เครื่องคำนวนอัตราส่วน

เครื่องคำนวณอัตราส่วน

เครื่องคำนวณอัตราส่วน (Ratio Calculator) ช่วยให้คุณสามารถทอนอัตราส่วนให้เป็นเศษส่วนอย่างต่ำ หาค่าตัวแปรที่หายไปในสัดส่วน และตรวจสอบว่าอัตราส่วนสองชุดที่กำหนดให้มีค่าเท่ากันหรือไม่ เครื่องมือนี้รองรับการป้อนข้อมูลทั้งจำนวนเต็ม เลขทศนิยม และตัวเลขในรูปสัญกรณ์วิทยาศาสตร์ (Scientific Notation) ตัวอย่างของตัวเลขในรูปสัญกรณ์วิทยาศาสตร์คือ 2e5 ซึ่งมีค่าเท่ากับ 2 × 10⁵ ทั้งนี้ ระบบจำกัดการป้อนข้อมูลสูงสุด 15 ตัวอักษร ซึ่งหมายความว่าในแต่ละช่อง (A, B, C หรือ D) จะต้องมีความยาวไม่เกิน 15 ตัวอักษร

คำแนะนำสำหรับการใช้งาน

1. หากต้องการใช้เครื่องคำนวณนี้เป็นตัวแปลงอัตราส่วน หรือเพื่อทอนอัตราส่วนให้เป็นเศษส่วนอย่างต่ำ ให้ป้อนตัวเศษและตัวส่วนในด้านใดด้านหนึ่งของอัตราส่วน (ป้อนในช่อง A และ B หรือ C และ D) จากนั้นคลิก "คำนวณ" เครื่องคำนวณอัตราส่วนจะทำการลดทอนตัวเลขที่กำหนดและแสดงผลลัพธ์ออกมาในรูปเศษส่วนอย่างต่ำ

ในกรณีที่ข้อมูลถูกป้อนเป็นจำนวนเต็มหรือสัญกรณ์วิทยาศาสตร์ เครื่องคำนวณจะแสดงขั้นตอนการแสดงวิธีทำอย่างละเอียดให้คุณดูด้วย

หากค่าที่ป้อนเป็นเศษส่วนอย่างต่ำอยู่แล้ว เครื่องคำนวณจะค้นหาอัตราส่วนที่เทียบเท่ากันโดยการคูณทั้งตัวเศษและตัวส่วนด้วย 2 เพื่อแสดงเป็นตัวอย่าง

2. หากต้องการใช้เครื่องคำนวณเพื่อหาค่าที่หายไปในสัดส่วน ให้ป้อนค่าที่ทราบสามค่าและเว้นว่างช่องของค่าที่ต้องการหา คุณสามารถเว้นว่างช่องใดก็ได้ (A, B, C หรือ D) เมื่อป้อนค่าครบสามช่องแล้ว ให้คลิก "คำนวณ" เครื่องมือจะแสดงสมการสัดส่วนที่สมบูรณ์พร้อมตัวเลขทั้งสี่ค่า หากค่าที่ป้อนเป็นจำนวนเต็ม ระบบจะแสดงขั้นตอนการคำนวณให้ดูด้วยเช่นกัน

ความหมายและสูตรที่สำคัญ

ในทางคณิตศาสตร์ อัตราส่วน (Ratio) คือคู่ลำดับของตัวเลข a และ b เราใช้อัตราส่วนเพื่อเปรียบเทียบปริมาณสองค่าโดยการหารตัวเลขหนึ่งด้วยอีกตัวเลขหนึ่ง

อัตราส่วนของ a ต่อ b สามารถเขียนแทนด้วย \$\frac{a}{b}\$, a/b หรือ a:b โดยมีเงื่อนไขพื้นฐานว่า b ≠ 0 เนื่องจาก b ทำหน้าที่เป็นตัวส่วนของเศษส่วน อัตราส่วนถูกนำมาใช้อย่างแพร่หลายในชีวิตประจำวันเพื่อเปรียบเทียบปริมาณสิ่งของต่างๆ

ตัวอย่างเช่น หากในชั้นเรียนมีนักเรียนหญิง 2 คนและนักเรียนชาย 6 คน อัตราส่วนของนักเรียนหญิงต่อนักเรียนชายคือ 2:6 ซึ่งเมื่อทอนเป็นอัตราส่วนอย่างต่ำจะได้ 1:3 หมายความว่า สำหรับนักเรียนหญิงทุกๆ 1 คน จะมีนักเรียนชาย 3 คน

