বিন্যাস ক্যালকুলেটর

আমাদের পারমুটেশন বা বিন্যাস ক্যালকুলেটরটি n সংখ্যক ভিন্ন ভিন্ন বস্তুর মধ্য থেকে প্রতিবার r সংখ্যক উপাদান নিয়ে সাজানোর সঠিক উপায় বা সংখ্যা নির্ণয় করে। এটি এমন গ্রুপগুলোর জন্য সম্ভাব্য সাজানোর সংখ্যা হিসাব করে যেখানে উপাদানগুলোর নির্দিষ্ট ক্রম বা সাজানোর ধারা কঠোরভাবে গুরুত্বপূর্ণ। মোট বস্তুর সংখ্যাকে n দ্বারা এবং প্রতিটি নির্বাচিত গ্রুপের উপাদানের সংখ্যাকে r দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

উদাহরণস্বরূপ, যদি আমরা XYZ অক্ষরগুলোকে প্রতিটিতে দুটি করে অক্ষরের গ্রুপে সাজাতে চাই, তাহলে আমরা XY, XZ, YZ, YX, ZX এবং ZY তৈরি করতে পারি, যার ফলে মোট ৬টি ভিন্ন উপায় বা বিন্যাস পাওয়া যায়।

এই nPr ক্যালকুলেটরটি ব্যবহার করতে, কেবল n (যে বস্তুগুলোকে সাজানো হবে তার মোট সংখ্যা) এবং r (প্রতিটি নমুনা গ্রুপের উপাদানের সংখ্যা) লিখুন, তারপর "Calculate" এ ক্লিক করুন।

বিন্যাস বা পারমুটেশন (Permutations)

গণিতে, বিন্যাস হলো একটি সেটের সদস্যদের নির্দিষ্ট ক্রম বা ধারায় সাজানোর প্রক্রিয়া। যদি কোনো সেট ইতিমধ্যেই সাজানো থাকে, তবে এর উপাদানগুলোর স্থান পরিবর্তনের ফলে একটি নতুন বিন্যাস তৈরি হয়। যেকোনো বিন্যাসে, উপাদানগুলোর ক্রম অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ। উদাহরণস্বরূপ, AB এবং BA সম্পূর্ণ ভিন্ন দুটি বিন্যাস নির্দেশ করে। n সংখ্যক বস্তুর মধ্য থেকে r সংখ্যক বস্তুর নমুনা নিয়ে গঠিত মোট বিন্যাস সংখ্যাকে সাধারণত nPr দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

বিন্যাসের সংখ্যা নির্ণয় করা মূলত নির্ভর করে বস্তুগুলোর ধরন এবং পুনরাবৃত্তি অনুমোদিত কিনা তার ওপর। অন্য কোনো শর্ত উল্লেখ না থাকলে, বিন্যাস গণনার ক্ষেত্রে সাধারণত ধরে নেওয়া হয় যে উপাদানগুলোর পুনরাবৃত্তি অনুমোদিত নয়।

এই নিবন্ধে, আমরা একচেটিয়াভাবে পুনরাবৃত্তি ছাড়া বিন্যাসের উদাহরণগুলোর ওপর আলোকপাত করব।

বিন্যাস মূলত গণনার মৌলিক নীতির (fundamental principle of counting) ওপর নির্ভরশীল। এই নীতিতে বলা হয়েছে, যদি কোনো পরীক্ষায় k সংখ্যক ধারাবাহিক ঘটনা থাকে, যেখানে প্রথম ঘটনাটি n₁ উপায়ে ঘটতে পারে, দ্বিতীয়টি n₂ উপায়ে এবং এইভাবে চূড়ান্ত ঘটনাটি nₖ উপায়ে ঘটতে পারে, তবে পুরো পরীক্ষাটি ঘটার মোট উপায় হলো এই পৃথক ঘটনাগুলোর গুণফল: n₁ × n₂ × ... × nₖ।

ধরুন, আমরা কোনো পুনরাবৃত্তি ছাড়াই ABC অক্ষরগুলোর সম্ভাব্য বিন্যাস সংখ্যা নির্ণয় করতে চাই। তিনটি অক্ষরের যেকোনো একটি প্রথমে বসানো যেতে পারে, অর্থাৎ প্রথম অক্ষরটি বসানোর উপায় ৩টি।

