Калькулятор размещений

Онлайн-калькулятор размещений позволяет быстро рассчитать количество возможных способов выбора и упорядочивания $r$ элементов из множества, состоящего из $n$ различных объектов. Этот инструмент незаменим в комбинаторике для определения числа возможных комбинаций, где строгий порядок элементов имеет решающее значение. Общее количество доступных объектов традиционно обозначается переменной $n$, а размер выбираемой группы (выборки) — переменной $r$.

Например, если мы хотим составить комбинации из букв XYZ по две буквы в каждой, строго учитывая порядок, мы получим 6 вариантов: XY, XZ, YZ, YX, ZX и ZY.

Чтобы воспользоваться калькулятором, просто введите общее количество объектов ($n$) и размер выборки ($r$), а затем нажмите кнопку «Рассчитать». Кнопка «Очистить» позволит быстро сбросить данные для нового математического расчета.

Размещения

Размещения (от англ. permutations) в комбинаторике — это упорядоченные наборы элементов, выбранные из заданного множества. Главное правило размещений: порядок элементов имеет значение. Например, комбинации AB и BA считаются двумя абсолютно разными размещениями. Общее число размещений из $n$ объектов по $r$ обозначается как $nPr$.

Метод расчета зависит от того, допускаются ли повторения элементов. Если в условиях задачи не указано иное, по умолчанию рассчитываются размещения без повторений. Именно этот классический случай мы подробно разберем в данной статье.

Размещения опираются на основное правило комбинаторики — правило умножения. Оно гласит: если первый этап эксперимента можно выполнить $n_1$ способами, второй — $n_2$ способами, и так далее до $n_k$ раз, то общее число способов проведения всего эксперимента равно произведению этих вариантов: n₁ × n₂ × ... × nₖ.

Представим, что нам нужно найти количество возможных упорядоченных комбинаций из букв ABC без повторений. На первое место можно поставить любую из трех букв (3 варианта).

После того как первая буква выбрана, остаются две претендентки на второе место (2 варианта). Для третьей позиции остается лишь одна буква (1 вариант).

Согласно правилу умножения, общее количество способов упорядочить буквы ABC равно: 3 × 2 × 1 = 6. Это комбинации: ABC, ACB, BCA, BAC, CAB и CBA.

Факториал

Как мы выяснили выше, число размещений трех различных объектов равно произведению 3 × 2 × 1 = 6. В общем виде количество способов упорядочить множество из $n$ элементов вычисляется как n × (n-1) × (n-2) × ... × 1.

Математическая операция умножения всех натуральных чисел от 1 до заданного целого числа $n$ называется факториалом и обозначается восклицательным знаком (!).

Таким образом, формула факториала выглядит так: n! = n × (n-1) × (n-2) × ... × 1.

Обратите внимание на важное математическое правило: 0! = 1 и 1! = 1.

Пример размещений

Стандартная беговая дорожка на Олимпийских играх обычно состоит из 9 полос. Однако в забегах на 100 метров первая дорожка, как правило, не используется. Восьми спринтерам случайным образом распределяют дорожки со 2-й по 9-ю. Сколькими способами можно расставить 8 спортсменов на 8 доступных дорожках?

Применяя фундаментальный принцип умножения, получаем:

• любой из 8 бегунов может занять дорожку 2;
• любой из оставшихся 7 бегунов — дорожку 3;
• любой из оставшихся 6 бегунов — дорожку 4;
• любой из оставшихся 5 бегунов — дорожку 5;
• любой из оставшихся 4 бегунов — дорожку 6;
• любой из оставшихся 3 бегунов — дорожку 7;
• любой из оставшихся 2 бегунов — дорожку 8;
• последний оставшийся бегун занимает дорожку 9.

Следовательно, общее число возможных размещений 8 спринтеров на 8 дорожках равно факториалу восьми: 8! = 8 × 7 × 6 × ... × 2 × 1 = 40 320 способов.

Чтобы проверить это в нашем онлайн-калькуляторе размещений, введите 8 в поле $n$ (общее число объектов) и 8 в поле $r$ (размер выборки). Нажав «Рассчитать», вы мгновенно получите результат: 40 320.

Размещения подмножеств

В предыдущем примере мы упорядочивали элементы всего множества целиком. Однако на практике часто встречаются задачи, где из большого набора объектов необходимо выбрать и упорядочить лишь небольшую группу (подмножество).

В таких случаях общее количество объектов обозначается как $n$, размер выбираемой группы — как $r$, а число возможных размещений вычисляется по следующей формуле:

$$ₙPᵣ=\frac{n!}{\left(n-r\right)!}$$

Эта классическая формула размещений применяется для расчетов без повторений, когда требуется узнать, сколькими способами можно выбрать и упорядочить $r$ элементов из множества $n$.

Если же размер выборки равен общему количеству элементов ($n = r$), формула упрощается до факториала:

$$ₙPᵣ=n!$$

Пример

Вернемся к нашему олимпийскому забегу на 100 метров с участием 8 спортсменов. Как известно, на пьедестале разыгрываются три медали: победитель получает золото, финишировавший вторым — серебро, а третьим — бронзу. Сколькими различными способами могут распределиться три призовых места среди 8 участников?