สัดส่วน (Proportion) คือสมการที่แสดงว่าอัตราส่วนสองชุดมีค่าเท่ากัน จากตัวอย่างก่อนหน้านี้ เราสามารถเขียนเป็นสัดส่วนได้ดังนี้:

$$2:6::1:3$$

หรือ

$$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$$

หรือ

$$2:6=1:3$$

ในสัดส่วน a:b=c:d พจน์ที่สองและสาม (b และ c) เรียกว่า "มัชฌิม" (Means) หรือค่ากลาง ส่วนพจน์แรกและพจน์สุดท้าย (a และ d) เรียกว่า "ตริมุข" (Extremes) หรือค่าสุดขีด สัดส่วนมีคุณสมบัติที่สำคัญประการหนึ่ง ซึ่งเรียกว่า "คุณสมบัติผลคูณไขว้" (Cross-multiplication) หรือสูตรสัดส่วนนั่นเอง

สูตรสัดส่วน

ในสัดส่วน a:b=c:d ใดๆ ผลคูณของค่ากลาง (b × c) จะเท่ากับผลคูณของค่าริม (a × d) เสมอ หรือเขียนในรูปสมการคณิตศาสตร์ได้ว่า:

ถ้า

$$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$$

แล้ว

$$a × d = b × c$$

สูตรนี้ช่วยให้เราสามารถหาค่าพจน์ที่หายไปในสัดส่วนได้ ตัวอย่างเช่น หากเราต้องการแก้สมการเพื่อหาค่า a เราสามารถจัดรูปสมการสัดส่วนนี้ใหม่ได้ดังนี้:

$$a=\frac{b × c}{d}$$

ลองมาดูตัวอย่างการคำนวณจริงจากทั้งสามสถานการณ์ที่อธิบายไว้ข้างต้นกัน

ตัวอย่างที่ 1

เจน (Jane) เป็นนักออกแบบภูมิทัศน์ที่กำลังออกแบบพื้นที่กลางแจ้งให้กับลูกค้า พื้นที่ทั้งหมดมีขนาด 216 ตารางเมตร และเธอได้วางแผนให้สระว่ายน้ำใช้พื้นที่ 64 ตารางเมตร ก่อนที่เจนจะส่งแบบ ลูกค้าได้ระบุเงื่อนไขว่าพื้นที่สระว่ายน้ำต้องมีขนาดอย่างน้อยหนึ่งในสามของพื้นที่ทั้งหมด เจนต้องออกแบบใหม่หรือไม่ หรือเธอสามารถส่งแบบปัจจุบันให้ลูกค้าพิจารณาได้เลย?

ในการตรวจสอบว่าเธอต้องทำแบบใหม่หรือไม่ เจนจะต้องหาอัตราส่วนระหว่างพื้นที่สระว่ายน้ำต่อพื้นที่กลางแจ้งทั้งหมด แล้วนำค่านั้นไปเปรียบเทียบกับเศษส่วน 1/3

กำหนดให้พื้นที่สระว่ายน้ำคือ 64 ตารางเมตร และพื้นที่ทั้งหมดคือ 216 ตารางเมตร ดังนั้นอัตราส่วนที่ต้องการตรวจสอบคือ: 64/216

เนื่องจากอัตราส่วนนี้ยังไม่ใช่เศษส่วนอย่างต่ำ เราจึงสามารถลดทอนตัวเลขลงได้ โดยการนำตัวหารร่วมมาก (ห.ร.ม.) มาหารทั้งตัวเศษและตัวส่วน

ตัวหารร่วมมากของตัวเศษ (64) และตัวส่วน (216) คือ 8 เมื่อนำ 8 มาหารทั้งสองพจน์ เราจะได้ผลลัพธ์ดังนี้:

$$\frac{64}{8} = 8$$

$$\frac{216}{8} = 27$$

ดังนั้น

$$\frac{64}{216} = \frac{8}{27}$$

สรุปได้ว่าสระว่ายน้ำครอบคลุมพื้นที่ 8/27 ของพื้นที่ทั้งหมด อย่างไรก็ตาม ลูกค้าต้องการให้ใช้พื้นที่อย่างน้อย 1/3 หรือคิดเป็น 9/27 ของพื้นที่ทั้งหมด เนื่องจาก 8/27 < 9/27 เจนจึงจำเป็นต้องปรับปรุงการออกแบบใหม่

การทอนอัตราส่วนให้เป็นเศษส่วนอย่างต่ำ

หากต้องการหาคำตอบอย่างรวดเร็วด้วยเครื่องคิดเลขอัตราส่วน เพียงป้อน 64 และ 216 ในช่อง A และ B (หรือ C และ D) ตามลำดับ แล้วคลิก "คำนวณ"