প্রথম অক্ষরটি বসানোর পর, বাকি থাকে দুটি অক্ষর। এই দুটির যেকোনো একটিকে দ্বিতীয় অক্ষর হিসেবে বেছে নেওয়া যেতে পারে, অর্থাৎ দ্বিতীয় অক্ষরটি বসানোর উপায় ২টি। দ্বিতীয় অক্ষর নির্বাচনের পর মাত্র একটি অক্ষর বাকি থাকে, অর্থাৎ তৃতীয় অক্ষরটি বসানোর উপায় মাত্র ১টি।

গণনার মৌলিক নীতি প্রয়োগ করে বলা যায়, ABC অক্ষরগুলোকে সাজানোর মোট উপায় হলো ৩ × ২ × ১ = ৬টি। এই বিন্যাসগুলো হলো ABC, ACB, BCA, BAC, CAB এবং CBA।

ফ্যাক্টোরিয়াল (The Factorial)

ওপরে দেখানো হয়েছে যে, ৩টি ভিন্ন ভিন্ন বস্তুর বিন্যাস সংখ্যা ৩ × ২ × ১ = ৬ হিসেবে গণনা করা হয়। সাধারণভাবে, একটি সেটের পুরো n সংখ্যক বস্তুকে সাজানোর বিন্যাস সংখ্যাকে n × (n-1) × (n-2) × ... × 1 দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

এর মানে হলো n থেকে শুরু করে ১ পর্যন্ত সমস্ত ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার গুণফল। গণিতে, একটি পূর্ণসংখ্যা n এবং এর নিচের সমস্ত ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার গুণফলকে ফ্যাক্টোরিয়াল বলা হয়, যা বিস্ময়সূচক চিহ্ন (!) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

সুতরাং, n! = n × (n-1) × (n-2) × ... × 1, এবং একে "n ফ্যাক্টোরিয়াল" হিসেবে উচ্চারণ করা হয়।

মনে রাখবেন, গাণিতিক নিয়ম অনুযায়ী, 0! = 1 এবং 1! = 1।

বিন্যাসের উদাহরণ (The Example of Permutations)

অলিম্পিকে স্প্রিন্ট রেসের স্ট্যান্ডার্ড ট্র্যাকে ৯টি লেন থাকে। তবে, ১০০-মিটার ড্যাশের জন্য সাধারণত ১ নম্বর লেনটি ফাঁকা রাখা হয়। এর পরিবর্তে ৮ জন দৌড়বিদকে ২ থেকে ৯ নম্বর লেনে রাখা হয়। এই ৮ জন দৌড়বিদকে ২ থেকে ৯ নম্বর লেনে কত উপায়ে সাজানো যেতে পারে?

গণনার মৌলিক নীতি ব্যবহার করে:

• ৮ জন দৌড়বিদের যেকোনো একজনকে ২ নম্বর লেনে রাখা যেতে পারে,
• বাকি ৭ জন দৌড়বিদের যেকোনো একজনকে ৩ নম্বর লেনে রাখা যেতে পারে,
• বাকি ৬ জন দৌড়বিদের যেকোনো একজনকে ৪ নম্বর লেনে রাখা যেতে পারে,
• বাকি ৫ জন দৌড়বিদের যেকোনো একজনকে ৫ নম্বর লেনে রাখা যেতে পারে,
• বাকি ৪ জন দৌড়বিদের যেকোনো একজনকে ৬ নম্বর লেনে রাখা যেতে পারে,
• বাকি ৩ জন দৌড়বিদের যেকোনো একজনকে ৭ নম্বর লেনে রাখা যেতে পারে,
• বাকি ২ জন দৌড়বিদের যেকোনো একজনকে ৮ নম্বর লেনে রাখা যেতে পারে,
• বাকি থাকা ১ জন দৌড়বিদকে ৯ নম্বর লেনে রাখা হয়।

সুতরাং, উপলব্ধ ৮টি লেনে ৮ জন দৌড়বিদকে সাজানোর মোট সম্ভাব্য বিন্যাস হলো 8! = 8 × 7 × 6 × ... × 2 × 1 = 40,320 উপায়।

আমাদের বিন্যাস ক্যালকুলেটর ব্যবহার করে এর সমাধান করতে, কেবল n (বস্তু) এবং r (নমুনা) উভয় বক্সে 8 লিখুন, তারপর তাৎক্ষণিকভাবে 40,320 পেতে "Calculate" এ ক্লিক করুন।

সাবসেটের বিন্যাস (Permutation of Subsets)

আগের উদাহরণগুলোতে আমরা দেখেছি কীভাবে কোনো সেটের প্রতিটি বস্তুকে সাজানোর ক্ষেত্রে বিন্যাস গণনা করতে হয়। তবে, এমন অনেক পরিস্থিতি রয়েছে যেখানে বস্তুর একটি বড় সেটকে ছোট উপগোষ্ঠী বা সাবগ্রুপে সাজানো হয়।

