Kalkulator Skali Proporcji

Kalkulator proporcji

Kalkulator proporcji pozwala na uproszczenie stosunków, znalezienie brakujących wartości w proporcjach oraz określenie, czy dwa podane stosunki są równoważne. Kalkulator akceptuje liczby całkowite, dziesiętne oraz liczby w notacji naukowej e. Przykładem liczby w notacji naukowej e jest 2e5, co równa się 2 × 10⁵. Limit wejściowy wynosi 15 znaków, co oznacza, że każde wejście (A, B, C lub D) nie może przekroczyć 15 znaków.

Instrukcja użytkowania

1. Aby użyć kalkulatora jako konwertera proporcji, czyli inaczej mówiąc, do uproszczenia stosunku, wprowadź licznik i mianownik dla jednej strony stosunku. Wprowadź A i B lub C i D. Następnie naciśnij "Oblicz". Kalkulator proporcji następnie uprości podany stosunek i zwróci odpowiedź w najniższych wyrazach.

Jeśli znane wartości zostały wprowadzone jako liczby całkowite lub w notacji naukowej e, kalkulator również pokaże kroki rozwiązania.

Jeśli wprowadzona wartość jest już w najniższych wyrazach, kalkulator znajdzie równoważny stosunek, mnożąc licznik i mianownik ułamka przez 2.

2. Aby użyć kalkulatora do znalezienia brakującej wartości w proporcji, wprowadź trzy znane wartości i pozostaw puste pole dla nieznanej wartości. Możesz użyć dowolnych pól dla nieznanej wartości – A, B, C lub D. Po wprowadzeniu trzech znanych wartości naciśnij "Oblicz". Kalkulator zwróci rozwiązane proporcje ze wszystkimi czterema wartościami. Jeśli wprowadzone wartości były liczbami całkowitymi, kalkulator również pokaże rozwiązanie problemu.

Definicje i ważne wzory

W matematyce stosunek definiuje się jako uporządkowaną parę liczb a i b. Stosunki używamy do porównywania dwóch wartości poprzez podzielenie jednej liczby przez drugą.

Stosunek a do b można zapisać jako \$\frac{a}{b}\$, a/b lub a:b. Ogólnie zakłada się, że b ≠ 0, ponieważ b znajduje się w mianowniku ułamka. Stosunki są powszechnie używane w życiu codziennym do porównywania jakichkolwiek dwóch wielkości.

Na przykład, jeśli w klasie jest 2 dziewczyny i 6 chłopców, stosunek dziewcząt do chłopców wynosiłby 2:6, lub w uproszczonej formie 1:3, co oznacza, że na każdą dziewczynę przypada trzech chłopców.

Proporcja to wyrażenie równające dwa stosunki. W naszym poprzednim przykładzie proporcja mogłaby być zapisana w następujący sposób:

$$2:6::1:3$$

lub

$$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$$

lub

$$2:6=1:3$$

W proporcji a:b=c:d, drugi i trzeci wyraz, b i c, nazywane są "środkowymi" proporcji. A pierwszy i ostatni wyraz, a i d, nazywane są "skrajnymi" proporcji. Proporcje mają ważną właściwość, nazywaną Właściwością Środków-Skrajnych, lub Wzorem Proporcji.

Wzór proporcji

W każdej proporcji a:b=c:d, iloczyn środkowych b × c jest równy iloczynowi skrajnych a × d. Matematycznie:

Jeśli

$$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$$

To

$$a × d = b × c$$

Ten wzór pozwala nam znaleźć brakujący wyraz proporcji. Na przykład, jeśli musielibyśmy rozwiązać daną proporcję dla a, przegrupowalibyśmy wzór proporcji w następujący sposób:

$$a=\frac{b × c}{d}$$

Przyjrzyjmy się przykładom obliczeń dla wszystkich trzech opisanych powyżej scenariuszy.

Przykład 1

Jane jest projektantką krajobrazu tworzącą projekty przestrzeni zewnętrznych dla klienta. Przestrzeń ma powierzchnię 216 metrów kwadratowych, a ona stworzyła plan, w którym basen zajmuje 64 metry kwadratowe. Tuż przed złożeniem projektu przez Jane, klient stawia wymóg, że co najmniej jedna trzecia przestrzeni musi być zajęta przez basen. Czy musi tworzyć nowy projekt, czy może złożyć istniejący?

Aby ustalić, czy musi stworzyć nowy projekt, musi ustalić stosunek powierzchni basenu do całkowitej powierzchni zewnętrznej, a następnie porównać tę wartość z 1/3.

Wiadomo, że basen zajmuje 64 metry kwadratowe, podczas gdy całkowita powierzchnia zewnętrzna wynosi 216 metrów kwadratowych. Zatem potrzebny stosunek to: 64/216.

Stosunek nie jest w najniższych wyrazach. Dlatego możemy go uprościć. Możemy uprościć stosunek, dzieląc licznik i mianownik przez największy wspólny dzielnik (NWD).

Największy wspólny dzielnik licznika (64) i mianownika (216) to 8. Dzieląc oba wyrazy przez NWD, 8, otrzymujemy:

$$\frac{64}{8} = 8$$

$$\frac{216}{8} = 27$$

Zatem

$$\frac{64}{216} = \frac{8}{27}$$

Basen zajmuje 8/27 całkowitej zewnętrznej powierzchni. Jednak klient chce, aby zajmował on co najmniej 1/3, czyli 9/27 całkowitej powierzchni. 8/27 < 9/27, i niestety, Jane musi stworzyć nowy projekt.

Upraszczenie stosunku

Aby szybko znaleźć rozwiązanie problemu, wprowadź 64 i 216 w polach A i B (lub C i D) odpowiednio, a następnie naciśnij "Oblicz".