ตอบ:

$$\frac{64}{216} = \frac{8}{27}$$

การค้นหาค่าที่หายไป

จงหาค่าที่หายไปในสัดส่วนต่อไปนี้:

$$\frac{3}{99} = \frac{4}{x}$$

ในการแก้สมการเพื่อหาค่าที่ยังไม่ทราบ เราจะใช้สูตรสัดส่วนตามหลักการที่ว่า ผลคูณของค่ากลางจะเท่ากับผลคูณของค่าริมเสมอในสมการสัดส่วน เราสามารถเขียนสมการใหม่ได้ดังนี้:

$$\frac{3}{99} = \frac{4}{x}$$

จากสมการ 99 และ 4 คือค่ากลาง ส่วน 3 และตัวแปรที่ไม่ทราบค่า x คือค่าริม ดังนั้น:

$$3 × X = 4 × 99$$

และ

$$x = \frac{4 × 99}{3}$$

$$x = \frac{396}{3}$$

$$x = 132$$

ตอบ

$$\frac{3}{99} = \frac{4}{132}$$

ตัวอย่างที่ 2

เฮเลน (Helen) ต้องการจ้างนักแปลอิสระเพื่อแปลบทความหลายชิ้นจากภาษาอังกฤษเป็นภาษาญี่ปุ่น เว็บไซต์ของนักแปลระบุเรทราคาเฉลี่ยไว้ที่ 20 ดอลลาร์ต่อการแปล 600 คำ บทความทั้งหมดของเฮเลนมีความยาวประมาณ 20,000 คำ เธอจะคำนวณค่าใช้จ่ายในการจ้างงานครั้งนี้ได้อย่างไร หากนักแปลไม่มีส่วนลดเพิ่มเติมให้?

ให้ป้อนหน่วยที่สัมพันธ์กันในช่อง A และ C จากนั้นป้อนหน่วยของอีกค่าในช่อง B และ D

ในตัวอย่างนี้ เราจะใช้ช่อง A และ С สำหรับ "จำนวนคำ" และใช้ช่อง B และ D สำหรับ "จำนวนเงิน" โดยช่อง A และ B จะเป็นข้อมูลอ้างอิงชุดแรก (เรทราคาปัจจุบันของนักแปล) ส่วนช่อง C และ D จะเป็นข้อมูลชุดที่สอง (ค่าใช้จ่ายสำหรับงานของเฮเลน)

• ในช่อง A ป้อนจำนวนคำตามเรทของนักแปล คือ 600
• ในช่อง B ป้อนราคาสำหรับจำนวน 600 คำ คือ 20
• ในช่อง C ป้อนจำนวนคำทั้งหมดในโปรเจกต์ของคุณ คือ 20,000
• และในช่อง D ระบบจะแสดงผลลัพธ์การคำนวณเป็น 666.66666666667

จากนั้นคุณสามารถปัดเศษผลลัพธ์เป็น 667 ดอลลาร์ได้ แน่นอนว่าเฮเลนสามารถเจรจาขอส่วนลดสำหรับงานแปลปริมาณมากได้ แต่ตัวเลข 667 ดอลลาร์นี้จะเป็นตัวเลขตั้งต้นที่ดีสำหรับการต่อรองราคา

ตัวอย่างที่ 3

แจ็ค (Jack) เดินทางไปพักร้อนที่ประเทศอินโดนีเซีย และต้องการแลกเงินดอลลาร์สหรัฐเป็นสกุลเงินรูเปียห์อินโดนีเซีย (IDR) เพื่อนำไปจ่ายค่าเช่ารถมอเตอร์ไซค์ Maxi Scooter รุ่น Yamaha X-Max ซึ่งมีค่าเช่าอยู่ที่ 3,500,000 รูเปียห์ต่อเดือน

เขาทราบมาว่าอัตราแลกเปลี่ยนปัจจุบันของร้านรับแลกเงินที่ใกล้โรงแรมที่สุดอยู่ที่ 14,750 รูเปียห์ต่อ 1 ดอลลาร์สหรัฐ เขาต้องใช้เงินกี่ดอลลาร์เพื่อแลกให้ได้ 3,500,000 รูเปียห์?

