança escolhidos.

Na estatística, os intervalos de confiança mais frequentes são de 90%, 95% e 99%. Os respectivos valores críticos para \$z_{\alpha/2}\$ são 1,645 (para 90%), 1,96 (para 95%) e 2,575 (para 99%).

As frações \$\frac{\sigma}{\sqrt n}\$ ou \$\frac{s}{\sqrt n}\$ são o que chamamos de erro padrão.

• Usamos \$\frac{\sigma}{\sqrt n}\$ quando conhecemos o desvio padrão populacional σ e analisamos uma grande amostra (n > 30).
• Adotamos \$\frac{s}{\sqrt n}\$ em cenários nos quais desconhecemos a métrica populacional e operamos com uma amostra reduzida (n ≤ 30). Sendo assim, o desvio padrão amostral disponível $s$ substitui o σ.

O Intervalo de Confiança

Como introduzido no tópico anterior, o intervalo de confiança é a janela ou faixa de valores dentro da qual prevemos que uma determinada métrica se encontre, atrelada a um grau probabilístico (nível de confiança).

Por exemplo, podemos afirmar que a altura média de garotas de 13 anos varia entre 59 e 66 polegadas com um nível de confiança de 90%. Na prática, isso significa que, se selecionarmos múltiplos grupos aleatórios de meninas dessa idade, em cerca de 90% dos casos a altura média delas estará dentro dessa exata faixa estimada.

O intervalo de confiança padrão é calculado através da fórmula:

$$\bar{x}± z_{\alpha/2}\left(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$$

• x̄ é a média da amostra;
• \$z_{\alpha/2}\$ é o valor crítico;
• σ é o desvio padrão da população;
• n é o número de observações (tamanho da amostra).

Quando o desvio padrão populacional σ é uma incógnita, nós substituímos essa variável e usamos o desvio padrão da amostra s:

$$\bar{x}± t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)$$

• x̄ é a média da amostra;
• \$t_{n-1,\alpha/2}\$ é o valor crítico;
• s é o desvio padrão da amostra;
• n é o número de observações.

É interessante notar que os termos \$z_{\alpha/2}\left(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)\$ e \$t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)\$, vistos nessas equações, representam exatamente a nossa margem de erro detalhada no capítulo anterior.

Exemplo de cálculo de intervalo de confiança

Suponhamos que sabemos que os preços diários da ação em análise sigam uma distribuição normal. Dispomos da seguinte amostra de preços para estudar:

1,31, 1,36, 1,40, 1,27, 1,15, 0,99, 0,97, 0,88, 0,86, 0,80

O nosso objetivo é calcular, com 95% de nível de confiança, a faixa de valor em que esses preços irão flutuar.

Como trata-se de uma amostra pequena e o desvio padrão populacional total nos é desconhecido, utilizaremos o desvio padrão amostral. A fórmula de intervalo de confiança apropriada será:

$$\bar{x}± t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)$$

• x̄ é a média da amostra, igual a 1,10;
• \$t_{n-1,\alpha/2}\$ é o valor crítico, onde \$t_{9, 0,025}\$ = 2,26 (esse valor, para um dado tamanho de amostra e nível de confiança, geralmente é obtido ao se consultar uma tabela t ou z);
• s é o desvio padrão da amostra, resultando em 0,23;
• n é o número total de observações, que é 10;
• \$\frac{s}{\sqrt n}\$ representa o erro padrão calculado, \$\frac{0,23}{\sqrt{10}}=0,07\$.

Agora, basta aplicar esses números à nossa fórmula principal:

$$\bar{x}± t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)$$

Obtendo as seguintes variações (inferior e superior):

$$1,10 - 2,26 (\frac{0,23}{\sqrt{10}}) = 1,10 - 2,26 (\frac{0,23}{3,16}) = 1,10 - 2,26 × 0,07 = 1,10 - 0,16 = 0,94$$

$$1,10 + 2,26 (\frac{0,23}{\sqrt{10}}) = 1,10 + 2,26 (\frac{0,23}{3,16}) = 1,10 + 2,26 × 0,07 = 1,10 + 0,16 = 1,26$$

A conclusão estatística é clara: podemos afirmar, com 95% de certeza, de que o preço médio das ações está contido dentro do intervalo de confiança de (0,94; 1,26).