เครื่องคำนวนรูปสามเหลี่ยม

เครื่องคำนวณรูปสามเหลี่ยม

เครื่องคำนวณรูปสามเหลี่ยม คือเครื่องมือคำนวณและแก้โจทย์รูปสามเหลี่ยมออนไลน์ที่ช่วยให้คุณหาค่าต่างๆ ของรูปสามเหลี่ยมได้อย่างรวดเร็ว โดยอาศัยข้อมูลที่คุณทราบเพียง 3 ค่า เครื่องคิดเลขนี้จะใช้ความยาวด้านและขนาดของมุมเป็นข้อมูลนำเข้า (Input) เพื่อคำนวณหาค่าต่างๆ ดังต่อไปนี้:

• ความยาวด้านที่หายไป
• มุมที่หายไปของรูปสามเหลี่ยม
• พื้นที่ (Area)
• ความยาวเส้นรอบรูป (Perimeter)
• กึ่งเส้นรอบรูป (Semiperimeter)
• ส่วนสูงของรูปสามเหลี่ยมจากทุกด้าน (Altitudes)
• เส้นมัธยฐานจากทุกด้านของรูปสามเหลี่ยม (Medians)
• รัศมีของวงกลมแนบใน (Inradius)
• รัศมีวงกลมล้อมรอบ (Circumradius)

นอกจากนี้ เครื่องคำนวณยังแสดงพิกัดของจุดยอด (Vertices) จุดตัดเส้นมัธยฐาน (Centroid) จุดศูนย์กลางวงกลมแนบใน (Incenter) และจุดศูนย์กลางวงกลมล้อมรอบ (Circumcenter) ของรูปสามเหลี่ยม โดยกำหนดให้พิกัดของจุดยอด A อยู่ที่ตำแหน่ง [0, 0]

คำแนะนำในการใช้งาน

หากต้องการใช้เครื่องคำนวณรูปสามเหลี่ยมนี้ ให้ป้อนค่าที่คุณทราบจำนวน 3 ค่าลงในช่องป้อนข้อมูล คุณสามารถป้อนได้ทั้งขนาดของมุมหรือความยาวด้าน ข้อควรระวัง: ต้องมีอย่างน้อยหนึ่งค่าที่เป็นความยาวด้าน มิฉะนั้นผลลัพธ์ของรูปสามเหลี่ยมจะมีได้ไม่จำกัดจำนวน (Infinite solutions)

หลังจากป้อนค่าแล้ว ให้เลือกหน่วยของมุม โดยสามารถเลือกระหว่าง "องศา (Degrees)" หรือ "เรเดียน (Radians)" หากใช้หน่วยเรเดียน สามารถพิมพ์ "pi" แทนสัญลักษณ์ π ได้เลย เช่น หากมุมมีค่า \$\frac{π}{3}\$ ให้พิมพ์ "pi/3" เมื่อกรอกข้อมูลครบถ้วนแล้ว ให้กดปุ่ม "คำนวณ" เครื่องมือจะแสดงค่าที่หายไปทั้งหมดตามรายการด้านบน พร้อมกับแสดงภาพจำลองของรูปสามเหลี่ยมเพื่อให้คุณเห็นภาพได้ชัดเจนยิ่งขึ้น

หลังจากได้ผลลัพธ์แล้ว คุณสามารถกดขยายที่ส่วน "แสดงขั้นตอนการคำนวณ" เพื่อดูวิธีทำ อัลกอริทึม และสูตรคณิตศาสตร์ที่ใช้ในการหาคำตอบ

ข้อจำกัดของข้อมูลนำเข้า (Input Limits)

• ต้องมีข้อมูลอย่างน้อยหนึ่งค่าที่เป็นความยาวด้าน
• หากป้อนค่า มุม 2 มุม และความยาว 1 ด้าน โปรดทราบว่าผลรวมของมุมทั้งสองต้องน้อยกว่า 180° หรือ π เสมอ
• หากป้อนค่า ความยาวทั้ง 3 ด้าน โปรดจำไว้ว่าผลรวมของความยาวสองด้านใดๆ จะต้องมากกว่าความยาวของด้านที่เหลือเสมอ (ตามกฎอสมการอิงรูปสามเหลี่ยม)

ตัวอย่างการคำนวณ

สมมติว่าคุณกำลังย้ายบ้านและต้องการยืมรถบรรทุกจากเพื่อน คุณจะต้องขนของขึ้นและลงจากรถบรรทุก แต่รถคันนี้ไม่มีทางลาด (Ramp) มาให้ คุณมีทางลาดแบบพกพา แต่คุณต้องตรวจสอบให้แน่ใจว่ามันสามารถวางพาดกับความสูงของรถบรรทุกได้พอดีหรือไม่ ทางลาดของคุณไม่สามารถปรับความยาวได้ โดยจากการวัดพบว่าด้านประกอบทั้งสองของทางลาดมีความยาว 1 ม. และ 0.8 ม. และมุมที่อยู่ตรงข้ามกับด้าน 1 ม. คือมุม 85 องศา (ดูรูปภาพประกอบ) หากคุณทราบว่าท้ายรถบรรทุกสามารถปรับระดับความสูงได้ตั้งแต่ 0.5 ม. ถึง 1 ม. คำถามคือ ทางลาดของคุณจะใช้งานได้พอดีหรือไม่?