এই ক্ষেত্রে, উপলব্ধ মোট বস্তুর সংখ্যাকে n দ্বারা প্রকাশ করা হয়, উপগোষ্ঠীর (নমুনার) জন্য নির্বাচিত বস্তুর সংখ্যাকে r দ্বারা প্রকাশ করা হয় এবং বিন্যাসের সংখ্যা গণনা করার জন্য নিচের সূত্রটি ব্যবহার করা হয়:

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{\left(n-r\right)!}$$

এটি হলো একটি বড় সেট n থেকে নেওয়া একটি নির্দিষ্ট নমুনা r কে পুনরাবৃত্তি ছাড়া সাজানোর জন্য ব্যবহৃত স্ট্যান্ডার্ড বিন্যাস সূত্র।

যদি আপনাকে কোনো সেটের সবগুলো উপাদানকে একটি নির্দিষ্ট ক্রমে পুনরাবৃত্তি ছাড়াই সাজানোর উপায়গুলোর সংখ্যা (যেখানে n সমান r) গণনা করতে হয়, তবে সূত্রটি আরও সহজ হয়ে দাঁড়ায়:

$$ₙPᵣ=n!$$

উদাহরণ (Example)

আবার ১০০-মিটার ড্যাশের উদাহরণে ফিরে যাই। আমরা আগেই ট্র্যাকে আটজন দৌড়বিদকে সাজানোর মোট উপায়গুলোর সংখ্যা গণনা করেছি। এবার, চলুন পদকের দিকে নজর দেওয়া যাক। জয়ের জন্য তিনটি পদক রয়েছে: প্রথম স্থান অধিকারী পাবে স্বর্ণ, দ্বিতীয় স্থান অধিকারী রৌপ্য এবং তৃতীয় স্থান অধিকারী ব্রোঞ্জ। অংশগ্রহণকারী ৮ জন দৌড়বিদের মধ্য থেকে, কতগুলো সম্ভাব্য উপায়ে স্বর্ণ, রৌপ্য এবং ব্রোঞ্জ পদক প্রদান করা যেতে পারে?

গণনার মৌলিক নীতি অনুযায়ী, ৮ জন দৌড়বিদের যেকোনো একজন প্রথম স্থান অধিকার করতে পারে। স্বর্ণপদক বিজয়ী নির্ধারিত হওয়ার পর, দ্বিতীয় স্থানের জন্য ৭ জন দৌড়বিদ প্রতিযোগিতায় থাকে। রৌপ্য পদক প্রদানের পর, তৃতীয় স্থানের ব্রোঞ্জ পদকের জন্য ৬ জন দৌড়বিদ প্রতিযোগিতায় থাকে। সুতরাং, ৮ জন দৌড়বিদের মধ্য থেকে শীর্ষ তিনটি অবস্থানের জন্য সম্ভাব্য মোট বিন্যাস সংখ্যা হলো: ৮ × ৭ × ৬ = ৩৩৬

বিকল্পভাবে, আমরা nPr সূত্রটি ব্যবহার করতে পারি:

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{\left(n-r\right)!}$$

আমাদের সংখ্যাগুলো বসিয়ে আমরা পাই:

$$₈P₃=\frac{8!}{\left(8-3\right)!}=\frac{8!}{5!}=\frac{8×7×6×5×4×\ldots×1}{5×4×\ldots×1}=8×7×6=336$$

বিন্যাস ক্যালকুলেটর ব্যবহার করে এর মান বের করতে, n (বস্তু) বক্সে 8 এবং r (নমুনা) বক্সে 3 লিখুন। "Calculate" এ ক্লিক করুন, এবং আপনি ফলাফল হিসেবে 336 পাবেন।

বিন্যাস এবং সমাবেশ: পার্থক্য (Permutations and Combinations: The Difference)

গণিতে আরেকটি প্রয়োজনীয় গণনা পদ্ধতি হলো সমাবেশ (Combinations)। বস্তুর একটি বড় পুল (n) থেকে অপেক্ষাকৃত কম সংখ্যক বস্তুকে (নমুনা r) বাছাই করার বিভিন্ন উপায়কে সমাবেশ বলা হয়। n সংখ্যক বস্তুর মধ্য থেকে r সংখ্যক বস্তুকে বেছে নেওয়ার সমাবেশের সংখ্যাকে সহজভাবে ₙCᵣ দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