Odpowiedź:

$$\frac{64}{216} = \frac{8}{27}$$

Znalezienie brakującej wartości

Znajdź brakującą wartość w następującej proporcji:

$$\frac{3}{99} = \frac{4}{x}$$

Aby rozwiązać proporcję z nieznaną wartością, używamy wzoru proporcji. Stanowi on, że iloczyn środków jest zawsze równy iloczynowi skrajnych w proporcji. Podaną proporcję możemy zapisać w następujący sposób:

$$\frac{3}{99} = \frac{4}{x}$$

99 i 4 to środkowe w tej proporcji, a 3 i nieznana wartość x to skrajne. Zatem:

$$3 × X = 4 × 99$$

i

$$x = \frac{4 × 99}{3}$$

$$x = \frac{396}{3}$$

$$x = 132$$

Odpowiedź

$$\frac{3}{99} = \frac{4}{132}$$

Przykład 2

Helen chce zlecić tłumaczenie kilku artykułów z angielskiego na japoński. Na stronie tłumacza podano średnią stawkę 20 dolarów za tłumaczenie 600 słów. Artykuły Helen mają łącznie około 20 000 słów. Jak obliczyć koszt zlecenia, jeśli tłumacz odmówi jej zniżki?

Wprowadź równoważne jednostki w polach A i C. Wprowadź inne równoważne jednostki w polach B i D.

W tym przykładzie używamy A i C dla liczby słów oraz B i D dla pieniędzy. Pola A i B są dla pierwszego przypadku (aktualna stawka tłumacza), a pola C i D dla drugiego przypadku (możliwa stawka za zlecenie Helen).

• W polu A wprowadź liczbę słów według stawki tłumacza - 600.
• W polu B wprowadź cenę za 600 słów, tj. 20.
• W polu C wprowadź liczbę słów w twoim zamówieniu, tj. 20 000.
• A w polu D otrzymasz wynik 666,66666666667.

Następnie możesz zaokrąglić wynik do 667 dolarów. Nie zapomnij, że Helen może poprosić o zniżkę za duże zamówienia, ale 667 dolarów może być punktem wyjścia w negocjacjach.

Przykład 3

Jack jest na wakacjach w Indonezji i chce wymienić swoje dolary na lokalną walutę, czyli rupie indonezyjskie. Potrzebuje pieniędzy, aby zapłacić gotówką za wynajem skutera Yamaha X-Max, który kosztuje 3 500 000 rupii miesięcznie.

Wie, że dzisiaj kurs wymiany w najbliższym kantorze przy jego hotelu to 14 750 rupii za jednego dolara amerykańskiego. Ile dolarów musi wymienić, aby otrzymać 3 500 000 rupii?

I znowu używamy równoważnych jednostek w polach A i C oraz innych równoważnych jednostek w polach B i D.

W tym przykładzie używamy A i C dla rupii indonezyjskich oraz B i D dla dolarów amerykańskich.

• W polu A wprowadź liczbę rupii za 1 dolar, czyli 14 750.
• W polu B wprowadź równowartość tej kwoty w dolarach, czyli 1.
• W polu C wprowadź liczbę rupii, którą chcesz otrzymać, czyli 3 500 000.
• W polu D otrzymasz kwotę, którą chcesz w dolarach, czyli 237,28813559322.

Okazuje się, że jeśli kantor nie pobiera prowizji, musi wymienić co najmniej 237 dolarów, aby zapłacić za wynajem skutera na miesiąc. Prawdopodobnie wymieni większą, zaokrągloną sumę - 250 lub 300 dolarów.

Użycie kalkulatora do znalezienia rozwiązania

Aby użyć kalkulatora do porównania dwóch stosunków, 4/16 i 3/12, wprowadź 4 w polu A i 16 w polu B, aby uzupełnić jedną stronę proporcji. Wpisz 3 w polu C i 12 w polu D, aby uzupełnić drugą stronę proporcji. Następnie naciśnij "Oblicz".

Odpowiedź

$$\frac{4}{16} = \frac{3}{12}$$

jest PRAWDZIWE

Właściwości proporcji

Najważniejszą właściwością proporcji (i najbardziej użyteczną) jest właściwość środków i skrajnych. Proporcje mają jednak również inne interesujące właściwości.

Permutacja środków i skrajnych:

Jeśli

$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$

Wtedy, z permutacją środków, prawdziwe jest:

$$\frac{a}{c}=\frac{b}{d}$$

I, z permutacją skrajnych, prawdziwe jest:

$$\frac{d}{b}=\frac{c}{a}$$

Zwiększanie i zmniejszanie proporcji można wykonać zgodnie z następującą regułą:

Jeśli

$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$

Wtedy proporcję można zwiększyć w następujący sposób:

$$\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$$

I zmniejszyć w następujący sposób:

$$\frac{a-b}{b}=\frac{c-d}{d}$$

Tworzenie proporcji przez dodawanie i odejmowanie Jeśli

$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$

Wtedy prawdziwe jest:

$$\frac{a+c}{b+d}=\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$

I

$$\frac{a-c}{b-d}=\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$

Złoty podział

W matematyce dwie wartości są w złotym podziale, jeśli stosunek większej wartości do mniejszej jest taki sam jak stosunek sumy tych wartości do większej wartości. Czyli matematycznie: dla a>b>0, złoty podział można zapisać następująco:

$$\frac{a}{b}=\frac{a+b}{a}$$

Mózg ludzki uważa złoty podział za idealny stosunek części do całości. Złoty podział często obserwuje się w naturze, nauce i sztuce.