ข้อมูลที่กำหนดให้ (Given)

• ด้าน b = 1
• ด้าน c = 0.8
• มุม B = 85 องศา

วิธีคิด (Solution)

ในการพิจารณาว่าทางลาดของคุณเหมาะกับรถบรรทุกหรือไม่ คุณต้องแก้โจทย์รูปสามเหลี่ยมด้านบนและประเมินว่าความยาวของด้าน a (ความสูง) อยู่ในช่วงความสูงของรถบรรทุกที่กำหนดหรือไม่ นั่นคือ: 0.5 < a < 1

เมื่อป้อนค่าที่กำหนดให้ด้านบนลงในเครื่องคำนวณรูปสามเหลี่ยม คุณจะได้ผลลัพธ์ดังนี้ (ในสถานการณ์นี้ เราต้องการทราบแค่ความยาวด้าน a ที่หายไปเท่านั้น ดังนั้นค่าอื่นๆ จะไม่ได้นำมาพิจารณาในตัวอย่างนี้ แม้ว่าเครื่องคำนวณจะประมวลผลให้ทั้งหมดก็ตาม):

คำตอบ

• ด้าน a = 0.67376

• ด้าน b = 1

• ด้าน c = 0.8

• มุม A = 42.16° = 42°9'35" = 0.73582 rad

• มุม B = 85° = 1.48353 rad

• มุม C = 52.84° = 52°50'25" = 0.92224 rad

ลักษณะของทางลาดจะเป็นดังภาพ:

เราจะเห็นว่าความยาว a ≈ 0.674 ม. และเรารู้ว่าความสูงของรถบรรทุกสามารถปรับระดับได้ในช่วง 0.5 < a < 1 ม. ซึ่งหมายความว่าความสูงของทางลาดนั้นอยู่ในช่วงที่พอดีกับรถบรรทุกพอดี! ดังนั้น คุณจึงสามารถยืมรถบรรทุกจากเพื่อนได้อย่างสบายใจโดยไม่ต้องเสียเงินไปเช่ารถ

รูปสามเหลี่ยม: ความหมายและสูตรสำคัญ

ในทางเรขาคณิต รูปสามเหลี่ยม (Triangle) คือรูปเรขาคณิตบนระนาบ 2 มิติ (Plane figure) ที่เกิดจากการตัดกันของส่วนของเส้นตรง 3 เส้นที่ไม่ขนานกัน รูปสามเหลี่ยมยังสามารถอธิบายได้ว่าเป็นรูปหลายเหลี่ยม (Polygon) ที่มีจุดยอด (Vertices) 3 จุด และมีขอบ 3 ด้าน ซึ่งขอบเหล่านี้มักถูกเรียกว่า "ด้าน" (Edges/Sides)

เงื่อนไขการเกิดรูปสามเหลี่ยม (Triangle Existence Conditions)

การจะสร้างรูปสามเหลี่ยมขึ้นมาได้นั้นจะต้องเป็นไปตามเงื่อนไข 2 ประการ ได้แก่ เงื่อนไขเกี่ยวกับด้าน และเงื่อนไขเกี่ยวกับมุม

เงื่อนไขเกี่ยวกับด้าน ตั้งอยู่บนพื้นฐานของอสมการอิงรูปสามเหลี่ยม (Triangle Inequality) ซึ่งระบุว่า ผลรวมของความยาวด้านสองด้านใดๆ ของรูปสามเหลี่ยม จะต้องมากกว่าหรือเท่ากับความยาวของด้านที่สามเสมอ หากผลรวมความยาวของสองด้านเท่ากับความยาวของด้านที่สามพอดี สามเหลี่ยมนั้นจะเรียกว่า สามเหลี่ยมลดรูป (Degenerate triangle)

สามเหลี่ยมลดรูป คือสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดทั้ง 3 จุดเรียงตัวอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน ถือเป็นกรณีพิเศษซึ่งปกติจะไม่ค่อยกล่าวถึงในเรขาคณิตเบื้องต้น ดังนั้นจึงไม่นำมาพิจารณาในบทความนี้

เงื่อนไขเกี่ยวกับมุม ระบุว่าผลรวมของมุมภายในทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมใดๆ จะต้องเท่ากับ 180° หรือ π เรเดียน เสมอ