বিন্যাসের সংজ্ঞা দেওয়ার সময় আমরা দেখেছি যে উপাদানগুলোর ক্রম বা সাজানোর ধারা অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ। এখানেই বিন্যাস এবং সমাবেশের মধ্যে মূল পার্থক্যটি নিহিত: সমাবেশে, উপাদানগুলোর ক্রম কোনো গুরুত্ব বহন করে না।

উদাহরণস্বরূপ, আমরা আগেই উল্লেখ করেছি যে XYZ অক্ষরগুলোকে দুটির গ্রুপে ভাগ করলে ছয়টি ভিন্ন বিন্যাস পাওয়া যায়: XY, XZ, YZ, YX, ZX এবং ZY।

তবে, XYZ অক্ষরগুলোকে দুটির গ্রুপে ভাগ করে সমাবেশ নির্ণয় করলে মাত্র তিনটি ভিন্ন জোড়া পাওয়া যায়: XY, XZ এবং YZ। যেহেতু সমাবেশে ক্রমের কোনো গুরুত্ব নেই, তাই XY এবং YX কে একই জোড়া হিসেবে বিবেচনা করা হয়। একই কথা XZ ও ZX এবং YZ ও ZY এর ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য।

n সংখ্যক বস্তুর মধ্য থেকে r সংখ্যক বস্তুর সমাবেশের সংখ্যা গণনা করার জন্য ব্যবহৃত সূত্রটি হলো:

$$ₙСᵣ=\frac{n!}{r!\left(n-r\right)!}$$

সমাবেশ গণনার উদাহরণ (Example of Calculating Combinations)

ওপরের দৌড়বিদদের উদাহরণে, আমরা ৮ জন দৌড়বিদের একটি গ্রুপ থেকে নির্দিষ্ট প্রথম, দ্বিতীয় এবং তৃতীয় স্থান নির্ধারণ করার উপায়গুলোর সংখ্যা গণনা করেছি। কিন্তু আমরা যদি শুধুমাত্র তাদের নির্দিষ্ট অবস্থানের কথা চিন্তা না করে ৮ জন দৌড়বিদের মধ্য থেকে ৩ জন পদক বিজয়ী নির্বাচন করার উপায়গুলোর সংখ্যা জানতে চাই, তবে কী হবে? এই ক্ষেত্রে, কে প্রথম, দ্বিতীয় বা তৃতীয় হয়েছে তা গুরুত্বপূর্ণ নয়—গুরুত্বপূর্ণ হলো তারা পদক জেতার জন্য নির্বাচিত হয়েছে কিনা।

যেহেতু এখানে পদকগুলোর নির্দিষ্ট ক্রম অপ্রাসঙ্গিক, তাই আমরা সমাবেশ ব্যবহার করব। আমরা স্ট্যান্ডার্ড সমাবেশ সূত্র ব্যবহার করে এর সমাধান করতে পারি:

$$ₙСᵣ = \frac{n!}{r!(n-r)!}$$

৮ জন দৌড়বিদের একটি পুল থেকে ৩ জন র‍্যাঙ্কিং ছাড়া পদক বিজয়ী নির্বাচনের উপায়গুলোর সংখ্যা নিচে দেওয়া হলো:

$$₈C₃=\frac{8!}{3! × \left(8-3\right)!}=\frac{8!}{3! × 5!}=\frac{8 × 7 × 6}{3 × 2 × 1}=8×7=56$$

বিন্যাস গণনার উদাহরণ (Examples of Calculating Permutations)

1. একজন টেলিভিশন সংবাদ প্রযোজককে আসন্ন একটি বিশ্লেষণাত্মক প্রোগ্রামের জন্য উপলব্ধ ৫ জন অতিথি বক্তার মধ্যে থেকে ৩ জনকে বেছে নিতে হবে। অতিথিদের কথা বলার ক্রম এখানে অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ। প্রযোজক কতগুলো ভিন্ন উপায়ে উপস্থাপনাগুলো সাজাতে পারেন? যেহেতু এখানে ক্রম অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ এবং কোনো পুনরাবৃত্তি অনুমোদিত নয় (একজন অতিথি একই লাইনআপে দুবার উপস্থিত হতে পারবেন না), তাই আমরা বিন্যাসের সূত্র ব্যবহার করব:

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{(n-r)!}$$

$$₅P₃ = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} = 5 × 4 × 3 = 60$$

এটি দেখায় যে অতিথি বক্তাদের সাজানোর জন্য প্রযোজকের কাছে ৬০টি অনন্য উপায় রয়েছে।