เช่นเคย เราจะใส่หน่วยของค่าแรกในช่อง A และ C และใส่หน่วยของอีกค่าในช่อง B และ D

ในสถานการณ์นี้ เราใช้ช่อง A และ С สำหรับ "สกุลเงินรูเปียห์อินโดนีเซีย" และใช้ช่อง B และ D สำหรับ "สกุลเงินดอลลาร์สหรัฐ"

• ในช่อง A ให้ป้อนจำนวนเงินรูเปียห์ต่อ 1 ดอลลาร์ นั่นคือ 14,750
• ในช่อง B ให้ป้อนจำนวนเงินดอลลาร์ที่เทียบเท่ากัน นั่นคือ 1
• ในช่อง C ให้ป้อนจำนวนเงินรูเปียห์ที่คุณต้องการรับ นั่นคือ 3,500,000
• ในช่อง D ระบบจะคำนวณจำนวนเงินดอลลาร์ที่คุณต้องใช้ ซึ่งก็คือ 237.28813559322

ปรากฏว่าหากร้านรับแลกเปลี่ยนเงินตราไม่คิดค่าคอมมิชชัน แจ็คจะต้องใช้เงินแลกเปลี่ยนอย่างน้อย 237 ดอลลาร์เพื่อจ่ายค่าเช่ารถเป็นเวลาหนึ่งเดือน ในทางปฏิบัติ เขาอาจจะแลกเงินเป็นตัวเลขกลมๆ ที่ 250 หรือ 300 ดอลลาร์เผื่อไว้สำหรับการใช้จ่ายอื่นๆ

การใช้เครื่องคำนวณเพื่อตรวจสอบสัดส่วน

หากต้องการใช้เครื่องคำนวณเพื่อตรวจสอบและเปรียบเทียบว่าอัตราส่วน 4/16 และ 3/12 เท่ากันหรือไม่ ให้ป้อน 4 ในช่อง A และ 16 ในช่อง B เพื่อเติมข้อมูลสัดส่วนฝั่งแรกให้สมบูรณ์ จากนั้นป้อน 3 ในช่อง C และ 12 ในช่อง D เพื่อเติมข้อมูลสัดส่วนอีกฝั่งให้ครบถ้วน แล้วคลิก "คำนวณ"

ตอบ

$$\frac{4}{16} = \frac{3}{12}$$

เป็นจริง (True)

คุณสมบัติสัดส่วน

คุณสมบัติที่สำคัญและมีประโยชน์มากที่สุดของสัดส่วนคือ "คุณสมบัติผลคูณไขว้" (Cross-multiplication) อย่างไรก็ตาม สัดส่วนยังมีคุณสมบัติทางคณิตศาสตร์อื่นๆ ที่น่าสนใจอีกมากมาย ดังนี้

การสลับที่ระหว่างค่ากลางและค่าริม (Permutations):

ถ้า

$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$

เมื่อทำการสลับที่ค่ากลาง จะได้เป็น:

$$\frac{a}{c}=\frac{b}{d}$$

และเมื่อทำการสลับที่ค่าริม สมการต่อไปนี้จะเป็นจริงเช่นกัน:

$$\frac{d}{b}=\frac{c}{a}$$

การบวกหรือลบสัดส่วนสามารถทำได้ตามกฎต่อไปนี้:

ถ้า

$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$

สามารถนำมาบวกกันได้ดังนี้:

$$\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$$

และลบกันได้ดังนี้:

$$\frac{a-b}{b}=\frac{c-d}{d}$$

การสร้างสัดส่วนใหม่ด้วยการบวกและการลบ: ถ้า

$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$

คุณสมบัติต่อไปนี้จะเป็นจริงเสมอ:

$$\frac{a+c}{b+d}=\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$

และ

$$\frac{a-c}{b-d}=\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$

สัดส่วนทองคำ

ในทางคณิตศาสตร์ ตัวเลขสองค่าจะถือว่าอยู่ใน "สัดส่วนทองคำ" (Golden Ratio) ก็ต่อเมื่ออัตราส่วนระหว่างค่าที่มากกว่าต่อค่าที่น้อยกว่า มีค่าเท่ากับอัตราส่วนระหว่างผลรวมของทั้งสองค่าต่อค่าที่มากกว่า หรืออธิบายในเชิงคณิตศาสตร์ได้ว่า: สำหรับ a>b>0 สัดส่วนทองคำสามารถเขียนสมการได้ดังนี้:

$$\frac{a}{b}=\frac{a+b}{a}$$

สมองของมนุษย์มักมองว่าสัดส่วนทองคำเป็นสัดส่วนที่สมบูรณ์แบบและสวยงามที่สุด เราจึงมักจะพบเห็นสัดส่วนทองคำซ่อนอยู่ตามธรรมชาติ ในงานวิทยาศาสตร์ และในงานศิลปะระดับโลกมากมาย