การหาค่าต่างๆ ของรูปสามเหลี่ยม

มาดูวิธีการหาค่าที่สำคัญที่สุดของรูปสามเหลี่ยม พร้อมกับสูตรที่ใช้ในการคำนวณกัน

ความยาวเส้นรอบรูป (Perimeter) ของรูปสามเหลี่ยม คือผลรวมความยาวของด้านทั้งสามด้าน โดยสามารถหาได้จากสูตร:

p = a + b + c

กึ่งเส้นรอบรูป (Semiperimeter) คือครึ่งหนึ่งของความยาวเส้นรอบรูปทั้งหมด:

$$s=\frac{p}{2}=\frac{a+b+c}{2}$$

พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม (Area) คือค่าที่บอกถึงขนาดของพื้นที่ที่อยู่ภายในรูปสามเหลี่ยมบนระนาบ 2 มิติ หากคุณทราบความยาวด้านสองด้านและมุมที่อยู่ระหว่างสองด้านนั้น คุณสามารถคำนวณพื้นที่ได้ดังนี้:

$$A=\frac{1}{2}a× b×\sin{C}$$

ส่วนสูงของรูปสามเหลี่ยม (Altitude) คือเส้นที่ลากจากจุดยอดมาตั้งฉากกับด้านตรงข้าม (ฐาน) เนื่องจากรูปสามเหลี่ยมมี 3 ด้าน จึงมีส่วนสูง 3 เส้นเช่นกัน ส่วนสูงที่ลากมาตั้งฉากกับด้าน a มักจะเขียนแทนด้วย hₐ ในทำนองเดียวกัน ส่วนสูงอีกสองเส้นจะเขียนแทนด้วย \$h_b\$ และ h꜀ วิธีที่ง่ายที่สุดในการหาส่วนสูงคือการหาผ่านสูตรพื้นที่:

$$A=\frac{1}{2}× a× h_a=\frac{1}{2}× b× h_b=\frac{1}{2}× c× h_c$$

$$h_a=\frac{2A}{a}, h_b=\frac{2A}{b}, h_c=\frac{2A}{c}$$

เส้นมัธยฐาน (Median) คือเส้นตรงที่ลากจากจุดยอดของรูปสามเหลี่ยมไปยังจุดกึ่งกลางของด้านตรงข้าม รูปสามเหลี่ยมใดๆ จะมีเส้นมัธยฐาน 3 เส้นเสมอ

เส้นมัธยฐานที่ลากไปยังด้าน a มักจะเขียนแทนด้วย mₐ ส่วนเส้นมัธยฐานอีกสองเส้นจะแทนด้วย \$m_b\$ และ m꜀ เราสามารถหาความยาวของเส้นมัธยฐานได้ด้วยสูตรต่อไปนี้:

$$m_a=\frac{1}{2}\sqrt{2b²+2c^2-a^2}$$

รัศมีวงกลมแนบใน (Inradius) คือรัศมีของวงกลมที่อยู่ภายในรูปสามเหลี่ยม โดยเส้นรอบวงจะสัมผัสกับด้านทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมพอดี

ความยาวของรัศมีวงกลมแนบใน r สามารถหาได้จากสูตร:

$$r=\frac{A}{s}$$

รัศมีวงกลมล้อมรอบ (Circumradius) คือรัศมีของวงกลมที่ลากผ่านจุดยอดทั้งสามของรูปสามเหลี่ยม

เราสามารถหาความยาวของรัศมีวงกลมล้อมรอบ R ได้จาก กฎของไซน์ (Law of Sines):

$$2R=\frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}$$

กฎของไซน์ยังสามารถนำมาใช้ในการหาความยาวด้านหรือมุมที่หายไปของรูปสามเหลี่ยมได้อย่างมีประสิทธิภาพ นอกจากนี้ยังมีอีกหนึ่งกฎที่สำคัญมาก นั่นคือ กฎของโคไซน์ (Law of Cosines):

$$a=\sqrt{b²+c^2-2bc\cos{A}}$$

$$b=\sqrt{a^2+c^2-2ac\cos{B}}$$

$$c=\sqrt{a^2+b²-2ab\cos{C}}$$

สูตรทั้งหมดที่กล่าวมาข้างต้น จะช่วยให้คุณคำนวณหาค่าต่างๆ ของรูปสามเหลี่ยมได้อย่างครบถ้วน ซึ่งเครื่องคำนวณรูปสามเหลี่ยมออนไลน์ของเรา ก็ได้นำสูตรทางคณิตศาสตร์เหล่านี้มาประมวลผล เพื่อหาค่าที่หายไปให้กับคุณอย่างแม่นยำและรวดเร็วนั่นเอง