2. শহরের সেরা ৩টি সুশি রেস্তোরাঁ নির্ধারণের জন্য একজন বিশিষ্ট রেস্তোরাঁ সমালোচক ১০টি চমৎকার সুশি রেস্তোরাঁর একটি তালিকা করেছেন। তাদের চূড়ান্ত র‍্যাঙ্কিং প্রতিফলিত করার জন্য রেস্তোরাঁগুলোকে অবশ্যই একটি নির্দিষ্ট ক্রমানুসারে উপস্থাপন করতে হবে এবং কোনো রেস্তোরাঁ র‍্যাঙ্কিংয়ে একাধিকবার উপস্থিত হতে পারবে না। যেহেতু এখানে ক্রম অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ এবং কোনো পুনরাবৃত্তি নেই, তাই এটি বিন্যাসের মূল প্রয়োজনীয়তাগুলো পূরণ করে। আমরা nPr সূত্রটি প্রয়োগ করি:

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{(n-r)!}$$

$$₁₀P₃ = \frac{10!}{(10-3)!} = \frac{10!}{7!} = 10 × 9 × 8 = 720$$

3. বিন্যাসের ক্ষেত্রে যখন আমরা বলি যে "ক্রম গুরুত্বপূর্ণ", তার মানে কঠোরভাবে এই নয় যে ক্রমটি ১ম, ২য় বা ৩য় এর মতো একটি সংখ্যাসূচক র‍্যাঙ্কিং হতে হবে। আমাদের উপাদানগুলোকে যে নির্দিষ্ট, স্বতন্ত্র ভূমিকা বা অবস্থানগুলোতে নিযুক্ত করা হয়েছে তার ওপর ভিত্তি করেও ক্রম নির্ধারণ করা যেতে পারে।

উদাহরণস্বরূপ, বাড়ির মেরামতকারী একটি কোম্পানির ম্যানেজারের কথা বিবেচনা করুন। আজকে তার সম্পন্ন করার মতো চারটি নির্দিষ্ট কাজের অর্ডার রয়েছে: একটি ভিসা এজেন্সি অফিস, একটি কারখানার গুদাম, একটি কাপড়ের দোকান এবং একটি ব্যক্তিগত বাড়ির একটি কক্ষ রং করা। কোম্পানিটিতে ছয়জন পেইন্টার কর্মী রয়েছে। প্রত্যেক পেইন্টারকে প্রতিদিন মাত্র ১টি স্থানে পাঠানো যেতে পারে, যার অর্থ হলো বাকি দুজন পেইন্টার স্বাভাবিকভাবেই সেদিন ছুটি পাবেন।

চারটি অনন্য কাজের অবস্থান (ভিসা এজেন্সি, গুদাম, দোকান এবং ব্যক্তিগত বাড়ি) মূলত ১, ২, ৩ এবং ৪ নম্বর পজিশনের সমতুল্য।

ম্যানেজার তার বিকল্পগুলো মূল্যায়ন করেন:

• উপলব্ধ ৬ জন পেইন্টারকে ভিসা এজেন্সি অফিসে পাঠানো যেতে পারে,
• বাকি ৫ জন পেইন্টারকে কারখানার গুদামে পাঠানো যেতে পারে,
• বাকি ৪ জন পেইন্টারকে কাপড়ের দোকানে পাঠানো যেতে পারে,
• বাকি ৩ জন পেইন্টারকে ব্যক্তিগত বাড়িতে পাঠানো যেতে পারে।

স্বাভাবিকভাবেই, আমরা কাজের অ্যাসাইনমেন্ট পছন্দের মোট সংখ্যা ৬ × ৫ × ৪ × ৩ = ৩৬০ হিসেবে গণনা করতে পারি।

যেহেতু প্রতিটি পেইন্টারকে যে নির্দিষ্ট স্থানে পাঠানো হয় তা সম্পূর্ণভাবে গুরুত্বপূর্ণ (ক্রম গুরুত্বপূর্ণ), এবং কোনো পেইন্টার এক দিনে একাধিক স্থানে কাজ করতে পারেন না (কোনো পুনরাবৃত্তি নেই), তাই আমরা এখানে পুরোপুরিভাবে আমাদের বিন্যাস সূত্রটি প্রয়োগ করতে পারি:

$$ₙPᵣ = \frac{n!}{(n-r)!}$$

$$\frac{6!}{(6-4)!} = \frac{6!}{2!} = 6 × 5 × 4 × 3 = 360$$

পরিশেষে, প্রদত্ত শর্তগুলোর অধীনে বাড়ির মেরামতকারী ম্যানেজার তার উপলব্ধ পেইন্টারদের মধ্যে দিনের কাজগুলো ঠিক ৩৬০টি ভিন্ন উপায়ে বরাদ্দ করতে পারবেন।