Рассуждая логически, согласно правилу умножения: золотую медаль может получить любой из 8 бегунов. Серебро достанется одному из 7 оставшихся спортсменов. Бронзу заберет один из 6 оставшихся. Таким образом, общее число возможных вариантов распределения призовых мест составит: 8 × 7 × 6 = 336.

Проверим это с помощью математической формулы размещений:

$$ₙPᵣ=\frac{n!}{\left(n-r\right)!}$$

Подставляем наши значения:

$$₈P₃=\frac{8!}{\left(8-3\right)!}=\frac{8!}{5!}=\frac{8×7×6×5×4×\ldots×1}{5×4×\ldots×1}=8×7×6=336$$

Используя калькулятор размещений: введите 8 в поле $n$ и 3 в поле $r$, нажмите «Рассчитать» и вы получите точный ответ — 336.

Разница между размещениями и сочетаниями

В комбинаторике существует еще одно важное понятие — сочетания (от англ. combinations). Сочетания позволяют рассчитать количество способов выбора $r$ элементов из множества $n$. Число сочетаний обозначается как ₙCᵣ.

Главное отличие размещений от сочетаний заключается в том, что в сочетаниях порядок выбранных элементов не имеет значения.

Например, ранее мы установили, что размещения из букв XYZ по две (где порядок важен) дают 6 различных вариантов: XY, XZ, YZ, YX, ZX и ZY.

Если же мы ищем сочетания тех же букв XYZ по две, то порядок роли не играет. Комбинации XY и YX считаются абсолютно идентичными. То же касается пар XZ/ZX и YZ/ZY. В итоге мы получим всего 3 уникальных сочетания: XY, XZ и YZ.

Для расчета количества сочетаний $r$ объектов из $n$ объектов используется следующая формула:

$$ₙCᵣ=\frac{n!}{r!\left(n-r\right)!}$$

Пример расчета сочетаний

Возьмем тот же забег из 8 человек. Ранее мы считали способы распределения конкретных медалей (1-е, 2-е и 3-е места). Теперь представим, что нам нужно просто выбрать троих спортсменов, которые пройдут в следующий этап соревнований или просто получат памятные значки. Здесь неважно, кто прибежал первым, а кто третьим — статус выбранных спортсменов одинаков.

Поскольку порядок не имеет значения, мы используем формулу сочетаний:

$$ₙCᵣ = \frac{n!}{r!(n-r)!}$$

Количество способов выбрать трех финалистов из 8 участников рассчитывается так:

$$₈C₃=\frac{8!}{3! × \left(8-3\right)!}=\frac{8!}{3! × 5!}=\frac{8 × 7 × 6}{3 × 2 × 1}=8×7=56$$

Примеры расчета размещений

1. Продюсер телевизионных новостей должен выбрать 3 из 5 приглашенных экспертов для участия в аналитической программе. Эксперты будут выступать по очереди, поэтому порядок их появления в эфире имеет значение. Один и тот же человек не может выступить дважды. Сколькими способами продюсер может составить расписание выступлений? Порядок важен, повторения исключены — применяем формулу размещений:

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{(n-r)!}$$

$$₅P₃ = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} = 5 × 4 × 3 = 60$$

Таким образом, у продюсера есть 60 различных вариантов составления графика выступлений спикеров.

2. Ресторанный критик отобрал 10 лучших суши-баров города, чтобы составить из них рейтинг «Топ-3 заведений». Место в рейтинге (первое, второе или третье) имеет принципиальное значение, и одно заведение не может занимать сразу несколько строчек. Условия (важен порядок, нет повторений) полностью соблюдены. Выполним расчет с помощью формулы:

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{(n-r)!}$$

$$₁₀P₃ = \frac{10!}{(10-3)!} = \frac{10!}{7!} = 10 × 9 × 8 = 720$$

Критик может составить свой рейтинг 720 различными способами.

3. Важное уточнение: когда в комбинаторике говорят о «порядке», это не обязательно означает строгую числовую последовательность (1, 2, 3 и т.д.). «Порядком» может выступать распределение элементов по уникальным ролям, должностям или конкретным объектам.

Рассмотрим пример: менеджер строительной компании должен распределить маляров на 4 разных объекта на сегодняшний день. Объекты следующие: офис визового центра, фабричный склад, магазин одежды и комната в частном доме. В бригаде 6 маляров. Каждый поедет только на один объект, а двое оставшихся получат выходной.

Сами объекты в данном случае играют роль «позиций» 1, 2, 3 и 4 в размещениях. Распределение происходит следующим образом:

• 6 кандидатов на отправку в офис;
• 5 оставшихся кандидатов для работы на складе;
• 4 кандидата на покраску магазина;
• 3 кандидата на работу в частном доме.

Интуитивно понятно, что количество возможных вариантов распределения равно: 6 × 5 × 4 × 3 = 360.

Так как объекты (роли) уникальны, порядок распределения рабочих важен. Маляр не может работать в двух местах одновременно, поэтому повторения исключены. Значит, мы можем уверенно применить формулу размещений:

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{(n-r)!}$$

$$\frac{6!}{(6-4)!} = \frac{6!}{2!} = 6 × 5 × 4 × 3 = 360$$

Следовательно, у менеджера есть 360 уникальных способов распределить четырех маляров по четырем конкретным объектам из шести доступных рабочих.